▪ Διάλογοι

ΗΛΙΑΣ: Πόσα θα μας δώσεις για χαρτζιλίκι;

ΜΠΑΜΠΑΣ: Αρκετά. Αν $x$ είναι το χαρτζιλίκι του Κυριάκου και $y$ το χαρτζιλίκι του Ηλία, από το τετράγωνο του ημιαθροίσματος, αφαιρέστε το τετράγωνο της ημιδιαφοράς. Θα βρείτε 24.

ΚΥΡΙΑΚΟΣ: Εγώ δικαιούμαι περισσότερα, είμαι μεγαλύτερος.

ΗΛΙΑΣ: Δύο Ευρώ περισσότερα από μένα θα σου δώσει, Κυριάκο. Αν και εγώ τα δικαιούμαι, γιατί το βρήκα πρώτος.

ΚΥΡΙΑΚΟΣ: Κι εγώ το ίδιο βρήκα. Φέρε, πατέρα, τα έξι Ευρώ! 

Πώς σκεφτήκανε και φτάσανε στο αποτέλεσμα αυτό τα παιδιά;
Τον γρίφο μου τον έστειλε ο φίλος του eisatopon Γιώργος Φραγκάκος, από τα Χανιά.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Όριο συνάρτησης

Να βρεθεί το όριο

\[\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow+\infty}{\left({\frac{x^2+5x+4}{x^2-3x+7}}\right)^{x}}.\]

Λύση
Έχουμε διαδοχικά

\[\begin{align*} \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow+\infty}{\left({\frac{x^2+5x+4}{x^2-3x+7}}\right)^{x}}&=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow+\infty}{\exp\left({x\,\log\left({\tfrac{x^2+5x+4}{x^2-3x+7}}\right)}\right)}\\ &=\exp\left({\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow+\infty}{x\,\log\left({\tfrac{x^2+5x+4}{x^2-3x+7}}\right)}}\right) \end{align*}\].....

Η συνέχεια της λύσης εδώ.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Σωστές Στατιστικές, εξωφρενικά συμπεράσματα!

Οι τακτικοί επισκέπτες του ιστολογίου, σίγουρα έχουν αντιληφθεί  πως τα αγαπημένα μου θέματα είναι αυτά που σχετίζονται με Θεωρία Αριθμών και με Πιθανότητες - Στατιστική και Συνδυαστική. Ειδικά οι Πιθανότητες και η Στατιστική είναι από τους τομείς των Μαθηματικών,που αν και αναμφισβήτητα έχουν καθημερινή εφαρμογή στη ζωή μας,  είναι διαδεδομένη μια γενικότερη άγνοια και το ακόμη χειρότερο: Ημιμάθεια! (ακόμη και από (αυτο)αποκαλούμενους "ειδικούς"..) 

H ζωή μας - καλώς ή κακώς- δεν είναι ντετερμινιστική, αλλά μάλλον κυριαρχείται από στοχαστικές (δηλαδή πιθανοτικές - τυχαίες) διαδικασίες, και η Στατιστική και οι Πιθανότητες είναι κυρίαρχες όταν βρισκόμαστε αντιμέτωποι με την αβεβαιότητα. Δηλαδή, σχεδόν πάντα!

▪ Tι είναι οι μαθηματικοί;

Μια συλλογή ρήσεων για τους μαθηματικούς:

"Ο μαθηματικός είναι μια μηχανή στην οποία εισάγεις καφέ και εξάγει θεωρήματα"

Πωλ Έρντος (τσιτάροντας τον Αλφρεντ Ρένυι)

"Quapropter bono christiano, sive mathematici, sive quilibet impie divinantium... cavendi sunt, ne consortio daemoniorum irretiant" (.. Γι'αυτό, ένας καλός χριστιανός πρέπει να φοβάται πως οι μαθηματικοί, και κάθε άλλος που επιδίδεται σε βέβηλες προφητείες...μπορεί να ενταχθεί στην συντροφιά των δαιμόνων" )

Άγιος Αυγουστίνος (De Genesi ad Litteram)

▪ 47nd International Mathematical Olympiad 2006 - Problem shortlist with solutions

▪ 48nd International Mathematical Olympiad 2007 - Problem shortlist with solutions

▪ Γεωμετρία - Ασκήσεις 646 - 647 - 648 - 649

646) Έστω ἰσοσκελὲς τρίγωνο $ABC$ κορυφῆς $A$ καὶ σηµεῖο $X$ τῆς ϐάσης $BC$ (µεταξὺ $B$ καὶ $C$). ῍Αν $B'$ καὶ $C'$ εἶναι οἱ προβολὲς τοῦ $X$ στὶς εὐθεῖες $AB$ καὶ $AC$, ἀντιστοίχως, ἀποδεῖξτε ὅτι τὸ ἄθροισµα $XB' + XC'$ ἰσοῦται µ’ ἕνα σταθερὸ µέγεθος τοῦ τριγώνου, ὁποιαδήποτε κι ἂν εἶναι ἡ ϑέση τοῦ $X$ (ἐπὶ τῆς ϐάσεως $BC$).

647) ∆ίδεται κύκλος κέντρου $O$ καὶ ἀκτίνας $R$ καὶ σηµεῖο $S$ ὄχι ἐπὶ τῆς περιφέρειας. ᾿Επὶ τῆς περιφέρειας τοῦ κύκλου κινεῖται σηµεῖο $A$. Σὲ κάθε ϑέση του ϑεωροῦµε σηµεῖο $T$ ἐπὶ τοῦ εὐθυγράµµου τµήµατος $SA$, τέτοιο ὥστε $ST = \frac{1}{3}SA$. Ποιὸς εἶναι ὁ γεωµετρικὸς τόπος τοῦ σηµείου $T$;

▪ 15 ασκήσεις στα αξιοσημείωτα σημεία του τριγώνου

 Του Παναγιώτη Γιαννόπουλου 

Πηγή: mixalisroniotis

▪ 3 - Πινακίδες

Παρατηρείστε προσεκτικά την παρακάτω πινακίδα αυτοκινήτου.

Σε ποιον μαθηματικό σας παραπέμπει;

▪ Πικάντικα μεζεδάκια

Tρία προβληματάκια - μεζεδάκια, κάπως πικάντικα:

1) Μια κρατική πρόνοια (σε κάποια φανταστικά μακρινή χώρα ..) προβλέπει κάποιος να μπορεί να ανταλλάσσει 4 αδειανά μπουκάλια γάλα με ένα γεμάτο. Αν μια οικογένεια έχει μαζέψει 24 άδεια μπουκάλια γάλα, πόσα μπουκάλια γάλα μπορεί να πιει;

2) Μέσα στο διαστημικό λεωφορείο "Λαντάου-Φάινμαν" ο αστροναύτης Νικολάι Μάικολ Ράισμπερντ έχει γενέθλια. Μπορεί να σβήσει τα κεράκια του; Στο λεωφορείο επικρατούν συνθήκες έλλειψης βαρύτητας (ας υποθέσουμε ότι η βαρύτητα είναι 0)

3) Το γινόμενο ενός δισεκατομμυρίου φυσικών αριθμών είναι ίσο με ένα δισεκατομμύριο.

Ποια είναι η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να έχει το άθροισμα αυτών των αριθμών;

▪ Μέσα σε ένα κύβο

Ποια γεωμετρικά σχήματα μπορούμε να κατασκευάσουμε μέσα σε έναν κύβο; 

▪ Ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ένα εξάγωνο.

▪ Ένα τετράεδρο.

▪ Βιβλία κωνικών τομών στην Ελλάδα τον 19ο αιώνα

Παρ’ όλη την µεγάλη µαθηµατική εκδοτική δραστηριότητα στην χώρα µας τον αιώνα αυτό (Βλ. Α. Πούλου: Ελληνική Μαθηµατική Βιβλιογραφία (1500- 1900), Έκδοση Ε.Μ.Ε 1988), λαµβανοµένων υπόψη και των κοινωνικοοικονοµικών συνθηκών, στην Αναλυτική Γεωµετρία και τις κωνικές τοµές δύο είναι τα σηµαντικά βιβλία που εξεδόθησαν.

1. ΜΙΧΑΗΛ ΣΟΦΙΑΝΟΥ, Αντισυνταγµατάρχου Πυροβολικού και Καθηγητή στην Σχολή Ευελπίδων, Μαθήµατα Αναλυτικής Γεωµετρίας, Αθήναι 1857. 

Το βιβλίο αρχίζει µε την λύση µερικών γεωµετρικών προβληµάτων, κυρίως κατασκευών, που λύνονται µε την βοήθεια της Άλγεβρας. Στην συνέχεια προχωρεί στην εξίσωση της ευθείας και του κύκλου. Αξιοσηµείωτη διδακτική νύξη, είναι ότι βρίσκει την εξίσωση του κύκλου και ως προς ένα άλλο σύστηµα, που δεν έχει αρχή το κέντρο του κύκλου, για να δείξει ότι «πρέπει να προσέχωµεν όταν ζητάµεν την εξίσωση καµπύλης, να εκλέγωµεν σύστηµα αξόνων τοιούτον, οίον δίδει χώραν εις όσον ένεστιν απλούστερους λογαριασµούς, και προς ό η εξίσωσις της καµπύλης παρουσιάζεται υπό µορφήν όσον ένεστι καταλληλοτέραν προς το δηλώσαι το σχήµα και τας ιδιότητας αυτής»

▪ Πάρτι

Σε ένα πάρτι με $n$ άτομα, είναι γνωστό ότι για κάθε μη κενό υποσύνολο $S$ ανθρώπων, υπάρχει τουλάχιστον ένα άτομο, μέσα ή έξω από $S$, έτσι ώστε το άτομο αυτό να έχει περιττό αριθμό φίλων στο $S$. Να αποδειχθεί ότι ο $n$ είναι άρτιος αριθμός.

▪ Χωρίς εκφώνηση (2)

Με δεδομένο το παρακάτω σχήμα, διατυπώστε τη δική σας εκφώνηση.

▪ 3 - Ματ σε δύο κινήσεις

Παίζουν τα  λευκά και κάνουν ματ σε δύο κινήσεις.

▪ Επτά φορές

Ένας διψήφιος αριθμός είναι επτά φορές μεγαλύτερoς από το άθροισμα των ψηφίων του.

Ποιος είναι;

▪ Τρία στάδια

Κάθε αλήθεια περνά από τρία στάδια. Πρώτον, γελοιοποιείται. Δεύτερον, βρίσκει σφοδρή αντίθεση. Τρίτον, γίνεται αποδεκτή ως αυτονόητη.

Arthur Schopenhauer

▪ Με γελούν τα μάτια μου;

▪ Μπαλάκι του γκολφ

Το μπαλάκι του γκολφ είναι μία σφαίρα ακτίνας $4,3$ cm. Στην επιφάνεια του υπάρχουν $350$ εσοχές, ημισφαιρικού σχήματος, ακτίνας $0,2$ cm.  

Πόση είναι η συνολική του επιφάνεια;

▪ Τόξο ΑΓ

Στο παρακάτω σχήμα, οι κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου έχουν μήκη $1$ και $\sqrt3$.

Να βρεθεί το μήκος του μικρότερου τόξου $ΑΓ$.

▪ $P = ?$

Αν

$F=A+B$,    $G=B+C $

$H=C+D$,    $I=D+E$ 

$J=F+G$,    $K=G+H$ 

$L=H+I$,    $M=J+K$ 

$N=K+L$,    $P=M+N$

και 

$C=5$, $E=13$, $F=31$, $H=12$, $N=61$

τότε 

$P = ?$

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ 64 νομίσματα

Έχουμε 64 πανομοιότυπα νομίσματα. Ένα, όμως, από τα κέρματα είναι βαρύτερο από τα άλλα. Χρησιμοποιώντας μία ζυγαριά, ποιος είναι το μικρότερος αριθμός των ζυγίσεων που απαιτούνται για να εντοπίσουμε το βαρύτερο νόμισμα; 

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Τ - τόπος

Το είναι το "υψηλότερο" σημείο του κύκλου ( κέντρου ) ενώ το , κινείται επί του . Η τέμνει τον κύκλο στο , ενώ η τέμνει την , στο .

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του .

Πηγή: mathematica (KARKAR)

▪ Κλίση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $y = f(x)$ είναι μία ευθεία με κλίση $3$. Να βρεθεί η κλίση της ευθείας

$y = f(2x + 1)$.

▪ Παλάτι

Υπάρχει ένα πρόβλημα με τις κολώνες.

▪ 54nd International Mathematical Olympiad 2013 - Τα Θέματα

▪ $r_{max}$

Έστω $Α$ η περιοχή που περικλείεται μεταξύ των γραφικών παραστάσεων των παραβολών 

$y = 1 − x^2$ και $y = x^2 − 1$. 

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του $r$, έτσι ώστε ο κύκλος με κέντρο $Ο$ και ακτίνα $r$, να ανήκει στην περιοχή $Α$.

▪ Μελέτη της συνάρτησης f(x) = συνx

Επειδή η συνάρτηση $f(x) = συνx$ είναι περιοδική με περίοδο $2π$, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους $2π$, π.χ. το $[0, 2π]$.

Από τη μελέτη αυτή προκύπτουν τα συμπεράσματα του επόμενου πίνακα:

Συντάσσουμε τώρα κατά τα γνωστά και τον ακόλουθο πίνακα τιμών της συνάρτησης συνημίτονο:

Έτσι μπορούμε να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της $y = συνx$ για $0 ≤ x ≤ 2π$.

▪ $f(2x)=?$

Έστω η συνάρτηση

\[f(x)=\frac{x-1}{x+1}.\]

Να εκφραστεί η συνάρτηση $f(2x)$ συναρτήσει της $f(x)$.

▪ 12 - Ποιος είναι;

Αναγνωρίζετε ποιος είναι ο εικονιζόμενος μαθηματικός;

▪ Ίδιο άθροισμα

Να αντικατασταθούν τα γράμματα $Α, Β, C, D, E, F$ με αριθμούς, έτσι ώστε σε κάθε κύκλο το άθροισμα των αριθμών να είναι το ίδιο.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ 2 - Πινακίδες

Παρατηρείστε προσεκτικά την παρακάτω πινακίδα αυτοκινήτου.

Σε ποιον μαθηματικό σας παραπέμπει;

▪ 49nd International Mathematical Olympiad 2008 - Problem shortlist with solutions

▪ 50nd International Mathematical Olympiad 2009 - Problem shortlist with solutions

▪ $DS=?$

Τα τετράγωνα $ABCD$ και $STPQ$ του σχήματος, έχουν εμβαδά $1604 και $9$ αντίστοιχα.

Ενδιαφερόμαστε μόνο για τον υπολογισμό του μήκους $x$, του τμήματος $DS$. Πηγή: mathematica (KARKAR)

▪ 37 - Ποιος είναι ο επόμενος;

Ποιοι είναι οι τρεις επόμενοι όροι της παρακάτω ακολουθίας;

1, 8, 11, 18, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, ...

▪ Το δίλημμα του κρατουμένου

Ας υποθέσουμε ότι δύο άνθρωποι έχουν συλληφθεί ως ύποπτοι για κάποια παράβαση που έκαναν από κοινού. Οι δύο ύποπτοι κρατούνται σε διαφορετικά δωμάτια για ανάκριση, χωρίς να είναι σε θέση να επικοινωνούν μεταξύ τους. Ο καθένας τους έρχεται αντιμέτωπος με ένα δίλημμα.

Εάν και οι δύο ομολογήσουν, θα πάνε και οι δύο στη φυλακή για τρία χρόνια.

Εάν και οι δύο μείνουν σιωπηλοί, θα πάνε στη φυλακή για ένα μόνο χρόνο, για κάποιο μικρότερο παράπτωμα το οποίο μπορεί να αποδείξει η αστυνομία.

Αλλά εάν ο ένας ομολογήσει και ο άλλος δεν μιλήσει, ο προδότης θα αφεθεί ελεύθερος κατόπιν συμφωνίας με την αστυνομία, ενώ αυτός που έμεινε πιστός στην συνεργασία τους θα πάει φυλακή για πέντε χρόνια.

Ποια στρατηγική πρέπει να ακολουθήσουν?

▪ Twelve

Στην παρακάτω πρόσθεση σε κάθε γράμμα αντιστοιχεί και ένα ψηφίο. Σε διαφορετικά γράμματα αντιστοιχούν διαφορετικά ψηφία.

           T W O 

      T H R E E 

+    S E V E N 

---------------- 

 T W E L V E

Να βρεθούν τα γράμματα, έτσι ώστε η πρόσθεση να είναι σωστή.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Εμβαδόν πενταγώνου

Στο παρακάτω σχήμα, το εμβαδόν του τετραπλεύρου $ΑΒΓΔ$ είναι το $75$% του εμβαδού του πενταγώνου $ΑΒΓΔΕ$. 

Αν $Κ,Λ$ είναι τα μέσα των πλευρών $ΑΕ,ΕΔ$ και το εμβαδόν του τριγώνου $ΚΕΛ$ είναι $1$, να βρεθεί το εμβαδόν του πενταγώνου $ΑΒΓΔΕ$.

▪ 1 - Πινακίδες

Παρατηρείστε προσεκτικά την παρακάτω πινακίδα αυτοκινήτου.

Σε ποιον μαθηματικό σας παραπέμπει;

▪Παγκόσμιος πληθυσμός

Εάν ο παγκόσμιος πληθυσμός των 6,5 δισεκατομμυρίων ανθρώπων συγκεντρωθεί σε μία δοσμένη επίπεδη επιφάνεια, πόσο μεγάλη έκταση θα καλυφθεί;

Σε κάθε άτομο αναλογεί επιφάνεια 70 cm x 70 cm. Η απάντηση να δοθεί σε τετραγωνικά χιλιόμετρα.

▪ Ιδιαίτερος στόχος

Στον παρακάτω στόχο, αν σημαδέψουμε στο κέντρο παίρνουμε 7 βαθμούς και αν σημαδέψουμε στο μπλε παίρνουμε 5 βαθμούς. 

Ρίχνουμε όσα βελάκια θέλουμε. Μερικές βαθμολογίες είναι αδύνατο να επιτευχθούν π.χ $1,2,3,4,6,8,9,11$ κ.ά.

Ποια είναι η μεγαλύτερη βαθμολογία που δεν μπορούμε να συγκεντρώσουμε;

▪ Αδύνατο γλυπτό