Ορισμένο Ολοκλήρωμα - Εφαρμογή Geogebra

Κάντε κλικ εδώ για να ανοίξετε την εφαρμογή.

Αυτά δεν γίνονται! Πιθανότητα 0

Online Math Open Contest (OMO)

Fall 2016

OMO Fall 2016 Problems

OMO Fall 2016 Solutions

Spring 2016 

OMO Spring 2016 Problems

OMO Spring 2016 Solutions

Fall 2015 

OMO Fall 2015 Problems

OMO Fall 2015 Solutions

Μαθηματικά Β΄ Γυμνασίου - Διαγώνισμα Α΄ Τετραμήνου

Η άσκηση της ημέρας (29 - 11 - 2016)

 Έστω ότι η $f(x)$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $(a, b)$ και
 έστω ότι ο $ξ$ ανήκει στο $(a, b)$.
 Αν ισχύει  είτε $f'(x) ≥ f'(ξ)$, για κάθε x στο $(a, b$) είτε
 $f'(x) ≤ f'(ξ)$  για κάθε $x$  στο $(a, b)$, αποδείξτε ότι ο $ξ$
 είναι σημείο  καμπής της $f(x)$.

ΒΙΒΛΙΟ: Θέματα στις Θεμελιώδεις Έννοιες και τα Θεμέλια των Μαθηματικών

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Αποδείξεις χωρίς λόγια

www.askisopolis.gr - Γεωμετρία Β΄ Λυκείου: Συλλογές ασκήσεων - Διαγωνίσματα

       Τράπεζα θεμάτων (7)

  Κεφάλαιο 7 Αναλογίες (1)

  Κεφάλαιο 8 Ομοιότητα (2)

  Κεφάλαιο 9 Μετρικές Σχέσεις (6)

  Κεφάλαιο 10 Εμβαδά (2)

  ΚΕΦΑΛΑΙΟ :Επανάληψη (7)

Πρόβλημα ποτίσματος

'Ενας κηπουρός γεμίζει με νερό δύο δοχεία χρησιμοποιώντας δύο λάστιχα. Η παροχή του νερού από το πρώτο λάστιχο είναι 2,9 λίτρα ανά λεπτό ενώ από το δεύτερο 8,7 λίτρα ανά λεπτό. '

Όταν το νερό φτάσει στη μέση του μικρότερου δοχείου, ο κηπουρός εναλλάσσει τα λάστιχα. 

Συνεχίζει να βάζει νερό στα δοχεία, οπότε αυτά γεμίζουν τελείως την ίδια στιγμή. 

Ποιος είναι ο όγκος του μεγαλύτερου δοχείου αν ο όγκος του μικρότερου είναι 12,6 λίτρα; 

Γεωμετρία ... εν δράσει

Επαλήθευση, Πολυτέλεια ή Αναγκαιότητα;

Εισήγηση του Θεόδωρου Παγώνη στο Συνέδριο Διδακτικής της ΟΕΦΕ, Πάτρα 26 - 27 Νοεμβρίου 2016.

Πηγή

Εισήγηση Θ. Ποδηματά και Μ. Χατζόπουλου στο Συνέδριο Διδακτικής της ΟΕΦΕ (Πάτρα 26 - 27 Νοεμβρίου 2016)

Πηγή

Σκεφτείτε θετικά

'Εστω θετικοί αριθμοί $α_1, α_2, ..., α_{100}$, τέτοιοι ώστε

$\dfrac{1}{1 + α_1} + \dfrac{1}{1 + α_2} + ... +\dfrac{1}{1 + α_{100}} \leq 1$

Αποδείξτε ότι

$α_1\timesα_2\times ... \times α_{100}  \leq99^{100}$. 

Problem of the Week - 2004 AMC 10A, Problem 25

 Three mutually tangent spheres of radius $1$ rest on a 

 horizontal plane. A sphere of radius $2$ rests on them. What 

 is the distance from the plane to the top of the larger 

 sphere?

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Nα αποδειχθεί ότι

\[\int_0^\pi f(\sin x)dx=\dfrac{2}{\pi}\int_0^\pi xf(\sin x)dx\]

Kangaroo Past Papers (All Levels) - Year 2013

Class 1-2_IKMC 2013

VIEW

DOWNLOAD

Class 3-4_IKMC 2013

VIEW

DOWNLOAD

Η άσκηση της ημέρας (28- 11 - 2016)

 Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g:\Re  \to \Re$  Αν η $f$ είναι 1-1
 και ισχύει

$(gog)(x) = a.g(x) + \beta f({x^3} + 2015)$, $\forall x \in \Re$, $a,\beta  \in {\Re ^*}$

 α. να δείξετε ότι η $g$ είναι $1-1$ 

 β . να λύσετε την εξίσωση:

$g(\ln ({x^2} + x + 1)) = g( - {x^2} - x)$

 γ. να λύσετε την εξίσωση:     

   $g[f[{({2^{{x^2}}} + {x^2} + 1)^3} + {2^{{x^2}}} + {x^2} + 1]] =$

$=g[f{({2^{x + 2}} + x + 3)^3} + {4.2^x} + x + 3]]$

2η Επιμορφωτική Ημερίδα "Η διδασκαλία των Μαθηματικών στα τμήματα Προσανατολισμού της Γ΄ Λυκείου" Δευτέρα 12 - 12 - 2016

Ανθρωποκυνηγητό

Δεκαέξι σπηλιές βρίσκονται στη σειρά, η μία μετά την άλλη. Ο σερίφης Μεγαλοφρύδης γνωρίζει ότι ένας ληστής, ο Φευγάτος Τζο, κρύβεται σε μία από τις σπηλιές. 

