Καθαρός αέρας

Κάποτε, έπειτα από ένα σαββατοκύριακο στην εξοχή, επέστρεψα στο σπίτι με το τρένο. Στο βαγόνι επικρατούσε συνωστισμός, και έτσι πήγα στην - ελεύθερη» άκρη του βαγονιού - όπου δεν υπήρχαν καθίσματα-, και εκεί όμως η κατάσταση δεν ήταν πολύ καλύτερη.

Κάθε φορά που το τρένο πλησίαζε σ' ένα σταθμό και μείωνε την ταχύτητά του, έμπαινε καθαρός αέρας από κάποιον αεραγωγό. 'Οταν το τρένο σταματούσε, έπαυε και η ροή του αέρα.

48th International Mathematical Olympiad 2007 - Shortlisted Problems with Solutions

47th International Mathematical Olympiad 2006 - Shortlisted Problems with Solutions

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 50

Στην προέκταση της βάσης $AB$ τετραγώνου $ABCD$, πλευράς a και κέντρου $K$, κινείται σημείο $S$. Φέρω την ευθεία $SK$, η οποία τέμνει την πλευρά $AD$ στο $T$. Από το $T$ φέρω παράλληλη προς το $KC$, η οποία τέμνει την προέκταση της $SC$ στο σημείο $Q$.

1) Υπολογίστε το μήκος της πλευράς $QA$ του τριγώνου $QAS$ συναρτήσει των $a$, $BS (=s)$.

2) Για ποια τιμή του $s$ το τρίγωνο καθίσταται: α) ορθογώνιο, β) ισοσκελές (με $QA=QS$)

3) Για ποια τιμή του $s$, το τρίγωνο αποκτά εμβαδόν διπλάσιο του τετραγώνου ?

Πηγή; mathematica

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ασκήσεις στις Συναρτήσεις

Πηγή

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 49

Στις πλευρές $BC,CD$ τετραγώνου $ABCD$ βρίσκονται σημεία $S,T$, ώστε $\widehat{SAT}=45^0$.

Υπολογίστε το $ST$ συναρτήσει του $SB=x$ και της πλευράς $a$ του τετραγώνου.

Πηγή: mathematica

Δύο κορυφές ακόμη

Δίνονται οι πέντε κορυφές ενός κανονικού επταγώνου. 

Να κατασκευαστούν οι άλλες δύο κορυφές του με τη χρήση μόνο χάρακα.

Berkeley Math Circle 2008

Casey's theorem

Πενταγωνισμός

Σε ισοσκελές τρίγωνο με γωνίες βάσης από , να εγγράψετε κανονικό πεντάγωνο, όπως δείχνει το σχήμα. 

Στη συνέχεια να δείξετε ότι ο περίκυκλος του πενταγώνου και ο κύκλος είναι ίσοι.

Πηγή

Κομπιουτεράκι για την εύρεση του πεδίου ορισμού συνάρτησης

Functions Domain Calculator

Κάντε κλικ στην εικόνα.

2.014 πόλεις

Σε ένα μακρινό πλανήτη, υπάρχουν 2.014 πόλεις, μερικά ζεύγη των οποίων συνδέονται με δρόμους διπλής κατεύθυνσης. 

Αποδεικνύεται ότι ο πληθυσμός της κάθε πόλης είναι ο μέσος

όρος των πληθυσμών των πόλεων με το οποίο είναι συνδεδεμένο με ένα μόνο δρόμο, και, επιπλέον, ότι είναι δυνατό να ταξιδέψει από κάθε πόλη σε κάθε άλλη πόλη από μια ακολουθία των δρόμων. Αποδείξτε ότι όλες οι πόλεις έχουν τον ίδιο πληθυσμό.

Είναι δυνατόν;

Έστω δύο συναρτήσεις $f, g:  \Re →  \Re $. Είναι δυνατόν η συ-

νάρτηση $f(g(x))$ να είναι γνησίως φθίνουσα και η συνάρτηση $g(f(x))$ να είναι γνησίως αύξουσα;

Berkeley Math Circle 2015

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 48

Επί της διαγωνίου $AC$ τετραγώνου $ABCD$ πλευράς $a$, κινείται σημείο $S$, ώστε $AS=x$. Σχεδιάζω προς το μέρος του $A$ τετράγωνο $DSMN$, πλευράς$DS$. 

