Υπαρξιακά ερωτήματα

1. Υπάρχουν συναρτήσεις $f : R → R$ που να είναι $1-1$ και να ικανοποιούν την ανίσωση:

$f(x^2) − (f(x))^2 ≥ \dfrac{1}{4}$;
----------------------

2. Υπάρχει συνάρτηση $f : R → (0, +∞)$ παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο για την οποία να ισχύει: 

$f' = f ◦ f$;

Περιοδικό «Εικοσιδωδεκάεδρον» τ. 1

Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

University of Colorado Boulder - APPM 1350 Exam Archive

Spring 2016

Exam 1 Exam 1 Sol

Exam 2 Exam 2 Sol
Exam 3 Exam 3 Sol
Exam Final Exam Final Sol

Fall 2015

Exam 1 Exam 1 Sol

Exam 2 Exam 2 Sol

Στον δρόμο για το σχολείο

Έναν γκρεμό 800 μέτρων πρέπει να διαβούν τα παιδιά της Zhaoiue της επαρχίας Sichuan στην Κίνα, για να πάνε στο σχολείο τους. 

Και το κάνουν καθημερινά, με τις σάκες στους ώμους για να είναι τα χέρια ελεύθερα για το σκαρφάλωμα. Ελπίζουν δε σε καλύτερες μέρες, καθώς η σκάλα από μπαμπού που τους βοηθά στην αναρρίχηση καθημερινά, θα αντικατασταθεί με μια από ατσάλι.

Πηγή

Η μεγαλύτερη μαθηματική απόδειξη στον κόσμο

… καταλαμβάνει χώρο 200 terabytes!

Είναι δυνατόν να χρωματίσουμε όλους τους ακέραιους αριθμούς είτε με κόκκινο είτε με μπλε χρώμα, έτσι ώστε να μην υπάρχει πυθαγόρεια τριάδα ακεραίων με το ίδιο χρώμα; Η επίλυση αυτής της εικασίας καταλαμβάνει χώρο 200 terabytes.

(πυθαγόρεια τριάδα = αριθμοί α, β, γ που ικανοποιούν τη σχέση $α^2 + β^2 = γ^2$)

Οι αριθμοί 1 έως 7824 μπορούν να χρωματιστούν είτε με μπλε χρώμα είτε με κόκκινο, έτσι ώστε να μην υπάρχει καμία πυθαγόρεια τριάδα με το ίδιο χρώμα. Το πλέγμα των 7824 τετραγώνων της εικόνας δείχνει μια τέτοια λύση (τα λευκά τετράγωνα μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε χρώμα από τα δύο).

Άλυτα μαθηματικά προβλήματα

Αδιαμφισβήτητα ο μεγαλύτερος «εχθρός» των μαθηματικών είναι τα άλυτα προβλήματα. Οι αναπόδεικτες εικασίες και υποθέσεις που βασανίζουν τα μυαλά των επιστημόνων. Μπορεί κανείς να βρει αρκετά τέτοια προβλήματα, όμως σίγουρα δεν θα έχουν όλα την ίδια δυσκολία, αλλά ούτε και την ίδια επιστημονική βαρύτητα.

Ανάμεσα σε όλα όσα ακόμα μένουν στην σκιά του ανεξερεύνητου κόσμου των μαθηματικών, υπάρχουν 6 προβλήματα που μέσα τους βρίσκεται το… νέκταρ της απόλυτης επιτυχίας. Για τους μαθηματικούς που θα καταφέρουν να λύσουν κάποιον από τους 6 άλυτους γρίφους, πέραν από την προσωπική ικανοποίηση και την επιστημονική καταξίωση, τους περιμένει και ένα εκατομμύριο δολάρια.

Λημνίσκος Bernoulli

Λημνίσκος Bernoulli

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις - 8 Ωραία θέματα για εξετάσεις

Περιοδικό «Ευκλείδης Β΄» τ. 74

Θεσσαλικός κάμπος

O Θεσσαλικός κάμπος έχει έκταση $5. 100$ τετραγωνικά χιλιόμετρα και ο πληθυσμός της γης είναι 7 δισεκατομμύρια. Για να σταθεί όρθιος ένας άνθρωπος απαιτείται χώρος ενός τετραγώνου πλευράς $50$ εκατοστών.

