Ri: «Πως οι Αρχαίοι Έλληνες διαμόρφωσαν τα μοντέρνα μαθηματικά»

To Royal Institution(Ri), με την υποστήριξη του ΙΣΝ, δημιούργησε video animation αναφορικά με την επίδραση της Αρχαίας Ελληνικής σκέψης στον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε τα μαθηματικά πέρα από μια σειρά πράξεων αλλά ως έναν τρόπο να αντιληφθούμε και να κατανοήσουμε τον κόσμος που μας περιβάλλει.

Το Royal Institution (Ri), το οποίο ιδρύθηκε το 1799, είναι ένας από τους παλαιότερους και σημαντικότερους οργανισμούς επιστημονικής επικοινωνίας στον κόσμο και αποσκοπεί στην ανάπτυξη του ενδιαφέροντος για τις επιστημονικές ανακαλύψεις σε άτομα όλων των ηλικιών, και ειδικά τους νέους.

$E=\sqrt{π}$

Το εμβαδόν της κόκκινης περιοχής, που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f(x)=e^{-x^2}$ και του άξονα $x'x$ ισούται με $\sqrt{π}$.

1 εκατομμύριο ψηφία του αριθμού $π$

Κάντε κλικ εδώ.

Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - Ποσοστά

Του Παναγιώτη Παπαδόπουλου

Πατήστε ΕΔΩ ή επιλέξτε από το μενού "Α΄ Γυμνασίου/Ασκήσεις" και στη συνέχεια την ενότητα "Κεφάλαιο 5-Ποσοστά" της Άλγεβρας, για να δείτε ένα φυλλάδιο με μια

σειρά ασκήσεων για τα ποσοστά, όπως διδάσκονται στα μαθηματικά της Α΄ Γυμνασίου.

Για να δείτε περισσότερα φυλλάδια με ασκήσεις στα ποσοστά, μπορείτε να πατήσετε στον παρακάτω σύνδεσμο:

Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - Ασκήσεις και προβλήματα στα ποσοστά

Hosszu's equation

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για τις οποίες ισχύει

\[ f(x+y-xy)+f(xy)=f(x)+f(y),\quad\forall x,\,y\in\mathbb{R}. \]

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Πηγή: artofproblemsolving.com

Turkey Team Selection Test 2014

Ημέρα 1η 

1. Find the number of permutations of the such that, for all , . 

2. Find all functions from real numbers to itself such that for all real numbers the equation

 

holds. 

3. Let and be the radii of the incircle, circumcircle and A-excircle of the triangle with , respectively. and are the centers of these circles, respectively.

Σωστό ή Λάθος

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει

$min\{Α,Β,Γ\}\leq {60^0}\leq {max\{Α,Β,Γ\}}$.

Να αιτιολογηθεί η απάντηση.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Η τελευταία δοκιμασία

Ο Μεγάλος Χάνος αποφασίζει να υποβάλλει τους 88 σοφούς σε μια τελευταία δοκιμασία. Τους ανακοινώνει τα εξής: -"Θα σας βάλω σε κελιά και θα είσαστε απομονωμένοι μεταξύ σας. Κανείς δεν θα έρθει σε καμία επαφή με άλλον. Κάθε ώρα θα παίρνω έναν από εσάς, όποιον θέλω στην τύχη, και θα τον πηγαίνω σε εκείνο το σπιτάκι στη μέση της αυλής. Μέσα υπάρχει μία λάμπα κι ένας φρουρός που θα σας ελέγχει ώστε να μην αφήνετε κάποιο σημάδι/μήνυμα και θα μεριμνά να αλλάζει τη λάμπα όταν καίγεται.

$abcd=?$

Έστω $a,b,c,d$ μιγαδικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε

$5= a+b+c+d$
$125= (5-a)^4+(5-b)^4+(5-c)^4+(5-d)^4$
$1205= (a+b)^4+(b+c)^4+(c+d)^4+$

$+(d+a)^4+(a+c)^4+(b+d)^4$

$25= a^4+b^4+c^4+d^4$.

