Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 88η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης  

Kάντε κλικ στο σχήμα, για να δείτε το φύλλο εργασίας (νέα παρουσίαση).

Pythagorean theorem - Proof 88

19η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων 2015

Οι διακριθέντες της Ελληνικής ομάδας είναι:

Ιδιαίτερα χαρακτηριστικά

Από τα 20 παιδιά μιας τάξης τα 14 έχουν καστανά μάτια, τα 15 έχουν μαύρα μαλλιά, τα 17 ζυγίζουν περισσότερο από πενήντα κιλά και τα 18 έχουν ύψος που ξεπερνά το ενάμισι μέτρο. 

Να αποδειχθεί ότι τουλάχιστον 4 από τα παιδιά διαθέτουν και τα τέσσερα χαρακτηριστικά.

PRINCETON

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε τα γράμματα της λέξης 

PRINCETON

στη σειρά, έτσι ώστε να μην υπάρχουν δύο συνεχόμενα από τα φωνήεντα (I, E, O) και τρία συνεχόμενα από τα σύμφωνα (P, R, N, C, Τ, Ν);

Princeton University Mathematics Competition 2013

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Ανακοίνωση σχετικά με την υποβάθμιση της Μαθηματικής Παιδείας - Συλλογή υπογραφών

Τα Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr υπογράφουν την παρακάτω ανακοίνωση σχετικά με την υποβάθμιση της Μαθηματικής Παιδείας στη χώρα μας.

Η ανακοίνωση κινείται σε δύο κύριους άξονες:

- Την επικείμενη μείωση της ύλης στα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Γ΄ Λυκείου και συγκεκριμένα την αφαίρεση του κεφαλαίου που αφορά τους Μιγαδικούς αριθμούς (άρα ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΗ εξαφάνιση της Άλγεβρας τη στιγμή κατά την οποία στο σχολικό βιβλίο υπάρχουν δύο κεφάλαια Άλγεβρας) καθώς και τη μείωση της ύλης της ενότητας που αφορά τη Συνάρτηση ολοκλήρωμα.

'Ολες τις βασικές γνώσεις μαθηματικών, που πρέπει να έχει ένας μαθητής πριν πάει στη Γ΄ Λυκείου

 Επιμέλεια:  Μίλτος Παπαγρηγοράκης 

Πηγή

Αθροίσματα διαδοχικών φυσικών αριθμών = Τέλεια τετράγωνα

$1 + 2 + 3 + ... + 2239277041 = 1583407981^2$,

$1 + 2 + 3 + ... + 13051463048 = 9228778026^2$,

$1 + 2 + 3 + ... + 76069501249 = 53789260175^2$,

$1 + 2 + 3 + ... + 443365544448 = 313506783024^2$,

$1 + 2 + 3 + ... + 2584123765441 = 1827251437969^2$,

$1 + 2 + 3 + ... + 15061377048200 = 10650001844790^2$,

$1 + 2 + 3 + ... + 87784138523761 = 62072759630771^2$,

Θέματα προαγωγικών και ενδοσχολικών εξετάσεων σε Γυμνάσιο - Λύκειο (2015)

Α΄ Γυμνασίου

1) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων 2014, από διάφορα σχολεία της χώρας.

2) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων 2015 σε word (αποκλειστικό) 

Επιμέλεια: Νίκος Μιχαλόπουλος

3) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων από τη Ζάκυνθο (αποκλειστικό) - Εκφωνήσεις - Λύσεις

Επιμέλεια: Θάνος Νικολόπουλος 

Β΄ Γυμνασίου

1) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων 2014, από διάφορα σχολεία της χώρας.

2) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων 2015 σε word (αποκλειστικό) 

Επιμέλεια: Νίκος Μιχαλόπουλος

Αυτοκόλλητα

Η Αλίκη έχει έναν κύβο ακμής 10 cm. Παίρνει μερικά αυτοκόλλητα σχήματος τετραγώνου και κολλάει από ένα στο κέντρο της κάθε έδρας του κύβου και τα υπόλοιπα όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Να βρεθεί το εμβαδόν των αυτοκόλλητων που υπάρχουν στον κύβο.

Kangaroo Math Contest 2011

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Крестьянские дети

Παιδιά αγροτών προσπαθούν να υπολογίσουν το πηλίκο της διαίρεσης: 

$\dfrac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2}{365}$

Πίνακας του Ρώσου ζωγράφου Nikolay Bogdanov-Belsky (Counting in their heads,1895).