Ερώτηση:

Χωράει όρθιος ο ανθρώπινος πληθυσμός στο Θεσσαλικό κάμπο;

Ξαπλωτός χωράει;   :)

Περιοδικό Ευκλείδης τ. 74

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Θέματα προαγωγικών εξετάσεων με τις λύσεις τους (2015 - 2016)

Kάντε κλικ στην εικόνα.

Πηγή

Η άλλη πλευρά

Το ορθογώνιο τρίγωνο $ΑΟΒ$, έχει κάθετες πλευρές $ΟΑ=3$ και $ΟΒ=a$. 

Η διχοτόμος της γωνίας $Β$ τέμνει το τεταρτοκύκλιο $(Ο,3)$ στο σημείο $S$. Αν 

$\dfrac{(SOB)}{(AOB)}=\dfrac{2}{3}$

υπολογίστε την $a$.

Πηγή

International Mathematics Competition for University Students 2005 - Longlist problems

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 109η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 109

Εκπαιδευτήρια «Παναγία Προυσιώτισσα»: Θέματα εξετάσεων Μαΐου - Ιουνίου 2016 στα Μαθηματικά

Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Πανελλαδικές εξετάσεις 2016 - Τα θέματα και οι απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 2016

ΗΜΕΡΟMHNIA	ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ
ΔΕΥΤΕΡΑ  16/5/2016	ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ       (νέο σύστημα)	ΘΕΜΑΤΑ	ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
	ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ (παλαιό σύστημα)	ΘΕΜΑΤΑ	ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΤΕΤΑΡΤΗ  18/5/2016	ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (νέο σύστημα)	ΘΕΜΑΤΑ	ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
	ΑΡΧΑΙΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (νέο σύστημα)	ΘΕΜΑΤΑ	ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
	ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ (παλαιό σύστημα)	ΘΕΜΑΤΑ	ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
	ΑΡΧΑΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ (παλαιό σύστημα)	ΘΕΜΑΤΑ	ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ  20/5/2016	ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ      (νέο σύστημα)	ΘΕΜΑΤΑ	ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
	ΙΣΤΟΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ  (νέο σύστημα)	ΘΕΜΑΤΑ	ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
	ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ (παλαιό σύστημα)	ΘΕΜΑΤΑ	ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

$χ=40^0$

Να αποδειχθεί ότι $χ=40^0$.

$χ=48^0$

Αν 

και

να αποδειχθεί ότι $χ=48^0$.

Τετράγωνα μόνα

Στην παρακάτω εικόνα τρία από τα τετράγωνα δεν συνδέονται με τα υπόλοιπα.

Ποια είναι;

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 70

Αν τα ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ,\,{\rm B}{\rm E}{\rm Z}{\rm H}$ είναι τετράγωνα, τα σημεία $\Gamma ,{\rm M},{\rm H}\,\,\& \,\,{\rm M},{\rm B},{\rm N}\,\,\& \,\,{\rm A},{\rm N},{\rm E}$ είναι συνευθειακά και ισχύει ${\rm M}{\rm N} \bot {\rm A}{\rm E}$, τότε: 

1) $\Gamma {\rm M} = {\rm M}{\rm H}$. 

2) $\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) + \left( {{\rm B}{\rm E}{\rm Z}{\rm H}} \right) = 2{x^2} + \displaystyle\frac{{{y^2}}}{2}$, 

όπου $x = {\rm M}{\rm B},\,\,y = \Gamma {\rm H}$.

Πηγή: mathematica

Γεωμετρία Α΄ Λυκείου - Επαναληπτικές ασκήσεις

1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ)$ με $\angle{A}=108^0$ και η διχοτόμος του $ΓΔ$. Από το σημείο $Δ$ φέρνουμε την κάθετη στην διχοτόμο $ΓΔ$ που τέμνει την $ΒΓ$ στο σημείο $Ε $ και την προέκταση της $ΓΑ$ στο σημείο $Ζ$. Να αποδείξετε ότι:

α. Το τρίγωνο $ΖΕΓ$ είναι ισοσκελές

β. Το τρίγωνο $ΒΕΔ$ είναι ισοσκελές.

