Η θεωρία πιθανοτήτων δεν καλλιεργήθηκε στην αρχαία Ελλάδα

Ο Αριστοτέλης (384-322 π.Χ.) διέκρινε τις λέξεις γνώση και γνώμη όπου: γνώση αφορά σε κάτι που είναι σωστό ή λάθος, ενώ γνώμη αφορά σε κάτι που μπορεί να είναι σωστό ή λάθος. 

Έδωσε επίσης τις έννοιες του τυχαίου, του απρoσδόκητoυ και της σχετικής συχνότητας. 

Θεωρούσε όμως ότι το τυχαίο δεν είναι επιστημονική έννοια, οφείλεται στη δική μας αδυναμία να ερμηνεύσουμε τα φαινόμενα και έδωσε τα παραδείγματα: 

• Ανακοίνωση για το αποτέλεσμα μιας ναυμαχίας που θα γίνει την επόμενη μέρα

• Η εύρεση θησαυρού κατά το σκάψιμο για να φυτέψουμε φυτά

Γράφει: 

Το τυχαίο λοιπόν είναι εντελώς απροσδιόριστο και γι’ αυτό "του ἀπό τύχης ούκ έστίν ἐπιστήμη δι' ἀποδείξεως".

Πολυχρόνης Μωυσιάδης καθ. Α.Π.Θ. (Θεωρία Πιθανοτήτων)

100Μ + Ν = ?

Στην παρακάτω εικόνα βλέπουμε ένα πλήθος από πράσινα και λευκά μοναδιαία τετραγωνάκια.

Αν το πλήθος των λευκών μικρών τετραγώνων είναι $Μ$ και των λευκών είναι $Ν$, τότε να υπολογισθεί το άθροισμα

$100Μ+Ν$.

Online Math Open 2013 (USA)

Το μυστικό για την τέλεια πίτσα είναι τα... μαθηματικά!

Μαθηματική εξίσωση για την Παρασκευή της τέλειας πίτσας, επινόησε η δρ. Γιουτζίνια Τσενγκ από το πανεπιστήμιο του Σέφιλντ, σύμφωνα με το αμερικανικό δίκτυο Fox News.

Η δρ. Τσενγκ συνεργάστηκε με την αλυσίδα Pizza Express και εξέτασε τους παράγοντες που καθιστούν τη λεπτή μεγάλη πίτσα διαμέτρου 14 ιντσών σαφώς πιο δημοφιλή από την πίτσα με την κλασική ζύμη διαμέτρου 11 ιντσών.

Πράσινο εμβαδόν

Να βρεθεί το εμβαδόν της πράσινης επιφάνειας.

Πυθαγόρειο θεώρημα: Απόδειξη 47η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης  

Κάντε κλικ στο σχήμα. 

Άλγεβρα Β' Λυκείου - Μελέτη της συνάρτησης f(x)=συνx

Kάντε κλικ στην εικόνα. Απαιτείται η εφαρμογή Geogebra.

Άλγεβρα Β' Λυκείου - Μελέτη της συνάρτησης f(x)=ημx

Kάντε κλικ στην εικόνα. Απαιτείται η εφαρμογή Geogebra.

Dear Math ...

Πλευρά τετραγώνου

Δίνεται τετράγωνο $ABCD$ και σημείο $E$ του εσωτερικού ημικυκλίου διαμέτρου $AD$, έτσι ώστε $E\widehat BC = {45^ \circ } + E\widehat AB$. 

Αν $AE = 3$, βρείτε το μήκος $x = BE$ καθώς και την πλευρά του τετραγώνου.

Πηγή: mathematica (Μιχάλης Νάννος)

Κάντε 100

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να σχηματίσουμε τον αριθμό $100$, χρησιμοποιώντας ένα μόνο ψηφίο και οποιαδήποτε πράξη;

Μερικά παραδείγματα: 

\[111-11\]

\[99+\frac{99}{99}\]

\[\frac{1111}{11}-1\]

Πόσα τετράγωνα βλέπετε;

Απρόσιτη κορυφή

Να βρεθούν οι συντεταγμένες της του τετραγώνου του παρακάτω σχήματος.

