Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 77η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης  

Κάντε κλικ στο σχήμα.

ABCD

Nα βρεθούν τα ψηφία $A,B,C,D$, με $A>B>C>D$, για τα οποία ισχύει:

   ABCD 

− DCBA 

= BDAC

Harvard - MIT Mathematics Tournament 2004

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Βιβλία και εργασίες του Αντώνη Κ. Κυριακόπουλου

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Σκακιστικά προβλήματα - 27

Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε τρεις κινήσεις.

Πάλι με μέσον

Έστω $AD,CE$ τα ύψη τρίγωνου $ABC$ και $S,T$ οι προβολές του $D$ στις $AB,AC$ αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι η $ST$ διέρχεται από το μέσο $M$ του $DE$.

Bρείτε το ?

$\boxed{1,4}\boxed{4,2}\boxed{10, - 2}\,\,\,\boxed{1,1}\boxed{4,2}\boxed{10,4}\,\,\,\boxed{ - 5,2}\boxed{6, - 2}\boxed{?, - 6}$

Σε ποιόν αριθμό αντιστοιχεί το ?

Η ομορφιά των αριθμών

26³ = 17576
31³ = 29791
101³ = 1030301
106³ = 1191016
136³ = 2515456
211³ = 9393931
979³ = 938313739
986³ = 958585256
10001³ = 1000300030001
10101³ = 1030607060301
19202³ = 7080100070408
1000001³ = 1000003000003000001
1000101³ = 1000303030604030301
1010001³ = 1030304060303030001

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου - Διαγώνισµα Α΄ Τετραµήνου στις Ευθείες

Διαγώνισμα Α΄ τετραμήνου - Α΄ ομάδα 

Διαγώνισμα Α΄ τετραμήνου - Β΄ ομάδα 

Πόσο Ιανουαρίου;

Έστω $2000<N<2100$ ένας ακέραιος αριθμός. Η τελευταία ημέρα του έτους $N$ είναι Τρίτη, ενώ η πρώτη ημέρα του έτους $N+2 $ είναι Πέμπτη. Αν η τέταρτη Κυριακή του έτους $N+3$ είναι η $m $ του Ιανουαρίου, τότε να βρεθεί ο $m$."

USA NIMO 2015

Τρίτη και 13

Να αποδειχθεί ότι σε κάθε έτος υπάρχει μία ημέρα Τρίτη και 13.

ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 2015 

B΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Η νέα σχολική ύλη Μαθηματικών της Α΄, Β΄ και Γ΄ Λυκείου για το 2015 - 16

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 

(και οι δύο κατευθύνσεις)

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 
(Άλγεβρα, Γεωμετρία και Κατεύθυνση)

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Θέματα Προσομοίωσης Μαθηματικών 2015

 Του Διαμαντή Τσεκούρα 

ΟΕΦΕ 2014 – 2015 Α’ Φάση: Επαναληπτικά Θέματα Διακοπών Χριστουγέννων - Εκφωνήσεις & Απαντήσεις θεμάτων

 Α΄ Λυκείου 

 Άλγεβρα 

Εκφ. Απαντ.

=================================

 Β΄ Λυκείου 

 Άλγεβρα 

Εκφ. Απαντ.

 Θετικών σπουδών 

 Μαθηματικά Προσανατολισμού 

Εκφ. Απαντ.

