$Α^2=?$

Αν $Α$ είναι το άθροισμα των απολύτων τιμών των ριζών της εξίσωσης:

$x = \sqrt{19} + \dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{x}}}}}}}}}$

τότε $Α^2=?$

Από Μαθηματικό Διαγωνισμό των Η.Π.Α.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Ο ιδιοφυής και αναρχικός μαθηματικός Alexander Grothendieck (1928–13.11.2014)

O Alexander Grothendieck (Γκρόθεντικ) γεννήθηκε στο Βερολίνο το 1928 από δυο αναρχικούς γονείς, τον Alexander “Sascha” Schapiro και την Johanna “Hanka” Grothendieck.

O πατέρας του καταζητούνταν συνεχώς και ζούσε με ψευδώνυμο και πλαστά χαρτιά. Διέφυγε στο Παρίσι το 1933 για να αποφύγει τους Ναζί. Την επόμενη χρονιά διέφυγε και η μητέρα του, αφήνοντας τον μικρό Alexander σε μια ανάδοχη οικογένεια για πέντε χρόνια. Το 1936 οι αναρχικοί γονείς έλαβαν μέρος στον Ισπανικό εμφύλιο εναντίον του Φράνκο.

Μέγιστη απόσταση

Πηγή: Περιοδικό «Μαθηματική Έκφραση»

Ο αγαπητός φίλος Νίκος Φραγκάκης μου έστειλε τη δική του λύση. Δείτε την παρακάτω: 

Kατασκευή κύκλου με δύο κέντρα. Γίνεται;

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Ασκήσεις ιστορικού ενδιαφέροντος - Πιθανότητες (8)

Ένα γεγονός συνέβηκε διαδοχικά $m$ φορές.

Ποια η πιθανότητα να συμβεί διαδοχικά και τις επόμενες $k$ φορές;

(Bertrand, 1899)

Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Τι θέλει ο άνθρωπος;

«Λεξιλόγιο Γεωμετρίας Α’ Λυκείου» - Δωρεάν βοήθημα

 Επιμέλεια:  Κωνσταντίνος Παπασταματίου 

Πηγή

Εκατοντάδες βιβλία Μαθηματικών για μελέτη

 Ανάλυση 

· Απειροστικός Λογισμός-Στέλιος Πηχωρίδης

· Απειροστικός Λογισμός - Αριστείδης Κατάβολος

· Αρχές Μαθηματικής Αναλύσεως-Walter Rudin

· Εισαγωγή στην Γεωμετρική Τοπολογία- Κωνσταντίνος Αθανασόπουλος

· Εισαγωγή στην Θεωρία Τελεστών-Αριστείδης Κατάβολος

· Θεωρία Μέτρου - Αριστείδης Κατάβολος

32η ΒαλκανικήΜαθηματικήΟλυμπιάδα 2015 - Αφιέρωμα

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Ένα αργυρό και δύο χάλκινα μετάλλια κατέκτησε η εθνική μας ομάδα στην 56η Διεθνή Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015

Τρία μετάλλια, ένα ασημένιο και δύο χάλκινα κατέκτησε η εθνική μαθηματική ομάδα, στην 56η διεθνή μαθηματική ολυμπιάδα νέων ΙΜΟ 2015, που ολοκληρώνεται σήμερα στο πανεπιστήμιο της πόλης Τσιάγκ Μάϊ της Ταϋλάνδης.

Συγκεκριμένα, ασημένιο μετάλλιο κέρδισε ο Πέτρος Ντούνης, χάλκινο οι Παναγιώτης Μισιάκος, και Νέστορας Χαχάμης, ενώ εύφημη μνεία απονεμήθηκε στους Απόστολο Παναγιωτόπουλο και Δημήτρη Μελά. Η εθνική ομάδα βρέθηκε στην 51η θέση με 71 βαθμούς, από την 41η το 2014, ενώ τις τρεις πρώτες θέσεις κατέλαβαν οι ομάδες των ΗΠΑ, της Κίνας και της Ν. Κορέας, με 185, 181 και 161 βαθμούς αντίστοιχα.

