Τετραγωνισμός του κύκλου (Kochanski's Approximation)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

$d^2 + e^2=?$

Αν για τους ακεραίους αριθμούς $a, b, c, d$ και $e$ ισχύουν

\[(a + 1)(3bc + 1) = d + 3e + 1\]

\[(b + 1)(3ca + 1) = 3d + e + 13\]

\[(c + 1)(3ab + 1) = 4(26 − d − e) − 1\]

να βρεθεί η τιμή του αθροίσματος

\[d^2 + e^2\]

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Δύο πολυώνυμα

Αν για τα 3ου βαθμού πολυώνυμα $p(x)$ και $q(x)$ ισχύουν: 

• $p(1) = q(2)$ 

• $p(3) = q(4)$ 

• $p(5) = q(6)$ 

• $p(7) = q(8) + 13$ 

να βρεθεί η τιμή

$p(9) − q(10)$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Συν και πλην

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να βάλουμε τα πρόσημα $«+»$ και $«-»$ μπροστά από τους αριθμούς

\[\displaystyle \frac{1}{3}, 0.375, 1, 1.4, \displaystyle \sqrt{2}, \displaystyle \frac{13}{8}, 2, \displaystyle \frac{13}{5}, \displaystyle \frac{8}{3}, 3, 4, \displaystyle \sqrt{18}, \displaystyle \sqrt{32}\]

ώστε το άθροισμα των αριθμών να είναι $1$;

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Περίμετρος

Να υπολογιστεί η περίμετρος του πολυγώνου

Μαθηματικά Α΄, Β΄, Γ΄ Λυκείου - Σχέδια μαθημάτων

Κάθε σχέδιο μαθήματος αποτελείται από τρία μέρη: 

1. Τι θα πω στο σημερινό μάθημα.
2. Ποιες ασκήσεις του σχολικού βιβλίου αναφέρονται στο συγκεκριμένο μάθημα.
3. Ποιες ασκήσεις "δικές μου" μπορούν να δοθούν στους μαθητές.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

1. Α' Λυκείου Άλγεβρα πατήστε εδώ

2. Α' Λυκείου Γεωμετρία πατήστε εδώ

Μαθηματικά Α΄, Β΄, Γ΄ Γυμνασίου - Σχέδια μαθημάτων

Κάθε σχέδιο μαθήματος αποτελείται από τρία μέρη.

1. Τι θα πω στο σημερινό μάθημα.
2. Ποιες ασκήσεις του σχολικού βιβλίου αναφέρονται στο συγκεκριμένο μάθημα.
3. Ποιες ασκήσεις "δικές μου" μπορούν να δοθούν στους μαθητές.

1. Α' Γυμνασίου Άλγεβρα πατήστε εδώ

2. Α' Γυμνασίου Γεωμετρία πατήστε εδώ

Σχεδίαση ευθείας

Δίνονται στο επίπεδο τρία σημεία $Α, Β$ και $C$.
Από το σημείο $C$ να φέρετε μια ευθεία τέτοια ώστε το γινόμενο των αποστάσεων των σημείων $Α$ και $Β$ απ' αυτή να είναι μέγιστο. 

Υπάρχει πάντοτε μια τέτοια ευθεία; 

(Ν. Vasilyev) 

Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής στα Ολοκληρώματα

Πηγή: «Ευκλείδης Β΄» τ. 80

ΒΙΒΛΙΟ: Μαραγκάκης Μανώλης - Τριγωνομετρικά Θέματα (1979)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πηγή

Στη σειρά

Να διαταχθούν σε αύξουσα σειρά οι αριθμοί

\[e^3,3^e,e^{\pi},\pi^e,3^{\pi},\pi^3\]

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

$3\ge 1$ ή $3>1$

Η πρώτη «διαβάζεται» $3$ μεγαλύτερο ή ίσο του $1$, δηλαδή

$3>1\quad\text{ή}\quad3=1$

η δεύτερη $3$ μεγαλύτερο του $1$.