γ. $ΒΕ = ΔΑ$.

2. Δίνεται τραπέζιο $ΑΒΓΔ$ με $ΑΒ // ΓΔ$. Οι εσωτερικές διχοτόμοι των γωνιών $Α$ και $Δ $ τέμνονται στο σημείο $Η$ και οι εξωτερικές στο σημείο $Ε$. Επιπλέον οι εξωτερικές διχοτόμοι των γωνιών $Β$ και $Γ$ τέμνονται στο $Ζ$.

Andy Liu - Hungarian Problem Book III 1929 - 1943

Ιδιαίτερος μήνας

Υπάρχει μήνας του έτους που να έχει 5 Σάββατα, 5 Κυριακές και 5 Δευτέρες;

Αν ναι, ποιος από τους από τους μήνες της τελευταίας πενταετίας είχε αυτήν την ιδιαιτερότητα;

Τέλειοι αριθμοί

Οι αριθμοί, χαρακτηρίζονται ανάλογα με τις ιδιότητες τους πρώτοι, σύνθετοι, ρητοί, άρρητοι, τρίγωνοι, τετράγωνοι, φίλοι, τέλειοι κ.ά.
Στα στοιχεία του Ευκλείδη τέλειος είναι ο αριθμός που είναι ίσος προς τα μέρη του δηλαδή ο φυσικός αριθμός που είναι ίσος με το άθροισμα των διαιρετών του (χωρίς τον εαυτό του στους διαιρέτες). 

Παράδειγμα οι $1 ,2,3$ είναι διαιρέτες του $6$ με $1 + 2+ 3=6$ άρα ο $6$ είναι τέλειος. Το ίδιο και ο $28=1+2+4+7+14$ (Σε $6$ μέρες δημιουργήθηκε ο κόσμος, σε $28$ η σελήνη κάνει κύκλο γύρω από τη Γη). Μην ψάξετε δεν θα βρείτε εύκολα άλλους, οι επόμενοι είναι $496$ και $8128$.

Ανισότητες - 346η

Έστω $a, b, c$ θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε 

$a^2+b^2+c^2 = 1$. 

Να αποδειχθεί ότι

\[\frac{1}{(1-ab)^2} + \frac{1}{(1-bc)^2} + \frac{1}{(1-ca)^2} \leqslant \frac{27}{4}.\]

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Απόσταση Γης - Σελήνης

Αν ένα φύλλο χαρτί έχει πάχος ένα χιλιοστό και κάθε φορά το διπλώνουμε στη μέση, τι πάχος θα έχει όταν διπλωθεί 7 φορές; Πόσες φορές (αν μπορούσαμε) θα έπρεπε να το διπλώσουμε ώστε το πάχος του να υπερκάλυπτε την απόσταση Γης - Σελήνης;

(Η μέση απόσταση Γης -Σελήνης είναι 384.403 χιλιόμετρα)
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 79

Στην πλευρά $BC$ τετραγώνου $ABCD$ κινείται σημείο $S$. Ο κύκλος διαμέτρου $SD$ τέμνει τον κύκλο διαμέτρου $BC$ στο $T$, ενώ η $CT$ τέμνει την $AB$ στο $P$. 

Δείξτε ότι $BP=BS$.

Πηγή: mathematica

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 69

Πάνω από το τετράγωνο $ABCD$, γράφω ημικύκλιο διαμέτρου $DC$ και κέντρου $M$. Η $AM$ τέμνει το τόξο στο $N$ και η $NC$ την προέκταση της $AB$ στο $S$. 

Δείξτε ότι $NS=2DN$.

Πηγή: mathematica

Πανελλαδικές εξετάσεις 2016: Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Σχολιασμός των θεμάτων

Θέμα Α: Θεωρία.

Θέμα Β: Πολύ απλό θέμα διαφορικού λογισμού.

Θέμα Γ: Τα Γ1, Γ2 είναι στη φιλοσοφία των ασκήσεων και εφαρμογών του σχολικού και θεωρούνται βατά ερωτήματα. Το Γ3 θεωρείται επίσης βατό και το Γ4 μέτριας δυσκολίας.

Θέμα Δ: Το Δ1 είναι βατό θέμα που συνδυάζει γνώσεις από διάφορα κεφάλαια της ύλης. Το Δ2 είναι ένα βατό θέμα πάνω στις συναρτήσεις και τον διαφορικό λογισμό. Το όριο του Δ3 είναι αρκετά βατό καθώς είναι προφανής ο τρόπος επίλυσης (κριτήριο παρεμβολής). Η ανίσωση που ζητείται να αποδειχθεί στο Δ4 είναι επίσης βατή.

Σε γενικές γραμμές θα χαρακτήριζα τα θέματα ως τα ευκολότερα της τελευταίας 15ετίας.

Ο Gottfried Wilhelm Leibniz σε ηλικία 30 ετών

« ... Στα χρόνια 1680 - 1685, οι επιχειρηματίες που εκμεταλεύονται το βουνό Χαρτς έρχονταν σε αντιπαράθεση με έναν παράδοξο μεταλλωρύχο. Ο τριαντάχρονος τότε Λάιμπνιτς βρισκόταν στην περιοχή μελετώντας την χρήση των ανεμόμυλων ως μια επιπρόσθετη πηγή ενέργειας που να επιτρέπει την λειτουργία των ορυχείων όλο τον χρόνο. Σε αυτή τη στιγμή της ζωής του, ο Λάιμπνιτς είχε ήδη καταφέρει πολλά. Όχι μόνο είχε κάνει σπουδαίες ανακαλύψεις στα μαθηματικά, αλλά και είχε αποκτήσει φήμη ως νομοδιδάσκαλος και είχε γράψει πολλές μελέτες πάνω σε φιλοσοφικά και θεολογικά ζητήματα. Αντίθετα με τον Δον Κιχώτη, ο Λάιμπνιτς ήταν αθεράπευτα αισιόδοξος.

Δείκτες ρολογιού - 1

Υπάρχουν χρονικές στιγμές που συναντιού­νται και οι τρεις δείκτες του ρολογιού;

Προφανής απάντηση είναι, στις 12. 

Άλλες υπάρχουν;

INVERSION - Circle to Circle

Suppose now that P describes a circle C which does not pass through point O.

Theorem 12.1 The inverse of a circle not through O is a circle not through O.

Proof 

Let C be the circle described by P, M the inverse of O with respect to circle C, M' the inverse of M with respect to circle .

We show that the inverse P' of P describes a circle with centre M'.

Now (P, P'), (M, M') are inverse with respect to P, P', M', M are concyclic

Ιστορία των Στοιχειωδών Μαθηματικών Συμβόλων - Τα Σύμβολα διαίρεσης

- Η παρένθεση κλεισίματος ) π.χ. 4)5 για το 4/5, χρησιμοποιήθηκε από τον Stifel το 1544 στο βιβλίο Arίthmetίca ίntegra που αναφέρθηκε στο προηγούμενο εδάφιο (το βιβλίο γράφτηκε το 1540). 

- Δύο τελείες πρωτοχρησιμοποιήθηκαν το 1633 για τον συμβολισμό κλασμάτων στο βιβλίο Johnson Arίthmetίk; In two bookes και το 1684 για τον συμβολισμό λόγων και διαίρεσης από τον Leibniz στο βιβλίο Acta erudίcorum. 

- Ο Johann Rahn (Rhonius) στην Teutshe Algebra το 1659 χρησιμοποίησε για τη διαίρεση το σύμβολο του οβηλού $\div$.

JBMO Shortlist 2015 - Άλγεβρα και Θεωρία Αριθμών

ΑΛΓΕΒΡΑ

A1 (Μολδαβία)

Έστω πραγματικοί αριθμοί που ικανοποιούν 

, και . Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του γινομένου .

Α2 (Αλβανία) 

Αν τότε να βρείτε την τιμή της παράστασης 

.

A3 (Mαυροβούνιο)

Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δείξετε ότι 

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 78

Το σημείο $S$ διαιρεί τη διαγώνιο $BD$ του τετραγώνου $ABCD$, σε λόγο $BS:SD=1:3$. Φέρω τμήμα $DT \perp AS$.

Βρείτε τον τριπλό λόγο $TA:TS:TD$.

Πηγή: mathematica

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 68

Δίνονται τα τετράγωνα ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta και {\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta$ με τα σημεία ${\rm E},{\rm Z},\Theta$ να ανήκουν στις πλευρές ${\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma ,{\rm A}\Gamma$ αντίστοιχα. 

Να αποδειχθούν: 

ί) ${\rm A}{\rm E} = EB + BZ$

 ίί) $\Theta H\Gamma$ είναι ισοσκελές 

ίίί) Οι ${\rm B}\Delta ,{\rm E}{\rm H},\Theta {\rm Z}$ συντρέχουν

Πηγή: mathematica

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ιδέες για ΘΕΜΑ Β

Περιοδικό «Ευκλείδης Β΄» τ. 90

Βιβλιοθήκη θεμάτων προαγωγικών εξετάσεων στα Μαθηματικά - Όλες οι τάξεις, όλα τα μαθήματα

- Α΄ Λυκείου, θέματα Άλγεβρας

- Α΄ Λυκείου, θέματα Γεωμετρίας

- Β΄ Λυκείου, θέματα Άλγεβρας

Έχετε ... μαθηματικά προβλήματα στη δουλειά σας;

Μια προσφορά του Τμήματος Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών στην ευρύτερη επιστημονική και παραγωγική κοινότητα.

Αντιμετωπίζετε στη δουλειά σας ένα πρόβλημα του οποίου η λύση υποψιάζεστε ότι χρειάζεται μαθηματικές γνώσεις ή εμπειρία πέρα από αυτά που εσείς διαθέτετε;

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Απευθυνθείτε σε μας. Θα προσπαθήσουμε να βοηθήσουμε.

Η υπηρεσία αυτή απευθύνεται κυρίως σε:

• Επιχειρήσεις που δραστηριοποιούνται τοπικά
• Δημόσιες υπηρεσίες
• Άλλα τμήματα του Πανεπιστημίου Κρήτης

Η πρόταση 100 σελίδων για την Πρωτοβάθμια και Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση

Η πρόταση του προέδρου της Επιτροπής Κ. Γαβρόγλου για την Πρωτοβάθμια και Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, η οποία θα συζητηθεί την ερχόμενη Πέμπτη στην Επιτροπή Μορφωτικών Υποθέσεων της Βουλής.

Πηγή

Η ελευθερία των μαθηματικών

«Οι μαθηματικοί δεν μελετούν αντικείμενα, αλλά σχέσεις μεταξύ αντικειμένων. Επομένως, διαθέτουν την ελευθερία να αντικαταστήσουν κάποια αντικείμενα με άλλα, εφόσον οι σχέσεις παραμένουν αμετάβλητες».

Henri Poincaré

Μαντέψτε την ηλικία και το νούμε­ρο των παπουτσιών του φίλου σας

Πείτε του: 

πολλαπλασίασε το νούμερο των πα­πουτσιών σου επί 5 και πρόσθεσε 50, ύστερα πολλαπλασίασε το αποτέλεσμα επί 20 και στη συνέχεια πρόσθεσε 1012. 

Τώρα αφαίρεσε από το αποτέλεσμα τη χρονιά που γεννήθηκες. 

Αφού σας πει τον αριθμό που βρήκε εσείς τώρα ξέρετε την ηλικία του και το νούμερο των παπουτσιών του. 

Τα δύο πρώτα νούμερα είναι το νούμερο των παπουτσιών και τα δύο επόμενα η ηλικία του.

Πως εξηγείται;

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Παράγωγος και συνέχεια

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο  x₀, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

 ΑΠΟΔΕΙΞΗ

 Για  x ≠ x₀  έχουμε

 αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο x₀. Επομένως,

 

 δηλαδή η f είναι  συνεχής στο x₀. ■

INVERSION - Circle to Line

Theorem 12.2 The inverse of a circle through O is a straight line not through O, and the inverse of a straight line not through O is a circle through O.

Proof 

Let C be a circle on OM as diameter, and let M' be the inverse of M with respect to the circle of inversion . 

Let line m be the polar of M with respect to ; this line meets OM at right angles at M'. 

Since M and M' are inverse, and P and P' are given inverse, we know that points P, P' M', M are concyclic points.