Να υπολογιστεί το γινόμενο $abcd$. 

USA NIMO 2014

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Πλευρά τετραπλεύρου

Σε κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ είναι

$\widehat A = \widehat B\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat C = {150^0}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat D = {90^0}$.

Αν $AB + BC = 28$ να υπολογιστεί η πλευρά $AD = x$.

Στον Yakov G. Sinai το «Νόμπελ των μαθηματικών»

Γιώργος Καρουζάκης – thalesandfriends.org

Η Νορβηγική Ακαδημία Επιστημών και Γραμμάτων αποφάσισε να απονείμει το Βραβείο Άμπελ για το 2014 στον Ρώσο μαθηματικό Yakov G. Sinai, καθηγητή στο Πανεπιστήμιο Princeton και ερευνητή στο Ινστιτούτο Θεωρητικής Φυσικής Landau της Μόσχας.

Στο σκεπτικό της βράβευσης επισημαίνεται η θεμελιώδης συμβολή του μαθηματικού στην ανάπτυξη τομέων όπως είναι τα Δυναμικά Συστήματα, η Εργοδική Θεωρία και η Μαθηματική Φυσική. Ο Yakov G. Sinai θα παραλάβει το βραβείο στην τελετή απονομής που θα γίνει στο Όσλο στις 20 Μαΐου.

Εισηγήσεις Γεωμετρίας (Καλαμαρί 15/03/2014)

Οι εισηγήσεις από την ημερίδα που πραγματοποιήθηκε στο Καλαμαρί το Σάββατο 15/3 με θέμα " Η Γεωμετρία στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση ".

Εισήγηση Μάγκου

Εισήγηση Τσίντσιφα

Εισήγηση Αγγελόπουλου

Εισήγηση Λάππα

Εισήγηση Λουρίδα

Εισήγηση Θωμαΐδη

Πηγή: parmenides51

Ένα ελληνικό βιβλίο του 1836 για τις μαθηματικές ιδιότητες του σφαιριστηρίου

Πρόκειται για το βιβλίο με τίτλο ΤΕΡΨΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ.

Η εργασία αυτή περιγράφει ένα βιβλίο του 19ου αιώνα που τυπώθηκε στην Οδησσό στην ελληνική γλώσσα και αφορά κυρίως στη φυσικομαθηματική ερμηνεία των διαδικασιών που συμβαίνουν στο παιχνίδι του μπιλιάρδου. 

Θεωρούμε ότι είναι το πρώτο βιβλίο στην ελληνική γλώσσα που αντιμετωπίζει με επιστημονική σοβαρότητα ένα παιχνίδι. Σε αυτό ο συγγραφέας του προσπαθεί να αναδείξει τις μαθηματικές ιδιότητες και σχέσεις που μπορεί ένας εγγράμματος άνθρωπος να ανακαλύψει και να διαπιστώσει σε ένα παιχνίδι, όπως είναι το μπιλιάρδο.

Πρώτα ποιο;

Ένα πρόβλημα πιθανοτήτων του φίλου Θανάση Παπαδημητρίου (papadim).

Σε συνεχόμενες ρίψεις ενός συνηθισμένου τίμιου ζαριού όσες φορές χρειαστεί, ποιο από τα δύο ενδεχόμενα είναι πιθανότερο να συμβεί πρώτα: 

$α) $Δύο διαδοχικές εμφανίσεις του $5$ ή 

$β)$ Τρεις διαδοχικές εμφανίσεις αριθμών που διαιρούνται με το $3$;

Στόχος 43

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς $2,3,5,17,51$, μια φορά τον καθένα και τις τέσσερεις πράξεις (όχι κατ’ ανάγκη όλες) να προκύψει ο αριθμός $43$.

Στόχος 297

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς στην κάτω σειρά (μία φορά τον καθένα) και οποιαδήποτε μαθηματική πράξη, να σχηματίσετε τον αριθμό 297.