Ποιο είναι το σωστό, κύριε;

Noga Alon - Voting Paradoxes and Combinatorics

Προφανώς λάθος, αλλά που?

\[\begin{align} \frac{0}{0} & = \frac{100-100}{100-100} \\ & = \frac{10^2-10^2}{10(10-10)} \\ & = \frac{(10-10)(10+10)}{(10)(10-10)} \\ & = \frac{(10+10)}{10} \\ & = \frac{2}{1} \\ & = 2 \end{align}\]

ΧΡΙΣΤΟΣ ΠΑΠΑΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ - Ο σημαντικός ερευνητής της Γεωμετρικής Τοπολογίας

Πηγή: «Ευκλείδης Β΄» τ. 80

Εξέλιξη λόγου

Οι ίσες πλευρές $AB,AC$ του ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ έχουν σταθερό μήκος, αλλά η γωνία $\hat{A}=\theta$, μεταβάλλεται ($0<\theta<\pi$). 

Με διάμετρο την $BC$ γράφουμε ημικύκλιο. Στόχος μας είναι να μελετήσουμε την εξέλιξη του λόγου: $\dfrac{E_{\eta\mu}}{E_{\tau\rho}}$. Εκτιμήστε πότε τα δύο εμβαδά γίνονται ίσα.

Πηγή

Μίλτος Παπαγρηγοράκης: Μαθηματικά προσανατολισμού Β΄ Λυκείου - Συλλογή ασκήσεων

Επισκεφτείτε την ιστοσελίδα του Μίλτου Παπαγρηγοράκη, κάνοντας κλικ εδώ.

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 122η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 122

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - 288 Βιβλία και φυλλάδια

Κάντε κλικ στην εικόνα.

ΒΙΒΛΙΟ: Εισαγωγή στη Μαθηματική Σκέψη

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Το π ισούται με 4 ?

Που βρίσκεται το λάθος?

Μίλτος Παπαγρηγοράκης: Άλγεβρα Β΄ Λυκείου - Συλλογή ασκήσεων

Επισκεφτείτε την ιστοσελίδα του Μίλτου Παπαγρηγοράκη, κάνοντας κλικ εδώ.

2 - Απλοποίηση

Να απλοποιηθoύν οι παραστάσεις:

1. $\dfrac {\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x} + x +\sqrt{x}} \colon \dfrac {1}{x^2 - \sqrt{x}}$

2. $\dfrac{\sqrt {x^2+y^2}+x}{y+\sqrt {x^2-y^2}}\cdot\dfrac{x-\sqrt {x^2+y^2}}{\sqrt {x^2-y^2}-y}$

3. $\left( a+1 \right) \left( a^{2}+1 \right) \left( a^{4}+1 \right) \left( a^{8}+1 \right) \left( a^{16}+1 \right) \left( a^{32}+1 \right)$

Πανελλαδικές εξετάσεις: Τέλος τα μηχανογραφικά όπως τα ξέραμε

Εφαρμογή συντελεστή βαρύτητας ανά επιλογή και 

πλήθος επιλογών του υποψηφίου

Απόσπασμα από την συνέντευξη που έδωσε χθες στο Αθηναϊκό-Μακεδονικό Πρακτορείο Ειδήσεων ο γενικός γραμματέας του υπουργείου Παιδείας, Γιάννης Παντής:

ΕΡΩΤΗΣΗ: Θα ισχύσουν μεταβατικές διατάξεις, ποιες είναι και ποιο το εύρος τους; 

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Η υιοθέτηση του συντελεστή μπορεί να γίνει από τις επόμενες εισαγωγικές εξετάσεις.

Στον παρακάτω πίνακα δείτε πως θα μειώνονται τα μόρια που θα συγκεντρώνουν οι υποψήφιοι, ανάλογα με την σειρά που θα δηλώνουν τις σχολές στο μηχανογραφικό:

Κάντε κλικ στην εικόνα για να την δείτε σε μεγέθυνση.

Διαβάστε αναλυτικά όλη την συνέντευξη εδώ.

www.spoudase.gr: Βρες το μεταπτυχιακό που σου ταιριάζει

Το πρώτο site στην Ελλάδα με όλα τα Μεταπτυχιακά. Εξατομικευμένη αναζήτηση μεταπτυχιακών σύμφωνα με το αντικείμενο σπουδών σου.

