Η άσκηση της ημέρας (31 - 10 - 2016)

 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση 

\[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\eta \mu ({x^2} + 3x - 4)}}{{x - 1}},x < 1\\\sqrt {{x^2} + 3x} + \sqrt {a{x^2} + 5} ,x \ge 1\end{array} \right.\]

 α. να βρείτε το 

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)\]

 β. να βρείτε το $a \in \Re$.

 γ. να δείξετε ότι 

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = \lambda \in \Re$

 δ. να βρείτε το 

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) - \lambda x)$

 ε. να βρείτε το όριο

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{7049f(x) + 14}}{{xf(x) - 3{x^2} + 2x + 1}}$

Ξιφομαχίες σωματοφυλάκων

Ο Άθως, ο Πόρθος, ο Άραμις και ο ντ' Αρτανιάν κατέλαβαν τις τέσσερις πρώτες θέσεις στους βασιλικούς αγώνες ξιφασκίας.

Το άθροισμα των θέσεων που κατέλαβαν ο Άθως, ο Πόρθος και ο ντ' Αρτανιάν ήταν 6.

Το άθροισμα των θέσεων που κατέλαβαν ο Πόρθος και ο Άραμις ήταν επίσης 6.

Ποιες ήταν οι θέσεις κάθε σωματοφύλακα, αν γνωρίζουμε ότι ο Πόρθος είχε καλύτερη θέση από τον Άθω; 

Περιοδικό Quantum τ. 2

Περιοδικό «ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ» τ. 99 - Θέματα Ειαγωγικών εξετάσεων (για τα Α.Ε.Ι.) προηγουμένων ετών

Τα δαμάσκηνα του πάθους

Τρεις πρίγκιπες προσπαθούσαν να κατακτήσουν την καρδιά της πριγκίπισσας Libusha, της ιδρύτριας του τσέχικου κράτους. Η πριγκίπισσα τους ζήτησε να λύσουν το εξής πρόβλημα: 

«Αν δώσω τα μισά από τα δαμάσκηνα που υπάρχουν σε αυτά το καλάθι συν ένα επιπλέον στον έναν πρίγκιπα, τα μισά από τα υπόλοιπα συν ένα ακόμη δαμάσκηνο στον δεύτερα, και τα μισά από τα υπόλοιπα συν τρία ακόμη στον τρίτο, το καλάθι θα μείνει άδειο. Πόσα δαμάσκηνα υπάρχουν στο καλάθι;» 

Περιοδικό Quantum

Σύνθεση συναρτήσεων, αντίστροφες συναρτήσεις, συναρτησιακές σχέσεις και πεπεπλέγμενες συναρτήσεις

Πρόδρομος Π. Ελευθερίου Επίτιμος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Λέσβου 

(Τμήματα του κειμένου που ακολουθεί έχουν παρουσιαστεί στην 6η και 8η Μαθηματική Εβδομάδα στη Θεσσαλονίκη)

Η άσκηση της ημέρας (27 - 10 - 2016)

 Δίνεται η συνάρτηση $f$ με 

.

  i. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία την $f$.

  ii. Να υπολογίσετε τα όρια: 

και .

  iii. Να λυθεί η εξίσωση

 

  iv. Να βρείτε τον πραγματικό θετικό αριθμό μ για το οποίο
 ισχύει:

Ο κύκλος με τις πέτρες

Ένας κύκλος έχει χωριστεί σε $n$ τομείς. Μερικοί τομείς περιέχουν πέτρες ενώ το συνολικό πλήθος των πετρών είναι $n + 1$.
Στην συνέχεια, αναδιατάσ-
σουμε τις πέτρες σύμφωνα με τον εξής κανόνα: 

Επιλέγουμε δύο τυχαίες πέτρες που βρίσκονται στον ίδιο τομέα και τις μετακινούμε στους δύο διπλανούς τομείς - μία αριστερά και μία δεξιά. 
Αποδείξτε ότι έπειτα από συγκεκριμένο πλήθος τέτοιων μετακινήσεων οι μισοί τουλάχιστον τομείς θα περιέχουν πέτρες.