=================================

Ε.Μ.Ε. Δωδεκανήσων - 5ος Μαθηματικός Διαγωνισμός "ΙΠΠΑΡΧΟΣ" - TA ΘΕΜΑΤΑ

Κάντε κλικ στην εικόνα.
Πηγή

3ος Χανιώτικος Μαθηματικός Διαγωνισμός της Α΄ Γυμνασίου - ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ

Κάντε κλικ στην εικόνα.
Πηγή

Δύσκολο πρόβλημα

Έστω $S$ το εμβαδόν κυρτού πενταγώνου $ABCDE$. Αν $R_1,R_2,R_3,R_4,R_5$ είναι οι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $ABC, BCD, CDE, DEA, EAB$, να αποδειχθεί η ανισότητα:  

\[ R_1^4+R_2^4+R_3^4+R_4^4+R_5^4\geq{4\over 5\sin^2 108^\circ}S^2 \]

International Zhautykov Olympiad 2015 (Καζακστάν)

Σημείωση: Το πρόβλημα δεν λύθηκε από κανένα μαθητή. Όλοι στο πρόβλημα αυτό πήραν $0$, εκτός από έναν που πήρε $1$.

Επίλυση εξίσωσης 2ου βαθμού - Μέθοδος του Harriot

 Ο μαθηματικός Thomas Harriot (1560-1621) εφάρμοσε  τη
 μέθοδο της  παραγοντοποίησης, για να βρει τις λύσεις

 μιας εξίσωσης 2ου βαθμού, στο μεγάλο έργο του για την
 άλγεβρα «Artis Analytical  Praxis». Η τεχνική του είναι η εξής
 περίπου:

 Υποθέτουμε ότι $x_1$ και $x_2$ είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας
 εξίσωσης

$αx^2 + βx + γ = 0, α ≠ 0$       (1).

Μαθηματικός Διαγωνισμός "Ευκλείδης" 2015 - Θέματα και Λύσεις

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Σκακιστικά προβλήματα - 26

Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε τρεις κινήσεις.

Σήμερα 17 Ιανουαρίου μνήμη του μαρτυρίου του Αγίου Νεομάρτυρος Γεωργίου εξ Ιωαννίνων

Μαρτύρησε στις 17 Ιανουαρίου 1838 στα Ιωάννινα. Ο άγιος νεομάρτυς Γεώργιος, ο πολιούχος των Ιωαννίνων, καταγόταν από ένα χωριό των Γρεβενών, το οποίο ονομαζόταν Τζούρχλη, σήμερα Άγιος Γεώργιος. Ήταν φτωχός και αγράμματος άνθρωπος. Σε ηλικία οκτώ ετών έμενε ορφανός. Και από τους δύο γονείς του. Όταν μεγάλωσε εργαζόταν ως ιπποκόμος σε κάποιον τούρκο αγά. Οι Τούρκοι ,όπως συνήθιζαν, δεν τον αποκαλούσαν με το όνομά του αλλά Γκιαούρ Χασάν.

Το έτος 1836 ο αγάς, τον οποίο υπηρετούσε ο άγιος, εγκαταστάθηκε για υπηρεσιακούς λόγους στα Ιωάννινα. Εκεί στα Ιωάννινα ο άγιος αρραβωνιάστηκε με μια νέα ονόματι Ελένη, ορφανή και αυτή από γονείς, πτωχή υλικά αλλά πλούσια ψυχικά.

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 76η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης  

Κάντε κλικ στο σχήμα.