Ετσι συγκάλυψαν την γκάφα με το λάθος θέμα των Μαθηματικών

Αυλαία χθες για τις πανελλήνιες εξετάσεις, που θα μείνουν στην ιστορία ως μελανή σελίδα των τελευταίων ετών. Οι δύο μεγάλες «γκάφες» της Κεντρικής Επιτροπής Εξετάσεων (ΚΕΕ) θέτουν προ των πολιτικών του ευθυνών τον υπουργό Παιδείας κ. Πέτρο Ευθυμίου αλλά και τα μέλη της επιτροπής, που με τα λάθη και τη μετέπειτα στάση τους έπληξαν ανεπανόρθωτα την αξιοπιστία του θεσμού.

Η πρώτη γκάφα καταγράφηκε στη Φυσική κατεύθυνσης Β΄ λυκείου, όταν εδόθησαν λάθος δεδομένα σε ένα υποερώτημα άσκησης.

1ο ΓΕΛ Γιαννιτσών: Ένα σχολείο για... ανοιχτά μυαλά

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Ρητοί λόγοι

Έστω ισοσκελές τρίγωνο του οποίου ο λόγος του μήκους της μιας πλευράς προς το μήκος της βάσης του είναι ρητός αριθμός. 

Να αποδειχθεί ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου είναι ρητός αριθμός, αν και μόνο αν τα δύο ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται από το ύψος της βάσης είναι όμοια με ένα ορθογώνιο τρίγωνο που τα μήκη των πλευρών του είναι ακέραιοι αριθμοί.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Proof of $A.M.\geq G.M.$ using integration

Πηγή

Η Μαύρη Βίβλος των Εισαγωγικών Εξετάσεων του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου κατά Σεπτέμβριον του 1962

Το 1927 ξεκίνησαν οι εισαγωγικές εξετάσεις στις ανώτατες σχολές επειδή οι υποψήφιοι ήταν περισσότεροι από τις διαθέσιμες θέσεις. Ως τότε ο καθένας μπορούσε να σπουδάσει χωρίς εξετάσεις όπου ήθελε. 

Κάντε κλικ στην εικόνα

Μέχρι και το 1963, τον μήνα Σεπτέμβρη κάθε τμήμα Πανεπιστημίου οργάνωνε τις δικές του εξετάσεις σε όποια μαθήματα ήθελε (σε όλη την ύλη του τότε Γυμνασίου). Ο κάθε υποψήφιος μπορούσε να είναι υποψήφιος σε όσα τμήματα ήθελε, υπό την προϋπόθεση να μην γίνονται εξετάσεις την ίδια ώρα και μέρα και εφόσον περνούσε σε περισσότερες από μια σχολή, επέλεγε που θα σπούδαζε.

Μαθηματικός διαγωνισμός "Ευκλείδης" - Θέματα προηγούμενων ετών

Ευκλείδης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1995 – 2012

Ευκλείδης Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1995 – 2012

Ευκλείδης Ά Λυκείου 2007 – 2012

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 1994-2008

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2009-12

ΘΕΜΑΤΑ ΕΥΚΛΕΙΔΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2009-10-11

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 1993-2008

Ο βαρκάρης

Ένας βαρκάρης για να βρει την ταχύτητα του ρεύματος ενός ποταμού αποφασίζει να κάνει το ακόλουθο πείραμα. Αφήνει ένα κομμάτι ξύλο στην επιφάνεια του νερού (σημείο O) και ξεκινά να κωπηλατεί κατά τη φορά του ρεύματος. 

Αφού περάσουν 40min φτάνει στο σημείο A, 1km από την αφετηρία του. Αμέσως επιστρέφει, παίρνει το ξύλο από το νερό, κάνει στροφή και κωπηλατώντας πάλι κατά τη φορά του ρεύματος φτάνει για δεύτερη φορά στο A μετά από 24min από τη στιγμή που ανέσυρε το ξύλο από το νερό.

Προαγωγικές εξετάσεις 2015: Γενικό Λύκειο Ερέτριας - Θέματα και λύσεις όλων των τάξεων

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ A ΛΥΚΕΙΟΥ (ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ(ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ)

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛYKΕΙΟΥ (ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ)

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ)

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ (ME ΛΥΣΕΙΣ)

Πηγή

90, 83 και μετά ?

