ΛΥΧΝΟΣ TV - "Ἐν λόγῳ Ἀληθείας"
Κυριακή 30 Ιουνίου 2013
▪ 30th Balkan Mathematical Olympiad (BMO2013) - Τα θέματα
Σήμερα 30/6/2013 διεξήχθη στην Κύπρο, η 30η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα με τη συμμετοχή των χωρών:
Albania - Bosnia and Herzegovina - Bulgaria - Cyprus - Greece - F.Y.R. of Macedonia - Moldova - Montenegro - Romania - Serbia (επίσημες συμμετοχές)
Albania - Bosnia and Herzegovina - Bulgaria - Cyprus - Greece - F.Y.R. of Macedonia - Moldova - Montenegro - Romania - Serbia (επίσημες συμμετοχές)
και Kazakhstan - United Kingdom - Azerbaijan - Tajikistan - Turkmenistan - Italy (ανεπίσημες συμμετοχές).
Κάντε κλικ εδώ, για να δείτε τα θέματα.
Παραλειπόμενα του διαγωνισμού:
▪ O Landau και οι πινακίδες κυκλοφορίας αυτοκινήτων
Μαθηματικά κατορθώματα ενός μεγάλου φυσικού
O Lev D. Landau αναγνωρίζεται γενικώς ως ένας από τους μεγαλύτερους φυσικούς του 20ου αιώνα. Ανακάλυψε θεμελιώδη αποτελέσματα σε πολλές περιοχές της θεωρητικής φυσικής και υπήρξε ιδρυτής και διευθυντής της σοβιετικής σχολής των θεωρητικών φυσικών. Μαζί με τον Ε. Lifshitz κατάφεραν ένα πραγματικό επιστημονικό επίτευγμα: δημιούργησαν μια εγκυκλοπαίδεια της θεωρητικής φυσικής – την περίφημη σειρά εγχειριδίων Course of Theoretical Physics που ήδη έχει θρέψει πολλές γενιές εκκολαπτόμενων φυσικών. Τα μαθηματικά αποτελούν απαραίτητο εργαλείο για τον θεωρητικό φυσικό. Οι θεωρητικοί φυσικοί είναι αδύνατο να εργαστούν χωρίς καλή γνώση των μαθηματικών. Ωστόσο υπάρχουν πολλά επίπεδα ικανότητας.
▪ 2 - Γεωμετρικές κατασκευές με χαρτί
Πως μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο, από ένα κανονικό πεντάγωνο;
Η Απάντηση
▪ Στόχος 850
Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς, στην κάτω σειρά (μία φορά τον καθένα) και οποιαδήποτε μαθηματική πράξη, να σχηματίσετε τον αριθμό 850.
▪ 1 - Γεωμετρικές κατασκευές με χαρτί
KANONIKO OKTAΓΩΝΟ (I)
Βήμα 1ο
Σε ένα τετράγωνο κομμάτι χαρτί φέρουμε τις διαγώνιες.
Βήμα 2ο
Ενώνουμε τα μέσα των πλευρών του τετραγώνου.
▪ Αριθμός 1543
▪ Ο αριθμός $1543$ είναι πρώτος
▪ $1543$ = $1111$ + $55$ + $44$ + $333$
▪ Ο αριθμός $1543$ είναι ίσος με το άθροισμα πέντε θετικών πέμπτων δυνάμεων:
$1543$ = $4^5$ + $3^5$ + $3^5$ + $2^5$ + $1^5$.
▪ Ο αριθμός $1543$ είναι ίσος με το άθροισμα $11$ διαδοχικών πρώτων αριθμών:
$1543$ = $109$ + $113$ + $127$ + $131$+ $137$ + $139$ + $149$ + $151$ + $157$ + $163$ + $167$.
▪ Ο αριθμός $1543$ είναι πρώτος αριθμός μεταξύ των δύο αριθμών $1542$ και $1544$, οι οποίοι έχουν το ίδιο πλήθος διαιρετών.
▪ Ο γρίφος του Gamow
Το κυνήγι του θησαυρού
Το βιβλίο του George Gamow “One, Two, Three,…, Infinity”, παρόλο που κυκλοφόρησε το 1947, εξακολουθεί να είναι ένα από τα καλύτερα βιβλία του είδους – ίσως το καλύτερο. Ο Gamow, ως φυσικός, υιοθετεί μια χρησιμοθηρική προσέγγιση στα μαθηματικά, η οποία προσιδιάζει πιο πολύ στη νοοτροπία του μηχανικού παρά του μαθηματικού.
Στο τμήμα όπου ασχολείται με τους μιγαδικούς αριθμούς, έχει επινοήσει ένα γοητευτικό πρόβλημα για να αναδείξει τη σύνδεση της μονάδας των φανταστικών αριθμών $i$, με τη στροφή. Το πρόβλημα παρουσιάζεται μέσα από την ιστορία ενός «νεαρού και ριψοκίνδυνου άνδρα», ο οποίος ανακαλύπτει μια περγαμηνή στα χαρτιά που του άφησε πεθαίνοντας ο παππούς του. Εκεί διαβάζει:
▪ 12 - Από το Α ως το R
$A + B = 13 = C + D$
$E + F = 6 = G – H$
$I + J = 8 = K\times{L}$
$M + N = 3 = P ÷ R$
με τα ψηφία 0 - 9, έτσι ώστε οι ισότητες να είναι αληθείς. Κάθε ψηφίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί το πολύ δύο φορές.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Στόχος 594
Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς, στην κάτω σειρά (μία φορά τον καθένα) και οποιαδήποτε μαθηματική πράξη, να σχηματίσετε τον αριθμό 594.
▪ Η "εξάτμιση" των καρπουζιών
Ένας αγρότης μάζεψε 10 τόνους καρπούζια και τα φόρτωσε σε ένα πλοίο για να τα στείλει στην πλησιέστερη πόλη. Όπως είναι γνωστό, ένα καρπούζι αποτελείται σχεδόν αποκλειστικά από νερό.
Όταν έφυγε το φορτίο, το περιεχόμενο των καρπουζιών αποτελείτο 99% κατά βάρος από νερό. Στη διάρκεια της διαδρομής τα καρπούζια έχασαν, λόγω εξάτμισης, λίγο από το περιεχόμενό τους. Έτσι αυτό μειώθηκε κατά 1% (έπεσε στο 98%). Πόσο ζύγιζαν τα καρπούζια όταν έφτασαν στην πόλη;
Σάββατο 29 Ιουνίου 2013
▪ Στόχος 118
Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς, στην κάτω σειρά (μία φορά τον καθένα) και οποιαδήποτε μαθηματική πράξη, να σχηματίσετε τον αριθμό 118.
▪ Ισόπλευρα τρίγωνα
Στο παρακάτω σχήμα, το τρίγωνο $ΔΕΖ$ είναι ισόπλευρο και $ΑΖ=ΒΕ=ΓΔ$.
Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο $ΑΒΓ$ είναι ισόπλευρο.
IBM Research Challenge 1998
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Σύστημα - 29
Να λυθεί στο σύνολο των ρητών αριθμών, το σύστημα
\[ (x^2+1)^3=y+1,\\ (y^2+1)^3=z+1,\\ (z^2+1)^3=x+1. \]
Austria Federal Competition For Advanced Students 2013
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Στόχος 8
Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς, στην κάτω σειρά (μία φορά τον καθένα) και οποιαδήποτε μαθηματική πράξη, να σχηματίσετε τον αριθμό 8.
▪ Πέντε φοιτητές
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Πηγή: telemath
▪ 11 - Από το Α ως το M
$Α+Β=Γ$
$Δ+Ε=Ζ$
$Η+Θ=Ι$
$Κ+Λ=Μ$
με τους αριθμούς
$1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 10$
έτσι ώστε οι ισότητες να είναι αληθείς.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Made in Japan
$ OA=4,\ OB=3,\ OC=2$,
$\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=3. $
$\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=3. $
Να βρεθεί ιο μέγιστο ρου εμβαδού του τριγώνου $ABC$.
2. Έστω η παραβολή 
και δύο σημεία
και δύο σημεία 
επί αυτής.
α) Να βρεθεί το εμβαδόν $Ε$ του χωρίου, που περικλείεται μεταξύ των τμημάτων 
και της παραβολής, συναρτήσει των 
.
και της παραβολής, συναρτήσει των .
β) Αν 
, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $Ε$.
, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $Ε$.
γ) Αν 
, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $Ε$.
, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $Ε$.
Japan Hitotsubashi University Entrance Examination 2013
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Λύσεις με το Excel
Σίγουρα οι περισσότεροι από εμάς έχουμε μια μικρή ή μεγάλη εξοικείωση με το υπολογιστικό λογισμικό Εxcel και αρκετοί πιθανότατα το χρησιμοποιούμε καθημερινά στη δουλειά μας.
