Κλόουν

Σε μία ομάδα κλόουν, το αριστερό παπούτσι κάθε άνδρα είναι δύο νούμερα πιο μεγάλο από το δεξί ενώ το αριστερό παπούτσι κάθε γυναίκας κλόουν είναι ένα νούμερο πιο μεγάλο από το δεξί. Για να γλυτώσουν χρήματα, η ομάδα των κλόουν αγόρασε μαζί μερικά (κανονικά) ζευγάρια παπούτσια, όταν το κάθε μέλος της ομάδας πήρε το ζευγάρι παπούτσια που χρειαζόταν, περίσσεψαν δύο παπούτσια. Το ένα ήταν νούμερο 45 και το άλλο 36. Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός κλόουν στην ομάδα;

Μαθηματικός Διαγωνισμός "Καγκουρό" 2009

Γεωμετρική κατασκευή

Tι κατασκευάζουμε με αυτόν τον τρόπο;

Πώς η κόντρα τριών μαθηματικών που "έκλεβαν" ο ένας τον άλλο, οδήγησε σε μια σπουδαία ανακάλυψη

Είτε λόγω της τεράστιας συμβολής τους στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, είτε λόγω της φανταστικής τους ιδιότητας, οι μιγαδικοί αριθμοί είναι ευρέως διαδεδομένοι σε όλο το κόσμο. Ακόμα και άνθρωποι που δεν έχουν καμία σχέση με τον τομέα των μαθηματικών, γνωρίζουν αρκετά καλά τον φανταστικό κόσμο των μιγαδικών, μόνο και μόνο επειδή η μη πραγματική τους ύπαρξη τους δημιουργεί τεράστια εντύπωση.

Είναι λογικό εξάλλου, όταν χρησιμοποιείται κάτι φανταστικό ως μέσο επίλυσης ενός υπαρκτού προβλήματος, να κινεί τις εντυπώσεις και με το παραπάνω.

International Zhautykov Olympiad 2014 - Problem 6

Έστω κυρτό τετράπλευρο $ABCD$, το οποίο διαιρείται με τέσσερα ευθύγραμμα τμήματα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, έτσι ώστε τα σημεία τομής των τεσσάρων αυτών τμημάτων να βρίσκονται επί των διαγωνίων του $ABCD$. 

Να αποδειχθεί ότι, αν τα τετράπλευρα $1,2,3,4$ είναι περιγράψιμα, τότε και το τετράπλευρο $5$ είναι περιγράψιμ.

Φυλλάδιο ασκήσεων - Κυρτότητα και σημεία καμπής συνάρτησης

Μαθηματικά και Φιλοσοφία

Συνεταιριστικό παίγνιο

Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα, συνεργασία του εκλεκτού φίλου Θανάση Παπαδημητρίου, τον οποίον και ευχαριστώ θερμά!

Σε ένα συνεταιρισμό $Ν$ ατόμων, με $N \geq 3$ ,κάποιος χορηγός κάνει την ακόλουθη πρόταση: Κάθε μέλος του συνεταιρισμού θα συνεισφέρει προαιρετικά σε ένα ειδικό ταμείο ένα ποσό $α$, το ίδιο για όλους όσοι επιθυμούν να συνεισφέρουν. Για κάθε μέλος που καταβάλλει το ποσό $α$, ο χορηγός θα καταβάλει ένα επιπλέον ποσό $β$, με: $\alpha < \beta <(N-1) \times \alpha$.

Συνευθειακά κέντρα

Τα σημεία $C,D$ βρίσκονται πάνω σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB$. Οι $AD,BC$ τέμνονται στο $E$,ενώ οι $AC,BD$ στο $Z4. Η $EZ$ τέμνει το ημικύκλιο στο $S$. 

Γράφω τους κύκλους $(S,D,E)$ και $(S,C,Z)$, με κέντρα τα $L,K$ αντίστοιχα. 

Δείξτε ότι τα $B,K,S,L$ είναι συνευθειακά.

Πηγή: mathematica

$π= ... $

Τσουουπ, ... ο μαθηματικός

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά θέματα (Κεφ. 4ο) - Άσκηση 6η

ΘΕΜΑ Δ

 Δίνεται η συνάρτηση με

  .

 1) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και
 τα ακρότατα.

 2) Να βρείτε το σύνολο τιμών της .

 3) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης

  .

 4) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται
 από τη , τον άξονα και τις ευθείες και
 .

Πηγή: study4exams.gr

$81$

Δίνονται $81$ φυσικοί αριθμοί των οποίων των οποίων οι πρώτοι διαιρέτες ανήκουν στο σύνολο $\{2, 3, 5\}$. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $4$ αριθμοί, από τους $81$, που το γινόμενό τους είναι τέταρτη δύναμη φυσικού αριθμού.

 Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 
"Ο Αρχιμήδης" (1996-1997)

Θεώρημα Miquel

Μικρό θεώρημα

Σε τρίγωνο $ABC$ έστω $D,E,F$ σημεία στις πλευρές απέναντι από τις κορυφές $A,B,C$ αντίστοιχα. Τότε οι κύκλοι $AEF, BDF$ και $CDE$ διέρχονται από ένα κοινό σημείο $Μ$. 

Μεγάλο θεώρημα

Έστω κύκλοι $C_1,C_2,C_3,C_4$ χωρίς ανά τρείς να έχουν κοινό σημείο. Υποθέτουμε ότι οι $C_1,C_2$ τέμνονται στα $Ρ$ και $Ρ΄$, οι $C_2,C_3$ τέμνονται στα $Q$ και $Q΄$, οι $C_3,C_4$ τέμνονται στα $R $ και $R΄$ και οι $C4,C1$ τέμνονται στα $S$ και $S΄$. Τότε τα $P, Q, R, S$ βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο ή είναι συγγραμμικά αν και μόνο αν ισχύει το ίδιο για τα $P΄, Q΄, R΄, S΄$.

Σκακιστικά προβλήματα - 20

Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε τρεις κινήσεις.

Εκτίμηση του χρόνου

Πόσο καλά μπορείτε να υπολογίσετε τον χρόνο; Ξεκινήστε με την προσπάθεια να εκτιμήσετε ακριβώς δέκα δευτερόλεπτα.

Κάντε κλικ στον κύκλο.

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου: Ο Κύκλος (Θεωρία - Μεθοδολογία - Προτεινόμενες Ασκήσεις - Θέματα Εξετάσεων)

Πηγή: perikentro

$θ,2θ,3θ,...,Νθ$

Για πόσους φυσικούς αριθμούς $N\geq3$ υπάρχουν $N$ - γωνα (όχι κανονικά) που οι γωνίες τους είναι της μορφής $θ,2θ,3θ,...,Νθ$ (για κάποιο $θ>0$ και είναι όλες μικρότερες από $180^0$;

Μαθηματικός διαγωνισμός "Καγκουρό" 2009

Mathcad

Το MathCad είναι ένα μοναδικό, ισχυρό εργαλείο για να χειρίζεσαι εξισώσεις, αριθμούς, κείμενα και γραφικές παραστάσεις. Αντίθετα με άλλα προγράμματα μαθηματικών, το MathCad λύνει τα μαθηματικά με τον ίδιο τρόπο με εσάς. 

Αυτό συμβαίνει επειδή φαίνεται σαν να δουλεύει με γόμα και μολύβι. Το MathCad στην οθόνη είναι ένα λευκό φύλλο εργασίας, πάνω στο οποίο μπορείς να καταχωρήσεις εξισώσεις, γραφικά δεδομένα ή συναρτήσεις, και να προσθέσεις κείμενο, οπουδήποτε πάνω στη σελίδα.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Ανισότητες - 321η

Έστω $ a,b,c>0 $ με $ abc\ge1. $ Να δειχθεί ότι: 

α) $ \left(a+\frac{1}{a+1}\right)\left(b+\frac{1}{b+1}\right)\left(c+\frac{1}{c+1}\right)\ge\frac{27}{8}. $

β)$ 27(a^{3}+a^{2}+a+1)(b^{3}+b^{2}+b+1)(c^{3}+c^{2}+c+1)\ge $

$ \ge 64(a^{2}+a+1)(b^{2}+b+1)(c^{2}+c+1). $

Ukraine Kyiv Mathematical Festival 2007

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Θέματα εξετάσεων κατανεμημένα σε κεφάλαια στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου (ενδοσχολικές εξετάσεις)

Δείτε θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων (ασκήσεων και θεωρίας) κατανεμημένα σε κεφάλαια, καθώς και συνδυαστικά θέματα στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Γ΄Λυκείου σε όλη την διδακτέα ύλη.

Τα θέματα αυτά συγκεντρώθηκαν και ταξινομήθηκαν από τις εξεταστικές περιόδους των δύο τελευταίων ετών από τα Λύκεια του Ν. Δωδεκανήσου και εμπλουτίστηκαν με επιπλέον θέματα. Αποτελεί μια καλή συλλογή θεμάτων για την εξάσκηση των μαθητών της Γ΄Λυκείου για τις Πανελλήνιες Εξετάσεις.

Κάντε κλικ στον επόμενο σύνδεσμο:

Μαθηματικά θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης 

(Θεωρία+Ασκήσεις σε όλη την ύλη)

(Επιμέλεια: Μάρτης Μαρτάκης-Γιάννης Καραγιάννης)

Πηγή: iokaragi

Ο Μηχανισμός των Αντικυθήρων φτιαγμένος με LEGO

Ο μηχανισμός των Αντικυθήρων φτιαγμένος με LEGO. Στο βίντεο αυτό γίνεται προσπάθεια εξομοίωσης του μηχανισμού των Αντικυθήρων με Lego. Μία προσπάθεια που είχε σαν στόχο να διαπιστωθεί η χρησιμότητα του μηχανισμού.

Θέματα και Λύσεις Αρχιμήδη 2014 (μικρών και μεγάλων)

Θεώρημα Aubert

Θεώρημα

Έστω $A, A΄, Β, Β΄, C, C΄, D$ επτά ομοκυκλικά σημεία έτσι ώστε $AA΄|| ΒΒ΄|| CC΄$, και $P, Q, R$ τα σημεία τομής των $A΄D$ και $BC, B΄D$ και $CA, C΄D$ και $ΑΒ$ αντίστοιχα. Τότε τα $P, Q, R $ είναι συγγραμμικά και η ευθεία που διέρχεται από αυτά τα τρία σημεία είναι παράλληλη στα $ΑΑ΄, ΒΒ΄$ και $CC΄$. 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά θέματα (Κεφ. 4ο) - Άσκηση 5η

ΘΕΜΑ Δ

 Δίνεται η συνάρτηση , η οποία είναι συνεχής
 και γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα

και . Αν

 

τότε:

 1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με

  .

 2) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

 3) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία.

 4) Να αποδείξετε ότι

 

 για κάθε .

Πηγή: study4exams.gr

Τετράγωνο σε ορθογώνιο

Στο εσωτερικό του $9 \times 8$ ορθογωνίου $ABCD$ εντοπίστε σημείο $S$, ώστε το σχηματιζόμενο - φέροντας τα κάθετα προς τις πλευρές $AB,BC$ τμήματα $SP,ST$ - τετράπλευρο $SPBT$ να είναι τετράγωνο, του οποίου η απόσταση της κορυφής $S$ από το $D$, να ισούται με την πλευρά του τετραγώνου.

Πηγή:mathematica

Αποτελέσματα διαγωνισμού Αρχιμήδη 2014

31η ΕΘΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ

ΣΑΒΒΑΤΟ 22 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2014

Η βράβευση των μαθητών που διακρίθηκαν στην Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" θα γίνει την Κυριακή 23 Φεβρουαρίου 2014, ώρα 11 π.μ. στη Μεγάλη Αίθουσα Τελετών του Πανεπιστημίου Αθηνών.

          ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ
ΣΧΟΛΕΙΟ
ΤΑΞΗ
ΔΙΑΚΡΙΣΗ
ΤΣΙΝΤΣΙΛΙΔΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΛΑΜΠΑΚΙΟΥ ΔΡΑΜΑΣ
Γ  ΓΥΜ
Α ΒΡΑΒΕΙΟ
ΚΟΥΤΣΟΓΕΩΡΓΟΣ ΠΑΡΜΕΝΙΩΝ
ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε.
Γ  ΓΥΜ
Α ΒΡΑΒΕΙΟ
ΤΟΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ
2ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΓΕΡΑΚΑ
Γ  ΓΥΜ
Α ΒΡΑΒΕΙΟ
ΤΣΙΑΜΗΣ ΡΑΦΑΗΛ
ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε.
Β  ΓΥΜ
Α ΒΡΑΒΕΙΟ
ΧΑΝΤΖΑΡΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ
1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΒΡΙΛΗΣΣΙΩΝ
Γ  ΓΥΜ
Α ΒΡΑΒΕΙΟ
ΛΩΛΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ
ΕΚΠ/ΡΙΑ ΑΘΗΝΑ
Β  ΓΥΜ
Β ΒΡΑΒΕΙΟ
ΚΑΝΕΛΛΟΠΟΥΛΟΣ ΣΩΤΗΡΗΣ
ΕΡΑΣΜΕΙΟΣ ΕΛΛΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ 
Γ  ΓΥΜ
Β ΒΡΑΒΕΙΟ
ΚΑΡΜΟΙΡΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
7ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ
Γ  ΓΥΜ
Β ΒΡΑΒΕΙΟ
ΜΙΧΑΛΑΚΗΣ ΒΑΪΟΣ-ΡΑΦΑΗΛ
1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΕΓΑΡΩΝ
Β  ΓΥΜ
Β ΒΡΑΒΕΙΟ
ΡΩΜΑΝΟΥ ΠΥΛΛΗ ΣΑΒΒΙΝΑ
15ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
Γ  ΓΥΜ
Β ΒΡΑΒΕΙΟ
ΔΗΜΑΚΗΣ ΣΥΜΕΩΝ
6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΝΕΑΣ ΙΩΝΙΑΣ
Γ  ΓΥΜ
Β ΒΡΑΒΕΙΟ
ΚΟΥΒΑΤΣΟΣ ΝΙΚΟΣ
1ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ
Γ  ΓΥΜ
Β ΒΡΑΒΕΙΟ
ΨΥΡΟΥΚΗΣ ΡΑΦΑΗΛ
5ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ
Γ  ΓΥΜ
Β ΒΡΑΒΕΙΟ
ΕΥΓΕΝΙΔΗΣ  ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΑΣ
Γ  ΓΥΜ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΣΗΜΑΝΤΗΡΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
8ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ
Γ  ΓΥΜ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΜΑΡΙΟΣ
ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΝΑΤΟΛΙΑ
Β  ΓΥΜ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΚΟΠΑΝΑΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ
ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑΪΤΗ
Γ  ΓΥΜ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΦΟΓΚΤ ΚΙΜΩΝ
ΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
Γ  ΓΥΜ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΒΟΥΖΙΝΑΣ ΦΟΙΒΟΣ-ΓΕΩΡΓΙΟΣ
1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΙΛΚΙΣ
Γ  ΓΥΜ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΘΕΜΕΛΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ
ΜΟΥΣΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ
Γ  ΓΥΜ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΝΑΤΟΛΙΑ
Γ  ΓΥΜ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΓΑΖΕΠΗ ΣΗΛΙΑ
ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ
Β  ΓΥΜ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΜΗΛΙΩΡΗ ΕΙΡΗΝΗ
2ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΕΛΙΣΣΙΩΝ
Α  ΓΥΜ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΤΣΑΤΑΛΜΠΑΣΙΔΗΣ ΟΡΕΣΤΗΣ
3ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ
Β  ΓΥΜ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΤΣΙΛΙΩΝΗΣ ΚΙΜΩΝ
3ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ
Γ  ΓΥΜ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΧΑΡΗΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ
ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε.
Γ  ΓΥΜ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΓΕΩΡΓΙΑΔΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ
2ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
Γ  ΓΥΜ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ

           ΜΑΘΗΤΕΣ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ
ΣΧΟΛΕΙΟ
ΤΑΞΗ
ΔΙΑΚΡΙΣΗ
ΔΗΜΑΚΗΣ  ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ
ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑΪΤΗ
Γ   ΛΥΚ
Α ΒΡΑΒΕΙΟ
ΑΛΕΤΡΑΣ  ΔΗΜΗΤΡΗΣ
10ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ
Γ   ΛΥΚ
Α ΒΡΑΒΕΙΟ
ΖΗΤΡΙΔΗΣ  ΑΝΤΩΝΙΟΣ
ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΟΥΡΣΟΥΛΙΝΩΝ
Γ   ΛΥΚ
Α ΒΡΑΒΕΙΟ
ΣΑΡΑΝΤΗΣ  ΜΙΧΑΗΛ
ΛΕΟΝΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΗΣΙΩΝ
Γ   ΛΥΚ
Α ΒΡΑΒΕΙΟ
ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΥ  ΘΕΟΔΩΡΟΣ
ΕΚΠ/ΡΙΑ ΑΘΗΝΑ
Γ   ΛΥΚ
Β ΒΡΑΒΕΙΟ
ΚΑΡΑΤΖΑ  ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ
3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΡΟΙΑΣ
Β   ΛΥΚ
Β ΒΡΑΒΕΙΟ
ΤΣΑΓΓΑΛΙΔΟΥ  ΖΩΗ
ΙΔΙΩΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΑΧΙΟΝ ΞΑΝΘΗΣ
Β   ΛΥΚ
Β ΒΡΑΒΕΙΟ
ΧΑΧΑΜΗΣ  ΝΕΣΤΟΡΑΣ
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΑΛΑΙΡΟΥ ΑΙΤΩΛΟΑΚΑΡΝΑΝΙΑΣ
Β   ΛΥΚ
Β ΒΡΑΒΕΙΟ
ΜΙΣΙΑΚΟΣ  ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ
ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΛΛΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ  
Α   ΛΥΚ
Β ΒΡΑΒΕΙΟ
ΣΚΙΑΔΟΠΟΥΛΟΣ  ΑΘΗΝΑΓΟΡΑΣ
ΡΟΔΙΩΝ ΠΑΙΔΕΙΑ 
Γ   ΛΥΚ
Β ΒΡΑΒΕΙΟ
ΝΤΟΥΝΗΣ  ΠΕΤΡΟΣ
1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΩΠΙΟΥ
Β   ΛΥΚ
Β ΒΡΑΒΕΙΟ
ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΥ  ΝΙΚΟΛΕΤΤΑ
ΕΚΠ/ΡΙΑ ΑΘΗΝΑ
Γ   ΛΥΚ
Β ΒΡΑΒΕΙΟ
ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ  ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ
2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΑΥΠΛΙΟΥ ΑΡΓΟΛΙΔΑΣ
Γ   ΛΥΚ
Β ΒΡΑΒΕΙΟ
ΣΦΑΚΙΑΝΑΚΗΣ  ΚΩΝ/ΝΟΣ
2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ
Γ   ΛΥΚ
Β ΒΡΑΒΕΙΟ
ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΣ  ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ
ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε.
Β   ΛΥΚ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΥ  ΓΕΩΡΓΙΑ
1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΑΛΙΑΔΑΣ ΗΛΕΙΑΣ
Α   ΛΥΚ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΜΠΑΤΖΟΛΗΣ  ΓΕΩΡΓΙΟΣ
ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε.
Β   ΛΥΚ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΦΙΛΙΠΠΑΣ  ΣΠΥΡΟΣ
2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ
Β   ΛΥΚ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΔΕΔΕΣ  ΓΙΑΝΝΗΣ
ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΛΛΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ  
Γ   ΛΥΚ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΜΟΥΤΖΟΥΡΗΣ  ΙΑΣΟΝΑΣ
1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ
Γ   ΛΥΚ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΛΑΜΠΡΟΣ  ΜΑΡΙΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ
3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΡΤΑΣ
Β   ΛΥΚ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΜΗΛΙΩΡΗ  ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ
ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΠΕΝΤΕΛΗΣ
Γ   ΛΥΚ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΣΑΝΤΟΡΙΝΑΙΟΣ  ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ
5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ
Γ   ΛΥΚ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΔΗΜΗΤΡΑΚΑΚΗΣ  ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ
ΠΡΟΤΥΠΟ ΑΘΗΝΩΝ
Α   ΛΥΚ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΔΙΑΜΑΝΤΙΔΗΣ  ΔΗΜΗΤΡΗΣ
PIERCE COLLEGE
Γ   ΛΥΚ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΚΑΛΟΣΙΔΗΣ  ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε.
Α   ΛΥΚ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΜΕΛΑΣ  ΧΡΥΣΟΒΑΛΑΝΤΗΣ ΔΗΜΗΤ
ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑΪΤΗ
Α ΓΥΜ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΜΟΥΖΑΚΗΣ  ΑΝΑΡΓΥΡΟΣ-ΓΕΩΡΓΙΟΣ
ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΟΥΡΣΟΥΛΙΝΩΝ
Γ   ΛΥΚ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΜΟΥΖΑΚΗΣ  ΝΙΚΟΣ
ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΑΓ. ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ
Γ   ΛΥΚ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ
ΤΣΙΚΑΛΑΣ  ΓΕΩΡΓΙΟΣ
ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΕΡΣΟΥ ΚΙΛΚΙΣ
Β   ΛΥΚ
Γ ΒΡΑΒΕΙΟ

