Τετράγωνο και εφαπτομένη

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ σχεδιάσαμε (πώς ?) το τετράγωνο $ASPQ$. 

Αν το εμβαδόν του τετραγώνου, ισούται με το $48\%$ του εμβαδού του τριγώνου, υπολογίστε την $\epsilon\phi B$.

Πηγή

Η στενωπός του νερού και το τηγάνι που (δεν) λιώνει

Με αυτή την ανάρτηση, εγκαινιάζω (καλά να είμαστε...) μια σειρά θεμάτων/γρίφων που έχουν εφαρμογή στην καθημερινότητα όλων μας. Όπως θα διαπιστώσετε από τα πρώτα θέματα, μιλούμε για φαινόμενα και καταστάσεις που όλοι γνωρίζουμε και όλοι μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε πειραματικά. Πόσοι από μάς όμως έχουμε αναρωτηθεί για τη φυσική αιτία ή τις αιτίες που προκαλούν κάποιες καταστάσεις; Δεν απαιτείται καμία σπουδαία φορμαλιστική γνώση Φυσικής ή σπουδαίοι "τύποι". Ελπίζω να αρέσουν και κυρίως να προσφέρουν τροφή για σκέψη και διερεύνηση.

$1.$ Παρατηρήστε το στρώμα του νερού,την στήλη που σχηματίζεται καθώς ανοίγετε μια βρύση και το νερό πέφτει προς το έδαφος. Δείτε και τη βρυσούλα στην εικόνα!

Οξυγώνιο σε δεκαεπτάγωνο

Ένα πρόβλημα που μου έστειλε ο φίλος Θανάσης Παπαδημητρίου (papadim).

Επιλέγουμε στην τύχη τρεις κορυφές από ένα κανονικό δεκαεπτάγωνο. Ποια είναι η πιθανότητα το τρίγωνο που σχηματίζεται απ'αυτές τις κορυφές να είναι οξυγώνιο;

8ο Μαθηματικό Καλοκαιρινό Σχολείο Ημαθίας - Σημειώσεις ΣΤ΄ Δημοτικού και Α΄ Γυμνασίου

Ακτίνα κύκλου

Η πλευρά $ΑΕ$ ενός πενταγώνου $ΑΒΓΔ$ ισούται με τη διαγώνιο. Όλες οι άλλες πλευρές του πενταγώνου είναι ίσες με $1$. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία $Α, Γ$ και $Ε$.

Μιχάλης Νάννος - Άλγεβρα Α’ Λυκείου (25 ασκήσεις)

Πηγή

Τεστ ευφυΐας από εξωγήινους

Εξωγήινοι έχουν απαγάγει  επιστήμονες από την γη για να ελέγξουν την εξυπνάδα τους. Έχουν έτοιμες  ρόμπες αριθμημένες στο πίσω μέρος τους από το  ως το .

Την μέρα του τεστ μια από τις ρόμπες θα αφαιρεθεί τυχαία και οι υπόλοιπες θα φορεθούν τυχαία από μία σε κάθε επιστήμονα. Οι επιστήμονες θα σταθούν σε μία γραμμή, πάλι τυχαία, έτσι που ο κάθε επιστήμονας θα βλέπει τον αριθμό της ρόμπας του μπροστινού του αλλά όχι τον δικό του ή αυτών που βρίσκονται πίσω του.

Τεχνικές Ολοκλήρωσης, του Σχολικού Συμβούλου Κων. Κωνσταντόπουλου

$RRR$

Παρατηρήστε προσεκτικά τις χρωματιστές επιφάνειες $R$. Δύο από αυτές είναι ίσες, δηλαδή συμπίπτουν ακριβώς, όταν τοποθετηθεί η μία πάνω στην άλλη. 

Ποιες είναι αυτές;

Υψηλόμισθοι Δ.Υ

100 δημόσιοι υπάλληλοι συμμετείχαν σε μία συνεδρίαση. Τα καθίσματα στην αίθουσα σχημάτιζαν ένα τετράγωνο 10 σειρών με 10 καθίσματα σε κάθε σειρά. Η συνεδρίαση, ως συνήθως, καθυστέρησε και οι υπάλληλοι άρχισαν να μιλάνε αναμεταξύ τους.

