$abc=?$

Οι περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί $0.abab\overline{ab}$ και $0.abcabc\overline{abc}$ ικανοποιούν την ισότητα 

$0.abab\overline{ab}+0.abcabc\overline{abc}=\dfrac{33}{37},$

όπου $a,b,c$ ψηφία, όχι απαραίτητα διαφορετικά. 

Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός $abc$.

USA AIME 2014

Θέματα Ο.Ε.Φ.Ε.

ΟΕΦΕ Γ' Λυκείου ΤΕΕ \ ΕΠΑΛ 2001-14 (εκφωνήσεις)

ΟΕΦΕ Γ' Λυκείου ΤΕΕ \ ΕΠΑΛ 2001-14 (απαντήσεις)

ΟΕΦΕ Β' Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2001-14 (εκφωνήσεις)

ΟΕΦΕ Β' Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2001-14 (απαντήσεις)

ΟΕΦΕ Β' Λυκείου Άλγεβρα 2002-14 (εκφωνήσεις)

ΟΕΦΕ Β' Λυκείου Άλγεβρα 2002-14 (απαντήσεις)

ΟΕΦΕ Α' Λυκείου Άλγεβρα 2006-14 (εκφωνήσεις)

$a+b+c=?$

Έστω $m$ η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης: 

\[\dfrac{3}{x-3} + \dfrac{5}{x-5} + \dfrac{17}{x-17} + \dfrac{19}{x-19} = x^2 - 11x - 4\]

Αν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι αριθμοί $a, b,$ και $c$ τέτοιοι ώστε $m = a + \sqrt{b + \sqrt{c}}$, να βρεθεί το άθροισμα

$Κ=a+b+c$.

 USA AIME 2014

Επαναληπτικές ασκήσεις στους μιγαδικούς αριθμούς

 Του Θωμά Ραϊκόφτσαλη 

Sportex

Σε ένα Sportex παπούτσι περνάμε από τις 8 τρυπούλες της πάνω ορθογώνιας επιφάνειας του διαστάσεων 50 mm x 80 mm, ένα κορδόνι του οποίου οι άκρες απέχουν το λιγότερο 200 mm.

Να βρεθεί το μικρότερο δυνατό μήκος του κορδονιού. 

USA AIME 2014

$x_2(x_1+x_3)=?$

Έστω $χ_1 <χ_2 < χ_3$ οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης $$\sqrt{2014} x^3 - 4029x^2 + 2 = 0.$$

Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης $x_2(x_1+x_3)$.

USA AIME 2014

Ισότητα γωνιών σε παραλληλόγραμμο

Έστω τα σημεία $A_1, C_1$ των πλευρών $AB, BC4 αντίστοιχα, ενός παραλληλογράμμου $ABCD$ και έστω $P$ το σημείο τομής των $AC_1,CA_1$. 

Υποθέτουμε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $AA_1P, CC_1P$ τέμνονται και σε ένα άλλο σημείο $Q$ εσωτερικό του τριγώνου $ADC$. Να αποδείξετε ότι: $P\widehat DA=Q\widehat BA$.

Πηγή

Σε ίσες αποστάσεις

Σε τρίγωνο $ABC$, το ύψος $AD$ ισούται με την πλευρά $BC$. 

Δείξετε ότι το ορθόκεντρο $H$ του τριγώνου ισαπέχει του μέσου $M$ του $AD$ και του μέσου $O$ του $BC$.

To Pizza or not to Pizza?

Ο Αντώνης κι ο Βρασίδας είναι φοιτητές και συγκάτοικοι. Ψάχνοντας ένα βράδυ στο ψυγείο τους (πολλά μαθηματικώς αξιοπερίεργα πράγματα μπορεί να βρεθούν ξεχασμένα σε ένα 

φοιτητικό ψυγείο, ακόμη και το κενό σύνολο ενίοτε...) ανακάλυψαν $3$ κομμάτια πίτσα. Κρύα και ελαφρώς μπαγιάτικη, η πίτσα θα μπορούσε να μοιραστεί με διάφορους τρόπους.

Μαθητές σχολείου

Οι μαθητές ενός σχολείου είναι περισσότεροι από $100$ αλλά λιγότεροι από $200$.

Αν παραταχθούν σε δεκάδες λείπει ένας . Αν παραταχθούν σε εννιάδες  περισσεύουν $7$. Βρείτε το πλήθος αυτών των μαθητών.

Πιο κοντινός στο 1000

Να βρεθεί ο πιο κοντινός στο $1000$ ακέραιος, που διαιρείται ακριβώς με το $13$ ενώ αν του προσθέσουμε $5$ διαιρείται ακριβώς με $17$.

Διαιρετότητα

Αποδείξτε πως το $ν^{2}+23$ διαιρείται με το $24$ για απείρως πολλούς $ν$.