N. Konstantinov - N. Vasilyev

Περιοδικό Quantum

Χοσέ Μουχίκα: «Θα επενδύσουμε πρώτο: στην εκπαίδευση δεύτερο: στην εκπαίδευση τρίτο: στην εκπαίδευση»

Από τις δηλώσεις του Χοσέ Μουχίκα, 

Προέδρου της Ουρουγουάης για την Εκπαίδευση

Ένας λαός μορφωμένος έχει τις καλύτερες ευχέρειες επιλογής 

στη ζωή και είναι πολύ δύσκολο να τον εξαπατήσουν 

οι διεφθαρμένοι και οι ψεύτες.

Πηγή

Η άσκηση της ημέρας (26 - 10 - 2016)

Βρείτε έναν ακέραιο του οποίου η τετραγωνική ρίζα περιέχει τα ψηφία 414213462 αμέσως μετά την υποδιαστολή.

Forum Geometricorum Volume 5 (2005)

1. Steve Sigur, Where are the conjugates? 1--15. 

2. Khoa Lu Nguyen, A synthetic proof of Goormaghtigh's generalization of Musselman's theorem, 17--20. 

3. Victor Oxman, On the existence of triangles with given lengths of one side, the opposite and an adjacent angle bisectors, 21--22. 

4. Thierry Gensane and Philippe Ryckelynck, On the maximal inflation of two squares, 23--31.

Τρεις πλεξίδες

'Ενα κορίτσι χώρισε τα μακριά μαλλιά της σε τρία μέρη, δένοντας με κόκκινη κορδέλα το αριστερό μέρος, με λευκή το κεντρικά και με μπλε το δεξί. Μετά έφερε το αριστερό μέρος πάνω από το κεντρικά και σχημάτισε μία πλεξίδα (την Νο1) στην οποία οι κορδέλες είχαν τη σειρά (από αριστερά προς τα δεξιά) άσπρη, κόκκινη, μπλε. 

'Επειτα έφερε το δεξί μέρος πιάνω από το κεντρικό, σχηματίζοντας την πλεξίδα Νο2 με τις κορδέλες στην εξής σειρά: άσπρη, μπλε, κόκκινη.

Kangaroo Past Papers (All Levels) - Year 2008

Class 3-4_IKMC 2008

VIEW

DOWNLOAD

Class 5-6_IKMC 2008

VIEW

DOWNLOAD

Η άσκηση της ημέρας (25 - 10 - 2016)

Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε

$abc = \dfrac {1} {8}$.

Να αποδειχθεί ότι

\[a ^ 2 + β ^ 2 + γ ^ 2 + a ^ 2 β ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + β ^ 2c ^ 2\ge\dfrac{15}{16}\]

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 128η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 128

Ενδιαφέρουσα Ισεμβαδικότητα!

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και ας είναι $\left( {{B}_{1}},{{C}_{1}} \right),\left( {{B}_{2}},{{C}_{2}} \right)$ τα σημεία τομής των δια του ορθοκέντρου H του \vartriangle $ABC$ καθέτων μεταξύ τους ευθειών $\left( \delta \right),\left( \varepsilon \right)$ με τους φορείς των πλευρών $AC,AB$ αντίστοιχα. 

Έστω $D\equiv \left( \varepsilon \right)\cap NL\,\,,\,\,E\equiv \left( \delta \right)\cap NL$ με $N,L$ σημεία των $AB,AC$ αντίστοιχα ώστε: $\dfrac{N{{C}_{1}}}{N{{C}_{2}}}=\dfrac{L{{B}_{1}}}{L{{B}_{2}}}$. Αν ${D}',{{{C}'}_{2}},{{{B}'}_{2}}$ είναι οι ορθές προβολές των $D,{{C}_{2}},{{B}_{2}}$ επί ευθείας $\left( \eta \right)\parallel \left( \varepsilon \right)$ με ${{B}_{1}}\in \left( \eta \right)$ να δειχθεί ότι: 