Πηγή: mathematica (KARKAR)

M.C. Escher: μαθηματικός χωρίς να το ξέρει

Η ομάδα ΘΑΛΗΣ + ΦΙΛΟΙ σας προσκαλεί στη διάλεξη του Τεύκρου Μιχαηλίδη στο Μουσείο Ηρακλειδών

Η ομάδα ΘΑΛΗΣ + ΦΙΛΟΙ διοργανώνει μια σειρά διαλέξεων και ομιλιών. Μαθηματικοί, φυσικοί, ιστορικοί τέχνης, εικαστικοί και συγγραφείς προσεγγίζουν, με απρόβλεπτο τρόπο, τους δεσμούς και τις ποικίλες σχέσεις που συνδέουν τα μαθηματικά και, γενικότερα, την επιστήμη με την τέχνη και την αφήγηση.

«M.C. Escher: μαθηματικός χωρίς να το ξέρει»

Η ομιλία θα γίνει την Παρασκευή 8 Νοεμβρίου στις 18.30 στο Μουσείο Ηρακλειδών.

O M.C. Escher θεωρείται, δικαίως, ως ο χαράκτης που οι ιδέες και οι δημιουργίες του έχουν τη μεγαλύτερη συνάφεια με τα μαθηματικά.

Η ομορφιά των μαθηματικών στην καθημερινή ζωή

Μπορεί στο Λύκειο (και στο Πανεπιστήμιο) να σιχαινόσουν τα μαθηματικά (ή να σου προκαλούσαν πόνο), αλλά δύσκολα αμφισβητείς τη σπουδαιότητα τους για την εξέλιξη όλων των επιστημών και γενικότερα της Ανθρωπότητας.

Οδηγός επιβίωσης στο Νέο Λύκειο και το νέο εξεταστικό σύστημα

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Διαγώνισμα στους Μιγαδικούς αριθμούς, του Λευτέρη Πρωτοπαπά

Πηγή: mathematica

Γεωμετρικά Αριστουργήματα

Όταν o καλλιτέχνης Robert Wechsler βρέθηκε με ένα μεγάλο αριθμό κερμάτων, δεν τα χρησιμοποίησε για να αποπληρώσει κάποιους λογαριασμούς ή για διάφορες αγορές, όπως θα έκαναν οι περισσότεροι. 

Αντί για αυτό, είδε μια πολύ καλή ευκαιρία για να δημιουργήσει τέχνη. Χρησιμοποιώντας τρίμηνα, δεκάρες και πένες, ο Wechsler ανέπτυξε πρόσφατα αυτή τη σειρά πολύπλοκων γεωμετρικών μορφών, την οποία ονόμασε «Χρήματα».

Νέα ιστοσελίδα: "Για την αγάπη των μαθηματικών"

Ο αγαπητός φίλος και δραστήριο μέλος του mathematica, parmenidis51 δημιούργησε μία νέα μαθηματική ιστοσελίδα, την οποία ονόμασε: 

"Για την αγάπη των μαθηματικών" (parmenides51.blogspot.gr) 

Αν κρίνουμε από τον τίτλο, αλλά και από την προσφορά του μέχρι σήμερα στο mathematica, η επιτυχία της ιστοσελίδας είναι δεδομένη. 

Διαφόρων ειδών άπειρα;

Όταν ο Γαλιλαίος ανέλυε το φαινόμενο της επιτάχυνσης, διαπίστωσε ότι αν πάρουμε την άπειρη σειρά των φυσικών αριθμών 1,2,3... και υψώσουμε στο τετράγωνο καθέναν από αυτούς παίρνουμε τη σειρά 1,4,9... Ο κάθε αριθμός της δεύτερης σειράς βρίσκεται σε ένα προς ένα αντιστοιχία με κάθε αριθμό της πρώτης, άρα οι δύο αυτές σειρές πρέπει να έχουν τον ίδιο αριθμό όρων. Όμως, στη δεύτερη λείπουν κάποιοι αριθμοί, άρα λογικά θα έπρεπε να έχει λιγότερους όρους από την πρώτη. Ένα από τα δύο μπορούσε να συμβαίνει: ή αυτά τα δύο άπειρα ήταν ίδια, ή υπήρχαν διαφόρων ειδών άπειρα.