Διδακτικό υλικό για την Άλγεβρα της Α΄Λυκείου

Άλγεβρα

Εισαγωγικό Κεφάλαιο

Ε.1.Το λεξιλόγιο της Λογικής

Ε.2. Σύνολα

Πιθανότητες

1.1.Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα

1.2.Έννοια της Πιθανότητας

Ερωτήσεις Κατανόησης

Λύσεις Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου

Ιστοσελίδες Σχολικών Συμβούλων Μαθηματικών

Δόρτσιος Κώστας: eisatopon.blogspot.gr - operedidixe.gr

Ελευθερίου Πρόδρομος: blogs.sch.gr/symath

Ζαχαριάδης Δημήτρης: dimzachari - logs.sch.gr/dyoin

Θεοδωρόπουλος Παναγιώτης: p-theodoropoulos.gr

Καραγιάννης Ιωάννης: blogs.sch.gr/iokaragi

Μπαραλός Γιώργος: math4educ.wordpress.com

Μπουνάκης Δημήτρης: mathher.gr/s/mpounakis

Μπουρουζάνας Κωνσταντίνος: users.sch.gr/kbour

Διδακτικό υλικό στη Γεωμετρία της Α΄Λυκείου

Κεφ 2: Βασικά Γεωμετρικά Σχήματα

Προβολή Α:   Οι πρωταρχικές γεωμετρικές έννοιες-Το ευθύγραμμο τμήμα

Προβολή Β:   Γωνίες-Διχοτόμος γωνίας-Κάθετες ευθείες -Είδη γωνιών

Προβολή Γ:   Κύκλος- Ευθύγραμμα σχήματα

Λύσεις Ασκήσεων σχολικού Βιβλίου

Tρία κουτιά

Κάθε ένα από τρία όμοια κουτιά είναι χωρισμένα σε δύο μέρη. Το πρώτο κουτί περιέχει από ένα χρυσό νόμισμα σε κάθε χώρισμα, το δεύτερο κουτί περιέχει ένα αργυρό και ένα χρυσό και το τρίτο κουτί έχει ένα αργυρό νόμισμα σε κάθε χώρισμα.

Παίρνουμε τυχαία ένα κουτί και στο ένα χώρισμα υπάρχει ένα νόμισμα, ποια είναι η πιθανότητα στο άλλο χώρισμα να υπάρχει διαφορετικό είδος νομίσματος;

(Bertrand 1849, Poinncare 1912)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Συγκριτική Εμβαδομέτρηση (Απάντηση)

Η εκφώνηση του προβλήματος: εδώ

Συγκριτική εμβαδομέτρηση

Ο δάσκαλος κόβει από ένα φύλλο χαρτί ένα τετράγωνο και ένα ορθογώνιο και τα δίνει στο Νικόλα. Πώς μπορεί ο Νικόλας να συγκρίνει εύκολα και με ακρίβεια τα εμβαδά τους, χωρίς να μετρήσει τις διαστάσεις τους; Απαγορεύεται να καταστρέψει τα σχήματα.

$2015$ νομίσματα

Πάνω σε ένα τραπέζι βρίσκονται απλωμένα $2015$ νομίσματα. Κάποια είναι γυρισμένα ώστε να δείχνουν κεφάλι και κάποια δείχνουν γράμματα. $2015$ άνθρωποι δικαιούνται να κάνουν το εξής: O 1ος θα γυρίσει ένα οποιοδήποτε νόμισμα. Ο 2ος θα γυρίσει $2$ οποιαδήποτε νομίσματα, ... ο $ν$-ιοστός θα γυρίσει οποιαδήποτε $ν$ νομίσματα..., ο 2015ος θα γυρίσει όλα τα νομίσματα. Δείξτε ότι:

Σκακιστικά προβλήματα - 25

Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε τρεις κινήσεις.

Μιγαδικοί Αριθμοί - Επανάληψη

 Του Μιχάλη Μάγκου 

Μια γρήγορη επανάληψη-φρεσκάρισμα των Μιγαδικών Αριθμών των Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου πριν τις εξετάσεις.

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου: Πολυώνυμα - Πολυωνυμικές Εξισώσεις

Θεωρία - Λυμένα Παραδείγματα - Ερωτήσεις κατανόησης - Προτεινόμενες ασκήσεις - Κριτήρια αξιολόγησης - Επαναληπτικό διαγώνισμα.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πηγή

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 75η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης  

Κάντε κλικ στο σχήμα.

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Η επανάληψη βήμα προς βήμα με ερωτήσεις θεωρίας και τις βασικές ασκήσεις ανά παράγραφο

Κάντε κλικ στην εικόνα.

360 Problems for Mathematical Contest [Titu Andreescu, Dorin Andrica]

Kάντε κλικ στην εικόνα.

Επίλυση εξίσωσης 2ου βαθμού - Μέθοδος των Ινδών

 Η επίλυση αυτή που επινοήθηκε στην Ινδία, αποδίδεται στον
 Sridhara (1025 μ. Χ. περίπου).

 Έχουμε διαδοχικά:

$αx^2 + βx + γ = 0$

$αx^2 + βx = -γ$

 Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με $4α$ και
 ύστερα προσθέτουμε το $β^2$ και  στα δύο μέλη, για να
 προκύψει ένα «τέλειο» τετράγωνο στο αριστερό μέλος.
 Δηλαδή

 Έτσι προκύπτει ότι: 

 Σχόλιο: Η απλότητα της μεθόδου των Ινδών χαρακτηρίζεται
 από το γεγονός ότι το κλάσμα δεν  εμφανίζεται. παρά μόνο
 στο τελευταίο βήμα.

Γεωμετρία Β΄ Λυκείου - Σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών 2014 - 2015

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης 

Λογαριθμικό σύστημα

Να λυθεί το σύστημα:

\[ \begin{cases}\log_{10}(2xy) =\log_{10}(x)\cdot\log_{10}(y)\\ \log_{10}(yz) =\log_{10}(y)\cdot\log_{10}(z)\\ \log_{10}(2zx) =\log_{10}(z)\cdot\log_{10}(x)\end{cases} \]

Revista Matematica (Titu Andreescu)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Σκακιστικά προβλήματα - 24

Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε τρεις κινήσεις.

Πορτρέτα μαθηματικών - Michael Ostrogradsky

Michael Ostrogradsky

www.askisopolis.gr: Τράπεζα θεμάτων - Α΄ Λυκείου - Γεωμετρία

Τίτλος: Τράπεζα θεμάτων Α Λυκείου:Οι ασκήσεις της Γεωμετρίας με τις λύσεις τους σε 6η έκδοση (διόρθωση 3729) Μάθημα:Γεωμετρία | Τάξη: Α Λυκείου | Κατηγορία: Τράπεζα Θεμάτων Ημερομηνία καταχώρησης: 2014-12-16

Τίτλος: Γεωμετρία Α΄ Λυκείου: Οι ασκήσεις της τράπεζας θεμάτων ανά διδακτική ενότητα (προστέθηκαν διορθώσεις) Μάθημα:Γεωμετρία | Τάξη: Α Λυκείου | Κατηγορία: Τράπεζα Θεμάτων Ημερομηνία καταχώρησης: 2014-12-15

Τίτλος: Τράπεζα θεμάτων Α Λυκείου:Οι ασκήσεις της Γεωμετρίας χωρισμένες σε διδακτικές ενότητες σε 6η έκδοση (+ 3423) Μάθημα:Γεωμετρία | Τάξη: Α Λυκείου | Κατηγορία: Τράπεζα Θεμάτων Ημερομηνία καταχώρησης: 2014-11-08

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου: Εκπαιδευτικό υλικό (5ο Λύκειο Πετρούπολης)

 Των Π. Τρίμη, Π. Καραγιώργου και Γ. Κυριακόπουλου 

 ΤΡΙΜΗΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ 

Γραμμικά συστήματα - Μέθοδος Οριζουσών - Παράμετροι
Γραμμικά συστήματα
Συστήματα - Επανάληψη
Τριγωνομετρικές εξισώσεις
Πολυώνυμα (βαθμός - ισότητα - αρ. τιμή) Διαίρεση Πολυωνύμων - Σχήμα Horner - Πολυωνυμικές Εξισώσεις - Ανισώσεις
Επανάληψη στα Πολυώνυμα
Ρητές και Άρρητες Εξισώσεις και Ανισώσεις

The Contest Problem Book VI

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Η κάλυψη του πολυγώνου

Είναι δυνατόν να καλύψουμε με τετράγωνα ένα πολύγωνο χωρίς ορθές γωνίες;
(Tα τετράγωνα είναι υποχρεωτικά ίσα και επιτρέπεται να τέμνονται.)

Περιοδικό Quantum

Tέλειο τετράγωνο

Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός 

$ \begin{matrix}\\ N=\end{matrix}\underbrace{44\ldots 4}_{n}\underbrace{88\ldots 8}_{n}-1\underbrace{33\ldots3 }_{n-1}2 $

είναι τέλειο τετράγωνο, για κάθε θετικό ακέραιο αριθμό $n$.

Argentina Cono Sur TST 2013

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

2 - Υπέροχοι αριθμοί

Οι αριθμοί που έχουν και τα εννέα ψηφία από 1 έως το 9, από μία φορά ακριβώς, λέγονται pandigital. Παρακάτω έχουμε 28 τέτοιους αριθμούς υψωμένους στο τετράγωνο, που είναι ίσοι με 2 - pangidital αριθμούς (αριθμοί που έχουν και τα εννέα ψηφία από δύο φορές ακριβώς).

$345918672^2 = 119659727638243584$
$351987624^2 = 123895287449165376$　

$359841267^2 = 129485737436165289$
$394675182^2 = 155768499286733124$

$429715863^2 = 184655722913834769$
$439516278^2 = 193174558626973284$
$487256193^2 = 237418597616853249$

Πράσινος κύκλος

Οκτώ ίσα ημικύκλια είναι σχεδιασμένα στο εσωτερικό ενός τετραγώνου πλευράς 2, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.  

Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου που εφάπτεται στα ημικύκλια αυτά.

USA AMC 10 2014

Σύγκριση

Ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος:  

$ (3^5)^{(5^3)} $ ή  $ (5^3)^{(3^5)} $.

USA Stanford Mathematics Tournament 2000

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

www.askisopolis.gr: Τράπεζα θεμάτων - Α΄ Λυκείου - Άλγεβρα

Τίτλος: Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου: Οι ασκήσεις χωρισμένες σε διδακτικές ενότητες (5η έκδοση) Μάθημα:Άλγεβρα | Τάξη: Α Λυκείου | Κατηγορία: Τράπεζα Θεμάτων Ημερομηνία καταχώρησης: 2014-10-29

Τίτλος: Άλγεβρα Α Λυκείου :Οι ασκήσεις της τράπεζας θεμάτων με τις λύσεις τους χωρισμένες σε διδακτικές ενότητες (έκδοση 5η) Μάθημα:Άλγεβρα | Τάξη: Α Λυκείου | Κατηγορία: Τράπεζα Θεμάτων Ημερομηνία καταχώρησης: 2014-10-29

Τίτλος: Εκφωνήσεις και λύσεις νέων θεμάτων Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα 23-10-14 Μάθημα:Άλγεβρα | Τάξη: Α Λυκείου | Κατηγορία: Τράπεζα Θεμάτων Ημερομηνία καταχώρησης: 2014-10-27

Fermat Point

15 Πρωτότυπα Επαναληπτικά Θέματα στα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου

πηγή

Ύπαρξη

Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί $m$ και $n$ τέτοιοι ώστε: 

\[ \frac{m}{n}=\sqrt[3]{\sqrt{50}+7}-\sqrt[3]{\sqrt{50}-7}. \]

Malaysia National Olympiad 2010

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Φροντιστήρια Φλωρόπουλου - Διαγωνίσματα 2014

	Μαθήματα Γενικής Παιδείας
	Β' Λυκείου - Άλγεβρα 12.10.2014
	Β' Λυκείου - Άλγεβρα 23.02.2014
	Γ' Λυκείου - Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής 12.10.2014
	Γ' Λυκείου - Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής 14.07.2014
	Γ' Λυκείου - Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής 23.03.2014
	Μαθήματα Κατεύθυνσης ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ
	Γ' Λυκείου - Μαθηματικά 09.02.2014
	Γ' Λυκείου - Μαθηματικά 26.10.2014
	Γ' Λυκείου - Μαθηματικά 28.07.2014