$\left( KD{{{{C}'}}_{2}} \right)=\left( EK{{C}_{1}}{{{{B}'}}_{2}} \right)$ με $K\equiv {{C}_{1}}{D}'\cap E{{{C}'}_{2}}$

Πηγή

Η ιστορία της Άλγεβρας

Η άσκηση της ημέρας (24 - 10 - 2016)

Nα βρεθεί το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή του αριθμού

$\displaystyle \dfrac1{1009}+\dfrac1{1010}+\cdots + \dfrac1{2016}$

Hong Kong Team Selection Test 2017

Υποτροφίες Μαντουλίδη - Θέματα εξετάσεων προηγούμενων ετών: Από Β’ για Γ’ Γυμνασίου

2016

2015

Ιωαννίδης Ιωάννης - Γεωμετρία Ι, Ευθύγραμμα Σχήματα

Κάντε κλικ στην εικόνα.
Πηγή

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - 1ο Διαγώνισμα από το study4exams [Οκτώβριος 2016]

Υποτροφίες Μαντουλίδη: Θέματα εξετάσεων προηγούμενων ετών για Α’ Γυμνασίου

2016

2015

Η άσκηση της ημέρας (21 - 10 2016)

Να λυθεί η εξίσωση:

\[\displaystyle \root5\of{x^3+2x}=\root3\of{x^5-2x}\]

Σαν παραβολή

Οι δύο καμπύλες του σχήματος είναι οι γραφικές παραστάσεις, στο διάστημα [0,π], της $f(χ)=ημχ$ και της παραβολής με τις ίδιες ρίζες και κορυφή.

Ποια είναι η παραβολή και ποια η $f$;

Πηγή

Δείτε εδώ την πολύ ωραία λύση που μου έστειλε ο κ. Κώστας Δόρτσιος και κάποιες παρατηρήσεις που κάνει.

Κάντε κλικ και στον παρακάτω σύνδεσμο για να δείτε το σχετικό αρχείο geogebra.

Σαν παραβολή

Διαγώνισμα στα όρια και στις συναρτήσεις

Του Γιώργου Mάνεση

Πηγή

Καθετότητα μέσω διχοτόμου

Έστω $O$ το περίκεντρο τριγώνου $ABC$ και $D$ τυχαίο σημείο της διχοτόμου της γωνίας $\hat{A}$. 

Αν οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $ABD, ADC$ τέμνουν τις $AC, AB$ στα σημεία $E, F$ αντίστοιχα, να δείξετε ότι η $DO$ είναι κάθετη στην $EF$.

Πηγή

Mean Value Theorem (Without Words)

Ιωαννίδης Ιωάννης - Επίπεδος Γεωμετρία Ι (1970)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πηγή

Η άσκηση της ημέρας (19 - 10 - 2016)

  Δίνεται η συνάρτηση $f$ με 

  i. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα. 

  ii. Να βρείτε το όριο

  .

  iii. Να βρείτε το όριο

 

 iv. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

 

  έχει μία ακριβώς ρίζα στο , για κάθε .

Η άσκηση της ημέρας (18 - 10 - 2016)

 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση για την
 οποία ισχύουν οι συνθήκες:

• , για κάθε
• , για κάθε .

  i. Να βρείτε το όριο 

  ii. Να βρείτε το $f(1)$.

  iii. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τη
  γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα
  τουλάχιστον σημείο με τετμημένη .

Ιωαννίδης Ιωάννης - Γεωμετρικοί Τόποι και Κατασκευαί

Κάντε κλικ στην εικόνα.
Πηγή

Η άσκηση της ημέρας (17 - 10 - 2016)

Αν κάθε τετράγωνο έχει μία κορυφή στο κέντρο του προηγούμενου, να βρεθεί το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας..