Οι μαθηματικές δυνατότητες του Εξέλ είναι αρκετές και ενίοτε μας βγάζουν από δύσκολες και απαιτητικές υπολογιστικά καταστάσεις, με καλή αξιοπιστία και ταχύτητα.
Τα παρακάτω πέντε προβληματάκια πιθανοτήτων έχουν ένα κοινό σημείο. Λύνονται όλα με χρήση ενός και μόνο (το καθένα) τύπου (fx -"εισαγωγή συνάρτησης") που υπάρχουν σε όλες τις στάνταρ εκδόσεις του προγράμματος . Τα προβλήματα 1. 2. και 3. με την ίδια συνάρτηση και τα προβλήματα 4. και 5. με μία άλλη.
Βρείτε το σωστό τύπο/συνάρτηση του Εξέλ ανά πρόβλημα, και το αποτέλεσμα βέβαια στο κάθε πρόβλημα.
▪ $\frac{2006}{2005}$
Να αποδειχθεί ότι
\[ \sum_{n=0}^\infty\int_0^1 x^{4011}(1-x^{2006})^\frac{n-1}{2006}\ dx<\frac{2006}{2005}. \]
Japan Today's Calculation Of Integral 2005
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Math clips: The Mirror Has Two Faces (1994)
Κάντε κλικ στις εικόνες, για να δείτε τα αποσπάσματα των ταινιών.
Παρασκευή 28 Ιουνίου 2013
▪ Τα μαθηματικά ανήκουν στο Θεό
▪ Ένα δύσκολο πρόβλημα
\[\frac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2}{365}\]
Έργο του Nikolai Bogdanov-Belsky (1895)
▪ $\sum$
Χρησιμοποιώντας το τρίγωνο Fibonacci, να αποδειχθεί η ταυτότητα:
\[1+\sum\limits_{k=1}^n f_k=f_{n+2}\]
▪ Στόχος 2002
Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς, στην κάτω σειρά (μία φορά τον καθένα) και οποιαδήποτε μαθηματική πράξη, να σχηματίσετε τον αριθμό 2002.
▪ Γεωμετρία - Άσκηση 618
Στο παρακάτω σχήμα, το τρίγωνο $ABC$ είναι ισόπλευρο. Έστω $O$ το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου, $E$ το μέσο της χορδής $AD$ και $F$ το μέσο του τόξου $BC$.
Αν $FG\perp{CD}$, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο $BEG$ είναι ισόπλευρο.
Πηγή: gogeometry
▪ 10 - Από το Α ως το L
$A + B = 3 = C - D$
$E + F = 8 = G\times{H}$
$I + J = 1 = K ÷ L$
με τους αριθμούς
$0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 8, 9, 9$
έτσι ώστε οι ισότητες να είναι αληθείς.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Στόχος 359
Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς, στην κάτω σειρά (μία φορά τον καθένα) και οποιαδήποτε μαθηματική πράξη, να σχηματίσετε τον αριθμό 359.
▪Επιτροχοειδής ή υποτροχοειδής καμπύλη
Επιτροχοειδής (ή υποτροχοειδής) ονομάζεται η καμπύλη που διαγράφει οποιοδήποτε σταθερό σημείο που απέχει από το κέντρο κύκλου ακτίνας $r$ απόσταση ίση με $o$ ο οποίος περιστρέφεται εφαπτόμενος εξωτερικά ή εσωτερικά σε δεύτερο σταθερό κύκλο ακτίνας $R$.
Μπορείτε να δείτε πως δημιουργούνται αυτές οι καμπύλες ανοίγοντας την GeoGebra εφαρμογή.
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)
190 Αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Twitter X
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Pinterest
Desmos Activities
Ultimate AI Math Solver
Photomath
The Ultimate Math Help App
Wikipedia - Mathematics
Google Gemini
OpenAI - Chat GPT
DeepL Translator
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
European Mathematical Society
Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία
Canadian Mathematical Society (CMS)
The William Lowell Putnam Mathematics Competition (Archive 1985 - 2021)
Art of Problem Solving ONLINE
Leonardo Fibonacci
Kurt Friedrich Gödel
Ευκλείδης
Αρχιμήδης
Leonard Euler
Georg Cantor
Pierre-Simon Laplace
René Descartes
Joseph-Louis Lagrange
Πιερ ντε Φερμά
Gottfried Wilhelm Leibniz
