2 - Ανισοτική με ολοκλήρωμα

Έστω συνάρτηση $f : [−1, 1] → [0, +∞)$ γνησίως αύξουσα συνάρτηση. 

Να αποδειχθεί ότι  

$\int_{−1}^1 (f' (x))^\frac{1}{2015}dx ≤ 2015\int_{−1}^1 (\dfrac{f(x)}{1-x})^\frac{1}{2015}dx$. 

Oleksiy Klurman, University College London

Μαθηματικά Β΄ και Γ΄ Γυμνασίου - Ασκήσεις για προχωρημένους

Περιοδικό Ευκλείδης Α΄ τ. 98

Αόριστο ολοκλήρωμα

Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$ \int\dfrac{5x^ 2 − x − 4}{x ^5 + x ^4 + 1} dx$.

Titu Andreescu, University of Texas, USA

Kυρτή και ολοκληρώσιμη συνάρτηση

Έστω $f : [0, 1] → R$ κυρτή και ολοκληρώσιμη συνάρτηση με $f(0) = 0$.
Να αποδειχθεί ότι

$ \int_0^1f(x) dx ≥  4\int_0^\frac{1}{2}f(x) dx$.

Florin Stănescu, România

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 118η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 118

16ος Μεσογειακός Μαθηματικός Διαγωνισμός 2013 - Θέματα και Λύσεις

Περιοδικό Ευκλείδης Β΄ τ. 70

Μία αξιοσημείωτη ευθεία τετραπλεύρου

Ένα τετράπλευρο έχει και περιγεγραμμένο και εγγεγραμμένο κύκλο.
Να αποδειχθεί ότι το σημείο τομής των διαγωνίων του και τα κέντρα των κύκλων ανήκουν στην ίδια ευθεία. 

(V. Protasov)

51th International Mathematical Olympiad 2010 - Shortlisted Problems with Solutions

2 - (Ανα)κατασκευή τριγώνου

Σε ένα τρίγωνο $ΑΒΓ$ συμβολίζουμε με:

$Ο$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου

$Μ_α$, $Μ_β$, $Μ_γ$ τα ίχνη των διαμέσων του

$Η_α$, $Η_β$, $Η_γ$ τα ίχνη των υψών του

$Δ_α$, $Δ_β$, $Δ_γ$ τα ίχνη των διχοτόμων του

$G$ το κέντρο βάρους του

$Η$ το ορθόκεντρο του

$Ι$ το έγκεντρο του.

3) Δεδομένων των σημείων $Μ_α, Η, Δ_β$ να (ανα)κατασκευαστεί το τρίγωνο $ΑΒΓ$.

4) Δεδομένων των σημείων $Μ_α, Η, Ι$ να (ανα)κατασκευαστεί το τρίγωνο $ΑΒΓ$.

Πλήρης συσκότιση

Χρωματίζουμε μαύρα μερικά μοναδιαία τετράγωνα ο' ένα πλέγμα άπειρων διαστάσεων. Αποδείξτε ότι είναι δυνατό νη αποκόψουμε ένα πλήθος (μη μοναδιαίων) τετραγώνων τέτοιων ώστε

(1) να καλύπτουν όλα τα μoναδιαία μαύρα τετράγωνα και

(2) στο καθένα τους, τα μαύρα τετράγωνα να καλύπτουν όχι λιγότερο από το $\dfrac{1}{5}$ και όχι περισσότερο από $\dfrac{4}{5}$ της συνολικής επιφάνειας.

(G. Rozenblume)

Συνδυάζοντας άσους και δυάρια

Να αποδειχτεί ότι για κάθε θετικό ακέραιο αριθμό $n$ υπάρχει ένας αριθμός αποτελούμενος μόνο από τα ψηφία $1$ και $2$ ο οποίος διαιρείται από το $2$.

(V. Ivlev)

Εξάγωνο Brianchon

Δίνεται εξάγωνο $ABCDEF$ με όλες τις πλευρές του ίσες και για τις γωνίες του ισχύει 

$A+C+E=B+D+F$.

Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες $AD,BE,CF$ συντρέχουν.