Ο σερίφης γνωρίζει επίσης ότι οι φίλοι του Φευγάτου Τζο τον έχουν συμβουλέψει να μετακινείται κάθε νύχτα στη διπλανή σπηλιά, είτε δεξιά είτε αριστερά. 

Ο σερίφης και οι βοηθοί του μπορούν να ερευνήσουν μόνο μία σπηλιά κάθε μέρα. Αν αρχίσουν να ερευνούν τις σπηλιές την πρώτη Μαΐου, Θα συλλάβουν τον κακοποιό πριν το τέλος του Μαΐου;

Ορθή προσέγγιση

Το ευθύγραμμο τμήμα $ΜΝ$ είναι η προβολή επί την υποτείνουσα $ΑΒ$ τον εγγεγραμμένου κύκλου στο ορθογώνιο τρίγωνο $ΑΒC$. 

Αποδείξτε ότι η γωνία $ΜCΝ$ ισούται με $45°$. 

Τα 23 προβλήματα του Hilbert

Απόσπασμα από την μεταπτυχιακή εργασία της Γ. Γκρίτζαλη: «Ιστορία των προβλημάτων στα Μαθηματικά».

Διέρχεται από το περίκεντρο

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο  και έστω  το ορθόκεντρο και  το μέσο του μεγάλου τόξου  του περίκυκλού του. 

Επί των πλευρών θεωρούμε τα σημεία αντίστοιχα, ώστε η να διέρχεται από το και να είναι . 

Να δείξετε ότι η διέρχεται από το περίκεντρο του τριγώνου .

Πηγή

Η άσκηση της ημέρας ( 25- 11 - 2016)

 Έστω ότι η $y = f(x)$ έχει δεύτερη παράγωγο στο διάστημα
 $(a, b)$ και ότι ισχύει $f(x)f''(x) ≥ 0$ για κάθε $x$ στο
 $(a, b)$. Αν στο $(a, b)$ περιέχονται δυο λύσεις της εξίσωσης 

$f(x)f'(x) = 0$

 αποδείξτε ότι η $y = f(x)$ είναι σταθερή ανάμεσα στις δύο
 αυτές λύσεις.

On a Trigonometric Inequality and the Sum of Perimeters of n-gons

2010 Canadian Mathemati al Society
Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem, Volume 36, Issue 1

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 132η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 132

Χαλασμένα αντίγραφα

Ενας μαθητής έλυσε όλα τα προβλήματα ενός μαθηματικού περιοδικού. Πριν ταχυδρομήσει τις απαντήσεις του στους συντάκτες της στήλης, τις έδωσε σε δύο φίλους του για να τις αντιγράψουν.

Την επόμενη ημέρα, οι δύο μαθητές αντέγραψαν τις λύσεις με σκοπό να τις ταχυδρομήσουν και αυτοί στο περιοδικό ως δικές τους. Ευτυχώς ή δυστυχώς, ο καθένας τους έκανε κάποια (διαφορετικά) λάθη αντιγραφής.

Γεωμετρία Β΄ Λυκείου - Ένα πολύ ωραίο διαγώνισμα στο Πυθαγόρειο θεώρημα

Πηγή

www.askisopolis.gr - Γεωμετρία Α΄ Λυκείου: Συλλογές ασκήσεων - Διαγωνίσματα

  Κεφάλαιο 2: ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ (1)

  Κεφάλαιο 3:ΤΡΙΓΩΝΑ (18)

  Κεφάλαιο 4:ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ (6)

  Κεφάλαιο 5:ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ-ΤΡΑΠΕΖΙΑ (9)

  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ (9)

       Ιστορικά σημειώματα (1)

       ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ (11)

Το κόκκινο τετράπλευρο

Δίνεται τετράγωνο $ABCD$ πλευράς $a$. Τα σημεία $K,M$ είναι τυχαία πάνω στις πλευρές $AB,CD$ αντίστοιχα, ενώ τα σημεία $L,N$ των πλευρών $BC,AD$ έχουν επιλεγεί, έτσι ώστε $NL \| AB$.

α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κόκκινου τετραπλεύρου.

β) Αν επιπλέον είναι , να βρείτε τη θέση των σημείων , ώστε η περίμετρος του κόκκινου τετραπλεύρου να είναι ελάχιστη.

(Εφαρμογή: )

Πηγή