Μετά τη λύση, τι;

 Του Γιώργου Τσαπακίδη 

Εισήγηση στην 6η Ημερίδα Μαθηματικών που πραγματοποιήθηκε το Σάββατο 27 Φεβρουαρίου 2016 στην Ελληνογαλλική Σχολή «Καλαμαρί» Θεσσαλονίκης,

Είναι μαθηματικός!

Δύο φίλοι κάνουν ένα ταξίδι με αερόστατο. Κάποια στιγμή αρχίζει να βρέχει. Σε πολύ λίγο η βροχή γίνεται καταιγίδα και το αερόστατο κομμάτια. Πυξίδες και χάρτες χάνονται. Οι δύο φίλοι κρατιούνται από κάτι σκοινιά και καταφέρνουν να προσγειωθούν σώοι και αβλαβείς σε ένα λιβάδι. Η καταιγίδα έχει πια σταματήσει και περίπου στο κέντρο του λιβαδιού μπορούν να διακρίνουν έναν άντρα να διαβάζει. Πάνε λοιπόν προς το μέρος του και τον ρωτάνε: 

- «Συγνώμη, μήπως ξέρετε που βρισκόμαστε;»

Από Hong Kong

1. Έστω τετράγωνο $ABCD$ πλευράς $5$ και $E$ τυχαίο σημείο επί της $BC$ τέτοιο ώστε $BE =3$ και $EC = = 2$. Αν $P$ μεταβλητό σημείο επί της διαγωνίου $BD$, να υπολογιστεί το μήκος του $PB$, αν το άθροισμα $PE+ PC$ είναι ελάχιστο.

2. Σε τρίγωνο $ABC$, $∠ACB= 3∠BAC$, $BC=5$, $AB = 11$. Να βρεθεί το μήκος της πλευράς $AC$. 

3. Έστω τρίγωνο $ABC$ και $D,E,F$ τα μέσα των πλευρών $AB, BC,CA$. Αν $AB=10$, $CD=9$ και $CD\ AE$, να βρεθεί το μήκος $BF$.

International Mathematical Olympiad 

Preliminary Selection Contest 2002 – Hong Kong

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

5 κουλουάρ

Πέντε μαθητές $Α, Β, Γ, Δ$ και $Ε$ σχηματίζουν μια ομάδα προκειμένου να τρέξουν σε έναν αγώνα ταχύτητας σε στίβο με πέντε διαδρόμους.

Αν ο $Α$ δεν μπορεί να τρέξει στο πρώτο διάδρομο και ο μαθητής $Δ$ δεν μπορεί να τρέξει στον τελευταίο διάδρομο, με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε τους μαθητές για τον αγώνα;

2006 Singapore Math Olympiad Senior Round 1

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

$a+b+c=?$

Aν 

$\log_2 ( \log_3 (\log_4 a)) = \log_3 ( \log_4 (\log_2 b)) = $

$=\log_4 ( \log_2 (\log_3 c)) = 0.$ 

να υπολογιστεί το άθροισμα $a+b+c$.

2007 SMO Senior Round 1

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

www.mathway.com

Mathway is a tool that takes the guesswork out of solving math problems. Mathway can solve equations, simplify expressions, and evaluate limits.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

$χ=10^0$

Στο παρακάτω σχήμα είναι $AB = DC$. Να αποδειχθεί ότι $χ=10^0$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

33η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Αρχιμήδης" 2016 - Tα ονόματα των επιτυχόντων

          ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΩΝΥΜΟ
ΟΝΟΜΑ
ΣΧΟΛΕΙΟ
ΤΑΞΗ
ΒΡΑΒΕΙΟ
ΛΩΛΑΣ
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ
ΕΚΠ/ΡΙΑ ΑΘΗΝΑ
Γ ΓΥΜ
Α΄ΒΡΑΒΕΙΟ
ΜΗΛΙΩΡΗ
ΕΙΡΗΝΗ
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΝΕΑΣ ΠΕΝΤΕΛΗΣ
Γ ΓΥΜ
Α΄ΒΡΑΒΕΙΟ
ΠΛΟΙΑΡΙΔΗΣ
ΟΡΦΕΑΣ
ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε.
Γ ΓΥΜ
Α΄ΒΡΑΒΕΙΟ
ΛΙΓΝΟΣ
ΟΡΕΣΤΗΣ
ΕΚΠ/ΡΙΑ Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ
Β ΓΥΜ
Α΄ΒΡΑΒΕΙΟ
ΧΑΛΙΜΟΥΡΔΑΣ
ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ
ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ 
Γ ΓΥΜ
Α΄ΒΡΑΒΕΙΟ
ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΣ
ΑΡΙΣΤΕΙΔΗΣ
6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΝΕΑΣ ΙΩΝΙΑΣ
Β ΓΥΜ
Β΄ΒΡΑΒΕΙΟ
ΑΓΓΕΛΙΚΑ ΝΙΚΗΤΑ
ΜΑΡΙΑ
ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ
Γ ΓΥΜ
Β΄ΒΡΑΒΕΙΟ
ΚΟΥΝΤΟΥΡΑΚΗΣ
ΕΠΙΜΕΝΙΔΗΣ
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΣΟΥΔΑΣ ΧΑΝΙΩΝ
Γ ΓΥΜ
Β΄ΒΡΑΒΕΙΟ
ΜΑΡΓΑΡΙΤΗΣ
ΜΙΝΟΣ
ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ
Β ΓΥΜ
Β΄ΒΡΑΒΕΙΟ
ΓΕΩΡΓΙΟΠΟΥΛΟΣ
ΣΤΑΥΡΟΣ
"JEANNE D' ARC" ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ
Γ ΓΥΜ
Β΄ΒΡΑΒΕΙΟ
ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ
ΠΑΝΤΕΛΕΗΜΩΝ
ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ  ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ
Γ ΓΥΜ
Β΄ΒΡΑΒΕΙΟ
ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ
ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ  ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ
Β ΓΥΜ
Β΄ΒΡΑΒΕΙΟ
ΚΟΥΤΡΟΥΛΗΣ
ΚΩΝ/ΝΟΣ
ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε.
Γ ΓΥΜ
Β΄ΒΡΑΒΕΙΟ

33η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Αρχιμήδης" 2016 - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΤΑΞΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ ΤΑΞΕΩΝ

Μικρότερη περίμετρος

Τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι $a, b$ και $\sqrt{2016}$, όπου $a,b$ είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί. 

Να βρεθεί η μικρότερη τιμή της περιμέτρου του τριγώνου. 

Harvard - MIT Math Tournament  2016 

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Tα μαθηματικά των ζαριών

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο ζάρια και ότι μπορούμε να δούμε τις τρεις μόνο από τις πλευρές του κάθε ζαριού. 

Έστω ότι το συνολικό άθροισμα των κουκκίδων σε αυτές τις πλευρές είναι 27. Ποιο είναι το πλήθος των κουκκίδων που βλέπουμε σε κάθε ζάρι;

Περιοδικό Quantum

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

$χ=?$

Nα βρεθεί η γωνία χ.

Ιδιαίτερο δωδεκάγωνο

Έχουμε ένα δωδεκάγωνο $QWARTZSPHINX$ που έχει όλες τις πλευρές του ίσες με $2$ και οι εσωτερικές του γωνίες είναι $90^0$ ή $270^0$.

Ποιες είναι οι πιθανές τιμές για το εμβαδόν του τριγώνου $SIX$?

Harvard - MIT Math Tournament  2016 

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Επί της διαμέσου

Έστω $Ε$ τυχαίο σημείο της διαμέσου $ΓΔ$ τριγώνου $ΑΒΓ$. Ο κύκλος $K_1$ που περνά από το $Ε$ και εφάπτεται της πλευράς $ΑΒ$ στο $Α$ τέμνει την $ΑΓ$ στο σημείο $Μ$, και ο κύκλος που περνά από το $Ε$ και εφάπτεται της πλευράς $ΑΒ$ στο $Β$ τέμνει την $ΓΒ$ στο $Ν$. 

Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των δύο κύκλων στα σημεία $Μ$ και $Ν$ τέμνονται πάνω στην διάμεσο.

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 

Α' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (Μικρών) «Ευκλείδης» 2005

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Διάλεξη του Ν. Λυγερού με θέμα: "Μαθηματική σκέψη και λογική"

Διάλεξη του Ν. Λυγερού με θέμα: "Μαθηματική σκέψη και λογική". Αλεξανδρούπολη ΠΤΔΕ, 15/12/14.

Ημερίδα Μαθηματικών στο «Καλαμαρί» (27 - 2 - 2016)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΗΜΕΡΙΔΑΣ 

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ

18:00–18:20. κ. Ιωάννης Παπαδόπουλος , Επίκουρος Καθηγητής Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης Α.Π.Θ. - Βιογραφικό 

«Αναζητώντας ποιοτικά χαρακτηριστικά στην επιλογή δραστηριοτήτων που αναπτύσσουν τη μαθηματική σκέψη στην τάξη: Αρκετά εύκολες ώστε να μπορούν να λυθούν και αρκετά δύσκολες ώστε να είναι διασκεδαστικές.» - Περίληψη

Ομάδα Μαθηματικών Γιαννιτσών: Πρόσκληση για συζήτηση και τρεις ενδιαφέρουσες εισηγήσεις

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ

Η Ομάδα Μαθηματικών Γιαννιτσών προσκαλεί τους μαθηματικούς της πόλης των Γιαννιτσών και των γύρω

περιοχών σε συνάντηση που θα πραγματοποιηθεί την Κυριακή 28 Φεβρουαρίου 2016 στις 6 μ.μ. στο εργαστήριο πληροφορικής του 1ου ΕΠΑΛ Γιαννιτσών, ώστε να συζητηθούν οι παρακάτω στόχοι (ή/και να τεθούν νέοι):

Mathematical Tripos Part IA Examination Papers 2015

Paper 1	PDF
Paper 2	PDF
Paper 3	PDF
Paper 4	PDF
All questions	PDF

Τρεις ίσοι κύκλοι (Sangaku)

Στο παρακάτω σχήμα το $ABC$ είναι ισοσκελές τρίγωνο. 

Να αποδειχθεί ότι

$CH = 4r$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Πέντε ίσοι κύκλοι (Sangaku)

Στο παρακάτω σχήμα το $ABCD$ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Με διαμέτρους τις πλευρές του $AB$ και $DC$ γράφουμε ημικύκλια.

Να αποδειχθεί ότι

$\dfrac{AB}{AD}=\sqrt{2}$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Το παράρτημα Φθιώτιδας της Ε.Μ.Ε. διοργανώνει διάλεξη με θέμα: Πολυώνυμα και εφαρμογές

Πλήθος βιβλίων στην ψηφιακή Ιστορική Συλλογή Σχολικών Εγχειριδίων

Μια πλούσια ψηφιακή συλλογή σχολικών εγχειριδίων του παρελθόντος έχει δημιουργήσει το Ινστιτούτο Εκπαιδευτικής Πολιτικής η οποία είναι διαθέσιμη στον δικτυακό τόπο e-library.iep.edu.gr ο οποίος θα λειτουργεί στο εξής ως αποθετήριο-κιβωτός του τεράστιου σε όγκο υλικού.

Η Ψηφιακή Ιστορική Συλλογή Σχολικών Εγχειριδίων αριθμεί πάνω από 1.000.000 σελίδες υψηλής ανάλυσης, καθώς και 15.000 σελίδες αρχείων κειμένου ενώ ο αριθμός των βιβλίων φθάνει τα 5.979.

Μέγιστη τιμή

Να βρεθεί η μεγαλύτερη δυνατή ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου ενός τετραπλεύρου με μήκη πλευρών $4,5 ,6$ και $7$.

