Πυθαγόρειο θεώρημα: Απόδειξη 44η

Επιμέλεια: Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης

Κάντε κλικ στο σχήμα.

Μιγαδικοί αριθμοί. Γεωμετρικοί τόποι (Μέρος 1ο - Βασικά στοιχεία)

 Βιντεομάθημα του Δημήτρη Μοσχόπουλου 
Εισαγωγή στην γεωμετρία των μιγαδικών αριθμών και την έννοια του γεωμετρικού τόπου. Κατευθύνσεις για τις ασκήσεις, χαρακτηριστικές εκφράσεις που συναντώνται.

Δείτε επίσης: 

Θεώρημα Bolzano (λυμένες ασκήσεις)

Άσκηση στο Θεώρημα Bolzano

Διαφορικός Λογισμός - Αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία ασκήσεων

Ο λόγος της ομοιότητας

Με κέντρο το μέσο $M$ της βάσης $AB$, τετραγώνου $ABCD$ και ακτίνα $MC$ γράφω κύκλο, ο οποίος τέμνει την προέκταση της $AB$ στο σημείο $S$. Συμπληρώνω το ορθογώνιο $BSTC$. 

Δείξτε ότι τα ορθογώνια $BSTC$ και $ASTD$ είναι όμοια και βρείτε το λόγο: 

$\displaystyle\frac{\mu \acute{\eta }\kappa o\varsigma }{\pi \lambda \acute{\alpha }\tau o\varsigma }$.

Πηγή: mathematica (KARKAR)

1000x+100y+z=?

Έστω θετικοί ακέραιοι αριθμοί $x,y,z\leq{100}$, τέτοιοι ώστε

$1099x+901y+1110z=59800$

$109x+991y+101z=44556$

Να υπολογιστεί το άθροισμα

$1000x+100y+z$.  

Evan Chen

USA Online Math Open 2013

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Πορτρέτα μαθηματικών - Niels Henrik Abel

Αν και μόνο αν

Να αποδειχθεί ότι ένα εγγεγραμμένο σε έλλειψη τρίγωνο έχει μέγιστο εμβαδόν, αν και μόνο αν το βαρύκεντρο του τριγώνου είναι το $Ο(0,0)$.

Εικόνες και απόσταση

Δίνεται η εξίσωση και έστω $A,B$ οι εικόνες των ριζών της στο μιγαδικό επίπεδο. Αν $M(0,1)$, να δείξετε ότι 

$(MA)(MB)=13$.

Λύση

Έχουμε

Για έχουμε

Επομένως

$\mid{12+5i}\mid=\mid{(i-z_1)(i-z_2)}\mid$

$13=\mid{(i-z_1)(i-z_2)}\mid$

$(MA)(MB)=13$.

Πηγή: mathematica (Χρήστος Καρδάσης)

Ασκήσεις Άλγεβρας Β' Λυκείου, του Θανάση Κοπάδη

16 - Ποιος είναι;

Αναγνωρίζετε ποιος είναι ο εικονιζόμενος μαθηματικός;

▪ Ιππότης

Σε μία μυθική χώρα υπάρχει κάποιος αριθμός από κάστρα και τρεις δρόμοι ξεκινούν από το κάθε κάστρο. Ένας ιππότης ξεκινάει από το κάστρο του για ένα μεγάλο ταξίδι σε όλη τη χώρα. Σε κάθε κάστρο που φτάνει διανυκτερεύει και την επόμενη ημέρα αφήνει το κάστρο πηγαίνοντας είτε δεξιά είτε αριστερά. Δεν παίρνει ποτέ το δρόμο από τον οποίο ήρθε στο κάστρο και δεν στρίβει ποτέ προς την ίδια κατεύθυνση, όπως έκανε προηγουμένως. Να αποδειχθεί ότι ο ιππότης θα φτάσει ξανά στο κάστρο του.

Χωρίς επικάλυψη

Δίνονται μερικά τετράγωνα, των οποίων το άθροισμα των εμβαδών είναι ίσο με 1. Να αποδειχθεί ότι τα τετράγωνα αυτά μπορούν να τοποθετηθούν χωρίς επικάλυψη στο εσωτερικό τετραγώνου που έχει εμβαδόν ίσο με 2.

6η Πανενωσιακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 1971 (Τσελιάμπινσκ)

▪ $Α(z) = ?$

Στο μιγαδικό επίπεδο θεωρούμε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα 2.

Αν $\angle{ABC}= 30^0$, να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός $Α(z)$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Περί επαφών του Απολλώνιου

Ένα έργο που έχει σωθεί και αναφέρεται σε κατασκευές είναι η πραγµατεία του Απολλώνιου “Περί επαφών”. Το κατασκευαστικό πρόβληµα είναι: 

«∆οθέντων τριών στοιχείων, που το καθένα µπορεί να είναι σηµείο, ευθεία ή κύκλος, να γραφεί κύκλος ο οποίος να διέρχεται από τα σηµεία και να εφάπτεται στις ευθείες ή τους κύκλους». 

Το πρόβληµα αυτό περιλαµβάνει δέκα επιµέρους περιπτώσεις και όλες λύνονται µε κανόνα και διαβήτη. Οι δέκα περιπτώσεις είναι οι πιο κάτω: 

Να κατασκευαστεί κύκλος ο οποίος να: 

1. ∆ιέρχεται από τρία σηµεία

2. Εφάπτεται σε τρεις ευθείες

Καθετότητα

Στο επίπεδο δίνονται τα μη συγγραμικά διανύσματα . Δείξτε ότι:

1) υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός ώστε το διάνυσμα να είναι κάθετο στο .

2) αν τότε

 

Πηγή: mathematica
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Πορτρέτα μαθηματικών - Ευκλείδης

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία - Υλικό προετοιμασίας για τους διαγωνισμούς

ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

θΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ 1

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ 2

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ 3

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ ΛΥΚΕΙΟΥ

Tό “εὔκολο σχολεῖο” εὐνοεῖ τούς οἰκονομικά ἰσχυρούς

Σχοινᾶς Φώτιος

Τό περασμένο Φεβρουάριο (σημ. Φεβρουάριο τοῦ 2005) οἱ μαθητές τῆς Γαλλίας ἔκαναν μαζικές διαδηλώσεις μέ ποῖο αἴτημα λέτε; Ὅσο κι ἄν φαίνεται ἀπίστευτο καί πρωτάκουστο μέ τό ἑξῆς κύριο αἴτημα: νά μήν μειωθοῦν τά ἐξεταζόμενα μαθήματα, ὅπως προτίθεται νά κάνει ἡ κεντροδεξιά κυβέρνηση τῆς Γαλλίας, στό Μπακαλορεά. Καταχωρίζουμε τό σχετικό ἄρθρο τοῦ Μιχάλη Μητσοῦ ἀπό τά Νέα: «Οι μαθητές, λέει ο πρώην υπουργός Παιδείας της Γαλλίας, Λυκ Φερρύ, είναι σαν την οδοντόπαστα. Όταν βγει από το σωληνάριο, δεν μπορείς να την ξαναβάλεις μέσα. Και οι Γάλλοι μαθητές έχουν βγει για άλλη μια φορά από το σωληνάριο.

Πανέξυπνη

Το τεταρτοκύκλιο είναι τμήμα του κύκλου , το εσωτερικό σημείο της και το  σημείο στην προέκτασή της. Στο φέρω κάθετη και από το εφαπτόμενη,  οι οποίες τέμνονται στο .

Το σημείο επαφής  είναι το μέσο του . Αν , βρείτε το . Αν , μπορείτε να βρείτε το ?

Πηγή: mathematica (KARKAR)

Κανονικό ... Πεντάγωνο

Διαγώνισμα στους μιγαδικούς αριθμούς, του Βασίλη Λιάπη

Πηγή: lisari

Προτεινόμενα βιβλία για Μαθηματικές Ολυμπιάδες (αγγλικά)

International Mathematical Olympiad

D. Djukic, V. Jankovic, I. Matic, N. Petrovic : The IMO Compendium 1959-2009, Springer, 2011.

   

M. Becheanu : International Mathematical Olympiads 1959-2000. Problems. Solutions. Results, Academic Distribution Center, Freeland, USA, 2001.  

15 - Ποιος είναι;

Αναγνωρίζετε ποιος είναι ο εικονιζόμενος μαθηματικός;

Πρόγραμμα μαθημάτων Ε.Μ.Ε. 2013 - 2014

Από το Σάββατο 21 Σεπτεμβρίου 2013 θα γίνονται μαθήματα στο κτίριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας Πανεπιστημίου 34, Αθήνα, σε τέσσερις τάξεις ως εξής:

Για μαθητές Α΄ και Β' τάξης Γυμνασίου, ώρα 09.10 – 10.30

Για μαθητές Γ΄τάξης Γυμνασίου, ώρα 10.40 - 12.00

Για μαθητές Α΄τάξης Λυκείου, ώρα 12.10 – 13.30

Ημερομηνίες 74ου Πανελλήνιου Διαγωνισμού στα Μαθηματικά

Διαγωνισμοί περιόδου 2013 - 2014

74ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός στα Μαθηματικά

Ανακοινώνεται η διεξαγωγή του 74ου Πανελλήνιου Διαγωνισμού (ΠΜΔ) στα Μαθηματικά.

Οι ημερομηνίες του διαγωνισμού στα Μαθηματικά είναι οι ακόλουθες :

Θαλής: Σάββατο 19 Οκτωβρίου 2013 ώρα 9.00 π.μ.

Ευκλείδης: Σάββατο 18 Ιανουαρίου 2014 ώρα 9.00 π.μ.

Αρχιμήδης: Σάββατο 22 Φεβρουαρίου 2014

Εξεταστέα ύλη για τον πρώτο διαγωνισμό "ΘΑΛΗΣ" για κάθε τάξη είναι η διδακτέα ύλη όλων των προηγουμένων τάξεων σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα κάθε τάξης του Π.Ι. για τα Μαθηματικά.

Τρία διαγωνίσματα στους μιγαδικούς αριθμούς, του Αντώνη Λουτράρη

Διαγώνισμα
1ο

Διαγώνισμα
2ο

Διαγώνισμα
3ο

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ' Λυκείου - Πρωτότυπο συνδυαστικό θέμα

Δίνονται οι γνησίως μονότονες συναρτήσεις  με σύνολο τιμών , για τις οποίες ισχύει: 

 

για κάθε .

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία

  και , 

όπου με και .

α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση.

β) Αν και .