1) Δείξτε ότι η κορυφή $M$ κινείται επί της πλευράς $AB$ (ή στην προέκτασή της ). 

2) Υπολογίστε το $(DSMN)$ συναρτήσει των $a,x$. Αν 

$\displaystyle x=\frac{3}{4}AC$ 

ποιος είναι ο λόγος $\displaystyle \frac{(DSMN)}{(ABCD)}$?

Πηγή: mathematica

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 113η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 113

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 47

Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τετραγώνου $ABCD$, πλευράς $a$, τέμνει τη διαγώνιο $AC$ σε σημείο $S$. 

Υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου που ορίζουν τα σημεία $B,S,D$.

Πηγή: mathematica

Έγχορδο τραπέζιο

Σε κύκλο $(O,R)$ πήραμε χορδή $AB=d$. Σημείο $S$ κινείται επί του μείζονος τόξου. Επί των ημιευθειών $SB,SA$ θεωρούμε σημεία $A',B'$ ώστε $SA'=SA$, $SB'=SB$. 

Υπολογίστε το μέγιστο του $(AA'BB')$. Εφαρμογή για $R=5,d=6$.

Πηγή

Πέντε παρενθέσεις

Με  α^β συμβολίζουμε τη δύναμη $α^β$. Μπορούμε στην παράσταση 

7^7^7^7^7^7^7 

χρησιμοποιώντας πέντε παρενθέσεις (ζεύγη), με δύο διαφορετικούς τρόπους να έχουμε την ίδια τιμή;

Tournaments of Towns 2009

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Οι επιπτώσεις του Brexit στους Έλληνες που σπουδάζουν στη Μεγάλη Βρετανία

ΤΡΙΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΔΙΔΑΚΤΡΩΝ ΚΑΙ ΑΔΕΙΑ ΠΑΡΑΜΟΝΗΣ

Κανείς δεν μπορεί να προβλέψει με ακρίβεια πόσο θα επηρεάσει τους Έλληνες φοιτητές που σπουδάζουν στη Μεγάλη Βρετανία ενδεχόμενο Brexit.

Όλα θα εξαρτηθούν - σε μεγάλο βαθμό - από τις μετέπειτα διαπραγματεύσεις των Βρετανών με την Ευρωπαϊκή Ένωση.

Junior Balkan Mathematical Olympiad 2016

Το 1o πρόβλημα προτάθηκε από τη Βουλγαρία, το 2o πρόβλημα από τη Βοσνία και τα προβλήματα 3o και 4o από τον Σιλουανό Μπραζιτίκο.

Πρόβλημα 1ο

Δίνεται ένα περιγράψιμο τραπέζιο με και . Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται των πλευρών και στα σημεία και , αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το έκκεντρο του τραπεζίου ανήκει στην ευθεία .

$58+37=?$

Ισορροπημένα βάρη

Θέλουμε να ισορροπήσουμε τη ζυγαριά χρησιμοποιώντας τα τέσσερα αυτά βάρη που είναι από 1kg έως 40kg (ακέραιοι αριθμοί). Τρία από τη μία μεριά και το ένα από την άλλη.

Ποιο είναι το μεγαλύτερο βάρος;

2127

Σχηματίστε τον αριθμό $2127$ χρησιμοποιώντας τους αριθμούς

$7, 4, 3, 1, 24, 695$ 

και τις βασικές αριθμητικές πράξεις $(+, -, \times, \div)$.

Κάθε ένα από τα αριθμών μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο μία φορά.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 46

Τετράγωνο $ABCD$ πλευράς $a$, έχει κέντρο το σημείο $K$. Από σημείο $S$, το οποίο βρίσκεται στην προέκταση της $AB$ και σε απόσταση $x$ από το $B$, φέρω τις $SK,SC$, οι οποίες τέμνουν την ευθεία $AD$ στα σημεία $P,T$ αντίστοιχα. 