Νέο blog μαθηματικών - Joy of mathematics

Νέο blog του γνωστού μέλους από το mathematica.gr Tolaso J. Kos:

pathtomathematics.blogspot.gr

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου: Διαφορικός Λογισμός - Δωρεάν βοήθημα

 Επιμέλεια:  Κωνσταντίνος Παπασταματίου 

Πηγή

Δείτε επίσης: 

- Μαθηματικά Γ’ Λυκείου: Συναρτήσεις- Όρια-Συνέχεια - Δωρεάν βοήθημα

- Μαθηματικά Γ’ Λυκείου: Ολοκληρωτικός Λογισμός - Δωρεάν βοήθημα

Τα έξι παιδιά

Ένας πατέρας άφησε ένα κιβώτιο με χρυσά νομίσματα στα 6 παιδιά του, 3 αγόρια και 3 κορίτσια. Η διαθήκη έλεγε:

Κάθε παιδί ένα - ένα με τη σειρά πρώτα τα αγόρια και μετά τα κορίτσια θα βάζει στο κουτί τόσα νομίσματα όσα βλέπει μέσα και μετά θα παίρνει 250 το κάθε αγόρι και 125 το κάθε κορίτσι. Όταν πήρε και το τρίτο κορίτσι τα 125 νομίσματα δεν έμεινε τίποτα στο κιβώτιο. Πόσα νομίσματα είχε το κιβώτιο;

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου: Συναρτήσεις- Όρια-Συνέχεια - Δωρεάν βοήθημα

 Επιμέλεια:  Κωνσταντίνος Παπασταματίου 

Πηγή
Δείτε επίσης:
- Μαθηματικά Γ’ Λυκείου: Διαφορικός Λογισμός - Δωρεάν βοήθημα

- Μαθηματικά Γ’ Λυκείου: Ολοκληρωτικός Λογισμός - Δωρεάν βοήθημα

International Mathematical Olympiad - Hall of fame: HELLAS

Οι διακρίσεις των μαθητών μας στις Μαθηματικές Ολυμπιάδες όλων των εποχών 

Οι αριθμοί δίπλα στα ονόματα αντιστοιχούν στον αριθμό των μεταλλίων που έχουν κατακτήσει σε διαφορετικές Ολυμπιάδες. Κατά σειρά: Χρυσά - Αργυρά - Χάλκινα - Εύφημες μνείες.

Panagiotis Lolas HEL 1 1 1 0

Georgios Vlachos HEL 1 0 0 1

Petros Bregiannis HEL 0 3 0 0

Panagiotis Dimakis HEL 0 3 0 0

Petros Ntounis HEL 0 2 0 1

Fotis Logothetis HEL 0 1 1 0

Theofanis Matsoukas HEL 0 1 1 0
Spyridon Antonakopoulos HEL 0 1 0 1

Nikolaos Romanidis HEL 0 1 0 1

Evangelos Taratoris HEL 0 1 0 1

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου: Ολοκληρωτικός Λογισμός - Δωρεάν βοήθημα

 Επιμέλεια:  Κωνσταντίνος Παπασταματίου 

Πηγή
Δείτε επίσης:

- Μαθηματικά Γ’ Λυκείου: Συναρτήσεις- Όρια-Συνέχεια - Δωρεάν βοήθημα
- Μαθηματικά Γ’ Λυκείου: Διαφορικός Λογισμός - Δωρεάν βοήθημα

Μαθηματικά Θετικής Κατεύθυνσης Γ΄Λυκείου - Φυλλάδιο με 139 ασκήσεις στο Κεφάλαιο των Συναρτήσεων

Ένα φυλλάδιο με ασκήσεις στις συναρτήσεις για την προετοιμασία των μαθητών της Γ΄Λυκείου στα μαθηματικά Θετικής Κατεύθυνσης και της ομάδας Οικονομικών.

Πηγή

Αριθμητικό τρικ

Πάρτε έναν τριψήφιο αριθμό.
Γράψτε δίπλα του τον ίδιο και έχετε τώρα έναν εξαψήφιο αριθμό.
Διαιρέστε τον με το 7, το πηλίκο με το 11 και το νέο πηλίκο με το 13.
Το τελευταίο πηλίκο είναι ο αρχικός τριψήφιος αριθμός;
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Βήμα βήμα

Ένας γεωργός θέλει να περιφράξει ένα κυκλικό μέρος για να τοποθετήσει τα γεωργικά του μηχανήματα.

Για να υπολογίσει το εμβαδόν του κυκλικού μέρους, ο γεωργός έκανε 480 βήματα για να διανύσει την περίμετρο του κυκλικού μέρους. Αν 120 βήματα του γεωργού ισοδυναμούν με 100m, να βρεθεί το εμβαδόν του κυκλικού μέρους.

16η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 2015

Β΄, Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα 2015 - Τα προβλήματα της πρώτης και δεύτερης ημέρας

IMO 2015 : Day 1 Test Paper

Pure Math Vs. Applied Math

$f(0)$

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ είναι ευθεία και ισχύει: 

$f(2012) ≤ f(2013)$, $f(2014) ≥ f(2015)$ και $f(2015) = 2015$. 

Ποια από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή; 

Α. $f(0) = 0$ 

Β. $f(0) < 2015$ 

Γ. $f(2012) < f(0) < f(−2012)$

Δ. $f(0) > 2015$ 

Ε. $f(0) = 2015$

16η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 2015

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 59

Το σημείο $H$ είναι το ορθόκεντρο τριγώνου \displaystyle $ABC$ και τα $K,L,M,N$ τα μέσα των $AH,BH,BC,AC$ αντίστοιχα. 

Βρείτε την ιδιότητα που πρέπει να έχει το $\displaystyle ABC$, ώστε το $KLMN$ είναι τετράγωνο .

Πηγή: mathematica

Τα θέματα των μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015

Τα θέματα των γραπτών δοκιμασιών για τις εξετάσεις των Προτύπων Γυμνασίων στα Μαθηματικά και οι απαντήσεις - επισημάνσεις προς τους βαθμολογητές.

Θέματα Μαθηματικών 2015

Απαντήσεις και οδηγίες Μαθηματικών

Επισημάνσεις για τη διόρθωση των γραπτών Μαθηματικών

Πανελλαδικές εξετάσεις 2015 - Εκτίμηση για τις βάσεις των σχολών ανά Κατεύθυνση

Δείτε τα στατιστικά-συγκριτικά στοιχεία των 6 τελευταίων ετών των βαθμολογιών των υποψηφίων στις πανελλαδικές εξετάσεις σε όλα τα μαθήματα ανά Κατεύθυνση καθώς και την πρώτη μεσοσταθμική εκτίμηση για τις βάσεις των σχολών ανά κατεύθυνση και ομάδα σχολών (ενδεχομένως κατά περίπτωση οι βάσεις να κινηθούν προς τα κάτω από το όριο που δίνουμε ως μεσοσταθμικό).

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ Γ΄ΤΑΞΗΣ ΑΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

Πηγή

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 58

Στο εσωτετικό του τετραγώνου $ABCD$ εγγράφουμε το ισόπλευρο τρίγωνο $ABE$. Η $CE$ τέμνει την $AD$ στο $Z$. Εγγράφουμε - πάντα εσωτερικά - ισόπλευρο τρίγωνο $CZS$.

 

Η $ZS$ τέμνει την $AE$ στο $T$ και η $CS$ την $BE$ στο $P$. 

1) Δείξτε ότι το $S$ είναι σημείο της $BC$.

2) Δείξτε ότι $(ATS)=4(BPS)$.

Πηγή: mathematica

Ερώτηση

Ο γεωμετρικός τόπος του μιγαδικού αριθμού $z$, που ικανοποιεί την ισότητα 

||z + 2i| - |z - 2i|| = 8

είναι η έλλειψη, με εξίσωση

$\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{16}=1$;

Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 57

Να βρεθεί τι ποσοστό του $(ABCD)$ αποτελεί το $(STCD)$. ($M$ μέσο της $DC$)

Πηγή; mathematica

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία - Θέματα και Λύσεις Προκριματικού διαγωνισμού Μικρών και Μεγάλων 2015

Κάντε κλικ στην εικόνα.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 56

Στο εσωτερικό τετραγώνου $ABCD$, έχουμε γράψει το ημικύκλιο διαμέτρου AB και το τεταρτοκύκλιο $A\overset{\frown}{BD}$. Με κέντρο σημείο $O$, το οποίο κινείται επί του τεταρτοκυκλίου, γράφω κύκλο εφαπτόμενο της $BC$, ο οποίος τέμνει το ημικύκλιο στα $S,P$ . 

1) Δείξτε ότι το ένα σημείο τομής (εν προκειμένω το $S$), είναι συνευθειακό των $A,O$. 

2) Βρείτε τη θέση του $O$ για την οποία μεγιστοποιείται η γωνία $\widehat{SOP}$, καθώς και τη μέγιστη τιμή της γωνίας.

Πηγή; mathematica

Γεωμετρικός τόπος

Έστω δύο σημεία $Β$ και $Γ$ επί του κύκλου 

$x^2 + y^2 = 25$. 

Αν τα σημεία $Γ$, $Α(2, 0)$ και το μέσο $Μ$ του ευθύγραμμου τμήματος $ΒΓ$ είναι συνευθειακά, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου $Μ$.

Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 55

Τα τετράγωνα $ABCD$ και $BEZH$ είναι "κολλητά" και το σημείο $M$ είναι το μέσο του $AE$. Η $AH$ προεκτεινόμενη τέμνει την $EC$ στο $T$. 

Δείξτε ότι τα $ED,TM$ τέμνονται επί της $BC$ και βρείτε το λόγο $\displaystyle \frac{AB}{BE}$, ώστε $TM\perp ED$. 

Πηγή; mathematica

Eπαναστατική

Δίνεται συνεχής συνάρτηση ώστε 

 

με .

1) Nα βρεθεί ο τύπος της

2) Αν , τότε:

i) να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να εξεταστεί αν αντιστρέφεται

ii) να βρεθεί ο τύπος της αντίστροφης συνάρτησης

3) Αποδείξτε ότι

 

4) Nα υπολογίσετε τα όρια

  και

Πηγή

Πλήκτρο «4»

Το πλήκτρο $«4»$ στο κομπιουτεράκι μου είναι χαλασμένο, οπότε δεν μπορώ να σχηματίσω αριθμούς που περιέχουν το ψηφίο $4$. Επιπλέον, η αριθμομηχανή μου δεν εμφανίζει το ψηφίο $4$, εάν το $4$ είναι μέρος του αποτελέσματος της όποιας πράξης.
Έτσι δεν μπορώ να κάνω τον πολλαπλασιασμός $2$ επί $14$. 

Επίσης, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού $3$ επί $18$ εμφανίζεται ως $5$, αντί για $54$ και το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού $7$ επί $7$ εμφανίζεται ως $9$, αντί για $49$. 

Αν πολλαπλασιάσω δύο διψήφιους αριθμούς στην αριθμομηχανή και μου εμφανιστεί το $86$, ποιους αριθμούς έχω πολλαπλασιάσει; 

Ποια είναι η σωστή απάντηση;

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 54

Το τεταρτοκύκλιο $\displaystyle D\overset{\frown}{AC}$, τέμνει την ακτίνα $KB$ ενός τετραγώνου $ABCD$, σε σημείο $T$. Ημικύκλιο διαμέτρου $KB$ τέμνει το τεταρτοκύκλιο σε σημείο $S$. 

Υπολογίστε τη γωνία $\widehat{KST}$.

Πηγή: mathematica

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 53

Εντοπίστε σημείο $K$ στο εσωτερικό τετραγώνου $ABCD$, το οποίο είναι κοινό κέντρο κύκλων, από τους οποίους ο ένας διέρχεται από τα $A,D$ και ο άλλος από τα $B,C$, ο δε μεγαλύτερος να έχει διπλάσια ακτίνα από το μικρό. 

Στη συνέχεια προσπαθήστε να λύσετε το αντίστροφο πρόβλημα: Δηλαδή δοθέντων των κύκλων $(K,R)$ και $(K,2R)$, σχεδιάστε τετράγωνο με τις κορυφές $A,D$ στο μεγάλο κύκλο και τις $B,C$ στο μικρό.

Πηγή: mathematica

Δ. Χατζόπουλος - Διαφορικαί Εξισώσεις (Θεσσαλονίκη, 1978)

Πηγή: Για την αγάπη των Μαθηματικών

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 52

Σε σημείο $N$ που βρίσκεται επί της πλευράς $AD$ τετραγώνου $ABCD$, ώστε $AN=\displaystyle \frac{AD}{3}$, φέρω κάθετη προς την $BN$, η οποία τέμνει τη διαγώνιο $BD$ στο σημείο $S$. Ονομάζω $M$ το μέσο της $AD$.

1) Δείξτε ότι \widehat${SMB}=90^0$.

2) Βρείτε τους λόγους

$ \displaystyle \frac{DS}{SB}$ και $\displaystyle \frac{(SMB)}{(SNB)}$.

Πηγή: mathematica

Η νέα ύλη των Πανελλαδικών Εξετάσεων για το σχολικό έτος 2015 - 16

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 51

Σημείο $S$ κινείται επί σταθερού τμήματος $OA$ με μέσο $M$. Με βάσεις $QS$ και $SA$ κατασκευάζω προς το ίδιο ημιεπίπεδο τα τετράγωνα $OSBC$ και $SADE$, των οποίων τα κέντρα ονομάζω $K,L$ αντίστοιχα. 

1) Βρείτε την τεταγμένη του μέσου $T$ της $KL$ και δείξτε ότι $MK=M$L 

2) Βρείτε και την τετμημένη του $T$ αν $NB=//TM$, όπου $N$ είναι το μέσο του $CE$.

Πηγή: mathematica