Μαθηματικός από ... κούνια

lim xsin(1/x)

$tanx=\frac{sinx}{cosx}$

Να αποδειχθεί ότι: 

$tanx=\frac{sinx}{cosx}$.

Απόδειξη

Ανισότητα Γ. Τζίντζιφα

Αν $α,β,γ$ είναι τα μέτρα των πλευρών ενός τριγώνου και $Ε$ το

εμβαδόν του, τότε ισχύει

$\frac{κα^4}{λ+μ}+\frac{λα^4}{μ+κ}+\frac{μα^4}{κ+λ}$$\geq8Ε^2$

όπου $κ,λ,μ\in{R^*}$.

  www.eisatopon.blogspot.com      Διασκεδαστικά Μαθηματικά  

Μικρογραφίες

"I can stand brute force, but brute reason is quite unbearable. There is something unfair about its use. It is hitting bellow the intellect. "   

Όσκαρ Γουάιλντ

Μπορούμε να γράψουμε με πολύ μικρά γράμματα πάνω σε χαρτί ή και σε περίεργες επιφάνειες . Κάποιοι μάλιστα έχουν καταφέρει απίστευτα πράγματα μέσω μικροτεχνολογίας, όπως ας πούμε να γράψουν μεγάλα κείμενα σε κόκκους ρυζιού, ή και να χρησιμοποιήσουν στοιχειώδη σωματίδια ως "μελάνη".Ας δούμε όμως το θέμα από την καθαρά μαθηματική πλευρά του.

Στόχος αυτό που επιλέξαμε

Από τα στοιχεία του συνόλου:

 $A = \left\{ {\left. {1,2,3,4,5,6} \right\}} \right.$ 

επιλέγουμε διαδοχικά ένα, ένα.

Χρησιμοποιώντας τα υπόλοιπα $5$, από μια φορά το καθένα και τις $4$ πράξεις (όχι κατά ανάγκη όλες) να σχηματιστεί αυτό που επιλέξαμε.

Ημικύκλιο, προβολές, ίσα

Έστω ημικύκλιο κέντρου $O$ και διαμέτρου $AB$. Ας πούμε $T$ την προβολή  τυχαίου σημείο $P$  του ημικυκλίου στην διάμετρο $AB$.

Έστω ακόμα $K$ η προβολή του $B$ πάνω στην διχοτόμο της γωνίας $T\widehat PO$. Δείξετε ότι $KP = KB$.

www.mateforum.ro - Το μαθηματικό φόρουμ της Ρουμανίας

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Αντιστροφή σε κύκλο

Το σημείο P ' είναι το αντίστροφο
του σημείου P ως προς τον κύκλο.

Η αντιστροφή σε ένα κύκλο κέντρου O και ακτίνας R συνίσταται από την ακόλουθη διαδικασία: κάθε σημείο P αντιστοιχίζεται με ένα νέο σημείο P' τέτοιο ώστε τα O, P, και P' να είναι συγγραμμικά και το γινόμενο των αποστάσεών του P και του P' από το κέντρο O να ισούται με το τετράγωνο της ακτίνας R

Έτσι αν το P βρίσκεται εκτός του κύκλου τότε το P' βρίσκεται εντός και αντίστροφα. Αν το P ταυτίζεται με το O τότε το P θεωρείται ότι βρίσκεται στο άπειρο. Η αντιστροφή έχει την χρήσιμη ιδιότητα ότι οι ευθείες και οι κύκλοι πάντα μετασχηματίζονται σε ευθείες και κύκλους, και τα σημεία σε σημεία.

$y = f (x)$

Έστω συνάρτηση y = f (x).

Τότε: 

Clockwork

Kαπέλα ξανά!

    "$\cos  \alpha = - \cos  \beta  \cos  \gamma + \sin  \beta  \sin  \gamma  \cosh  \frac{a}{ k}$"

Oι γνωστοί -στους πιο παλιούς φίλους της σελίδας- $88$ σοφοί δοκιμάζονται ξανά από το Μεγάλο Χάνο.

Αυτή τη φορά σχηματίζουν έναν κύκλο και ο καθένας τους φοράει ένα καπέλο, κάποιου από τα $4$ ακόλουθα χρώματα: άσπρο, μαύρο, κίτρινο ή μπλε. Ο καθένας μπορεί να δει τα καπέλα όλων, εκτός φυσικά από το δικό του.

Ανακάτεμα

"$e^{i \pi } +1=0$"

Η δεκαδική αναπαράσταση κάποιου ακεραίου περιέχει μεταξύ των διαφόρων ψηφίων της, τους αριθμούς: 

$9, 7, 3$ και $1$.

Αποδείξτε πως ανακατεύοντας-δηλαδή μεταθέτοντας - τα ψηφία του, μπορείτε να πάρετε έναν ακέραιο που διαιρείται με το $7$.

Ισοσκελές τραπέζιο

Από σημείο $S$ που ανήκει στο μικρότερο τόξο $\overset{\frown}{AC}$, του περικύκλου του τριγώνου $\displaystyle ABC$ φέρω $SQ\perp AC$ και $SP\perp AB$, η οποία προεκτεινόμενη, τέμνει τον κύκλο στο $T$. 

α) Δείξτε ότι το τετράπλευρο $TPQC$ είναι τραπέζιο. 

β) Για ποια θέση του $S$ το τραπέζιο γίνεται ισοσκελές?

Πηγή: mathematica

Εκδήλωση - Βράβευση διακριθέντων μαθητών Ν. Ημαθίας (23-3-2014)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ν. ΗΜΑΘΙΑΣ

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

Το Παράρτημα Ημαθίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (Ε.Μ.Ε.) διοργανώνει εκδήλωση βράβευσης των μαθητών Γυμνασίων και Λυκείων της Ημαθίας, που διακρίθηκαν στους Μαθηματικούς Διαγωνισμούς του σχολικού έτους 2013-2014. 

Στην εκδήλωση θα βραβευτούν οκτώ (8) μαθητές της Α΄ Γυμνασίου του Νομού Πέλλας, οι οποίοι διακρίθηκαν στους Ημαθιώτικους Μαθηματικούς διαγωνισμούς Υπατία και Καραθεοδωρή.

Βραβεύονται:

Μathematical journal - Asymmetry

 Του Αναστάσιου Κοτρώνη 

Δείτε προηγούμενα τεύχη του περιοδικού:

2013

Vol 4: Νοέμβριος 2013

Τόμος 3: Μάρτιος 2013

Τόμος 2: Ιανουάριος 2013

2012

Τόμος 1: Νοέμβριος 2012

$\nu ^{2} + \mu ^{2} = \kappa$

Ένα απλό ερώτημα: Mε πόσους διαφορετικούς τρόπους, κατά μέσο όρο, μπορεί να γραφεί ένας ακέραιος ως άθροισμα των τετραγώνων δύο ακεραίων;

Για παράδειγμα, ο αριθμός $2$ μπορεί να γραφεί με τέσσερις διαφορετικούς τρόπους:

$1^{2}+1^{2}=2$ , $-1^{2}+ -1^{2}=2$,

$1^{2}+ -1^{2}=2$ και $-1^{2}+ 1^{2}=2$

Ο αριθμός $3$ δεν μπορεί να γραφεί με κανέναν τρόπο, κ.λ.π.

Όταν λέμε "κατά μέσο όρο", εννοούμε το άθροισμα όλων των δυνατών εκφράσεων για όλους τους αριθμούς μέχρι κάποιον ακέραιο $Ν$, και να διαιρέσουμε το άθροισμα με τον $Ν$, επιτρέποντας βεβαίως στον $Ν$ να γίνεται όλο και μεγαλύτερος.

Στάσου στο ύψος μου!

Ο Σωκράτης κι ο Γιώργος βρίσκονται στους πρόποδες ενός μεγάλου βουνού ,στο ίδιο υψόμετρο και σε αντιδιαμετρικές θέσεις. Ας προσομοιώσουμε την κατάσταση και το βουνό με αυτή την γραμμική δυδιάστατη εικόνα.

Σκοπός τους είναι να συναντηθούν κάπου πάνω στο βουνό, όπου θα κατασκηνώσουν και θα μιλήσουν για τον νέο επαναστατικό τομέα, τα υπερρεαλιστικά Μαθηματικά. Θέλουν όμως να βρίσκονται κατά τη διάρκεια όλης της διαδρομής και οι δύο στο ίδιο ακριβώς υψόμετρο, ακόμη κι αν αυτό προϋποθέτει ίσως το πισωγύρισμα. Μπορούν να τα καταφέρουν πάντα; Ανεξαρτήτως του μεγέθους και της μορφολογίας του βουνού;

Στόχος 168

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς στην κάτω σειρά (μία φορά τον καθένα) και οποιαδήποτε μαθηματική πράξη, να σχηματίσετε τον αριθμό 168.

Το κόσκινο του Ερατοσθένη

Kosovo Math Olympiad 2013

1. Nα αποδειχθεί ότι

$ \sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}=\sqrt{2}+\sqrt3+\sqrt5 $.

2. Να λυθεί η εξίσωση

$ 1+2\cdot2^x+3\cdot3^x<6^x $.

3. Να υπολογιστεί η παράσταση

$ \sqrt{3\sqrt{5\sqrt{3\sqrt{5...}}}} $.

4. Να συγκριθούν οι αριθμοί

$ \sqrt[2012]{2012!} $ και $ \sqrt[2013]{2013!} $.

Kosovo National Mathematical Olympiad 2013

Χρυσό σε φοιτητές του Πανεπιστημίου Πατρών στην 8η Μαθηματική Ολυμπιάδα SEEMOUS 2014

Στην Ολυμπιάδα Μαθηματικών SEEMOUS 2014, που διεξήχθη στην πόλη του Ιασίου της Ρουμανίας, η εξαμελής ομάδα φοιτητών του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών κατέκτησε ένα χρυσό, δύο ασημένια και δύο χάλκινα μετάλλια.

Ο διεθνής αυτός διαγωνισμός διεξήχθη στο Πανεπιστήμιο του Ιασίου της Ρουμανίας από 5 έως 9 Μαρτίου 2014.

Οι φοιτητές του Πανεπιστημίου Πατρών που διακρίθηκαν είναι:

Απόδειξη χωρίς λόγια

Τι αποδεικνύει η παρακάτω γραφική παράσταση;

5ο Συνέδριο της Ένωσης Ερευνητών της Διδακτικής των Μαθηματικών

Δείτε το αναλυτικό πρόγραμμα συνεδρίου εδώ. 

Right - wrong triangle

Οκτώ παράθυρα

Σε ένα τετράγωνο τοίχο έχουμε οκτώ ίδια παράθυρα με αναλογία ύψους - πλάτους $5:2$.

Αν η απόσταση μεταξύ των παραθύρων και μεταξύ τοίχου και παραθύρων είναι $2$, να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου.

ΗΠΑ AMC 10 2014

Μπισκότα και άλλα

$1.$ Ένα πακετάκι μπισκότα πωλείται προς $0,90$ ευρώ. Κάθε πακετάκι περιέχει ένα κουπόνι, και $9$ κουπόνια τα ανταλλάζεις με ένα πακετάκι μπισκότα. Ποια είναι η αξία του περιεχομένου ενός πακέτου; Η αξία της συσκευασίας να θεωρηθεί μηδενική.

$2.$ Έστω $5$ διαφορετικά σημεία στο επίπεδο, τα οποία έχουν ακέραιες συντεταγμένες. Yπάρχουν πάντα $2$ απ'αυτά τα σημεία, που το ευθύγραμμο τμήμα που τα ενώνει να περνάει από κάποιο άλλο σημείο με ακέραιες συντεταγμένες;