Νέο βιβλίο: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου

Καλοτάξιδο!

Από την ομάδα (lisari team) που δημιούργησε ο συνάδελφος και φίλος Μάκης Χατζόπουλος:

Νίκος Αντωνόπουλος | Γιάννης Βελαώρας | ΣήφηςΒοσκάκης | Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης

Χρήστος Κανάβης | Βασίλης Κακαβάς | Γιάννης Κάκανος | Θανάσης Κοπάδης

Χρήστος Κουστέρης | Ανδρέας Μανώλης | Θανάσης Νικολόπουλος | Θεόδωρος Παγώνης

Μαρία Παπαδομανωλάκη | Δημήτρης Παπαμικρούλης | Θωμάς Ποδηματάς

Νίκος Σπλήνης | Παύλος Σταυρόπουλος | Παύλος Τρύφων | Mάκης Χατζόπουλος

${{7777^{777}}^{77}}^{7}$

Να βρεθούν τα τρία τελευταία ψηφία του αριθμού

${{7777^{777}}^{77}}^{7}$

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Online Derivative Calculator

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Από την μία άκρη στην άλλη

O Πέτρος ξεκινά από την επάνω αριστερή γωνία ενός $16 \times16$ πλέγματος και κινείται είτε προς τα κάτω ή προς  τα δεξιά κατά ένα τετραγωνάκι.

Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να φτάσει στην κάτω δεξιά γωνία, με δεδομένο ότι δεν θα περάσει από το ίδιο τετραγωνάκι δύο φορές;

14 - Inequalities

Let $a,b,c$ be nonnegative real numbers such that

$a+b+c=1$.

Prove that

$\sqrt[3]{13a^3 + 14b^3} + \sqrt[3]{13b^3 + 14c^3} + \sqrt[3]{13c^3 + 14a^3} ≥ 3$.

Proposed by Titu Andreescu, University of Texas at Dallas, USA

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \dfrac{1}{1+(\tan{x})^{\sqrt{2}}} \,dx$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

$24$ - γωνο

Ένα κανονικό $24$ - γωνο έχει το κέντρο του στην αρχή των αξόνων $O(0,0)$ και ένα τουλάχιστον από τα σημεία του βρίσκεται πάνω στον άξονα $χ'χ$. 

Πόσα τρίγωνα σχηματίζονται από τρεις κορυφές του $24$ - γώνου που να περιέχουν το σημείο $O$;

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Έγκεντρο - βαρύκεντρο

Έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$, με υποτείνουσα $BC=1$.

Να βρεθεί η μικρότερη δυνατή τιμή της απόστασης του έγκεντρου από το κέντρο βάρους του τριγώνου. 

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Λάθη και παρανοήσεις στα Μαθηματικά του Λυκείου

 Του Αλέξανδρου Γ. Συγκελάκη 

Ερώτηση:

Ποια η ομοιότητα στη διαδικασία επίλυσης των παρακάτω ασκήσεων;

Άσκηση: 

Να βρείτε τις τιμές του $x$ για τις οποίες 

$\sqrt{x}=x-2$. 

Άσκηση: 

Να βρείτε την τιμή του $α$ ώστε να ισχύει 

$a^x\geq {x+1}$

για κάθε $x\in{R}$. 

Απάντηση: 

Στη μεν πρώτη, αν η πρώτη σχέση που γράψουμε (χωρίς τους αναγκαίους περιορισμούς) είναι

Φόρμα εγγραφής στις εργασίες της 8ης Διεθνούς Μαθηματικής Εβδομάδας 2016

Μπορείτε να συμπληρώσετε την παρακάτω φόρμα για την συμμετοχή σας στις εργασίες της 8ης Διεθνούς Μαθηματικής Εβδομάδας, καθώς και στις δραστηριότητες που επιθυμείτε.