Πηγή

Top 10 Strategies to Improve Your Math Grades

by Jason Gibson

Many students and parents ask for pointers and techniques to best learn Math. Here is my top-10 list which applies to any level of Math.

1) If you don't understand something, focus on mastering that topic before moving on to the next topic. It sounds simple, but it is absolutely essential. Lets say a student is learning Algebra, for example.

5 - Σωστό ή Λάθος?

Αν  

\[\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{x}=\infty\]

τότε 

\[\lim_{x\rightarrow \infty }(f(x)-x)=\infty\]

ΝΕΟ ΒΙΒΛΙΟ - Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια

Του Νίκου Χατζημανώλη

Κάντε κλικ εικόνα.

OpenStax Free Books: Calculus Volume I, II and III

Κάντε κλικ στις εικόνες.

Πανελλαδικές 2016 - Συγκριτικός πίνακας βάσεων Μαθηματικών τμημάτων

4 - Σωστό ή Λάθος?

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

\[f(x)=\sqrt{\sin log(\dfrac{x^2+e}{x^2+1})+\sqrt{\cos log(\dfrac{x^2+e}{x^2+1})}}\]

είναι το $R$.

1ο Λύκειο Γιαννιτσών - Πανελλαδικές εξετάσεις 2016: ΟΛΑ ΤΑ ΟΝΟΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΠΙΤΥΧΟΝΤΩΝ

Πολύ μεγάλες οι επιτυχίες των μαθητών του σχολείου μας. Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά! Μπράβο σας!

Ενδεικτικά: 

5 μαθητές πέρασαν στην ΙΑΤΡΙΚΗ

6 μαθητές στην σχολή των ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

3 μαθητές στην ΝΟΜΙΚΗ

3 μαθητές στην ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗ 

1 μαθήτρια στην ΚΤΗΝΙΑΤΡΙΚΗ 

Για να δείτε αναλυτικά όλους τους επιτυχόντες μαθητές μας, κάντε κλικ στην εικόνα.

Δείτε επίσης τους επιτυχόντες:
2013-14 10%

2014-15 10%

ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

$\angle{PYV}=?$

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ένα χαρτί σχήματος ορθογωνίου $PQRS$. Διπλώνουμε το χαρτί κατά μήκος του ευθ. τμήματος $WV$ με τέτοιο τρόπο ώστε $\angle{VWQ}=125^0$.

Κατά τη δίπλωση τα σημεία $R$ και $Q$ βρίσκονται στις θέσεις $R'$ και $Q'$. Να βρεθεί η γωνία $\angle{PYV}$.

Fermat Contest 2016 (Grade 11)

Μίλτος Παπαγρηγοράκης: Γεωμετρία Α΄ Λυκείου - Συλλογή ασκήσεων

Επισκεφτείτε την ιστοσελίδα του Μίλτου Παπαγρηγοράκη, κάνοντας κλικ εδώ.

OpenStax Free Books: College Algebra

Κάντε κλικ στην εικόνα.

About Our Team 

Lead Author, Senior Content Expert 

Jay Abramson has been teaching College Algebra for 33 years, the last 14 at Arizona State University, where he is a principal lecturer in the School of Mathematics and Statistics.

The Causes and Prevention of Math Anxiety

by Marilyn Curtain-Phillips, M. Ed.

Mathematics anxiety has been defined as feelings of tension and anxiety that interfere with the manipulation of numbers and the solving of mathematical problems in a wide variety of

ordinary life and academic situations Math anxiety can cause one to forget and lose one’s self-confidence (Tobias, S., 1993).

Research confirms that pressure of timed tests and risk of

Μίλτος Παπαγρηγοράκης: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Συλλογή 516 ασκήσεων

Επισκεφτείτε την ιστοσελίδα του Μίλτου Παπαγρηγοράκη, κάνοντας κλικ εδώ.

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 121η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 121

3 - Σωστό ή Λάθος?