Όσοι έμαθαν ότι ανάμεσα στους διπλανούς τους (δηλ. σε αυτούς που κάθονταν δεξιά, αριστερά, μπρος, πίσω και διαγώνια) υπήρχε το πολύ ένας με ίσο ή μεγαλύτερο μισθό, αποφάσισαν ότι έπρεπε να θεωρούν τους εαυτούς τους υψηλόμισθους. Ποιο είναι το μέγιστο δυνατό πλήθος υψηλόμισθων υπαλλήλων;

Μελέτη της συνάρτησης f(x) = εφx

Επειδή η συνάρτηση $f(x) = εφx$ είναι περιοδική με περίοδο $π$, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους $π$, π.χ. το $(-\frac{π}{2}, -\frac{π}{2})$.

(Το διάστημα είναι ανοικτό, αφού η συνάρτηση $εφ$ δεν ορίζεται στα $-\frac{π}{2}$ και $\frac{π}{2}$).

Ας υποθέσουμε ότι η τελική πλευρά της γωνίας $x$ rad τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο $Μ$ και την ευθεία των εφαπτομένων στο σημείο $Ε$.

Όπως έχουμε αναφέρει η $εφx$ ισούται με την τεταγμένη του σημείου $Ε$.

Τι ώρα είναι;

Όταν βλέπουμε μέσα από έναν καθρέφτη το ρολόϊ ενός τοίχου, βλέπουμε την παρακάτω εικόνα. Τι ώρα είναι;

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 62η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης  

Κάντε κλικ στο σχήμα.

Περσινής εσοδείας!

Έστω η εξίσωση: 

$x + 4y + 16(w + 4z) = 210$.

Να βρεθούν οι μη αρνητικοί, ακέραιοι, άγνωστοι αν ξέρουμε ότι όλοι είναι μικρότεροι του $4$.

Να γράψετε μετά την λύση ως τον αριθμό $A = \overline {xywz}$.

Καφέδες

Σε μια πολυσύχναστη ώρα, ένα κατάστημα καφέ πούλησε τριπλάσιους καπουτσίνο απ'ότι εσπρέσσο. 24 περισσότεροι ήπιαν αμερικάνο απ'ότι εσπρέσσο και 3 λιγότεροι, απ'όσους ήπιαν αμερικάνο, ήπιαν λάττε.

36 πελάτες παρήγγειλαν λάττε, πόσοι παρήγγειλαν καθένα από τους υπόλοιπους τρεις καφέδες;

5 - Πινακίδες

Παρατηρείστε την παρακάτω πινακίδα αυτοκινήτου.

Σε ποιον μαθηματικό σας παραπέμπει;

Μία εικόνα χίλιες λέξεις

Τι θέλει να πει ο ... ποιητής?

Εξαιρετικό μέσο

Με μία κάθετη πλευρά την ακτίνα KA ημικυκλίου διαμέτρου $AB$, σχεδιάζω το ορθογώνιο τρίγωνο $LAK$, του οποίου το ύψος προς την υποτείνουσα $LK$, καλώ $AD$. 

Η $BD$ προεκτεινόμενη, τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο $S$, ενώ η $AS$ προεκτεινόμενη, τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο $M$. Δείξτε ότι $LM=MD$. 

Πηγή

Κύκλοι στο νερό

Όταν πέφτει μία πέτρα σε ακίνητο νερό δημιουργούνται κυματισμοί που απομακρύνονται σχηματίζοντας κύκλους. 

Τι μορφή θα έχουν οι κυματισμοί αν ρίξουμε την πέτρα στο κινούμενο νερό ενός ποταμού;

S. Krotov, Περιοδικό Quantum

Για τον Λέοναρντ Όϋλερ

Άρθρο των Γ. Θωμαΐδη και Α. Πούλου για το περιοδικό "Το φι".

Arthur Benjamin - H μαγεία της ακολουθίας Fibonacci

O μαθηματικός Arthur Benjamin διερευνά τις κρυφές ιδιότητες ενός παράξενου και υπέροχου συνόλου αριθμών, της περίφημης ακολουθίας Φιμπονάτσι και μας υπενθυμίζει ότι τα μαθηματικά μπορούν να είναι μια ανεξάντλητη πηγή έμπνευσης.

Πηγή

Δύσκολος τομέας

Σε (κυρτό) κυκλικό τομέα $O\overset{\frown}{AB}$, ακτίνας $R$ και χορδής $x$ εγγράφουμε (πώς ?) τετράγωνο $KLMN$. 

α) Υπολογίστε το $(KLMN)$ 

β) Βρείτε τη σχέση μεταξύ των $R,x$, ώστε: $(KLMN)=(OAB)$.