Απόσπασμα από το βιβλίο "Η Ιστορία των Μαθηματικών", Richard Mankiewicz.

Β΄ Λυκείου Κατεύθυνση - Διαγώνισμα στα διανύσματα (έως το μέτρο διανύσματος), του Βασίλη Κακαβά

Πηγή: mathematica (KAKABASBASILEIOS)

CTY Greece (Κολλέγιο Ανατόλια): Κέντρο για χαρισματικά και ταλαντούχα παιδιά ηλικίας 5-18 ετών

Σκοπός του CTY Greece είναι να ανακαλύπτει και να εκπαιδεύει παιδιά και νέες ή νέους ηλικίας 5-18 ετών που διαθέτουν ιδιαίτερα ταλέντα ή χαρίσματα, που διακρίνονται με τις επιδό-

σεις τους ή με τις ιδιαίτερες ικανότητές τους και που ξεχωρίζουν για την αγάπη τους στη μάθηση πέρα από τα στενά όρια του σχολικού προγράμματος.

Αλ-τζαμπρ

Η λέξη αλ-τζαμπρ (αποκατάσταση), παρμένη από τον τίτλο της πραγματείας του αλ- Χουαρίζμι, Χίσάμπ αλ-τζαμπρ ου'αλ-μουκάμπαλα (κεφ. 7) είναι η λέξη που έδωσε τη δική μας «άλγεβρα». Ο αλ-Χουαρίζμι έγραψε την άλγεβρα του χωρίς να χρησιμοποιεί καθόλου σύμβολα και τις επιλύσεις των εξισώσεων τις έδινε ρητορικά. Στις δυνάμεις των αγνώστων έδινε ονόματα, όπως π.χ. σέι (πράγμα) για το $x$, μαλ (πλούτος) για το $x^2$ και κα'μπ (κύβος) για το $x^3$.

Τα ονόματα που έδιναν στις δυνάμεις δεν ήταν σταθερά και στο βιβλίο του Liber abbaci του 1202 (κεφ. 10) ο Φιμπονάτσι χρησιμοποιούσε μεταφράσεις από τα αραβικά αλλά και μερικά ονόματα δικά του, όπως π.χ. το όνομα radix για τη ρίζα και cubus για το $x^3$. 

Απόσπασμα από το βιβλίο "Η Ιστορία των Μαθηματικών", Richard Mankiewicz.

Τόμας Χύλλες, Η τέχνη της κοινής αριθμητικής

Κανένα κράτος, κανένας άνθρωπος ή παιδί δεν κερδίζει σε σοφία

αν δεν μαθαίνουν όλοι τους αριθμούς απ' τα μικρά τους χρόνια.

Κι οι αριθμοί έχουνε τέτοια δύναμη για πλούσιους και φτωχούς

που όποιος δεν ξέρει να μετρά άνθρωπος δεν λογιέται παρά ζώο:

γιατί τι άλλο παρά κτήνος και τούβλο μοναχό

είναι όποιος δεν κατέχει τη μόνη τέχνη που αρμόζει στους ανθρώπους,

γιατί υπάρχουν ζώα που ξεπερνάνε τους ανθρώπους σε πολλά,

αλλά κανένα δεν ξέρει να μετρά, μόνο το ανθρώπινο μυαλό.

Κι αφού οι αριθμοί είναι από ζώο σε άνθρωπο η μόνη διαφορά,

ελάτε όλοι να μάθετε την τέχνη της αρίθμησης, αν θέτε

11/θέσια λεωφορεία

Καθένα από τα παρακάτω λεωφορεία παίρνουν μόνο 11 επιβάτες.