Υπολογίστε το τμήμα $x$, για το οποίο ελαχιστοποιείται το εμβαδόν $(SPT)$.

Πηγή: mathematica

e - book με τα 501 επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Κάντε κλικ στην εικόνα για δείτε τις εκφωνήσεις.

Και εδώ, για να δείτε τις εκφωνήσεις και τις λύσεις.
Πηγή: lisari

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 45

Τα σημεία $M,N$ είναι τα μέσα των πλευρών $BC,AD$ τετραγώνου $ABCD$ και οι $AM,CN$ τέμνουν τον περίκυκλο του τετραγώνου στα $S,T$. 

Δείξτε το εμβαδόν καθενός από τα τρίγωνα $SAB, CTS$, ισούται με το $30\%$ του εμβαδού του τετραγώνου.

Πηγή: mathematica

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 44

Στο τετράπλευρο με κορυφές $K(1,0),L(4,2),M(2,5),N(0,4)$ περιγράψαμε τετράγωνο $ABCD$.

1) Πώς κατασκευάσαμε το τετράγωνο ?

2) Πόσο είναι το εμβαδόν του ?

3) Πού βρίσκεται το κέντρο του ?

Πηγή: mathematica

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 43

Σε τετράγωνο $ABCD$ το $M$ είναι το μέσο της πλευράς $BC$ και το $N$ σημείο της, ώστε $\displaystyle BN=\frac{BC}{3}$. 

Οι ευθείες $AM,AN$ τέμνουν τον περίκυκλο του τετραγώνου στα $S,T$ αντίστοιχα . 

1) Δείξτε ότι $ST//CB$ 

2) Δείξτε ότι το εμβαδόν του τραπεζίου (πλέον) $BTSC$, ισούται με το $12\%$ του εμβαδού του τετραγώνου.

Πηγή; mathematica

Δοκιμασία εισαγωγής μαθητών στα ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ και ΛΥΚΕΙΑ (2016)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Δείτε τις απαντήσεις εδώ.

Νέα μαθηματική ιστοσελίδα: www.pitetragono.gr

Πολύ καλή δουλειά του μαθηματικού Παύλου Παλαιολόγου, με πολλές σημειώσεις και ωραία κατηγοριοποίηση ασκήσεων. Αξίζει να την επισκεφθείτε.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 42

Στις πλευρές $AB,BC$ τετραγώνου $ABCD$, βρίσκονται σημεία $S,T$, ώστε $BS=BT$. Οι προεκτάσεις των $AB,DT$ τέμνονται στο $Q$. 

Βρείτε τη σχέση που συνδέει τις γωνίες $\omega,\phi$.

Πηγή: mathematica

$98+76=?$

Aν

10ο Μαθηματικό Καλοκαιρινό Σχολείο, στον Άγιο Νικόλαο Νάουσας (31 Ιουλίου – 6 Αυγούστου 2016)

Το Παράρτημα Ημαθίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, σε συνεργασία με την Επιτροπή Διαγωνισμών της ΕΜΕ διοργανώνει το 10ο Μαθηματικό Καλοκαιρινό Σχολείο στον Άγιο Νικόλαο Νάουσας, στο διάστημα 31 Ιουλίου – 6 Αυγούστου 2016.

Οι μαθητές διαμένουν στο Ξενοδοχείο «ΑΜΠΕΛΩΝΑΣ», που βρίσκεται στην μοναδικής φυσικής ομορφιάς περιοχή του Αγίου Νικολάου. Το ξενοδοχείο διαθέτει γήπεδα, πισίνα και γυμναστήριο, ενώ πολύ κοντά βρίσκεται και το Ολυμπιακών διαστάσεων κολυμβητήριο.

Διάσημοι Μαθηματικοί - Ποιοι είναι?

$εφθ=?$

Δύο ημικύκλια στο εσωτερικό του ορθογωνίου.

$εφθ=?$