Αν

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f+f'+f''+f'''+f'''' \right)=0\]

τότε

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f=0\]

OpenStax Free Books: ALGEBRA and TRIGONOMETRY (σελ. 1218)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

About Our Team 

Lead Author, Senior Content Expert 

Jay Abramson has been teaching Algebra and Trigonometry for 33 years, the last 14 at Arizona State University, where he is a principal lecturer in the School of Mathematics and Statistics.

Αόριστο ολοκληρωμα

Να βρεθεί το ολοκλήρωμα

\[\int x^x\ln(xe) \,\mathrm dx\]

Σημειώσεις στα Μαθηματικά προσανατολισμού Β΄ Λυκείου: Θεωρία - λυμένες και άλυτες ασκήσεις

Πηγή

Αναμενόμενη (;) καθετότητα

Το $ABCD$ είναι τετράγωνο ενώ το $CDEH$ είναι ρόμβος.

 

Αν οι $CE, BH$ τέμνονται στο $M$, να δείξετε ότι $\displaystyle{AM \bot CE}$.

Πηγή

Ρητοποίηση

Nα μετατραπεί ο άρρητος παρονομαστής σε ρητό

\[\dfrac{\sqrt{2}}{5+3\sqrt[3]{4}-7\sqrt[3]{2}}\]

Δύσκολο ολοκλήρωμα

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

\[\int_0^{\ln2} {\sqrt{e^{2x} -2 +e^{-2x}}\over e^{x}+e^{-x}}\,dx\]

64 = 65 !

Το τετράγωνο έχει εμβαδόν $64$. Με τα ίδια κομμάτια που απoτελείται το τετράγωνο, κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο με εμβαδόν $65$.

Πως γίνεται αυτό;

Έτος $Ν-1$

Το έτος $Ν$, η $300$η ημέρα ήταν Τρίτη. Το έτος $Ν+1$, η $200$η  ημέρα ήταν επίσης Τρίτη.
Ποια ημέρα της εβδομάδας ήταν η $100$η ημέρα του έτους $Ν-1$;

2000 AMC 12, Problem 18

Όριο κλάσματος

Να υπολογιστεί το όριο

\[\lim_{x \to \infty} \dfrac{(1 + x)^{\dfrac{x}{1 + x}}\cos^{4}x}{e^{x}}\]

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Πιο απλό

Να απλοποιηθεί το κλάσμα

\[ \frac{(2^4+\frac{1}{4})(4^4+\frac{1}{4})(6^4+\frac{1}{4})(8^4+\frac{1}{4}) (10^4+\frac{1}{4})} {(1^4+\frac{1}{4})(3^4+\frac{1}{4})(5^4+\frac{1}{4})(7^4+\frac{1}{4})(9^4+\frac{1}{4}) }\]

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Five of Euler's best

Leonhard Euler is probably the most prolific mathematician of all time. Born in 1707 in Basel, Switzerland, Euler spent much of his life in Berlin. Mathematicians of Berlin are proud of this heritage, which is why it's no surprise that Euler featured in the European Congress of Mathematics, which took place in that beautiful city last month. Günter M. Ziegler, a mathematician at the Freie Universität Berlin and champion of public engagement with maths, delivered a lecture on five famous problems that are associated with Euler.

Όριο

Να υπολογιστεί το όριο

\[\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{\ln x}{f(x)}\right)^{\displaystyle\frac{f(x)}{x}}\]

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Ανάγνος Δημήτρης - Γεωμετρία Α' Λυκείου

Πηγή

Tιμή

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης

\[\dfrac {(10^{4}+324)(22^{4}+324)(34^{4}+324)(46^{4}+324)(58^{4}+324)}{(4^{4}+324)(16^{4}+324)(28^{4}+324)(40^{4}+324)(52^{4}+324)}\]

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Σταθερή συνάρτηση

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb R \to \mathbb R$ για την οποία ισχύει

\[f(x)=f(x^2)\]

για κάθε $x \in \mathbb R$.

Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι σταθερή.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

6 - (Ανα)κατασκευή τριγώνου

Σε ένα τρίγωνο $ΑΒΓ$ συμβολίζουμε με:

$Ο$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου

$Μ_α$, $Μ_β$, $Μ_γ$ τα ίχνη των διαμέσων του

$Η_α$, $Η_β$, $Η_γ$ τα ίχνη των υψών του

$Δ_α$, $Δ_β$, $Δ_γ$ τα ίχνη των διχοτόμων του

$G$ το κέντρο βάρους του

$Η$ το ορθόκεντρο του

$Ι$ το έγκεντρο του.

11) Δεδομένων των σημείων $Η_α, Η_β, Ι$ να (ανα)κατασκευαστεί το τρίγωνο $ΑΒΓ$.

12) Δεδομένων των σημείων $Η_α, Δ_β, Δ_γ$ να (ανα)κατασκευαστεί το τρίγωνο $ΑΒΓ$.

Απλοποίηση

Να απλοποιηθεί η παράσταση

\[\dfrac{2006^3-2000^3-6^3}{2006000}\]
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

$a+b+c+d+e=?$

Αν 

\[\dfrac{2011}{1990} = a+\dfrac{1}{b+\dfrac{1}{c+\dfrac{1}{d+\dfrac{1}{e}}}}\]

να βρεθεί το άθροισμα $a+b+c+d+e$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

The Ultimate IQ Test Book

Τετραγωνική ρίζα αρνητικού κλάσματος

Ισχύει

$-\dfrac{1}{3}=\dfrac{-1}{3}=\dfrac{1}{-3}$.

Η τετραγωνική ρίζα του $-\dfrac{1}{3}$ ισούται με  

$\dfrac{i}{\sqrt3}$      ή      $\dfrac{1}{\sqrt{3}i}$;

Υπάρχει;

Υπάρχει συνάρτηση $f$ τέτοια ώστε

\[f\neq f'\]

\[f=f'''\]

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Από γωνία ... σε γωνία

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με και τα σημεία των πλευρών αντίστοιχα, ώστε . 

Να υπολογίσετε τη γωνία

Πηγή

Πόσο κάνει;

\[999999\cdot 222222 + 33333\cdot 333334\]

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 120η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 120

f(0)+f(8)=?

Έστω πολυώνυμο $f$ 7ου βαθμού τέτοιο ώστε

\[f(1) =2\]

\[f(2) =5\]

\[f(3) =10\]

\[f(4) =17\]

\[f(5) =26\]

\[f(6) =37\]

\[f(7) =50\]

Ποια η τιμή

\[f(0)+f(8)\]

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

5 - (Ανα)κατασκευή τριγώνου

Σε ένα τρίγωνο $ΑΒΓ$ συμβολίζουμε με:

$Ο$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου

$Μ_α$, $Μ_β$, $Μ_γ$ τα ίχνη των διαμέσων του

$Η_α$, $Η_β$, $Η_γ$ τα ίχνη των υψών του

$Δ_α$, $Δ_β$, $Δ_γ$ τα ίχνη των διχοτόμων του

$G$ το κέντρο βάρους του

$Η$ το ορθόκεντρο του

$Ι$ το έγκεντρο του.

9)Δεδομένων των σημείων $G, Δ_α, Ι$ να (ανα)κατασκευαστεί το τρίγωνο $ΑΒΓ$.

10) Δεδομένων των σημείων $Η_α, Η_β, Δ_γ$ να (ανα)κατασκευαστεί το τρίγωνο $ΑΒΓ$.

Εις την εβδόμη

Να παραγοντοποιηθεί

\[(x+y)^7-(x^7+y^7)\]

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

6 - Ανισοτική με ολοκλήρωμα

Έστω συνάρτηση $f:[0,a]\rightarrow\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη με $f( 0 ) = 0$ Να αποδειχθεί η ανισότητα 

\[\int_0^a \left(\frac{f(x)}{2x}\right)^2 dx \le \int_0^a (f'(x))^2 dx\]

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Ζηνόδωρος ο Παιανιεύς - Ένας μεγάλος μαθηματικός

 Του Ευαγγέλου Σπανδάγου 

Περιοδικό Ευκλείδης Β' τ. 82 

$(x,y)=(?,?)$

Nα λυθεί η εξίσωση

\[2+\dfrac1{x+\dfrac1{y+\dfrac15}}=\dfrac{478}{221}\]

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Υπόλοιπο

Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού

\[9^{{10}^{{11}^{12}}}-5^{9^{10^{11}}}\]

με το $13$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Απ΄ όλα

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης

\[|\sin x+ \cos x + \tan x + \cot x +\sec x +\csc x|\]

όπου χ πραγματικός αριθμός.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Είναι;

Eίναι ο αριθμός 

\[545^4 + 4^{545}\]

πρώτος;

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

cos ... = sin ...

Να λυθεί η εξίσωση

\[\cos (\cos (\cos (\cos(x))))=\sin (\sin (\sin (\sin (x))))\]

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Ποιος θέλει να γίνει εκατομμυριούχος;

Σε ένα καζίνο όποιος παίκτης παίξει 24 ακριβώς ώρες κερδίζει ένα εκατομμύριο. Όμως υπάρχει μια προϋπόθεση «κανένας τους δεν επιτρέπεται να παίξει την ίδια ημέρα περισσότερο από 

το μισό του χρόνου που του απομένει για να συμπληρώσει τις 24 ώρες». Σε πόσες ημέρες ένας παίχτης μπορεί να κερδίσει το εκατομμύριο;

ΛΕΩΔΑΜΑΣ Ο ΘΑΣΙΟΣ - Ο λησμονημένος μεγάλος μαθηματικός της αρχαιότητας

 Του Σωτήρη Χ. Γκουντουβά 

Περιοδικό Ευκλείδης Β' τ. 82 

Κόκκινο εμβαδόν

Να βρεθεί το εμβαδόν της κόκκινης επιφάνειας.

Το πρόβλημα δόθηκε, σε δυσκολότερη παραλλαγή, σε μαθητές έκτης Δημοτικού στην Κίνα.

Γιατί Πρέπει να Μαθαίνουμε Μαθηματικά;

5 - Ανισοτική με ολοκλήρωμα

Έστω συνάρτηση $f:[0 ,1]\mapsto(0,+\infty)$ συνεχής και γνησίως φθίνουσα. Να αποδειχθεί ότι

\[\dfrac{\int_{0}^1x(f(x))^2dx}{\int_{0}^1xf(x)dx}\leq \dfrac{\int_{0}^1(f(x))^2dx}{\int_{0}^1f(x)dx}\]

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

$Α\timesΒ=;$

Aν 

\[Α={{\left[ {{\left( \frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}+x\sqrt[3]{x}}{x\sqrt[3]{y}+y\sqrt[3]{x}}-1 \right)}^{-1}}{{\left( 1+\sqrt[3]{\frac{x}{y}+\sqrt[3]{\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}}} \right)}^{-1}}+1 \right]}^{\frac{1}{3}}}\]

και 

\[Β=\sqrt[3]{x-y}\]

τότε $Α\timesΒ=;$
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Μέγιστο σφάλμα

Είναι γνωστό ότι κανείς δεν κάνει μεγαλύτερο σφάλμα από 6 ώρες όταν προσδιορίζει το χρόνο χωρίς ρολόι.

Ένας κατασκευαστής ρολογιών τοποθέτησε σ' ένα ρολά δύο δείκτες με το ίδιο μήκος, έτσι που ήτανε αδύνατο να διακρίνει κανείς το λεπτοδείκτη απ τον ωροδείκτη. Ποιο είναι το μέγιστο σφάλμα που μπορεί να γίνει στον υπολογισμό της ώρας με το ρολόι αυτό:

Αόριστο

Nα αποδειχθεί ότι

\[\int\dfrac{dx}{x(\ln{x})^{7/8}} = 8(\ln{x})^{1/8}+c\]

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου 2016 - 2017 - Συλλογή 888 ασκήσεων

ΜΕΡΟΣ Α΄

ΜΕΡΟΣ Β΄

ΜΕΡΟΣ Γ΄

Πηγή

Δείτε επίσης:

Μίλτος Παπαγρηγοράκης - Άλγεβρα Α΄ Λυκείου: Συλλογή 516 ασκήσεων

Μίλτος Παπαγρηγοράκης - Γεωμετρία Α΄ Λυκείου: Συλλογή ασκήσεων
Μίλτος Παπαγρηγοράκης: Άλγεβρα Β΄ Λυκείου - Συλλογή ασκήσεων
Μίλτος Παπαγρηγοράκης: Μαθηματικά προσανατολισμού Β΄ Λυκείου - Συλλογή ασκήσεων

2 - Σωστό ή Λάθος;

Ο αριθμός 

$2^{2^{2011}}$ 

διαιρεί τον αριθμό 

$2^{2^{2012} }$

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Υπό συνθήκη

Αν

$\displaystyle\dfrac{\sin^4{x}}{a} + \dfrac{\cos^4{x}}{b}= \dfrac{1}{a+b}$

να αποδειχθεί ότι 

$\displaystyle\dfrac{\sin^6{x}}{a^2} + \dfrac{\cos^6{x}}{b^2}= \dfrac{1}{(a+b)^2}$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

4 - (Ανα)κατασκευή τριγώνου

Σε ένα τρίγωνο $ΑΒΓ$ συμβολίζουμε με:

$Ο$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου

$Μ_α$, $Μ_β$, $Μ_γ$ τα ίχνη των διαμέσων του

$Η_α$, $Η_β$, $Η_γ$ τα ίχνη των υψών του

$Δ_α$, $Δ_β$, $Δ_γ$ τα ίχνη των διχοτόμων του

$G$ το κέντρο βάρους του

$Η$ το ορθόκεντρο του

$Ι$ το έγκεντρο του.

7) Δεδομένων των σημείων $G, Η_α, Ι$ να (ανα)κατασκευαστεί το τρίγωνο $ΑΒΓ$.

8) Δεδομένων των σημείων $G, Δ_α, Δ_β$ να (ανα)κατασκευαστεί το τρίγωνο $ΑΒΓ$.

Μέγιστο εμβαδόν

Στο παρακάτω σχήμα η κόκκινη καμπύλη είναι η παραβολή 

$y=2x-x^2$.

Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου του εγγεγραμμένου στην παραβολή.

Ο κόσμος μας ως μαθηματικό κατασκεύασμα (Α’ μέρος)

Ο Παναγιώτης Παπασπύρου, υποψ. Διδάκτωρ Φυσικής του Πανεπιστημίου Αθηνών, στο πρώτο μέρος της ομιλίας του: «Η κοσμολογική σημασία της πυθαγόρειας αρμονίας και μουσικής των σφαιρών, και η ιστορική της επιρροή έως την εποχή του Ιωάννη Κέπλερ.»

Eλάχιστη τιμή

Έστω συνάρτηση $f$ δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,1], τέτοια ώστε  

$f (0) = f (1) = 0$. 

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης

\[\dfrac{\int_0^1(f'(x))^2dx}{\int_0^1(f(x))^2dx}\]

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΕΡΔΗ - Ο χαρτοπαίκτης, ο φιλότεχνος και η Αγία Πετρούπολη

Πως μπορείτε να κερδίσετε μία περιουσία

56th International Mathematical Olympiad 2015 - Shortlisted Problems with Solutions

1 - Σωστό ή Λάθος?

Αν 

$$\lim_{x\to\infty} (f(x)+f'(x))=0$$

τότε

$$\lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$$

Ν = 1234567891011121314151617181920212223

Ο αριθμός

$Ν = 1234567891011121314151617181920212223$

είναι τέλειο τετράγωνο;

Απάντηση

Το τελευταίο ψηφίο ενός τέλειου τετραγώνου εξαρτάται μόνο από το τελευταίο ψηφίο της τετραγωνικής ρίζας του (και από κανένα άλλο). Επομένως, μπορούμε να προσπαθήσουμε να βρούμε ποιο μπορεί να είναι το τελευταίο ψηφίο της τετραγωνικής ρίζας του $Ν$. Δεν μπορεί να είναι το $0$, διότι τότε θα έπρεπε και ο $Ν$ να λήγει σε $0$.