1ο και 3ο ΛΥΚΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ - Η άσκηση της εβδομάδας (1 – 2 – 2016)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Οι καθηγητές του 1ου Λυκείου και 3ου Λυκείου Γιαννιτσών προτείνουν την άσκηση της εβδομάδας.

Κάντε κλικ εδώ.

Κόκκινες γωνίες

Στο ορθοπγώνιο τρίγωνο \displaystyle $ABC$, με $AB=2AC$ τα σημεία $M,N,L$ είναι τα μέσα των $AB,CM,CB$ αντίστοιχα.

Δείξτε ότι οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες.

Πηγή

8- Inequalities

A continuous map $f : [0, 1] → [− \dfrac{1}{3} ,  \dfrac{2}{3}]$ is onto and satisfies 

$\int_0^1f(x)dx =0$. 

Prove that 

$\int_0^1f^3(x)dx  \leq \dfrac{1}{9}$.

Proposed by Mihai Piticari, Campulung Moldovenesc, Romania

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

7 - Inequalities

Let $a, b, c$ be positive real numbers. 

Prove that

$\dfrac{1}{a + 2b + 5c} + \dfrac{1}{ b + 2c + 5a} + $

$+\dfrac{1}{ c + 2a + 5b} ≤ \dfrac{9}{8}\dfrac{a + b + c}{ (\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ac})^ 2}$.

Proposed by Tran Bach Hai, Bucharest, Romania

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Ζαφείρης Επαμεινώνδας - Ευκλείδιες νοοτροπίες σε ένα όχι τόσο ευκλείδιο περιβάλλον

Ένα 5ο αξίωμα - σκάνδαλο. Τρεις διαφορετικές γεωμετρίες, ο πραγματικός κόσμος και η τέχνη. Ποια γεωμετρία μας ταιριάζει; 

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Αυτή που εξυπηρετεί τις ανάγκες μας ή εκείνη που κατανοεί η επίπεδη νοοτροπία μας; Τέλος, τέσσερα έργα τέχνης μάς δίνουν την αφορμή να αναζητήσουμε απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα.

1 - st Mediterranean Mathematical Competition 1998

1. A square $ABCD$ is inscribed in a circle. If $M$ is a point on the shorter arc $AB$, prove that 

$MC· MD > 3\sqrt{3} · MA· MB$. 

(Greece) 

2. Prove that the polynomial 

$z^{2n} + z^ n + 1$ (n ∈ N) 

is divisible by the polynomial $z^ 2 +z+1$ if and only if n is not a multiple of $3$. 

(Croatia) 

3. In a triangle $ABC$, $I$ is the incenter and $D,E,F$ are the points of tangency of the incircle with $BC,CA,AB$, respectively. The bisector of angle $BIC$ meets $BC$ at $M$, and the line $AM$ intersects $EF$ at $P$. Prove that $DP$ bisects the angle $FDE$. 

(Spain)

Θέση πάρκινγκ

Ποιος είναι ο αριθμός που αντιστοιχεί στη θέση του πάρκινγκ του αυτοκινήτου;

8ος Ημαθιώτικος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Κ. ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» 2016 - Τα θέματα και οι λύσεις τους

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Δείτε τα θέματα παρελθόντων ετών:

2015 | 2014 | 2013 | 2012 | 2011 | 2010 | 2009 |

Πηγή

6 - Inequalities

Let $a, b, c, x, y, z$ be positive real numbers such that 

$ab + bc + ca = xy + yz + zx = 1$. 

Prove that 

$a(y + z) + b(z + x) + c(x + y) ≥ 2$. 

Proposed by Dorin Andrica, Babes-Bolyai University, Cluj-Napoca, Romania

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Πρακτικός και ερμηνευτικός οδηγός για τις Πανελλαδικές εξετάσεις του 2016

Η δημοσίευση που ακολουθεί αποτελεί χρήσιμο οδηγό για τις Πανελλαδικές εξετάσεις του 2016, απευθύνεται σε μαθητές, γονείς και εκπαιδευτικούς και αναφέρεται στα παρακάτω θέματα:

- Ομάδες προσανατολισμού, επιστημονικά πεδία & συντελεστές βαρύτητας.