Εξεταστέα - διδακτέα ύλη των πανελλαδικά εξεταζόμενων μαθημάτων της Γ΄ τάξης του Ημερήσιου Λυκείου για το σχολικό έτος 2015-2016

Εκτός οι μιγαδικοί και η παραγώγιση της συνάρτησης

 

Κάντε κλικ εδώ.

Κυλιόμενος κύκλος

Ένας κύκλος ακτίνας $1$ εφάπτεται εσωτερικά ενός άλλου κύκλου ακτίνας $\sqrt{2}$. Χρωματίζουμε το σημείο επαφής τους. Ο κύκλος στο εσωτερικό αρχίζει και κυλά, εφαπτόμενος συνεχώς του άλλου κύκλου. 

Κατά την κύλιση, κάθε φορά που ένα χρωματισμένο σημείο του ενός κύκλου αγγίζει ένα αχρωμάτιστο σημείο του άλλου κύκλου, χρωματίζεται και αυτό. Πόσα χρωματισμένα σημεία θα υπάρχουν στον κυλιόμενο κύκλο μετά από 1000 πλήρεις περιστροφές επί του μεγαλύτερου κύκλου;

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 87η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης  

Kάντε κλικ στο σχήμα, για να δείτε το φύλλο εργασίας (νέα παρουσίαση).

Pythagorean theorem - Proof 87

Στόχος

Aν

και 

7 ~ 2 ~ 7 ~ 4 = ?

Αν 

5 ~ 4 ~ 3 ~ 9 = 4215

6 ~ 9 ~ 2 ~ 6 = 3816

4 ~ 7 ~ 3 ~ 3 = 1122

τότε

7 ~ 2 ~ 7 ~ 4 = ____

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015: Υλικό όλων των τάξεων Γυμνασίων, Γενικών Λυκείων και ΕΠΑΛ

Όλα τα αρχεία (πλην ελαχίστων εξαιρέσεων που αναφέρονται), είναι του Μαθηματικού Περιηγητή.

ΓΥΜΝΑΣΙΟ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ  2014-2015
ΤΑΞΗ	ΜΑΘΗΜΑ	ΘΕΜΑΤΑ	ΛΥΣΕΙΣ
Α΄	ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ	ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ	ΛΥΣΕΙΣ
Β΄	ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ	ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ	ΛΥΣΕΙΣ
Γ΄	ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ	ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ	ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2014

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ  ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Β΄  ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2014

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2014

 Τράπεζα θεμάτων ενδοσχολικών εξετάσεων όλων των τάξεων (Σχ. Έτος 2011-2012)

Tράπεζα θεμάτων ενδοσχολικών εξετάσεων όλων των τάξεων (Σχ. Έτος 2012-2013)

Άσσοι και δυάρια

Γύρω από ένα κύκλο τοποθετούνται είκοσι αριθμοί $1$ και τριάντα αριθμοί $2$, έτσι ώστε, ανά τρεις διαδοχικοί, να μην είναι ίδιοι. 

Να βρεθεί το άθροισμα των γινομένων όλων των διαδοχικών τριάδων. 

Ίδια πιθανότητα;

Ρίχνουμε δύο ζάρια. Είναι το ίδιο πιθανό να φέρουμε άθροισμα 

$2, 3, ....12$;

Σημείωση: Είναι διαφορετικό το ζεύγος $(2,4)$ από το $(4,2)$, αν και έχουν και τα δύο το ίδιο άθροισμα $6$.

16 ψηφία

Είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν τα δεκαέξι ψηφία 

$2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9$

ως ψηφία δύο αριθμών, $x$ και $y$, τέτοια ώστε $x = 2y$; 

(Όλα τα δεκαέξι ψηφία πρέπει να χρησιμοποιηθούν ακριβώς μια φορά).

Είναι;

Θεωρούμε το γινόμενο 

$1! · 2! · 3! · · · 100 !$. 