          

Με ποιον τρόπο μπορούν να επιβιβαστούν στα λεωφορεία οι παρακάτω οικογένειες, χωρίς να χωριστούν τα μέλη της κάθε οικογένειας;

 

The Martinezes

Διαγώνισμα στους Μιγαδικούς, των καθηγητών του Βενετόκλειου Λυκείου Ρόδου

Πηγή: mathematica

Τα μυστικά του ανθρώπινου εγκεφάλου

Συγγραφέας: Γιώργος Καρουζάκης

Οι επιστήμονες μπορούν, τώρα, μέσω μιας ειδικής σάρωσης του ανθρώπινου εγκεφάλου να αποκωδικοποιούν τις σκέψεις, τα όνειρα, αλλά και τις προθέσεις μας.

Σε δημοσίευμα του περιοδικού Nature, ο νευροεπιστήμονας Jack Gallant από το Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια εξηγεί την εντυπωσιακή προσπάθειά του.

Διαδρομές στα λευκά

"Οι εξετάσεις φοβίζουν και τον καλύτερα προετοιμασμένο, γιατί ο μεγαλύτερος ανόητος μπορεί να ζητήσει περισσότερα απ'ό,τι μπορεί να απαντήσει ο μεγαλύτερος σοφός."

Charles Caleb Colton

Μια σκακιέρα μxν έχει λευκό το πάνω-αριστερά τετράγωνό της. Ξεκινώντας απ'αυτό το τετράγωνο ένα κομμάτι κινείται διαγώνια και όταν φτάσει σε κάποιο "όριο" ακολουθεί τη διαγώνιο (σαν έναν Αξιωματικό που κινείται συνεχώς).

Παράδοξα;

Το 0,999... είναι ακριβώς 1. Όχι "περίπου 1" αλλά "ακριβώς 1" !

Απόδειξη

α = 0,999...

10α = 9,999...

10α - α = 9,999... - 0,999...

9α = 9

α = 1

Πάρτε μια λευκή κόλα χαρτί και γράψτε στην μια σελίδα: "Η πρόταση που είναι γραμμένη στην πίσω σελίδα αυτού του χαρτιού είναι αληθής". Κατόπιν, γυρίστε στην πίσω πλευρά του φύλλου και γράψτε: "H πρόταση που είναι γραμμένη στην πίσω σελίδα αυτού του χαρτιού είναι ψευδής". Βρείτε έναν τρόπο, χωρίς να γράψετε κάτι πρόσθετο ή καταστρέψετε ή αλλοιώσετε ή προσθέσετε οτιδήποτε πάνω στο χαρτί, να άρετε το προφανές λογικό παράδοξο.

Πρώτο σερβίς

"Το "σκέφτομαι άρα υπάρχω"(Cogito ergo sum) είναι η δήλωση μιας διάνοιας που υποτιμάει τον πονόδοντο." 

Mίλαν Κούντερα

O Τζιόκοβιτς κι ο Ναδάλ συγκρούονται στον τελικό του Γουίμπλετον. Ο Τζιόκοβιτς κέρδισε το πρώτο σετ του αγώνα με σκορ 6-3 στα γκέιμς. Αν σ'αυτό το σετ υπήρξαν 5 breaks, δηλαδή "σπασίματα του σερβίς του αντιπάλου", ποιος σέρβιρε στο πρώτο γκέιμ;

Αγία Λογική: Οι επιστήμονες πληροφορικής "αποδεικνύουν" ότι υπάρχει Θεός

Ο Αυστριακός μαθηματικός Kurt Gödel κράτησε το μυστικό του για την ύπαρξη του Θεού για δεκαετίες. Τώρα δύο επιστήμονες αναφέρουν ότι έχουν αποδείξει την ύπαρξη του Θεού με μαθηματικό τρόπο χρησιμοποιώντας υπολογιστές. Οι δύο επιστήμονες τυποποίησαν το θεώρημα του μαθηματικού Kurt Gödel περί υπάρξεως του Θεού ωστόσο αυτή η οπτική γωνία τίθεται κάπως υπό αμφισβήτηση. Το πραγματικό επίτευγμα είναι το παράδειγμα που δίνουν για το πώς οι υπολογιστές και η προηγμένη τεχνολογία μπορεί να απλοποιήσουν και να προωθήσουν την επιστημονική ανακάλυψη.