Λύση

Γράφει ο Κώστας Δόρτσιος

Θεωρούμε κατ’ αρχήν τα δύο πρώτα τετράγωνα στο κατωτέρω σχήμα:

33ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας: «Μαθηματικά, Θεμέλιο της ανθρώπινης σκέψης», Χανιά 4 - 5 - 6 Νοεμβρίου 2016

«Εϊ ... καθηγητές των θετικών επιστημών — κάντε το διασκεδαστικό»

Ομιλία του Tyler DeWitt (Τάϊλερ Ντεγοϋίτ) στο TED.

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία - Σημειώσεις Γεωμετρίας

Του Βαγγέλη Ψύχα

Kangaroo Past Papers (All Levels) - Year 2007

Class 3-4_IKMC 2007

VIEW

DOWNLOAD

Class 5-6_IKMC 2007

VIEW

DOWNLOAD

Για καθηγητές που διδάσκουν Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Χρήσιμο υλικό για την βαθύτερη κατανόηση του σχολικού βιβλίου

Του Δημήτρη Σπαθάρα

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 127η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 127

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου: ΔΙΑΤΑΞΗ - ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ - ΡΙΖΕΣ

Του Γιάννη Καραγιάννη 

Ερωτήσεις Σωστού - Λάθους 

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 

Δύο Διαγωνίσματα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Όρια

Του Γιάννη Καραγιάννη 

Kangaroo Past Papers (All Levels) - Year 2006

Class 3-4_IKMC 2006

VIEW

DOWNLOAD

Class 5-6_IKMC 2006

VIEW

DOWNLOAD

Η άσκηση της ημέρας (14 - 10 - 2016)

Aν

$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f(x)}{x-3}=2$ 

και

$\left| g(x)-3 \right|\le \left| f(x) \right|$

για κάθε $x\in R$, να βρεθούν τα όρια:.

α. $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ 

β. $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,g(x)$      

γ. $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left| g(x)-5 \right|-2}{{{g}^{2}}(x)-4g(x)+3}$    

δ. $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,[\dfrac{1}{{{g}^{2}}(x)-9}.\eta \mu (g(x)-3)]$

7 - (Ανα)κατασκευή τριγώνου

Σε ένα τρίγωνο $ΑΒΓ$ συμβολίζουμε με:

$Ο$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου

$Μ_α$, $Μ_β$, $Μ_γ$ τα ίχνη των διαμέσων του

$Η_α$, $Η_β$, $Η_γ$ τα ίχνη των υψών του

$Δ_α$, $Δ_β$, $Δ_γ$ τα ίχνη των διχοτόμων του

$G$ το κέντρο βάρους του

$Η$ το ορθόκεντρο του

$Ι$ το έγκεντρο του.

13) Δεδομένων των σημείων $Μ_α, Δ_α, Δ_β$ να (ανα)κατασκευαστεί το τρίγωνο $ΑΒΓ$.

14) Δεδομένων των σημείων $Μ_α, Δ_β, Δ_γ$ να (ανα)κατασκευαστεί το τρίγωνο $ΑΒΓ$.

Τα μαθηματικά στην εκπαίδευση - Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου

 Του Μίλτου Παπαγρηγοράκη 4ο ΓΕΛ - Χανιά  

• Στο Σχολείο Συλλογές
• Θέματα Εξετάσεων
• Συλλογές Ασκήσεων - Εργασίες
• Διαγωνίσματα
• 
  ΚΕΕ Βιβλία Αξιολόγησης
• Φύλλα Ασκήσεων
• Ερωτήσεις Θεωρίας
• Θέματα και Λύσεις ΟΕΦΕ

Mathematical Treasures from the Smith and Plimpton Collections at Columbia University

Mathematical Treasures from the Smith and Plimpton Collections - Introduction

Mathematical Treasures from the Smith and Plimpton Collections - Index

Mathematical Treasures - Plimpton 322

Mathematical Treasures - Ars Magna Title Page

Mathematical Treasures - Al-Khwarizmi's Algebra

Mathematical Treasures - Lilavati of Bhaskara