Είναι δυνατόν να αφαιρέσουμε έναν από τους όρους του παραπάνω γινομένου και το υπόλοιπο γινόμενο να είναι τέλειο τετράγωνο;

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

International Congress on Mathematics MICOM-2015 September 22 - 26, 2015 Athens, Greece

Κάντε κλικ στην εικόνα

Βρείτε τη γωνία x

Δείτε την εκφώνηση

Γράφω τον κύκλο $(D,DC)$ που τέμνει την $BC$ στο $E$. Άμεση συνέπεια , το τρίγωνο $DEC$ είναι ισοσκελές με παρά τη βάση $EC$ γωνίες από $2x$. Τώρα και το τρίγωνο $EDB$ καθίσταται ισοσκελές αφού οι γωνίες  της βάσης του $BD$ είναι κάθε μια $x$. Ας είναι $S$ το συμμετρικό του  $B$ ως προς την $AC$. Προφανώς 

$A\widehat BS = A\widehat SB = x$ 

και άρα τα τρίγωνα $ABS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,EBD$ είναι ίσα με αποτέλεσμα το τρίγωνο $DBS$ να είναι ισόπλευρο. Αφού τώρα 

$B\widehat DS = 2B\widehat DA = 6x = 60^\circ $

θα είναι $\boxed{x = 10^\circ }$.

Πανελλαδικές εξετάσεις 2016 - Συντελεστές βαρύτητας μαθημάτων

A.Ομάδα Προσανατολισμού Ανθρωπιστικών Σπουδών 

1ο Επιστημονικό Πεδίο Ανθρωπιστικών, Νομικών και Κοινωνικών Επιστημών 

α) Αρχαία Ελληνικά Προσανατολισμού (1,3) 

β) Ιστορία Προσανατολισμού (0,7) 

3ο Επιστημονικό Πεδίο Επιστημών Υγείας και Ζωής 

α) Βιολογία Γενικής Παιδείας (0,9) 

β) Νεοελληνική Γλώσσα (0,4)

Μαθηματικά προσανατολισμού Β΄ Λυκείου - Οι προαπαιτούμενες γνώσεις για τη Γ΄ Λυκείου

Πηγή

Σχολικό έτος 2014 - 2015: Δράσεις και επιτυχίες σε διαγωνισμούς του σχολείου μας

Είναι κάθετες ή όχι;

Στο παρακάτω σχήμα, το τρίγωνο είναι ισοσκελές και η μία πλευρά του βρίσκεται επί της διαμέτρου του μεγάλου κύκλου. 

Η $Ο_{3}Α$ είναι κάθετη στην διάμετρο;

Η απάντηση στο ερώτημα, από τον Νίκο Φραγκάκη (Doloros):

Ceva + Μιχάλης Νάννος + Παύλος Τρύφωνας = δημιουργία!

Πηγή: lisari

Geometric Fractals - The Minkowski Curve

Kάντε κλικ στις εικόνες.

Αθροίσματα διαδοχικών φυσικών αριθμών = Τέλεια τετράγωνα

$1 + 2 + 3 + ... + 8 = 6^2$,

$1 + 2 + 3 + ... + 49 = 35^2$,

$1 + 2 + 3 + ... + 288 = 204^2$,

$1 + 2 + 3 + ... + 1681 = 1189^2$,

$1 + 2 + 3 + ... + 9800 = 6930^2$,

$1 + 2 + 3 + ... + 57121 = 40391^2$,

$1 + 2 + 3 + ... + 332928 = 235416^2$,

$1 + 2 + 3 + ... + 1940449 = 1372105^2$,

$1 + 2 + 3 + ... + 11309768 = 7997214^2$,

$1 + 2 + 3 + ... + 65918161 = 46611179^2$,

$1 + 2 + 3 + ... + 384199200 = 271669860^2$.

Συνεχίζεται ....

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015: Υλικό όλων των τάξεων Γυμνασίων, Γενικών Λυκείων και ΕΠΑ.Λ.

Ο σχολικός σύμβουλος Δωδεκανήσου κ. Ιωάννης Καραγιάννης μας προσφέρει από την εξαιρετική ιστοσελίδα του "Μαθηματικός Περιηγητής", πλούσιο υλικό προετοιμασίας για τις προαγωγικές εξετάσεις.

ΓΥΜΝΑΣΙΟ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ  2014-2015
ΤΑΞΗ	ΜΑΘΗΜΑ	ΘΕΜΑΤΑ	ΛΥΣΕΙΣ
Α΄	ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ	ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ	ΛΥΣΕΙΣ
Β΄	ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ	ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ	ΛΥΣΕΙΣ
Γ΄	ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ	ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ	ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2014

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ  ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Β΄  ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2014

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2014

 Τράπεζα θεμάτων ενδοσχολικών εξετάσεων όλων των τάξεων (Σχ. Έτος 2011-2012)

Tράπεζα θεμάτων ενδοσχολικών εξετάσεων όλων των τάξεων (Σχ. Έτος 2012-2013)

$χ=?$

Να βρεθεί η γωνία $χ$. (Γεωμετρική λύση)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

www.math-drills.com - Χιλιάδες δωρεάν φύλλα εργασίας στα Μαθηματικά

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Εσύ μπορείς να λύσεις αυτό το μαθηματικό πρόβλημα για παιδάκια;

Η ερώτηση έγινε από έναν 14χρονο μαθητή στη Σιγκαπούρη κατά τη διάρκεια της Μαθηματικής Ολυμπιάδας (SASMO).

