Ζαροκαταστάσεις

1.Σε ένα πουγκί υπάρχουν δύο ζάρια. Το ένα είναι ένα συνηθισμένο τίμιο ζάρι και το άλλο είναι επίσης τίμιο και εξάεδρο, αλλά ο άσσος του έχει αντικατασταθεί από ένα εξάρι. Τραβάτε ένα ζάρι από το πουγγί στην τύχη και το ρίχνετε. Φέρνετε "Έξι". Ποια είναι η πιθανότητα να φέρετε "έξι" αν ξαναρίξετε το ίδιο ζάρι;

2. Το καζίνο "Η Ελπίς" προσφέρει το καινούργιο παιχνίδι "Φτιάξε τρίγωνο!". Ο παίκτης ρίχνει 3 τίμια στάνταρ ζάρια Αν οι 3 αριθμοί που θα φέρει σχηματίζουν τρίγωνο (δηλαδή αντιστοιχούν σε μήκη πλευρών μή εκφυλισμένου τριγώνου) κερδίζει 1ευρώ. Αν όχι, χάνει 1 ευρώ. Θα δοκιμάζατε την τύχη σας στο καινούργιο παιχνίδι;

5 για 2 και 2 για 5

"H Γεωμετρία χρειάζεται έμπνευση όσο και η ποίηση"

Αλεξάντερ Πούσκιν

Σε μια γραπτή εξέταση-διαγωνισμό συμμετέχουν 5 μαθητές . Ο καθένας μπορεί να διαλέξει 2 θέματα, από ένα σύνολο 5 διαφορετικών θεμάτων. Κάθε θέμα όμως από τα 5 μπορεί να είναι επιλογή ακριβώς 2 μαθητών. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Πανελλαδικές εξετάσεις 2013 - Οι βάσεις εισαγωγής κατά τμήμα και κατηγορία

Ανακοινώθηκαν απ το υπουργείο Παιδείας οι βάσεις εισαγωγής των υποψηφίων στα ΑΕΙ. 

Οι πίνακες του υπ. Παιδείας

90% ΓΕΛ & ΕΠΑΛ(Β) ΗΜΕΡΗΣΙΑ 2013

90% ΓΕΛ & ΕΠΑΛ (Β) ΕΣΠΕΡΙΝΑ 2013

10%ΓΕΛ & ΕΠΑΛ ΗΜΕΡΗΣΙΑ 2013

ΕΠΑΛ (Α) ΗΜΕΡΙΣΙΑ 2013

ΕΠΑΛ (Α) ΕΣΠΕΡΙΝΑ 2013

Συγκριτικό βάσεων 90% 2013 - 2012

Συγκριτικό βάσεων 10% 2013 - 2012

Συγκριτικό βάσεων ΕΠΑΛ 2013 - 2012

Σύγκριση Βάσεων 90% 2013 - 2012

Έξι από τριάντα

"...Συνδυαστική, ένας εύσχημος τρόπος να ρίχνεις τα ζάρια.."

 Robert Kanigel

(The Man Who Knew Infinity)

Ο Γιώργος πρέπει να ψάξει σε μια στοίβα με 30 βιβλία, για να βρει 6 συγκεκριμένα που τού χρειάζονται. Ποιος είναι ο αναμενόμενος (μέσος) αριθμός βιβλίων που πρέπει να εξετάσει για να βρει και τα 6 βιβλία;

Μαθηματικά: Η αντικειμενικότητα του απείρου

Η θεωρία συνόλων ως κλάδος των μαθηματικών επινοήθηκε το 19ο αιώνα, με πρωτεργάτη το Γερμανό μαθηματικό Γκέοργκ Κάντορ. Ασχολείται με τις σχέσεις μεταξύ συνόλων, συλλογών από αντικείμενα δηλαδή που μπορεί να είναι από κενά (το αντίστοιχο του μηδενός), μέχρι άπειρα σε μέγεθος. 

Η θεωρία συνόλων αποδείχτηκε ένας πολύ χρήσιμος τρόπος για να περιγραφούν τα μαθηματικά αντικείμενα, και σύντομα απέκτησε πολύ καίρια θέση στα μαθηματικά. 

Ολόκληρο το οικοδόμημα των μαθηματικών (τουλάχιστον ό,τι σχετίζεται με τη θεωρία συνόλων) στηρίζεται σε ένα σύνολο από

Περιέργα και παράδοξα

1.Γράψτε έναν οποιονδήποτε φυσικό αριθμό. Ας πούμε τον 73399234665. Μετρήστε τον αριθμό των άρτιων και περιττών ψηφίων και τον αριθμό όλων των ψηφίων και γράψτε τους αριθμούς που βρίσκετε διαδοχικά. Έχουμε: 4711. Πάμε ξανά! 1 άρτιος, 3 περιττοί, 4 σύνολο. 134. Ξανά. 1 άρτιος, 2 περιττοί,..

123. Ξανά! 123... 123. Δοκιμάστε με έναν οποιονδήποτε μεγάλο αριθμό. Πάντα καταλήγεις στο 123.

2. Ο Μήτσος κι ο Γιώργης ήταν φίλοι. Μια μέρα λέει ο Μήτσος στο Γιώργη -"Πας στοίχημα ένα ευρώ ότι αν μου δώσεις δύο ευρώ θα σου δώσω πίσω τρία;".

Πυθαγόρειο θεώρημα: Απόδειξη 42η

Επιμέλεια: Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης

Κάντε κλικ εδώ.

Στατιστική διακριτικότητα

Υπάρχουν κάποιες περιπτώσεις, σε έρευνες κοινής γνώμης ή δημοσκοπήσεις ή γενικά σε συνεντεύξεις-ερωτηματολόγια που αποσκοπούν σε συλλογή στατιστικών στοιχείων, στις οποίες η απάντηση "Ναι" ή "Όχι" δεν είναι εύκολη από μεριάς του ερωτώμενου. Συνήθως αυτές οι περιπτώσεις αφορούν ερωτήσεις, οι ειλικρινείς απαντήσεις των οποίων μπορεί να προκαλέσουν αμηχανία ή ντροπή, και έτσι η απάντηση πιθανότατα να μην είναι ειλικρινής, για ευνόητους λόγους.

Όλοι μπορούμε να σκεφτούμε τέτοιες ερωτήσεις και δεν νομίζω πως χρειάζεται να αναφέρω κάποια συγκεκριμένη.

Διχοτόμηση σημείων

Είναι εύκολο να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή και να τοποθετήσουμε ένθεν κι ένθεν τον ίδιο αριθμό σημείων στο επίπεδο. 

Η αντίστροφη διαδικασία όμως, είναι εφικτή πάντα; Μπορούμε δηλαδή, αν έχουμε ένα δεδομένο πεπερασμένο σύνολο σημείων, να βρούμε πάντα μια ευθεία που να χωρίζει το σύνολο των σημείων σε δύο περιοχές, με ακριβώς το ίδιο πλήθος σημείων η καθεμιά; Ας θεωρήσουμε ότι αν το πλήθος των σημείων είναι περιττός αριθμός ,η γραμμή θα περιέχει/"διχοτομήσει" ακριβώς ένα από τα σημεία.

Αποδείξεις των δυο σειρών

Δύο θέματα ,η λύση των οποίων απαιτεί μια-δυο,άντε τρεις σειρές, το πολύ! Προσοχή! Ουκ εν το πολλώ το ευ!

1. 25 τενίστες συμμετέχουν σε ένα τουρνουά νοκ-άουτ. Όποιος χάνει έναν αγώνα αποκλείεται. Πόσοι αγώνες θα παιχτούν συνολικά για να βγει νικητής;

2.Υπάρχουν θετικοί ακέραιοι μ και ν που να ικανοποιούν τη σχέση: $μ^3 = 2^ν +15$;

Οι πιο λακωνικές (αλλά ολοκληρωμένες!) απαντήσεις θα βραβευτούν!

Μπριζόλες στον πλανήτη Ζονγκ

1.Ο Αρχιστατιστικολόγος του μικρού πλανήτη Ζονγκ ανακοινώνει με υπερηφάνεια τα συγκεντρωτικά στατιστικά στοιχεία γάμου, τα οποία κρατούνται από απαρχής του πολιτισμού για όλους τους Ζονγκιανούς, νεκρούς και ζωντανούς! :

Δεν παντρεύτηκαν ποτέ: 8.756.231 

Παντρεύτηκαν μία φορά: 9.345.016 

Παντρεύτηκαν δύο φορές: 1.700.897 

Παντρεύτηκαν τρεις φορές: 271.213 

Παντρεύτηκαν τέσσερις φορές: 3.862 Σκέφτεστε: "Τελικά,τα ίδια χάλια με μας στη Γη ,έχουν οι στατιστικές των προηγμένων πολιτισμών...!" Γιατί κάνατε αυτή τη σκέψη;

Ε.Μ.Ε. - Προτάσεις στο σχέδιο νόμου του Υπουργείου Παιδείας και Θρησκευμάτων για την αναδιάρθρωση της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης

Αθήνα, 20 Αυγούστου 2013

Αρ. Πρωτ. 14814/20-8-2013

Προς τον 

Υπουργό Παιδείας και Θρησκευμάτων κ. Κωνσταντίνο Αρβανιτόπουλο

Προτάσεις στο σχέδιο νόμου του Υπουργείου Παιδείας και Θρησκευμάτων για την αναδιάρθρωση της Δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης 

Σε προηγούμενο κείμενο θέσεων της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (ΕΜΕ) είχαμε τονίσει την αντίθεση μας σε υποβάθμιση των Μαθηματικών στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση με τη μείωση των ωρών διδασκαλίας των Μαθηματικών στο Γυμνάσιο-Λύκειο.

Όπως είχαμε τονίσει τα Μαθηματικά πέραν της φιλοσοφικής τους διάστασης, που είναι συμβατή με τις πολιτισμικές καταβολές και την κουλτούρα του Έλληνα, αποτελούν την πλέον κατάλληλη γλώσσα για την κατανόηση και μελέτη άλλων επιστημονικών περιοχών. Πιστεύουμε ότι είναι απαραίτητη η παροχή συγκροτημένης και αναβαθμισμένης Μαθηματικής Παιδείας στον πολίτη.

Πόκερ σε μαγυάρικο αεροπλάνο

1. Από Ουγγρικό μαθηματικό διαγωνισμό για 11χρονους:

Πώς μπορούμε να διαιρέσουμε έναν κύβο 3 X 3 X 3 σε 20 κύβους;

2. Σε ένα αεροπλάνο υπάρχουν 120 θέσεις για 120 επιβάτες. Ο πρώτος επιβάτης που επιβιβάζεται, αντί να καθίσει στην προβλεπόμενη από την κάρτα επιβίβασης θέση του, κάθεται σε μια άλλη τυχαία θέση. Οι επόμενοι επιβάτες κάθονται κανονικά στη θέση τους αν είναι διαθέσιμη. Αλλιώς,κάθονται σε μια ελεύθερη θέση.Ποια είναι η πιθανότητα ο τελευταίος που θα επιβιβαστεί, ο 120ος επιβάτης,να καθίσει στη θέση του;

Προσθαφαιρέσεις

Ένα δικό μου πρόβλημα:

Γράφουμε σε μια σειρά, ν θετικούς ακέραιους ,από το 1 έως και το ν. 1 2 3...(ν-1) ν. Πρέπει να βάλουμε μπροστά από κάθε αριθμό το πρόσημο "συν" (+) ή "μείον" (-) ώστε το άθροισμα όλων των αριθμών να είναι 0. 

Βρείτε την πιθανότητα, το πρόβλημα αυτό να έχει λύση για ένα τυχαίο ν. Πρόσθετο ερώτημα: Bρείτε τη σειρά προσήμων για ν=7 και γενικά για ν=3mod4.

Προφανές...

"Η μνήμη μου έχει γίνει τόσο κακή, που ώρες-ώρες ξεχνάω πως έχω τόσο κακή μνήμη κι αρχίζω να τα θυμάμαι όλα." 

G.D.Ricebird

Κάποια μέρα,καθώς παρέδιδε σε κάποια αίθουσα στο Γιέηλ, ο σπουδαίος Ιαπωνοαμερικάνος μαθηματικός Σιζούο Κακουτάνι έγραψε ένα λήμμα στο μαυροπίνακα και παρατήρησε πως :

"Η απόδειξη είναι προφανής". Ένας φοιτητής σήκωσε κάπως διστακτικά το χέρι και είπε πως η απόδειξη δεν ήταν τόσο προφανής γι'αυτόν. Ο Κακουτάνι κοίταξε κάποια δευτερόλεπτα την πρόταση που μόλις είχε γράψει στον πίνακα και διαπίστωσε ότι ούτε αυτός μπορούσε να την αποδείξει!

Ζήτησε συγγνώμη και δεσμεύτηκε να επανέλθει στο θέμα στο επόμενο μάθημα.

Το κόλπο

Θα σας εκμυστηρευτώ μια ικανότητα που έχω και η οποία πάντα εντυπωσιάζει φίλους και γνωστούς σε συνάξεις. Μπορώ να ακούσω (χωρίς να κρατάω καμία σημείωση εννοείται, όλα γίνονται μέσα στο υπέροχο κεφάλι μου) 99 αριθμούς, από το σύνολο:{1,2,3,...,98,99,100}, σε γρήγορο ρυθμό και τυχαία σειρά αναγγελίας, και στο τέλος αναγγέλλω τον αριθμό που λείπει! Αυτόν δηλαδή που δεν μού είπαν! Πώς το κάνω; Είμαι αριθμομνήμων; Έχω κάποιο ειδικό ταλέντο; Ή χρησιμοποιώ κάποιο κόλπο; Βοήθεια: Δεν είμαι αριθμομνήμων, ούτε έχω κάποιο ειδικό ταλέντο, ούτε καν καλός στις μεγάλες προσθέσεις δεν είμαι! :-)

Βαρύ ή ελαφρύ;

"Δεν μετράει (αξίζει) πάντα κάτι που μετριέται. Και κάτι που μετράει δεν μετριέται πάντα".

Άλμπερτ Άινστάιν

Έχουμε $Ν(>2)$ πανομοιότυπα νομίσματα. Ένα από αυτά όμως είναι διαφορετικό,δηλαδή είναι ελαφρύτερο ή βαρύτερο. 

Πόσες ζυγίζεις (και με ποιο τρόπο θα τις εκτελέσουμε;) χρειαζόμαστε σε έναν ζυγό με δύο σκέλη-δίσκους, ώστε να προσδιορίσουμε σίγουρα αν το διαφορετικό είναι βαρύτερο ή ελαφρύτερο;

Φονικά γάντια (ο Μ.Χάνος ξαναχτυπά)

"Aν δεν αλλάξεις κατεύθυνση, υπάρχει ο κίνδυνος να καταλήξεις εκεί όπου πορεύεσαι".

 Λάο Τσε 

Ο Μεγάλος Χάνος ,παρά τα δύο στραπάτσα που έπαθε όπως είδαμε εδώ και εδώ, δεν τα παρατάει.

Κάλεσε και πάλι τους 88 σοφούς και αφού τους έδωσε από ένα κόκκινο και ένα άσπρο γάντι ,τους ανακοίνωσε το νέο παιχνίδι θανάτου που σκέφτηκε. Έχουν μια νύχτα να συναποφασίσουν κάποια στρατηγική(αν υπάρχει...), κατόπιν- ως συνήθως- ουδεμία συνεννόηση ή ομιλία επιτρέπεται, για να αντεπεξέλθουν στην εξής δοκιμασία: 

Το πρωί θα ξυπνήσει ο καθένας με χαραγμένο στο μέτωπό του έναν διαφορετικό πραγματικό αριθμό.

Όλοι θα μπορούν να δουν τους αριθμούς στα μέτωπα των άλλων, εκτός φυσικά από τον αριθμό στο δικό του μέτωπο ο καθένας.Κατόπιν θα φορέσουν από ένα γάντι σε όποιο χέρι θέλουν. Ένα άσπρο και ένα κόκκινο.

Gladiator's ruin

Ο ανιψιός μου παίζει ένα απ'αυτά τα βίαια ηλεκτρονικά βιντεοπαιχνίδια που είναι τόσο δημοφιλή στα αγόρια (κι όχι μόνον..). Υπάρχουν δύο ομάδες μονομάχων (fighter teams) με εξωτικά και φοβηχτερά ονόματα ,αλλά ας τις πούμε Α και Β. Κάθε ομάδα έχει έναν αριθμό μονομάχων (όχι αναγκαστικά τον ίδιο) και κάθε μονομάχος έχει μια συγκεκριμένη δυναμικότητα ,ή μάλλον ένα επίπεδο εξοπλισμού που εκφράζεται με έναν θετικό πραγματικό αριθμό (π.χ +3,5 , +2,7 κ.λ.π.)

Μαγική βρύση και συνδυασμοί

Η φωτογραφία δεν είναι μοντάζ ή φωτοσοπιά ή οτιδήποτε τεχνητό.

Η μαγική αυτή βρύση υπάρχει πραγματικά στο Kάντιθ (Cantiz) της Ισπανίας. Πού βρίσκεται το κόλπο;

Κι αφού λύσετε τα μάγια, απαντήστε και στο εξής:

Kάπου εκεί κοντά στη μαγική βρύση υπάρχει μια μεγάλη υπαίθρια σκακιέρα. Με πόσους τρόπους μπορούμε να βάλουμε σε μια κενή σκακιέρα χωρίς σύμβολα, τα 32 κομμάτια του σκακιού στις κανονικές αρχικές τους θέσεις;

Κάθε πεσσός θεωρείται διακριτός. Ας πούμε ότι έχει ο καθένας έναν μοναδικό εργοστ. αριθμό. Π.χ δυο μαύρα πιόνια διπλα-δίπλα, αν αλλάξουν θέση μεταξύ τους, θεωρείται άλλος συνδυασμός.

Ποιο συμφέρει;

Ένα πρόβλημα πιθανοτήτων δικής μου εμπνεύσεως και κατασκευής και αρκετά απαιτητικό θεωρώ.

Στο μικρό Γιωργάκη δίνονται σε ένα παιχνίδι οι ακόλουθες 2 επιλογές:

1. Nα ρίξει ένα τίμιο ("του Λαπλάς") ζάρι και να φέρει έξι ή πέντε ή τέσσερα ή τρία.

2. Να διαλέξει στα τυφλά (ισοπίθανα) από ένα κουτί που περιέχει 3 ίδια μπλουζάκια, ένα μαύρο,ένα άσπρο και ένα κόκκινο. Μετά, φορώντας ένα απο τα μπλουζάκια ρίχνει ένα τίμιο νόμισμα 2 φορές και τέλος τραβάει τα άκρα του σπάγγου, που αχνοφαίνεται στην εικόνα.

Στο παιχνίδι 2 κερδίζει αν: Φορέσει ένα άσπρο μπλουζάκι ή ρίξει διαδοχικά κορώνα - γράμματα, ή αν τραβήξει/τεντώσει τα άκρα Α και Β του σπάγγου και σχηματιστεί κόμπος.

Ποιο από τα παιχνίδια πρέπει να επιλέξει για να παίξει ο Γιωργάκης, ώστε οι πιθανότητες νίκης του να είναι περισσότερες; Το 1 ή το 2;

Η εξεταστέα − διδακτέα ύλη των πανελλαδικά εξεταζόμενων μαθημάτων για το σχολικό έτος 2013−2014

Καθορίστηκε από το υπουργείο Παιδείας η εξεταστέα − διδακτέα ύλη των πανελλαδικά εξεταζόμενων μαθημάτων της Γ΄ τάξης του Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013−2014.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Ματ σε 0 κινήσεις

Παίζει ο Λευκός και κάνει ματ σε 0 (μηδέν) κινήσεις. Κάνει ματ δηλαδή χωρίς να αγγιξει κάποιο κομμάτι του.

Πώς και γιατί;

Σημ. Η θέση είναι νόμιμη και μπορεί να προκύψει σε κανονική παρτίδα. Κάτω αριστερά είναι το τετράγωνο α1 (δηλαδή η "έδρα" του Λευκού είναι κάτω).

Eπικίνδυνες αποστολές και άλλα περίεργα

1.Θέλω να στείλω ταχυδρομικώς ένα ακριβό κόσμημα στη γυναίκα μου στο εξωτερικό στην Κλεπτοχώρα .Επειδή ζω στην Κλεπτολάνδη ,ο μόνος ασφαλής και επιτρεπτός τρόπος είναι μέσα σε ένα κουτί που πρέπει απαραιτήτως να είναι κλειδωμένο με μια κλειδαριά . Απαγορεύεται η αποστολή κλειδιών από και προς την Κλεπτολάνδη. Δεν είναι ασφαλές!

Υπάρχει τρόπος να πάρει το κόσμημα η γυναίκα μου;

2. Ποια είναι η γωνία μεταξύ των κίτρινων γραμμών;

3.Το εξωγήινο ζωάκι Παπκαρσάμ αναπαράγει τον εαυτό του μέσα σε μία(1) ημέρα. Αν υπάρχει ένα Παπκαρσάμ την επόμενη μέρα θα είναι 2, την επόμενη 4,κ.λ.π.. Σε ένα μήνα (30 ημέρες) θα υπάρχουν 536.870.912 Παπκαρσάμ. Πόσο καιρό θα έπαιρνε να είχαμε αυτόν τον αριθμό από ΠΚΣ ,αν τα αρχικά ΠΚΣ ήταν 2;

Παράξενο σκάκι

1. Με πόσα χρώματα πρέπει να βάψουμε τα τετράγωνα μιας σκακιέρας,και πώς; έτσι ώστε κανείς Αξιωματικός να μην μπορεί να κινηθεί μεταξύ δύο τετραγώνων του ίδιου χρώματος;

Σημ. Ο Αξιωματικός κινείται μόνο διαγώνια, όσα τετραγωνάκια θέλει.

2.Tι το αξιοπρόσεκτο παρουσιάζει αυτή η θέση; Παίζουν τα λευκά.

Αυγουστιάτικα μεζεδάκια

1. Ποιος είναι ο λόγος μεταξύ των εμβαδών των δύο τριγώνων; Απαγορεύεται η χρήση του αριθμού π (3,1415..) αυστηρώς!

2. Υπάρχουν σε μια σειρά πάνω σε ένα τραπέζι 38 νομίσματα με διάφορες αξίες (π.χ μονόευρα, 2ευρα, 50 λεπτα, 20λεπτα, μονοδόλαρα, μισοδόλαρα,..κ.λ.π) Ο Α και ο Β παίζουν το εξής παιχνίδι. Ο Α πρώτος θα πάρει ένα νόμισμα από ένα από τα δύο άκρα της σειράς. Μετά ο Β ομοίως ,και ούτω καθεξής εναλλάξ. Υπάρχει μια στρατηγική που εξασφαλίζει στον Α ότι θα πάρει τελικά τουλάχιστον τόσα χρήματα όσα και ο Β ή όχι;

3. Αποδείξτε ότι τουλάχιστον 2 Έλληνες έχουν τον ίδιο αριθμό Ελλήνων φίλων!

Μια "οπτική" άμεση λύση στο 1.

Δίκαιη μοιρασιά

"Tα εννέα δέκατα των Μαθηματικών, εκτός από θέματα πρακτικής, συνίστανται στην επίλυση αινιγμάτων" 

Jean Dieudonné 

7 παιδάκια κάθονται γύρω από ένα στρόγγυλο τραπέζι. Το καθένα έχει μπροστά του μία κούπα και κάποιες κούπες περιέχουν γάλα. Κάθε παιδάκι με τη σειρά του αδειάζει το περιεχόμενο της κούπας του στις άλλες 6 κούπες μοιράζοντάς το ισόποσα. Μετά που και το 7ο παιδάκι το έχει κάνει αυτό, ανακαλύπτουν πως κάθε κούπα περιέχει την αρχική της ποσότητα γάλακτος. Αν η συνολική ποσότητα από γάλα είναι 42 γραμμάρια, πόσο γάλα περιέχει κάθε κούπα;

Tριγωνισμός

Ένα πολύ ωραίο πρόβλημα λογικής και απλής αριθμητικής. Το μόνο σκακιστικό προσόν που απαιτείται, είναι να ξέρει κάποιος πώς κινούνται τα κομμάτια.

Στη θέση του διαγράμματος ο Μαύρος έχει μόλις παίξει την κίνησή του. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός κινήσεων που μπορεί να έχουν παιχτεί στην παρτίδα;

Υπενθυμίζω ότι ως "κίνηση" στο σκάκι εννοούμε την διπλή κίνηση. Μια κίνηση του Λευκού και η απάντηση του Μαύρου είναι 1 κίνηση,κ.λ.π. Τα Λευκά ξεκινούν πάντα πρώτα. Η σκακιέρα είναι τοποθετημένη "κανονικά". Κάτω, είναι η έδρα του λευκού.

Το ασανσέρ

"Ο καλός Θεός έφτιαξε τους ακέραιους αριθμούς. Τα υπόλοιπα είναι δημιούργημα του ανθρώπου" 

Λέοπολντ Κρόνεκερ

Ένα τριώροφο πολυκατάστημα διαθέτει ένα ασανσέρ. Οι όροφοι επικοινωνούν μεταξύ τους μόνο μέσω αυτού του ασανσέρ. Τη νύχτα δεν παραμένει κανείς στο κατάστημα. Τη μέρα ισχύουν τα εξής:

1. Από τους πελάτες που μπαίνουν στο ασανσέρ στον δεύτερο όροφο, οι μισοί πάνε στον πρώτο όροφο και οι μισοί πάνε στον τρίτο όροφο.

2. Ο αριθμός των πελατών που βγαίνουν από το ασανσέρ στον τρίτο όροφο είναι μικρότερος από το 1/3 του ολικού αριθμού των πελατών που βγαίνουν από το ασανσέρ γενικά.

Ποιος είναι μεγαλύτερος; Ο αριθμός των πελατών που σε μια μέρα πάνε από τον πρώτο όροφο στον δεύτερο, ή ο αριθμός των πελατών που πάνε από τον πρώτο στον τρίτο;

Πυθαγόρειο θεώρημα: Απόδειξη 41η

Επιμέλεια: Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης

Κάντε κλικ εδώ.

Φονικός κύβος εντός κώνου

Ένα πρόβλημα-"δολοφόνος" (ο όρος θα εξηγηθεί σε μελλοντικό σχόλιο) με αγγελικό πρόσωπο. Δηλαδή με την εξής απλή εκφώνηση:
Μπορούμε να εγγράψουμε έναν κύβο σε έναν κώνο, έτσι ώστε 7 κορυφές του κύβου να εφάπτονται στην παράπλευρη(κυρτή) επιφάνεια του κώνου;
Σημ: Ζητείται  απόδειξη τής -σχεδόν προφανούς διαισθητικά- απάντησης: Όχι.

Υπάρχει αληθινή;

Ακολουθούν 6 προτάσεις/δηλώσεις. Πόσες και ποιες από αυτές είναι αληθείς;

1. Ακριβώς μία από αυτές τις δηλώσεις είναι ψευδής.

2. Ακριβώς δύο από αυτές τις δηλώσεις είναι ψευδείς.

3. Ακριβώς τρεις από αυτές τις δηλώσεις είναι ψευδείς.

4. Ακριβώς τέσσερις από αυτές τις δηλώσεις είναι ψευδείς.

5. Ακριβώς πέντε από αυτές τις δηλώσεις είναι ψευδείς.

6. Ακριβώς έξι από αυτές τις δηλώσεις είναι ψευδείς.

Ο μέγιστος αριθμός δωματίου

"Αμέτρητες οι γλώσσες και αμέτρητοι οι άνθρωποι. Αλλά μία η αγάπη στην οποία θα συγκλίνουν."

Salvador Espriu  (Σαλβαδόρ Εσπρίου, Καταλανός ποιητής)

Η ξενοδοχειακή  μονάδα "Μεγκαλοκάντα" αποτελείται από ξεχωριστά κτίρια και η συνολική δυναμικότητα/αριθμός δωματίων του συγκροτήματος είναι ένας αριθμός μεταξύ του 900 και του 1000.Κάθε κτίριο έχει τον ίδιο μονοψήφιο αριθμό ορόφων και τον ίδιο αριθμό δωματίων ανά όροφο.

Κάθε δωμάτιο φέρει στην πόρτα του έναν τριψήφιο αριθμό. Το πρώτο ψηφίο δείχνει τον όροφο. Για παράδειγμα ,το 207 και το 211 είναι το 7ο και το 11ο δωμάτιο αντίστοιχα, στον δεύτερο όροφο κάθε κτιρίου.Ο συνολικός αριθμός δωματίων όλων των κτιρίων είναι ένας περιττός αριθμός που δεν διαιρείται με το 3 ή το 5. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που υπάρχει στην πόρτα κάποιου δωματίου;

Tο παράδοξο του Επιμενίδη στον Δον Κιχώτη, και το νησί των τιμιαπατεώνων

"Κάλπασε ήρεμα, αφήνοντας στη διάθεση του αλόγου του να τον πάει στην κατεύθυνση που αυτό ήθελε, διότι πίστευε ακλόνητα ότι αυτή η αντίληψη αποτελούσε το ουσιαστικό νόημα της περιπέτειας."

Miguel de Cervantes (Δον Κιχώτης)

H ετυμολογία της λέξης "Παράδοξο" είναι προφανής . Παρά -(την)- Δόξα, δηλαδή αναφορά σε ό,τι είναι αντίθετο με τη γενική άποψη ,τα καθιερωμένα πιστεύω και τη λογική συνέπεια. Έχει περάσει σε όλες σχεδόν τις ευρωπαϊκές γλώσσες (Paradox,κ.λ.π) όπως και η συνώνυμή της λέξη "Αντινομία" (αυτό που αντίκειται στους νόμους της λογικής) επίσης,αλλά σε μικρότερο βαθμό.

Oριακή παραξενιά

Το ABC είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Η διαδρομή Α-Β-C είναι προφανώς διπλάσια από τη διαδρομή Α-C. Ομοίως ,η διαδρομή Α-D-E-F-C είναι διπλάσια από την A-C, όπως και η διαδρομή 

A-G-H-I-E-J-K-L-C ,κ.λ.π.

Βλέπουμε λοιπόν ότι "σπάζοντας" την κάθε διαδρομή σε όλο και "χαμηλότερες" ίσες διαδρομές, δηλαδή διαδρομές με περισσότερα ζιγκ-ζαγκ, η απόκλιση των μονοπατιών "ζιγκ-ζαγκ" από τη βάση ΑC γίνεται όλο και μικρότερη, ή αλλιώς "τείνει στο 0". Έτσι, κατα μία έννοια, η ευθεία ΑC είναι το "Όριο" της ακολουθίας των μονοπατιών. Αυτό όμως σημαίνει ότι το μήκος ΑC ισούται με 2 φορές τον εαυτό του! Παράδοξο! Τι ακριβώς συμβαίνει λοιπόν;