Όταν ο Gödel πέθανε το 1978, άφησε ως κληρονομιά μια ελκυστική θεωρία βασισμένη σε αρχές της λογικής με την οποία αποδείκνυε την ύπαρξη ενός ανωτέρου όντος.

39 - Ποιος είναι ο επόμενος;

Ποιος είναι ο επόμενος όρος της παρακάτω ακολουθίας: 

1, 4, 8, 11, 22, 25, 50, 53, 106, _____

Πυθαγόρειο θεώρημα: Απόδειξη 46η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης  

Κάντε κλικ στο σχήμα. 

38 - Ποιος είναι ο επόμενος;

Ποιος είναι ο επόμενος όρος της παρακάτω ακολουθίας: 

2, 22, 23, 222, 25, 223, 27, 2222, _____

Ο τέλειος χάρτης

"Θα είναι πάντα δύσκολο/τον Αϊνστάιν να εννοήσουν τα μικροσκοπικά μυαλά μας. / Όποια κι αν είναι του φωτοφράκτη σου η ταχύτητα../ και του φωτοφράκτη η ταχύτητα μπορεί πάντοτε ν'αλλάζει/απ'όποια πλευρά κι αν πέφτει η σκιά, / το φως την ίδια ταχύτητα θα έχει./ Εδώ είναι άλλες οι λέξεις και οι έννοιες /που ξεχαρβαλωμένο σε κάνουν να νοιώθεις. / Η γεωδαισιακή γραμμή τον συντομότερο δρόμο ακολουθεί / από το ένα μέρος σε κοντινό σημείο να βρεθεί./ Κύριε, σ'ετούτη την περίπλοκη σκακιέρα,/ δες οι συντεταγμένες σου πού είναι,/ για να ελέγξεις με τα μαθηματικά / τις θεωρίες σου για το κοντά και το μακριά.

Keki N. Daruwalla (Space-time instruction "The Map-maker" (2002)

2+2=5

"Έπειτα, ξέρετε, είμαι βέβαιος πως εμείς που κατοικούμε στα υπόγεια, είναι ανάγκη να μας κρατούν σαν μαντρόσκυλα, καλά δεμένους. Γιατί μολονότι είμαστε ικανοί να μείνομε σαράντα χρόνια στην τρύπα μας χωρίς να πούμε λέξη, ως τόσο όταν βγούμε στο φως της μέρας, μιλούμε ακατάπαυστα..."

Φιοντόρ Ντοστογιέφσκι (Το Υπόγειο)

"..Θα μου πείτε πως πρόκειται για χρόνια σχετικώς βάρβαρα∙ πως κι η εποχή μας είναι σχετικώς βάρβαρη, γιατί μπήγουν ακόμα τις βελόνες στους ανθρώπους∙ πως αν και ο άνθρωπος έγινε πιο διορατικός παρ' ό,τι ήταν στις βάρβαρες εποχές, βρίσκεται πολύ μακριά ακόμα και δε συνήθισε να φέρνεται όπως του προστάζει η λογική και η επιστήμη.

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί 2: Ασκήσεις – Συνοπτική θεωρία, των Χ. Στεργίου και Σ. Μπραζιτίκου

Κυκλοφόρησε ένα νέο βιβλίο για μαθητικούς διαγωνισμούς με συγγραφείς τους αγαπητούς φίλους Μπάμπη Στεργίου και Σιλουανό Μπραζιτίκο. 

Και οι δύο ασχολούνται πολλά χρόνια με τους μαθηματικούς διαγωνισμούς (ο Σιλουανός είναι και Ολυμπιονίκης Μαθηματικών) και γνωρίζουν όσο λίγοι πως πρέπει να γίνει μιά σωστή προετοιμασία, για να ανταποκριθεί με επιτυχία ο μαθητής στη δυσκολία των προβλημάτων των διαγωνισμών αυτών. Καλοτάξιδο!