Την ερώτηση ανέβασε στο προσωπικό του λογαριασμό στο Facebook ο Kenneth Kong με αποτέλεσμα να "κάψει" πάρα πολύ κόσμο που δε μπορεί τόσο εύκολα να βρεί την απάντηση.

Ο Albert και Bernard μόλις έγιναν φίλοι με τη Cheryl, και θέλουν να μάθουν πότε έχει τα γενέθλιά της. 

Η Cheryl τους έδωσε μια λίστα με δέκα πιθανές ημερομηνίες.

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 86η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης  

Κάντε κλικ στο σχήμα.

$\dfrac{b}{a}=?$

Στην παρακάτω εικόνα, βλέπουμε ένα ορθογώνιο εντός αυτού δύο ημικύκλια και πέντε ποδοσφαιρικές μπάλες.

Να βρεθεί ο λόγος 

$\dfrac{b}{a}=?$

12 ράβδοι

Έστω ότι έχουμε 12 ράβδους, κάθε μία από τις οποίες είναι 13 μονάδες μήκους. Οι ράβδοι πρέπει να κοπούν σε κομμάτια, τα

οποία να είναι $3, 4$, και $5$ μονάδες μήκους, έτσι ώστε με τα κομμάτια αυτά, να κατασκευάσουμε $13$ ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές $3, 4$ και $5$. Πώς θα πρέπει να κοπούν οι ράβδοι;
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου - Θέματα Απολυτηρίων εξετάσεων

Πηγή: lisari

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 33

Στην προέκταση της πλευράς $AB$ τετραγώνου ABCD, κινείται σημείο $E$ και η $ED$ τέμνει την $BC$ στο $T$. Η κάθετη $BS$ από το $B$ προς την $EC$, τέμνει την $ET$ στο $M$.

Βρείτε το λόγο $\displaystyle \frac{a}{b}$, ώστε το $M$ να είναι το μέσο της $ET$ και κατασκευάστε το σημείο $E$.

Πηγή: mathematica

Ο Χρυσός λόγος του Σωκράτη

Δείτε την εκφώνηση εδώ.

Είναι γνωστό ότι αν

$\phi = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$ 

τότε

${\phi ^2} - \phi = 1\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{\phi ^2} = \phi + 1\,\,\,(1)$. 

Στο σχήμα $\dfrac{R}{b} = \phi \,\,(2)$ και από το θεώρημα του Ευκλείδη (προβολών) στο τρίγωνο $ABC$ θα έχουμε:

$A{B^2} = BD \cdot BC \Rightarrow {(R + b)^2} = (R + \dfrac{b}{2})a$. 

Αν θέσουμε $a = bx$ και λόγω της $(2)$ η προηγούμενη γίνεται:

${(b\phi + b)^2} = (b\phi + \dfrac{b}{2})bx$ 

και άρα:

${(\phi + 1)^2} = x\dfrac{{2\phi + 1}}{2}$. 

Τώρα λόγω της $(1)$ θα προκύψει:

 $2{(\phi + 1)^2} = x({\phi ^2} + \phi ) \Leftrightarrow 2(\phi + 1) = x\phi $, 

ή τελικά:

$2{\phi ^2} = x\phi \Leftrightarrow \boxed{x = 2\phi }$.

Φραγκάκης Νίκος  (Doloros) 2o Γ. Ε. Λ. Ιεράπετρας.

Γαλάζια και κίτρινη επιφάνεια

Να συγκριθούν:

α) $Α= Β$          β) $Α>Β$          γ) $Α<Β$ 

Β΄ Λυκείου - Τα κλειδιά της επιτυχίας στις προαγωγικές εξετάσεις

 Άλγεβρα 

1) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων από τα σχολεία του Βόλου. (αποκλειστικό)

Επιμέλεια: Γιώργος Ράπτης

2) Επαναληπτικές ασκήσεις από διάφορες πηγές.(αποκλειστικό)

Επιμέλεια: Μιχάλης Φωτεινάκης

3) 13 ενδοσχολικά θέματα εξετάσεων (σχ. έτη 2011 - 14) από τα σχολεία Ρεθύμνου. (αποκλειστικό)

Επιμέλεια: Σήφης Βοσκάκης

4) Διαγώνισμα προσομοίωσης σε word που μας το προσφέρεια ποκλειστικά ο Βασίλης Μποζατζίδης

$\dfrac{a}{b}=?$

Στο σχήμα, το πεντάγωνο είναι κανονικό και τα ορθογώνια τρίγωνα ίσα.

Έγχρωμη λογική

Τέσσερα κορίτσια, η Μαρία, η Πηνελόπη, η Βασιλική και η Φωτεινή κάθονται σε κύκλο και κουβεντιάζουν. 

Το κορίτσι με το πράσινο φόρεμα (που δεν είναι ούτε η Μαρία ούτε η Πηνελόπη) κάθεται ανάμεσα στο κορίτσι με το μπλε φόρεμα και την Φωτεινή. Το κορίτσι με το λευκό φόρεμα κάθεται ανάμεσα στο κορίτσι με το ροζ φόρεμα και την Πηνελόπη. Ποιο φόρεμα φοράει το κάθε κορίτσι;

Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Τα σχολικά βιβλία των Μαθηματικών όλων των τάξεων Δημοτικού, Γυμνασίου και Λυκείου με τις λύσεις των ασκήσεων τους

 ΔΗΜΟΤΙΚΟ 

Mαθηματικά (Α)

Μαθηματικά (Β)

Μαθηματικά (Γ)

Μαθηματικά (Δ)

Μαθηματικά (Ε) 

Μαθηματικά (ΣΤ)

 ΓΥΜΝΑΣΙΟ 

Μαθηματικά (Α) (βιβλίο μαθητή)

Μαθηματικα (Β) (βιβλίο μαθητή)

Μαθηματικά (Γ) (βιβλίο μαθητή)

Μαθηματικά (Α) (βιβλίο εκπαιδευτικού)

Μαθηματικά (Β) (βιβλίο εκπαιδευτικού)

Μαθηματικά (Γ) (βιβλίο εκπαιδευτικού)

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ

 Α ΤΑΞΗ 

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων A Λυκείου

Αλγεβρα και Στοιχεία Πιθανότητων Α Λυκείου – ΛΥΣΕΙΣ

Ευκλείδεια Γεωμετρία (Α-B Γενικού Λυκείου)

Ευκλείδεια Γεωμετρία (Α-B Γενικού Λυκείου) – ΛΥΣΕΙΣ

Ευκλείδεια Γεωμετρία (Α-B Γενικού Λυκείου) – βιβλίο εκπαιδευτικού

 Β ΤΑΞΗ 

Άλγεβρα Β τάξης Γενικής Παιδείας

Άλγεβρα Β τάξης Γενικής Παιδείας – ΛΥΣΕΙΣ

Μαθηματικά Β τάξης Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Μαθηματικά Β τάξης Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης – ΛΥΣΕΙΣ

 Γ ΤΑΞΗ 

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ γενικού Λυκείου 

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ γενικού Λυκείου – ΛΥΣΕΙΣ

Μαθηματικά Γ Γενικού Λυκείου – Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 

Μαθηματικά Γ Γενικού Λυκείου – Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης – ΛΥΣΕΙΣ

Στατιστική Γ Γενικού Λυκείου – Μάθημα Επιλογής

Στατιστική Γ Γενικού Λυκείου – Μάθημα Επιλογής – ΛΥΣΕΙΣ

 ΕΠΑ.Λ. 

Μαθηματικά Ι (βιβλίο και ΛΥΣΕΙΣ μαζί)

Μαθηματικά Yποστήριξης (συνοπτικές σημειώσεις θεωρίας και ασκήσεις)

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ –ΛΥΣΕΙΣ

Μαθηματικά Γ τάξης – Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 

Μαθηματικά Γ τάξης- Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης-ΛΥΣΕΙΣ

Πηγή: ΠΑΥΛΟΣ ΤΡΥΦΩΝ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 32

Σημείο S κινείται επί του περικύκλου, ενός τετραγώνου ABCD. 

Δείξτε ότι το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεών του ST,SP από τις διαγωνίους του τετραγώνου είναι σταθερό.

Πηγή: mathematica