- Τρόπος Υπολογισμού Μορίων και εφαρμογή excel για τον υπολογισμό.

- Συνεισφορά κάθε μαθήματος στη βαθμολογία.

Α΄ Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO (2016)

Πρόβλημα 1

Αν $a,b,c,d$ θετικοί ακέραιοι αριθμοί, να αποδείξετε ότι η εξίσωση

   

έχει άπειρες λύσεις στο σύνολο των θετικών ακεραίων.

Πρόβλημα 2

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο , $AE$ το ύψος του και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, που έχει κέντρο . Φέρουμε την εφαπτομένη του στο σημείο . Από το σημείο φέρουμε παράλληλη προς την , που τέμνει την ευθεία $BC$ στο σημείο .

Πόσα ακόμα;

Σε μια εξέταση των Μαθηματικών το διαγώνισμα είχε 55 προβλήματα: 30 προβλήματα Αριθμητικής και 25 Γεωμετρίας. 

Αν και η Μαρία απάντησε ορθά το 70% των αριθμητικών προβλημάτων και το 40% των προβλημάτων γεωμετρίας δε κατάφερε να περάσει την εξέταση.
Αν για να περάσει κάποιος την εξέταση έπρεπε να λύσει ορθά το 60% των προβλημάτων του διαγωνίσματος, πόσα ακόμα προβλήματα θα έπρεπε να λύσει ορθά η Μαρία;

Παγκύπριος Μαθηματικός Διαγωνισμός 2015 - ΣΤ Δημοτικού

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

5 - Inequalities

Μήκος διαγωνίου

Σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB=2R$, κινείται χορδή $CD=R$. 

Ονομάζουμε $S,T$ τα σημεία τομής των $AC,BD$ και $AD,BC$ αντίστοιχα. Υπολογίστε το τμήμα $ST$.

Πηγή

Αινιγματική διαίρεση

Να βρεθούν τα ψηφία στη θέση των ερωτηματικών. Η υποδιαστολή στο πηλίκο θα βοηθήσει.

H λύση είναι μοναδική.

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ - Σημειώσεις του τμήματος Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής (Πολυτεχνείο Πατρών)

Πηγή

QDT = ?

Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο $ABC$ είναι ισόπλευρο.

Να βρεθεί η γωνία $QDT$. 

4 - Inequalities

Let x, y, z be positive real numbers such that 

$x ≤ 1, y ≤ 2$ and $x + y + z = 6$. 

Prove that 

$(x + 1)(y + 1)(z + 1) ≥ 4xyz$. 

Proposed by Marius Stanean, Zalau, Romania

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Οι μαθηματικές ιδιοφυΐες της Ρωσίας εργάζονται κυρίως στη Δύση

Tου Leonid Bershidsky

Στο βιβλίο του Michael Lewis "Flash Boys," ένας από τους χαρακτήρες, ο γκουρού σε θέματα τηλεπικοινωνιών Ronan Ryan, παρατήρησε ξαφνικά περίπου το 2005 ότι όλο και περισσότερα λογισμικά συναλλαγών "σχεδιάζονταν από ανθρώπους με παχιά ρώσικη προφορά". 

Και αυτό γιατί οι περισσότεροι από αυτούς είχαν εγκαταλείψει το ακαδημαϊκό τους έργο στη Ρωσία και άλλες πρώην σοβιετικές χώρες.

Μία πρόσφατη μελέτη που δημοσιεύθηκε στη Μόσχα από τους Vladlen Timorin και Ιvan Sterligov της Ανώτατης Σχολής

Δύο κανονικά πολύγωνα

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε δύο πολύγωνα με κοινή πλευρά και οι γωνίες (πορτοκαλί) που σχηματίζουν εξωτερικά είναι $81^0$.

Αν τα πολύγωνα ήταν κανονικά με οποιαδήποτε αριθμό πλευρών θα μπορούσαμε να συμβεί αυτό;

Nα εξεταστεί το ίδιο ερώτημα και στις περιπτώσεις που οι γωνίες ήταν:

i) $27^0$ 

ii) $54^0$. 

Πηγή

3 - Inequalities

Let $a,b,c$ be positive real numbers such that 

$abc = 1$. 

Prove that

$\dfrac{1}{ab + a + 2} + \dfrac{1}{bc + b + 2} + \dfrac{1}{ca + c + 2} ≤ \dfrac{3}{4}$. 

Proposed by Marcel Chirita, Bucharest, Romania

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Generalized Carnot's theorem

Kάντε κλικ στην εικόνα.

1ο και 3ο ΛΥΚΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ - Η άσκηση της εβδομάδας (25 – 1 – 2016)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Οι καθηγητές του 1ου Λυκείου και 3ου Λυκείου Γιαννιτσών προτείνουν την άσκηση της εβδομάδας.

Κάντε κλικ εδώ.

2 - Inequalities

Let $a, b, c$ be positive real numbers such that

$a^3 + b^3 + c^3 + abc = \dfrac{1}{3}$. 

Prove that

$abc + 9(\dfrac{a^5}{4b^2 + bc + 4c^2} + \dfrac{b^5}{4c^2 + ca + 4a^2} +$ 

$+\dfrac{c^5}{4a^2 + ab + 4b^2} ≥ \dfrac{1}{4(a + b + c)(ab + bc + ca)}$.

Proposed by Titu Andreescu, University of Texas at Dallas, USA

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Γνωρίζετε ότι ...

Οι συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο είναι οι ίδιες συναρτήσεις, η μία είναι αποτέλεσμα της μετατόπισης της άλλης.

Master Class 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - 11 εξισώσεις που ζητούν λύση (Νίκος Ζανταρίδης)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

1 - Inequalities

Let $a, b, c$ be positive real numbers such that 

$a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4$.

Prove that

$a + b + c ≤ \sqrt{2 − a} + \sqrt{2 − b} + \sqrt{2 − c}$.

Proposed by An Zhen-ping, Xianyang Normal University, China

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Στο παρά 5

Nα βρεθεί ο μικρότερος θετικός αριθμός $n$, για τον οποίο ισχύει:

$\dfrac{5^{n+1}+2^{n+1}}{5^{n}+2^{n}}>4,99$.

Harvard–MIT Mathematics Tournament (HMMT) 2013

Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/2010 (ΙΙΙ φάση - 9η τάξη)

Πρώτη μέρα

1. Δίνονται τα δευτεροβάθμια τριώνυμα 

,  , 

με . Να αποδείξετε, ότι τουλάχιστον ένα από τα τριώνυμα έχει δυο ρίζες.

2. Εφτά σκιέρ, σε αγώνα κατάβασης, με αριθμούς 1, 2, …, 7 ξεκίνησαν με την σειρά από την αφετηρία της πίστας ¨Φίλιππος¨ στα 3-5 Πηγάδια και έκαναν την διαδρομή ο καθένας με την δικιά του σταθερή ταχύτητα. Προέκυψε ότι κάθε σκιέρ συμμετείχε ακριβώς δυο φορές σε προσπέραση ( σε κάθε προσπέραση συμμετέχουν ακριβώς δυο σκιέρ, αυτός που προσπερνάει και αυτός που προσπεράστηκε).

α = ?

Να βρεθεί η γωνία α.

Χρυσά νομίσματα

Τέσσερα αδέλφια θα μοιραστούν μεταξύ τους 137 χρυσά νομίσματα έτσι, ώστε ανά δύο να μην πάρουν ίδιο αριθμό νομισμάτων. Κάθε ένα από τα αδέλφια θα πάρει αριθμό νομισμάτων ακέραιο πολλαπλάσιο από τον αριθμό που θα πάρει ο επόμενος μικρότερος αδελφός. Πόσα χρυσά νομίσματα θα πάρει ο κάθε αδελφός; Να βρείτε όλες τις λύσεις.

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 

Β΄ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ IMC (STAGE III) 2015

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Βρείτε το κέντρο

Το "βορειότερο" από τα σημεία τομής των κύκλων , το ονομάζουμε . 

α) Βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου που διέρχεται από τα .

β) Αν , υπολογίστε την ακτίνα του γαλάζιου κύκλου.

Πηγή

Ανισότητες - 344η

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com