Δύο εκλογικά θέματα

$1).$ $Ν$ άτομα καλούνται να επιλέξουν από μια λίστα $κ$ τραγουδιών ,το αγαπημένο τους. Συμφωνούν να μπορεί να ψηφίσει ο καθένας τους μέχρι $3$ τραγούδια. Πέφτουν δύο προτάσεις στο τραπέζι για τον ακριβή τρόπο ψηφοφορίας. Η πρώτη είναι να ψηφίσει ο καθένας τρία τραγούδια $\big\{  \kappa _{i},  \kappa _{j},  \kappa _{m}   \big\}$ με $\big\{i,j,m\big\}  \in  \big\{1,2, \cdots ,k\big\}$ χωρίς καμία διάκριση "βαρύτητας ψήφου" μεταξύ των τριών, και η δεύτερη πρόταση είναι να μπορούν να ψηφίσουν τρία τραγούδια ,αλλά με διάταξη προτιμήσεως, δηλαδή οι τρεις ψήφοι να είναι ανισοβαρείς.

Oικόπεδα με ντερτίνη

Στον πλανήτη Locomathe υπάρχει η Τετραγωνούπολη. Μια ωραία, τετράγωνη αγροτική πόλη που εκτείνεται σε ένα πλαίσιο $ \nu  \times  \nu $, και όπου η κάθε οικογένεια από τις $ν^{2}$ συνολικά, είναι ιδιοκτήτρια και κατοικεί στο τετράγωνο οικόπεδό της. Μια μέρα εμφανίζεται ένας εκπρόσωπος της εταιρίας Locodirtian, του μεγαλύτερου παραγωγού "ντερτίνης" του πλανήτη. H ντερτίνη είναι το πολυτιμότερο δημητριακό, αλλά έχει το μειονέκτημα πως η καλλιέργειά του αποπνέει μια ανυπόφορη μπόχα. Κάνει την εξής πρόταση. Η εταιρία προτίθεται να αγοράσει $\kappa < \nu$ οικόπεδα ,στην τιμή του ενός εκατομμυρίου Locoeuros το καθένα.

India Mathematical National Olympiad 2014

1. In a triangle , let be the point on the segment such that . Suppose that the points , and the centroids of triangles and lie on a circle. Prove that . 

2. Let be a natural number. Prove that, 

is even. 

3. Let be natural numbers with . Suppose that the sum of their greatest common divisor and least common multiple is divisble by . Prove that the quotient is at most . When is this quotient exactly equal to .