(μετά την συμπλήρωση θα λάβετε εντός 24 ωρών επιβεβαίωση εγγραφής)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Elias Zakon - Mathematical Analysis Volume I

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου - Συνολική παρουσίαση του κύκλου με θεωρία, μεθοδολογία και ασκήσεις λυμένες και άλυτες

 Του Στέλιου Μιχαήλογλου 

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πηγή

Στέλιος Μιχαήλογλου- 161 ασκήσεις στο Θεώρημα Bolzano από όλη την ύλη

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πηγή

Σε τι χρησιμεύουν τα Μαθηματικά;

 Συγγραφέας: Γιώργος Καρουζάκης 

«Σε τι χρησιμεύουν τα μαθηματικά;», «Θα τα χρειαστούμε κάποια στιγμή μετά το σχολείο;». Η συγγραφέας και μαθηματικός Snezana Lawrence έχει κουραστεί να ακούει από τους μαθητές της αυτή την ερώτηση. 

Είναι το ίδιο ερώτημα που κάνουν, συχνά, δεκάδες άνθρωποι. Κυρίως, όσοι δυσκολεύονται με τα μαθηματικά και προσμένουν να λάβουν την καθησυχαστική απάντηση ότι τα μαθηματικά συνδέονται με μια δοκιμασία που αρχίζει και τελειώνει στο σχολείο.

$FO=a$

Στο παρακάτω σχήμα, το τετράπλευρο ABCD είναι τετράγωνο. Με κέντρο την κορυφή $B$ και ακτίνα την πλευρά του τετραγώνου γράφουμε ένα τεταρτοκύκλιο.

Με κέντρο την κορυφή $D$ και ακτίνα την $DO$ γράφουμε πάλι ένα τεταρτοκύκλιο. Αν η πλευρά του τετραγώνου είναι $2a$ να αποδειχθεί ότι

$FO=a$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Ωραίο θέμα στο εσωτερικό γινόμενο

Πηγή: Περιοδικό «Ευκλείδης Β΄»

Εμβαδόν γραμμοσκιασμένης περιοχής

Δίνεται παραλληλόγραμμο $ABCD$ με $AD = 9$ και σημεία $E,Z$ επί των $AB,BC$ αντίστοιχα, τέτοια ώστε $DE = 12,\,EZ = 4$. 

Αν επιπλέον ισχύει $D\widehat EZ = {90^ \circ }$ και $A\widehat DE = Z\widehat DE$, να βρείτε το $(ZDC)$.

Πηγή

13 - Inequalities

Let $a, b, c$ be positive real numbers such that 

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} ≥ 1$.

Prove that

$\dfrac{a + b}{\sqrt{ab + c}} + \dfrac{b+c}{\sqrt{bc + a}} + \dfrac{c+a}{\sqrt{ca + b}} ≥ 3\sqrt[6]{abc}$.

Proposed by Titu Andreescu, University of Texas at Dallas, USA

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

1ο και 3ο ΛΥΚΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ - Η άσκηση της εβδομάδας (15 – 2 – 2016)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Οι καθηγητές του 1ου Λυκείου και 3ου Λυκείου Γιαννιτσών προτείνουν την άσκηση της εβδομάδας.

Κάντε κλικ εδώ.

Ασφαλιστικό

Λέγεται ότι το 40% των Αμερικανών δεν έχουν καμία ασφάλιση υγείας. 

Σε μία τυχαία επιλεγμένη ομάδα τριών ανθρώπων, ποια είναι η πιθανότητα μόνο ένας από αυτούς να έχει ασφάλιση υγείας;

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

12 - Inequalities

Let $a, b, c,d$ be positive real numbers.

Prove that

$2(ab + cd)(ac + bd)(ad + bc) ≥ (abc + bcd + cda + dab)^2$

Proposed by Ivan Borsenco, Massachusetts Institute of Technology, USA

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

$a= x\sqrt{2}$

Στο παρακάτω σχήμα, το τετράπλευρο $ABCD$ είναι τετράγωνο. Με κέντρο την κορυφή $C$ και ακτίνα την πλευρά του τετραγώνου γράφουμε ένα τεταρτοκύκλιο.