Απόσπασμα από τον πρόλογο του βιβλίου:

Πανελλαδικές εξετάσεις 2000 - 2013: Τα θέματα όλων των ετών σε όλα τα μαθήματα με τις απαντήσεις τους

 Νεοελληνική Γλώσσα                                                           

Θέματα

2000-2001-2002-2003-2004-2005-2006-2007-2008-2009-2010-2011-2012-2013

Απαντήσεις

2000-2001-2002-2003-2004-2005-2006-2007-2008-2009-2010-2011-2012-2013

 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας                                                 

Θέματα

2000-2001-2002-2003-2004-2005-2006-2007-2008-2009-2010-2011-2012-2013

Απαντήσεις

2000-2001-2002-2003-2004-2005-2006-2007-2008-2009-2010-2011-2012-2013

 Βιολογία Γενικής Παιδείας                                                     

Θέματα

2000-2001-2002-2003-2004-2005-2006-2007-2008-2009-2010-2011-2012-2013

Απαντήσεις

2000-2001-2002-2003-2004-2005-2006-2007-2008-2009-2010-2011-2012-2013

 Φυσική Γενικής Παιδείας                                                       

Θέματα

2000-2001-2002-2003-2004-2005-2006-2007-2008-2009-2010-2011-2012-2013

Απαντήσεις

2000-2001-2002-2003-2004-2005-2006-2007-2008-2009-2010-2011-2012-2013

Ορισμένη στο [-1,1]

Έστω συνάρτηση  συνεχής στο διάστημα , τέτοια ώστε:

1)

2)  μη φθίνουσα συνάρτηση.

3)

Να αποδειχθεί ότι

Japan Today's Calculation Of Integral 2013

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Romanian Master of Mathematics 2013

Το κύρος των Ελλήνων καθηγητών είναι από τα υψηλότερα στην Ευρώπη

Το κύρος των εκπαιδευτικών είναι υψηλότερο στην Ελλάδα, σε σύγκριση με τη Φινλανδία, τη Γερμανία, την Ελβετία, την Ολλανδία, τη Γαλλία, την Ισπανία, την Ιταλία και το Ηνωμένο Βασίλειο, σύμφωνα με μια νέα έρευνα.

Το εύρημα αυτό περιλαμβάνεται στον Παγκόσμιο Δείκτη Κύρους των Εκπαιδευτικών του ιδρύματος Varkey GEMS, που αποτελεί την πρώτη προσπάθεια σύγκρισης της στάσης απέναντι στους εκπαιδευτικούς σε 21 χώρες.

Κυβικές ρίζες

Μία πρακτική μέθοδος για να βρίσκουμε τις κυβικές ρίζες εξαψήφιων αριθμών.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Ε.Μ.Ε. N. Ροδόπης - Μαθηματικός Διαγωνισμός για την Α΄ Γυμνασίου

Την ημέρα που η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία διοργάνωσε τον "Θαλή" (19/10/2013), το παράρτημα της Ε.Μ.Ε. του Ν. Ροδόπης διοργάνωσε διαγωνισμό και για τους μαθητές της Α΄ Γυμνασίου.

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου - Ωριαίο Διαγώνισμα στην Τριγωνομετρία

30ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας - Τα Μαθηματικά στην Εκπαίδευση στην Τεχνολογία και στην Κοινωνία

          Η αφίσα του Συνεδρίου          

Ο Πρόεδρος της Δημοκρατίας δέχεται τους μαθητές των Εθνικών Ολυμπιακών ομάδων (2013) στα Μαθηματικά

Ο Πρόεδρος της Ελληνικής Δημοκρατίας Κάρολος Παπούλιας δέχθηκε την Πέμπτη 17 Οκτωβρίου 2013 στο Προεδρικό Μέγαρο τους μαθητές μέλη των εθνικών ομάδων που συμμετείχαν στην 30η Βαλκα-νική Μαθηματική Ολυμπιάδα, την 17η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων και την 54η Διεθνή Μα-θηματική Ολυμπιάδα. Οι μαθητές που αποτελούν τις ομάδες είναι: