Καλή Χρονιά!

Το eisatopon εύχεται σε όλους τους αναγνώστες του και σε όλον τον κόσμο, το  2015 να είναι μία καλή και ευλογημένη χρονιά.

Four Colorr Theorem

Τρία νησιά

Στο διπλανό διάγραμμα φαίνονται τρία νησιά το Α, Β και Γ. Τα νησιά Α και Β συνδέονται με γέφυρα , όπως και τα νησιά Β και Γ.
Η Άντρεα ξεκινά το ταξίδι της από το νησί Α και ταξιδεύει από νησί σε νησί μόνο μέσω γέφυρας και καταγράφει τη σειρά των νησιών που επισκέπτεται. Δεν επισκέπτεται κατ΄ανάγκη όλα τα νησιά. Αν η Άντρεα διέσχισε συνολικά 20 γέφυρες, με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να πραγματοποίησε το ταξίδι της ανάμεσα στα νησιά Α, Β, Γ.

Α΄ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ IMC STAGE III 2014

Οι απαντήσεις των θεμάτων Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου τα τελευταία 15 χρόνια

Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην άμεση κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 15 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου (ΘΕΩΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ) και των 12 χρόνων των επαναληπτικών του Ιουλίου (ΘΕΩΡΙΑ) με μια διαφορετική παρουσίαση.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Προτεινόμενα διαγωνίσματα στα Μαθηματικά όλων των τάξεων του Λυκείου μαζί με τις λύσεις τους

Δείτε συγκεντρωμένα προτεινόμενα διαγωνίσματα για όλες τις τάξεις του Λυκείου σε όλα τα μαθήματα των μαθηματικών μαζί με τις λύσεις τους.

Κάντε κλικ στους αντίστοιχους συνδέσμους στον επόμενο πίνακα για να ανοίξετε τα θέματα και τις λύσεις τους.

Την γενική επιμέλεια των διαγωνισμάτων και των λύσεών τους είχε ο Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Γιάννης Καραγιάννης.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΑΞΗ	ΜΑΘΗΜΑ	ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ	ΛΥΣΕΙΣ
Α΄	ΑΛΓΕΒΡΑ	Διαγώνισμα 1 Κεφάλαιο 2o Διαγώνισμα 2 (Συνδυαστικό 1ο+2ο Κεφάλαιο)	Λύσεις των διαγωνισμάτων
Α΄	ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ	ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ(Κεφαλαιο 3ο Τρίγωνα)	ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
Β΄	ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ	ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ  (Κεφάλαιο 9ο-Μετρικές σχέσεις)	ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

Ίσα κλάσματα, ίσοι αριθμητές ...

Εκ πρώτης όψεως η παρακάτω εξίσωση είναι αδύνατη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Είναι όμως?

Ξενόγλωσσα βιβλία Γεωμετρίας - Προτείνει ο Ζήνων Λυγάτσικας

1) Berger Marcel: Geometry I & II, Springer-Verlag Series Universitext, 1987.

Ένα από τα πληρέστερα βιβλία στην Γεωμετρία με πολλές προεκτάσεις. Αυτό και τα βιβλία του H. S. M. Coxeter θεωρούνται κλασικά συγγράμματα στην σύγχρονη Γεωμετρία.

2) Chou Shang-Ching: Mechanical Geometry Theorem Proving, D. Reidel Publishing Company, 2001.

Πρόκειται για ένα ιστορικό βιβλίο πάνω στην μέθοδο Wu με μια σειρά από παραδείγματα αυτοματοποίησης της Γεωμετρίας. Παρουσιάζει 512 θεωρήματα της Γεωμετρίας λυμένα με την μέθοδο Wu καθώς και μερικά νέα.

$M^2=?$

Έστω 

$M= \frac{4}{5} \times  \frac{6}{7} \times  \frac{8}{9} \times .... \times  \frac{9998}{9999}$    

Ποια από τις παρακάτω σχέσεις είναι αληθής?

(A) $M^2=0.0004$

(B)$M^2\geq 0.0004$  

(C)$M^2\leq 0.0004$  

(D)$M^2=0.04$  

(E)$M^2\geq0.04$
  Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com    

The Pigeonhole Principle

Τρία τα ισόπλευρα

Στο εσωτερικό τετραγώνου ABCD κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα $ABE, ADF. Οι CE, CF$ τέμνουν τις $AD, AB$ στα σημεία $P, Q$ αντίστοιχα. 

Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο $CPQ$ είναι ισόπλευρο.

Πηγή

Σύγκριση

Ποιο είναι μεγαλύτερο:

\[ \frac{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{2014}\sin^{2014}x\ dx}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{2013}\sin^{2013}x\ dx}\ \text{ή}\ \frac{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{2011}\sin^{2011}x\ dx}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{2012}\sin^{2012}x\ dx}\ ? \]

kunihiko Chikaya

  Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com    

συνθ =?

Αν το εμβαδόν $Α$ του ορθογωνίου είναι ίσο με το εμβαδόν $Β$ του τεταρτοκυκλίου, τότε συνθ =?.

V - E + F = 2

Στα τέσσερα

Στο παρακάτω σχήμα, το τετράγωνο πλευράς $1$ χωρίζεται σε τέσσερα μέρη από τη μία διαγώνια του και το ευθ. τμήμα που ενώνει την κορυφή του με το μέσο της απέναντι πλευράς.

Να βρεθούν τα εμβαδά των τεσσάρων επιφανειών $a,b,c,d$.

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 73η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης  

Κάντε κλικ στο σχήμα.

Μobius Strip

2581 = ?

8809 = 6 

7111 = 0 

2172 = 0 

6666 = 4 

1111 = 0 

Επιτυχόντες του 75ου Μαθηματικού διαγωνισμού "ΘΑΛΗΣ" (2014 - 2015) - ΟΛΑ ΤΑ ΟΝΟΜΑΤΑ

Β' Γυμνασίου 2014-2015

Γ' Γυμνασίου 2014-2015

Α' Λυκείου 2014-2015

Β' Λυκείου 2014-2015

Γ' Λυκείου 2014-2015

Διαγωνίσματα τεσσάρων τύπων στα Μαθηματικά της Γ΄ Λυκείου, από το lisari.blogspot.com

Κεφάλαιο 2ο: Άλγεβρα - Μιγαδικοί αριθμοί

Τύπος 1 (θεωρία)

Τύπος 2 (ασκήσεις από το σχολικό βιβλίου)

Τύπος 3 (Πανελλαδικές εξετάσεις)

Τύπος 4 (Γενικής μορφής)

Κεφάλαιο 1ο - Ανάλυσης: Συναρτήσεις - Όρια

Τύπος 1 (θεωρία)

Τύπος 2 (ασκήσεις από το σχολικό βιβλίου)

Τύπος 3 (Πανελλαδικές εξετάσεις)

Τύπος 4 (Γενικής μορφής)

9 - Πινακίδες

Παρατηρείστε προσεκτικά την παρακάτω πινακίδα αυτοκινήτου.

Σε ποιον μαθηματικό σας παραπέμπει;

Περίμετρος ορθογωνίου

H Μαρία πρόσθεσε ορθά τρεις πλευρές ενός ορθογωνίου και βρήκε άθροισμα 88cm. Ο αδελφός της πρόσθεσε ορθά τρεις πλευρές του ίδιου ορθογωνίου και βρήκε 80cm. Να βρείτε την περίμετρο του ορθογωνίου.

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2014

Μαγικοί αριθμοί - 1

  Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com    
Είναι: 

$961527834^5 =$

$821881685441327565743977956591832631269739424$

Τι παρατηρείτε?

  Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com    

Ανθρωποκυνηγητό

Δεκαέξι σπηλιές βρίσκονται στη σειρά, η μία μετά την άλλη. Ο σερίφης Μεγαλοφρύδης γνωρίζει ότι ένας ληστής, ο Φευγάτος Τζο, κρύβεται σε μία από τις σπηλιές. Ο σερίφης γνωρίζει επίσης ότι οι φίλοι του Φευγάτου Τζο τον έχουν συμβουλεύσει να μετακινείται κάθε νύχτα στη διπλανή σπηλιά, είτε αριστερά είτε δεξιά. Ο σερίφης και οι βοηθοί του μπορούν να ερευνήσουν μία μόνο σπηλιά κάθε ημέρα. Αν αρχίσουν να ερευνούν την 1η Μαΐου, θα συλλάβουν τον κακοποιό πριν το τέλος Μαΐου;

Περιοδικό Quantum

Πρόβλημα βρασμού

Τοποθετούμε μία μικρή χύτρα γεμάτη με νερό μέσα σε μία μεγάλη χύτρα, επίσης γεμάτη με νερό. Τοποθετούμε τη μεγάλη χύτρα στο μάτι μιας κουζίνας και την αφήνουμε έως ότου βράσει τo νερό της. Θα βράσει και το νερό της μικρής χύτρας;

Περιοδικό Quantum

1729 - Τaxicub number

Εικοσιδωδεκάεδρον - Τεύχος 13

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πηγή

Εύρεση του $cos72^o$ με χρήση μιγαδικών

Έστω $z = cos 72^o + i sin 72^o$, τότε 

$z^5 = cos 360^o + i sin 360^o = 1$

οπότε έχουμε διαδοχικά

$z^5 – 1 = 0$

$(z – 1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0$ , $z\neq{1}$

 $z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0$

Λύνουμε την εξίσωση και βρίσκουμε

Οπότε

.

Β΄ Λυκείου - Τα θέματα της Τράπεζας Θεμάτων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού ανά Κεφάλαιο και ανά Θέμα

Σε μία καλαίσθητη έκδοση δείτε ταξινομημένα ανά Κεφάλαιο και ανά κατηγορία θέματος (2ο και 4ο) όλα τα μέχρι σήμερα δημοσιοποιημένα θέματα από το Ινστιτούτο Εκπαιδευτικής Πολιτικής στα Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών της Β΄ Λυκείου.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πηγή

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου - Τα θέματα της Τράπεζας Θεμάτων ανά Κεφάλαιο και ανά Θέμα

Σε μία καλαίσθητη έκδοση δείτε ταξινομημένα ανά Κεφάλαιο και ανά κατηγορία θέματος (2ο και 4ο) όλα τα μέχρι σήμερα δημοσιοποιημένα θέματα από το Ινστιτούτο Εκπαιδευτικής Πολιτικής στην Άλγεβρα της Β΄ Λυκείου.

Κάντε κλικ στην εικόνα.
Πηγή

Κώστας Ζυγούρης - Παρουσίαση στο 31ο Συνέδριο της ΕΜΕ στην Βέροια - Αράχνη εναντίον μύγας

Γεωμετρία - Άσκηση 652

Έστω τρίγωνο $ABC$ με $∠ABC = 30^0$. Αν το μήκος της διχοτόμου της γωνίας $B$ είναι διπλάσιο από το μήκος της διχοτόμου της γωνίας $A$, να βρεθεί η γωνία $∠BAC$.

Mircea Lascu - Marius Stanean, Zalau, Romania

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Σημεία διαφωνιών στα Μαθηματικά

 Του Νίκου Ιωσηφίδη 

Kάντε κλικ στην εικόνα.

Γωνιακά προβλήματα

Έστω σημείο Μ στο εσωτερικό παραλληλογράμμου ABCD. Γνωρίζουμε ότι $\angle{MBC}=20^0$, $\angle{MCB}=50^0$, $\angle{MDA}=70^0$, $\angle{MAD}=40^0$. Βρείτε τις γωνίες του παραλληλογράμμου. 

Περιοδικό Quantum

Σύστημα - 34

Να λυθεί στο σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών το σύστημα:

$(2x)^{2013} + (2y)^{2013} + (2z)^{2013} = 3$

$xy + yz + zx + 2xyz = 1$.

Roberto Bosch Cabrera, Havana, Cuba
  Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com    

Χρήσιμα θεωρήματα στις παραγώγους

 Του Νίκου Ιωσηφίδη 

Kάντε κλικ στην εικόνα.

Ανάλυση της Επίδοσης των Μαθητών σε Διαγώνισμα Προσομοίωσης Μαθηματικών Κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου: Συμπεράσματα & Προτάσεις

 Του Γιάννη Θωμαΐδη 

Kάντε κλικ στην εικόνα.

$136$

Ο καθηγητής των Μαθηματικών λέει στον Πέτρο: το γινόμενο δύο ακεραίων αριθμών και στον Παύλο το άθροισμα τους. Κανείς τους δεν γνωρίζει τους αριθμούς που είπε ο καθηγητής στον άλλον. 

Ένας από αυτούς λέει: Δεν μπορείς να μαντέψεις τον αριθμό που είπε σε μένα. 

Τότε, ο άλλος απαντά: Κάνεις λάθος, ο αριθμός είναι 136.

Ποιους αριθμούς είπε ο καθηγητής στον καθένα;

Mediterranean Mathematics Olympiad 2005

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

5.000 ντοκουμέντα του Αϊνστάιν

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 72η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης  

Κάντε κλικ στο σχήμα.

Μαθηματικά: Εκλαΐκευση- Διδακτική - Ιστορία

Κώστας Ζυγούρης

Σας καλωσορίζω στο ιστολόγιο μου! Φιλοδοξία μου και βασικός σκοπός της δημιουργίας του είναι η μετάδοση της αγάπης μου για τα μαθηματικά, μέσα από επιλεγμένες δημοσιεύσεις που αφορούν κυρίως θέματα εκλαΐκευσης, διδακτικής και ιστορίας τους.
Κάντε κλικ στην εικόνα.

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Διαγώνισµα Α΄ τετραμήνου

 Εισηγητής: Πρωτοπαπάς Ελευθέριος 

Κάντε κλικ στην εικόνα.

"Γιατί Απειροστικός;"

Δείτε την εισήγηση του Καθηγητή του Μαθηματικού τμήματος του πανεπιστημίου Κρήτης κ. Λάμπρου Μιχάλη με τίτλο: "Γιατί Απειροστικός;"

Η Ισότητα

α) Μετακινήστε μόνο δύο ψηφία για να είναι σωστή η ισότητα: 

$10\times{54}=32^2$.

β) Μετακινήστε μόνο δύο ψηφία για να είναι σωστή η ισότητα: 

$10+54=25^2$.

100 Επαναληπτικές ασκήσεις στο Διαφορικό Λογισμό σε word

 Του Γιώργου Ασημακόπουλου 

Πηγή

Τα Δώρα

Καθ' ότι πλησιάζουν Χριστούγεννα, το σημερινό πρόβλημα έχει σχέση με τα Χριστούγεννα, ώστε να μπούμε σιγά - σιγά στο εορταστικό κλίμα του Δωδεκαήμερου.

Ο Johann και  Klaus είναι δυο ξωτικά που εργάζονται το δωδεκαήμερο των Χριστουγέννων με μερική απασχόληση, λόγω της κρίσης που υπάρχει στην αγορά εργασίας, στο εργαστήρι του Άγιου Βασίλη στο Ρόβανιεμι, το «χωριό του Άϊ - Βασίλη», στη Φιλανδία.

Πυκνοί Καπνοί

Ένας γρίφος που αρχικά μοιάζει δύσκολος, αλλά με λίγη σκέψη και απλά μαθηματικά,....,.πολύ απλά όμως, ...., είναι παιχνιδάκι!!

Σ’ ένα Saloon, στο Far West, έξι άνθρωποι που παίζουν πόκα καπνίζουν έξι τσιγάρα σε έξι λεπτά. Πόσοι άνθρωποι χρειάζονται για να καπνίσουν 80 τσιγάρα σε 48 λεπτά;

IMO Idea - Pappus΄s Hexagon Theorem

Σημειακές πράξεις - Μία νέα μέθοδος απόδειξης γεωμετρικών προτάσεων

 Του Νίκου Ιωσηφίδη 

Kάντε κλικ στην εικόνα.