Με διάμετρο την πλευρά $AB$ γράφουμε ένα ημικύκλιο. Να αποδειχθεί ότι 

$a= x\sqrt{2}$.

Δείτε τη λύση του αγαπητού φίλου Νίκου Φραγκάκη (Doloros) από το 2ο ΓΕΛ Ιεράπετρας:

Γεωμετρία Β΄ Λυκείου - Κανονικά πολύγωνα

Μία διδακτική πρόταση του μαθηματικού Παντελή Πετρίδη στα πλαίσια της επιμόρφωσης Β΄ επιπέδου.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Δίνεται στους μαθητές ένα ενιαίο περιβάλλον πειραματισμού (είναι η σελίδα του συνδέσμου) και ζητείται να συμπληρώσουν ένα φύλλο εργασίας.

Το εκπαιδευτικό σενάριο όπως και όλα τα αρχεία δίνονται από τις πληροφορίες.

Επιτυχόντες 76ου Πανελλήνιου Μαθηματικού Διαγωνισμού «Ευκλείδης» 2016 - ΟΛΑ ΤΑ ΟΝΟΜΑΤΑ

Β' Γυμνασίου 2015-2016

Γ' Γυμνασίου 2015-2016

Α' Λυκείου 2015-2016

Β' Λυκείου 2015-2016

Γ' Λυκείου 2015-2016

$\angle{DAE}=?$

Στο παρακάτω σχήμα, το σημείο $O$ είναι το κέντρο του κανονικού πενταγώνου $ABCDE$ και το $OCGF$ είναι τετράγωνο.

Να βρεθεί η γωνία $\angle{DAE}$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Βαρυτικά κύματα: Η Φυσική αλλάζει για πάντα

Η ανίχνευση του σήματος των βαρυτικών κυμάτων έγινε στις 14 Σεπτεμβρίου 2015 σχεδόν ταυτόχρονα και από τους δύο μεγάλους ανιχνευτές του πειράματος LIGΟ στις ΗΠΑ, οι οποίοι απέχουν 3.000 χιλιόμετρα μεταξύ τους.

Όπως είπαν οι επιστήμονες στη σημερινή συνέντευξη Τύπου στην Ουάσιγκτον, είχαν προηγηθεί μήνες μελετών και ελέγχων. «Ελέγξαμε πολύ προσεκτικά ξανά και ξανά. Πρόκειται για ένα δώρο της φύσης και είναι αληθινό!», δήλωσε περιχαρής η εκπρόσωπος του LIGO, Γκαμπριέλα Γκονζάλες, καθηγήτρια του Πανεπιστημίου της Λουιζιάνα.

χ=?

Το τρίγωνο $ABC$ είναι ισόπλευρο. 

Αν $\angle{DAE}=30^0$, $AD=3$, $EC=5$, να βρεθεί το μήκος $χ$.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

11 - Inequalities

Let $a, b, c$ be positive real numbers such that $abc = 1$.  

Prove that

$\dfrac{a}{ca + 1} + \dfrac{b}{ab + 1} + \dfrac{c}{bc + 1} ≤ \dfrac{1}{2}(a^2 + b^2 + c^2 )$

Proposed by Sayan Das, Kolkata, India 

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Ίσοι λόγοι

Στο παρακάτω σχήμα, η $AD$ είναι διχοτόμος του τριγώνου.

Nα αποδειχθεί ότι

$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Ασκήσεις στον Ρυθμό Μεταβολής

Πηγή: lisari

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Δύο ωραία επαναληπτικά θέματα

1. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση  με

$f'(x)\neq0$,$f(ln4)=1$, $f(ln\dfrac{1}{4})=-2$ 

και ισχύει  

, για κάθε

Α) Να δείξετε ότι

                                     , για κάθε .

Β) Να μελετήσετε την $f$ ως προς την κυρτότητα και να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της στο σημείο .