Πηγή

Μια 37χρονη Ιρανή η πρώτη γυναίκα στον κόσμο που λαμβάνει το «Νομπέλ» των Μαθηματικών

Η ιρανικής καταγωγής μαθηματικός Mαριάμ Μιρζακχανί έγινε η πρώτη γυναίκα που τιμήθηκε με το βραβείο Φιλντς (Fields), που ισοδυναμεί με το βραβείο Νομπέλ στον τομέα των Μαθηματικών. 

Η 37χρονη καθηγήτρια του πανεπιστημίου του Στάνφορντ στην Καλιφόρνια, ήταν μεταξύ των τεσσάρων τιμηθέντων με το συγκεκριμένο βραβείο στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών που πραγματοποιήθηκε στη Σεούλ. 

Τιμήθηκε για το έργο της στην κατανόηση της συμμετρίας των καμπύλων επιφανειών.

Πεντάγωνο νησί

Ένα πεντάγωνο νησί έχει ένα αεροδρόμιο που βρίσκεται στην πόλη του Winchester. Ένας σιδηρόδρομος συνδέει τις πέντε πόλεις του νησιού - Winchester, Bennettsville, Columbus, Flint, και Ventura.

Όταν προσγειώνεστε στο αεροδρόμιο του Winchester, σας δίνεται ένα δωρεάν εισιτήριο, για οκτώ ταξίδια με το τρένο, μεταξύ μιας πόλης και της διπλανής. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορείτε να κάνετε ένα ταξίδι που αποτελείται από ακριβώς οκτώ μικρότερα ταξίδια και αρχίζει και τελειώνει στο Winchester;

Π. χ. μία διαδρομή είναι:  

W - Β - W - Β - W - Β - W - B - W.

Πανελλήνιες 2014 – Θέματα και λύσεις στα Μαθηματικά

30/5/14

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Ημερήσια Γενικά Λύκεια

θέματα

λύσεις (e-τάξη μου)

30/5/14

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Εσπερινά Γενικά Λύκεια + Εσπερινά ΕΠΑ.Λ.

θέματα

λύσεις (e-τάξη μου)

Το ψαλίδι του Όϋλερ

Έχουμε ένα κυρτό πολύεδρο $Π$. Με ένα ψαλίδι (ένα τέμνον επίπεδο δηλαδή) κόβουμε μια "μυτούλα", ένα μικρό πρίσμα από κάθε κορυφή του Π και έτσι έχουμε ένα νέο πολύεδρο, έστω $Ν$. 

Έστω πως το $Ν$ έχει $Κ$ κορυφές, $Α$ ακμές και $Ε$ έδρες και μία από τις τιμές Κ ,Α ή Ε ισούται με $1001$. Πόσες ακμές είχε το αρχικό πολύεδρο $Π$ ;

Ερημικά παζλάκια

$1.$ Δύο άνθρωποι βρίσκονται στην έρημο. Έχει ο καθένας στην πλάτη του από ένα σακίδιο. Ο ένας είναι νεκρός. Το σακίδιο του ζωντανού είναι ανοικτό. Το σακίδιο του νεκρού είναι κλειστό. Τι έχει μέσα το σακίδιο;

$2.$ Ένα άνθρωπος βρίσκεται σε ένα μικρό ερημικό και δασώδες νησί, μακρόστενου σχήματος κατά τη διεύθυνση Ανατολή-Δύση. Το κατάλυμά του είναι περίπου στο κέντρο του νησιού.

Διαγώνισμα Μιγαδικών 2014- 2015

 Του Βασίλη Μαυροφρύδη 

Πηγή

Διχοτόμος-διάμεσος-καθετότητα

Από σημείο $D$ της διχοτόμου της γωνίας  $A$ τριγώνου $ABC$ , φέρνουμε τις κάθετες $DE,DZ$ στις ευθείες $AB,AC$  αντίστοιχα. 

Έστω $H$ το σημείο τομής της διαμέσου $AM$ με την $EZ$ . Δείξετε ότι  $HD \bot BC$.

Παράλληλη χορδή σ' ακτίνα

Οι διχοτόμοι των γωνιών $A\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,B$ τριγώνου $ABC$ τέμνουν τον περιγεγραμμένο  του κύκλο στα $D,E$ αντίστοιχα. Έστω $K$ το κέντρο του παρεγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$ που αντιστοιχεί στην πλευρά $BC$. Δείξετε ότι: $DE//KC$.

Αυτοκίνηση

O Λευτέρης ξεκινάει από την πόλη του (χιλιομετρική θέση: $0$) για ένα ταξίδι με το αυτοκίνητό του. Κινείται με σταθερή ταχύτητα. Μετά από κάποιο χρονικό διάστημα προσπερνάει έναν οδοδείκτη-χιλιομετρητή που δείχνει έναν διψήφιο αριθμό. 

Μία ώρα αργότερα προσπερνάει ένα άλλο χιλιομετρητή που έχει τα ίδια δύο ψηφία με τον πρώτο,αλλά σε αντίστροφη θέση. Μετά από ακόμη μία ώρα περνάει έναν τρίτο χιλιομετρητή του οποίου ο αριθμός περιέχει τα ίδια δύο ψηφία (σε κάποια σειρά) χωρισμένα από ένα μηδενικό στη μέση. Με ποια ταχύτητα κινείται το αυτοκίνητο του Λευτέρη;

Μία στις Έξι

Μόνο μία από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής. Ποια και γιατί;
$Α.$ Όλες οι επόμενες
$Β.$  Καμία από τις επόμενες
$Γ.$  Μία από τις αποπάνω
$Δ.$ Όλες οι αποπάνω
$Ε.$  Καμία από τις αποπάνω
$Ζ.$  Καμία από τις αποπάνω

Ρέμπους ΙΙΙ

Ένας διάσημος νόμος ($5$ λέξεις):

Άλγεβρα Α' Τάξης Γενικού Λυκείου - Θέματα και Λύσεις της Τράπεζας Θεμάτων

Πολύ καλή προσπάθεια των μελών του mathematica.gr. Το συντονισμό της προσπάθειας είχε ο ΣΠΥΡΟΣ ΚΑΡΔΑΜΙΤΣΗΣ, ενώ συμμετείχαν με τις λύσεις τους τα εξής μέλη του mathematica.gr (με αλφαβητική σειρά):

$5$ νομίσματα για $4$ κάλτσες

$1.$ Μαγικό κόλπο: Δίνεται $5$ νομίσματα σε κάποια φίλη σας. Της λέτε να τα βάλει όπως θέλει πάνω σε ένα τραπέζι . Μπορεί ,ας πούμε, τα τρία να δείχνουν κεφάλι και τα δύο γράμματα, ή όποιον άλλο συνδυασμό εκείνη επιλέξει. Κατόπιν κοιτάζετε αλλού και η φίλη σας θα τουμπάρει δύο κέρματα, και με το δάκτυλό της θα κρύψει ένα (όποιο θέλει από τα πέντε!). Κατόπιν γυρίζετε και βλέπετε τα $4$ κέρματα. Μπορείτε να βρείτε αν το κρυμμένο νόμισμα δείχνει κεφάλι ή γράμματα;

Ρέμπους ΙΙ

Βρείτε την έκφραση που αντιστοιχεί στην εικόνα:

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 61η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης  

Κάντε κλικ στο σχήμα.

Εξισωτής

Το ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ έχει κάθετες πλευρές $AB=8$ και $AC=6$. Το τμήμα $ST$, με άκρα επί των $CA,CB$, χωρίζει το τρίγωνο σε δύο περιοχές, οι οποίες έχουν ίσα εμβαδά και ίσες περιμέτρους. 

Δείξτε ότι $ST=4\sqrt{3}$. (Υπενθύμιση: Η ευθεία $ST$ λέγεται εξισωτής για το τρίγωνο $ABC$).

Πηγή

Ρέμπους

Βρείτε την πρόταση ή έκφραση που αντιστοιχεί στον κωδικό:
$+\sum_1^ \infty \alpha _{ \nu }$ - ι , $\sum_1^ \infty \alpha _{ \nu }$ - ι.

Κουίζ

$1.$ Ένα κανονικό εξάεδρο λέγεται "Κύβος".Πώς λέγεται ένα κανονικό επτάεδρο; Ζητείται ο μονολεκτικός ορισμός (με μία λέξη).

$2.$ Για ποιον είπε ο Βολταίρος :"Επιπεδοποίησε τη Γη και ισοπέδωσε τους Κασινί (Cassini)";

$3.$ Στα αποκαλούμενα "Στερεά του Αρχιμήδη" υπάρχει μια περιγεγραμμένη σφαίρα που περνάει απ'όλες τις κορυφές τους. Σε ποιον "ανήκουν" τα στερεά που περιλαμβάνουν μια εγγεγραμμένη σφαίρα εφαπτόμενη σε όλες τις έδρες τους;