50th International Mathematical Olympiad 2009 - Shortlisted Problems with Solutions

Παρατηρώντας ένα σαλιγκάρι

Μια ομάδα σπουδαστών ζωολογίας παρατηρούσε ένα σαλιγκάρι να κινείται για ένα χρονικό διάστημα $t > 1$ min. O καθένας τους παρατηρούσε το σαλιγκάρι επί $1$ min ακριβώς, και όλοι είδαν ότι σε αυτό το διάστημα διέσχισε $1$ m ακριβώς. Η παρατήρηση δεν διακόπηκε καμία στιγμή.
Ποιο είναι το μεγαλύτερο και ποιο το μικρότερο διάστημα που μπορεί να διέσχισε το σαλιγκάρι μέσα σε αυτά τα $t$ min; 

Μπορείτε να ξεκινήστε με μικρές τιμές του $t$ - ας πούμε $t = 2,5$ min.

Περιοδικό Quantum (Ν. Κonstantinov)

1 - (Ανα)κατασκευή τριγώνου

Σε ένα τρίγωνο $ΑΒΓ$ συμβολίζουμε με:

$Ο$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου

$Μ_α$, $Μ_β$, $Μ_γ$ τα ίχνη των διαμέσων του

$Η_α$, $Η_β$, $Η_γ$ τα ίχνη των υψών του

$Δ_α$, $Δ_β$, $Δ_γ$ τα ίχνη των διχοτόμων του

$G$ το κέντρο βάρους του

$Η$ το ορθόκεντρο του

$Ι$ το έγκεντρο του.

1) Δεδομένων των σημείων $Ο, Η_α, Δ_β$ να (ανα)κατασκευαστεί το τρίγωνο $ΑΒΓ$.

2) Δεδομένων των σημείων $Ο, Η_α, Ι$ να (ανα)κατασκευαστεί το τρίγωνο $ΑΒΓ$.

$f(x) =?$

Αν

$f''(x)+f'(x)+f^2(x) = x^2$

τότε 

$f(x) =?$

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

49th International Mathematical Olympiad 2008 - Shortlisted Problems with Solutions

Ενδιαφέρον ολοκλήρωμα

Να βρεθεί το ολοκλήρωμα:

$\int \dfrac{x}{\sqrt{x^4+10x^2-96x-71}}$.

Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών

Εναλλαγές και τετράγωνα

Βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών $χ$ και $y$ για τους οποίους οι

$χ^2 + 3y$ και $y^2 + 3χ$ 

είναι τέλεια τετράγωνα. 

(Ι. Sharygίn)

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου - Πέντε θέματα για προχωρημένους

Πηγή: Ευκλείδης Α΄ τ. 99

Μαθηματικά Β΄ Γυμνασίου - Πέντε θέματα για προχωρημένους

Πηγή: Ευκλείδης Α΄ τ. 99

Εμβαδόν τετραγώνου

Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου.

Ομοκυκλικά σημεία

Δίνονται στο επίπεδο δύο τεμνόμενοι κύκλοι. Το $Α$ είναι ένα από τα σημεία τομής των κύκλων.

Φέρουμε σε κάθε κύκλο μια διάμετρο παράλληλη προς την ευθεία που εφάπτεται στον άλλο κύκλο στο σημείο $Α$. Οι διάμετροι αυτές δεν τέμνονται. 

Αποδείξτε ότι τα τέσσερα άκρα αυτών των διαμέτρων ανήκουν στον ίδιο κύκλο. 

(S. Βelov)

Λύση

Δείτε τη λύση που μου έστειλε ο Κώστας Δόρτσιος:

$\left ( \int \dfrac{dx}{f(x)} \right )\left ( \int f(x)dx \right )=c$

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει

$\left ( \int \dfrac{dx}{f(x)} \right )\left ( \int f(x)dx \right )=c$

όπου $c$ μία σταθερά.

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 117η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 117

3 - Η Γεωμετρία των Δεικτών του Ρολογιού

Υπάρχουν χρονικές στιγμές που ο μεγάλος δείκτης συμπίπτει με το δευτερολεπτοδείκτη, ενώ ο μικρός είναι σε ευθεία γωνία με τους άλλους δύο;

Παλινδρομικά χιλιόμετρα

Ο Νίκος καθώς οδηγούσε το αυτοκίνητο του στην εθνική οδό Θεσσαλονίκης- Αθή­νας, παρατήρησε ότι το κοντέρ του αυτοκινήτου του έγραφε τον αριθμό 13931. 

Ο αριθμός αυτός ονομάζεται παλινδρομικός επειδή διαβάζεται το ίδιο και από τα δεξιά προς τα αριστερά. Μετά από 2 ώρες οδήγη­σης, ο Νίκος παρατήρησε ότι το κοντέρ του έδειχνε έναν

Ψευδαισθήσεις ...

    

$\sqrt{15} - \sqrt{7} + \sqrt{5} + \sqrt{2}$ vs $5$

Ποιος είναι μεγαλύτερος:

$\sqrt{15} - \sqrt{7} + \sqrt{5} + \sqrt{2} \stackrel{?}{\lessgtr} 5$

Χωρίς τη χρήση υπολογιστή.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

A Characterization of the Parallelogram (Paris Pamfilos)

Οι άγρυπνες νύχτες του Lewis Carrol (Δύο προβλήματα πιθανοτήτων για όσους υποφέρουν από αϋπνίες)

Τρία σε ένα

1. Στο παρακάτω σχήμα να αποδειχθεί ότι $ab = cd$.

2. Στο παρακάτω σχήμα τα κέντα των τριών κύκλων είναι συνευθειακά. Αν $CD = 8$, να βρεθεί το εμβαδόν της κίτρινης επιφάνειας.

Δρομέας

Ένας δρομέας πρόκειται να τρέξει στην τέταρτη λωρίδα ενός στίβου με $8$ λωρίδες. Αν γνωρίζει ότι στον αγώνα παίρνουν μέρος εκτός από αυτόν άλλοι τρεις αθλητές, οι οποίοι τοποθετούνται εντελώς τυχαία στις υπόλοιπες $7$ λωρίδες. ποια είναι η πιθανότητα να μην τρέχει δίπλα του (σε γειτονική λωρίδα) κανένας αντίπαλος;

Λευκοπούλειος Διαγωνισμός Πιθανοτήτων 1997

A Nice Theorem on Mixtilinear Incircles

Άγνωστος μήνας

Ποιος είναι ο μήνας $χ$;

$\text{April} \times \text{May} - \text{June} = \text{December} - \text{January}$

$\text{September} \div \text{November} \times \text{December} = \text{March} \times \text{March}$

$\text{January} \times \text{February} \div (\text{February} + x ) = \text{April}$

$f(x)=?$

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb R^{+} \rightarrow \mathbb R^{+}$ για τις οποίες ισχύει

$f(f(f(x)f(y)))=f(x)f(y^2)$

για κάθε $x, y \in \mathbb R^{+}$.
Πηγή

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Αντίστροφη

Αν 

$f^{-1}(x+2) = \dfrac{3x-2}{2x+3}$

να λυθεί η εξίσωση

$f\left( \dfrac{1}{x-4} \right)=1$.

Κυκλικοί συλλογισμοί

Εγγράφουμε σε έναν κύκλο το τραπέζιο $ABCD$ (με βάσεις $ΑD$ και $BC$). Οι διαγώνιοι του τέμνονται στο σημείο $Μ$. 'Εστω μια ευθεία γραμμή κάθετη στις βάσεις του $ABCD$ η οποία τέμνει την $ΒC$ στο $Κ$ και τον κύκλο στο $L$ (όπου το $L$ είναι τέτοιο ώστε το $Μ$ να ανήκει στο ευθύγραμμο τμήμα $ΚL$.
'Εστω $ΜΚ = α$ και $LM = b$. Εκφράστε συναρτήσει των α και b την ακτίνα τον κύκλου που εφάπτεται στα τμήματα $ΑΜ$ και $ΒM$ και συγχρόνως εφάπτεται εσωτερικά στον περιγεγραμμένο κύκλο του τραπεζίου $ABCD$. 

(Ι. Sharygin) 

Η πρώτη γνωριμία με την έννοια της συνάρτησης

Περιοδικό Μαθηματική Έκφραση, ΕΜΕ Τρικάλων, τεύχος 2ο

Εκπληκτική ομοιότητα

Οι κύκλοι $(O)$ και $(K)$ τέμνονται στα σημεία $A,B$ και το σημείο $M$ είναι το μέσο της $OK$. 

α) Σχεδιάστε τμήμα $SP$ με άκρα στους δύο κύκλους, το οποίο να έχει ως μέσο το σημείο $B$. 

β) Γράφουμε κύκλο $(Q)$ διερχόμενο από τα $A,S,P$. 

Δείξτε ότι: $AOQ \cong AMK$.

Πηγή

Σχέση χωρίς ρίζες

Βρείτε μια σχέση μεταξύ των $α, b$ και $c$ αν 

$α = χ + \dfrac{1}{χ}$, $b=y+ \dfrac{1}{y}$,$c=χy+ \dfrac{1}{χy}$.

Η σχέση δεν πρέπει να περιέχει ριζικό.

Πληθωριστικές εναλλαγές

Βρείτε έναν θετικό δεκαδικό αριθμό (ο οποίος μπορεί να μην είναι ακέραιος) που θα πολλαπλασιαστεί 1996 φορές όταν εναλλάξουμε το πρώτο με το πέμπτο δεκαδικό του ψηφίο. 

Quantum (D. Αveriyanov) 

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Ορθές προβολές

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ΑΒΓ$ και $Ε$ σημείο επί της πλευράς $ΑΒ$, τέτοιο ώστε $Δ$ η προβολή του $Ε$ επί της $ΒΓ$, $Ζ$ η προβολή του $Δ$ επί της $ΑΓ$ και $Ε$ η προβολή του $Ζ$ επί της $ΑΒ$.

Να βρεθεί το μήκος του τμήματος $ΒΕ$, συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου.
Λύση
Δείτε τις λύσεις που μου έστειλαν ο Νίκος Φραγκάκης (Doloros) και ο Κώστας Δόρστιος:

Αστέρι πέντε κορυφών

Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν ενός αστεριού με πέντε κορυφές,

εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας $r$, δίνεται από τον τύπο:

$Ε= \dfrac{10 \tan\left(\tfrac{\pi}{10}\right)}{3-\tan^2\left(\tfrac{\pi}{10}\right)} r^2$

Απόδειξη

9η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα 2017

 Θεσσαλονίκη 29/3 - 2/4 2017

Κάντε κλικ στην εικόνα.

International Mathematical Olympiads 1959 - 1977

2 - Η Γεωμετρία των Δεικτών του Ρολογιού

Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν οι δεί­κτες (ωροδείκτης, λεπτοδείκτης) στις 7.50 το πρωί.

Αλληλοεφαπτόμενοι κύκλοι

Στο παρακάτω σχήμα οι δύο μικροί κύκλοι έχουν ακτίνα $1$ και δύο μεγαλύτεροι ακτίνα $4$. Και οι τέσσερις κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά σε έναν μεγαλύτερο κύκλο.

Να αποδειχθεί ότι μπορούμε να σχεδιάσουμε ένα κύκλο που να εφάπτεται εξωτερικά στους δύο κύκλους ακτίνας $1$ και στους δύο άλλους ακτίνας $4$ και να βρεθεί η ακτίνα του.

WISCONSIN MATHEMATICS TALENT SEARCH 2016

Ένα ορισμένο και ένα αόριστο

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:

1. $\int_1^e \dfrac{1+2x \sqrt{\log x}}{2 x \sqrt{\log x}(x+\sqrt{\log x})} \;dx$

2. $\int\ln(10x+10x^2)dx$

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 116η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 116

$1+2+4+8+16 … = - 1$

Έστω 

$x = 1+2+4+8+16…$          (1)

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το $2$ και έχουμε 

$2x=2+4+8+16+32…$       (2)

Αφαιρούμε και από τα δύο μέλη της (1) το 1 και έχουμε 

$x−1=2+4+8+16+32…$     (3)

Από (2) και (3) έχουμε

$2x=x−1$

$x=−1$.

Άρα 

$1+2+4+8+16 … = - 1$

Που βρίσκεται το λάθος;

Μπανάνες και καρύδες

Δύο πίθηκοι μπήκαν $3$ φορές σε οπωρώνα και συγκέντρωσαν ισάριθμες ποσότητες από μπανάνες και καρύδες, ετοιμάζονται για το φαγοπότι αλλά βλέπουν τον ιδιοκτήτη να τους πλησιάζει με το μπαστούνι.

Υπολογίζουν ότι για να τους φτάσει θα περάσουν $2\dfrac{2}{3}$ λεπτά. Τρώνε με λαιμαργία, ο πρώτος που τρώει $10$ καρύδες στο λεπτό, τις τρώει όλες στα $\dfrac{2}{3}$ αυτού του χρόνου και βοηθά το φίλο του να φάει τις μπανάνες, προλαβαίνουν στο παρά πέντε.

8ο Μαθηματικό Καλοκαιρινό Σχολείο Ημαθίας - Σημειώσεις Β΄ και Γ΄ Λυκείου

Δείτε επίσης:

8ο Μαθηματικό Καλοκαιρινό Σχολείο Ημαθίας - Σημειώσεις Β΄ Γυμνασίου

8ο Μαθηματικό Καλοκαιρινό Σχολείο Ημαθίας - Σημειώσεις Γ΄ Γυμνασίου

8ο Μαθηματικό Καλοκαιρινό Σχολείο Ημαθίας - Σημειώσεις Α΄ Λυκείου

Τρικ με κομμάτια σοκολάτας

Στο internet μπορείς να βρεις πολλά «κόλπα» που έχουν σχέση με μαθηματικά. Ένα έξυπνο τρικ είναι αυτό με τα κομμάτια της σοκολάτας. Δες την παρακάτω σύντομη ταινία και προσπάθησε να καταλάβεις πώς η σοκολάτα φαίνεται να παραμένει σε ίδιο μέγεθος, ενώ κάθε φορά περισσεύει ένα κομμάτι.

Δεν γίνεται κάτι «μαγικό», αλλά χρειάζεται παρατηρητικότητα για να καταλάβεις τι είναι αυτό που ξεγελάει.

«Ενδιαφέρουσες» τετράδες

Η τετράδα θετικών ακέραιων $(a, b,c,d)$ λέγεται «ενδιαφέρουσα», αν οι αριθμοί 

$a^2,b^2, c^2, d^2+l$ 

με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου. 

α) Βρείτε μία τουλάχιστον «ενδιαφέρουσα» τετράδα. 

β) Ο αριθμός όλων των τετράδων που είναι «ενδιαφέρουσες» είναι πεπερασμένος ή άπειρος; 

Να εξηγήσετε την απάντησή σας.

11η Μεσογειακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 2008

43 - Ποιος είναι ο επόμενος;

Ποιος είναι ο επόμενος όρος της παρακάτω ακολουθίας

$​50, 30, 40, 75, 170, ?$

$4Q-aP=?$

Αν $a^3 +b^3 +27ab=729$, με $a>b>0$ και η εξίσωση

$ax^2+bx-9=0$ 

έχει ρίζες $P, Q (P < Q)$, τότε να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης

                      $4Q-aP$

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Δέκα όρια

Να υπολογισθούν τα όρια

1. $\lim_{x\to 0} \left(\sqrt{\dfrac{1}{x}+2} - \sqrt{\dfrac{1}{x}}\right)$

2. $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{\sin(\tan(x))}}{\sqrt{\tan(\sin(x))}}$

3. $\lim_{x\to 0} \dfrac{\tan^2 (3x)}{x^2}$

4. $\lim_{x\to 0} \dfrac{(1+x)^{1/x}-e+\frac{ex}{2}}{x^2}$

$\sqrt{2}+ \sqrt{3} \approx π$

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2015 (9η τάξη)

1. Υπάρχει τριώνυμο δευτέρου βαθμού με ακέραιους συντελεστές τέτοιο, ώστε 

;

2. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο () και σημείο στον περιγεγραμμένο κύκλο του τέτοιο ώστε . Να αποδείξετε ότι .