Φόρμουλα Μία

Το πλάτος της πίστας αγώνων αυτοκινήτων που απεικονίζεται σε κάτοψη είναι σταθερό και ίσο με $8$ μέτρα.

Ποια είναι η διαφορά στο μήκος μεταξύ της δεξιάς και της αριστερής πλευράς (ακμής) της διαδρομής;

Εύρεση γωνίας

Σε τρίγωνο $ABC$ είναι $\widehat B = {70^0}$ και   $\widehat C = {50^0}$. Στις $AB,AC$ θεωρούμε τα σημεία $E,D$ αντίστοιχα για τα οποία : $D\widehat BC = {50^0}$ και   $E\widehat CB = {40^0}$.

Δείξετε ότι: $\widehat x = C\widehat ED = {30^0}$.

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 60η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης  

Κάντε κλικ στο σχήμα.

Μιγαδικοί Αριθμοί: 15 Φύλλα Εργασίας

Φύλλα Εργασίας

(Σε ένα αρχείο για να τα ξεφυλλίσετε)

Φ.Ε.-1  Φ.Ε.-2  Φ.Ε.-3  Φ.Ε.-4  Φ.Ε.-5 

Φ.Ε.-6  Φ.Ε.-7  Φ.Ε.-8  Φ.Ε.-9  Φ.Ε.-10

Φ.Ε.-11 Φ.Ε.-12 Φ.Ε.-13 Φ.Ε.-14 Φ.Ε.-15

Πηγή: perikentro

2 - Η ομορφιά των αριθμών

1 1 1 = 12 1 2 25 = 52 1 3 36 = 62 1 4 4 = 22 1 5 25 = 52 1 6 16 = 42 1 7 576 = 242 1 8 81 = 92 1 9 9 = 32 2 1 1156 = 342 2 2 225 = 152

Ισότητες χωρίς σύγκριση τριγώνων

Η χορδή $CD$ είναι κάθετη στη διάμετρο $AB4 και το $S$ σημείο της $AC4. Γράφω τον κύκλο διαμέτρου $SB$, ο οποίος τέμνει την $CD$ στο $P$. Οι ευθείες $SP$ και $AD$ τέμνονται στο $T$. 

Δείξτε ότι $SP=PT$ και $SC=DT$.

Πηγή: mathematica

Άσκηση Γεωμετρίας (προταθείσα από Φώτη Κότσιρα)

Ας μου επιτραπεί να αλλάξω τα γράμματα αλλά όχι την ουσία.

Έχουμε λοιπόν ένα ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(A = {90^0})$ για τα μήκη των πλευρών του $a = BC,c = AB$ ισχύει: 

 $3{a^2} - 2ac - 5{c^2} = 0$. 

Αν $D$ το έγκεντρο και $E$ το βαρύκεντρο του τριγώνου $ABC$ να δείξουμε ότι $DE \bot AB$.

εδώ

1 - Η ομορφιά των αριθμών

272 = (2 + 7)3 81 = (8 + 1)2 101 = 102 + 12 153 = 13 + 53 + 33 2432 = (2 + 4 + 3)5 2433 = (24 + 3)5 371 = 33 + 73 + 13 407 = 43 + 073 512 = (5 + 1 + 2)3 7292 = (72 + 9)3 1001 = 103 + 013 10242 = (10 + 2 + 4)5 1233 = 122 + 332

Ισότητα και ανισότητα

Να αποδειχθεί ότι: 

i) $ \left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{3}=1 $

ii) $ 3^{33}+4^{33}+5^{33}<6^{33} $.

Romania District Olympiad 2014, Grade 6

Στατιστικά των βαθμολογιών για τις πανελλαδικές εξετάσεις 2014

Δόθηκαν από το Υπουργείο Παιδείας στη δημοσιότητα τα στατιστικά στοιχεία των βαθμολογιών των μαθημάτων, στα οποία εξετάστηκαν σε πανελλαδικό επίπεδο οι μαθητές και οι απόφοιτοι Γενικού Λυκείου, για εισαγωγή στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση.

Για να δείτε τα στατιστικά κάντε κλικ στην εικόνα.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄Λυκείου - Πέντε διαγωνίσματα με τις απαντήσεις τους

1ο Διαγώνισμα

Απαντήσεις 1ουΔιαγωνίσματος

2ο Διαγώνισμα

Απαντήσεις 2ου Διαγωνίσματος

3ο Διαγώνισμα

Απαντήσεις 3ου Διαγωνίσματος

4ο Διαγώνισμα

Απαντήσεις 4ου Διαγωνίσματος

5ο Διαγώνισμα

Aπαντήσεις 5ου Διαγωνίσματος

Πηγή: konkoch78