Όλα τα διαφορετικά ψηφία είναι 10, άρα προφανώς έχουμε: A+B+C+D+E+U+V+X+Y+Z=0+1+2+…+9=45 (1) Bάσει γνωστής ιδιότητας, υπάρχει απόλυτη αντιστοιχία (ισομορφισμός) της αριθμητικής modulo(9) και του αθροίσματος των ψηφίων. Π.χ 12=3 mod(9) και 1+2=3 Ή 12+25=37, 37=1mod(9). 3+7=10=1mod(9) κ.λ.π Δηλαδή Το άθροισμα 2 (ή περισσότερων) αριθμών εκφρασμένο σε mod(9) ,ισούται με το mod(9)ανάλογό (congruent) του αθροίσματος των αντίστοιχών τους mod(9)αναλόγων. Το άθροισμα των ψηφίων είναι: A+3X+U+B+2X+V+C+2X+Y+D+E+2X+Z= =8x+ (A+B+C+D+E+U+V+X+Y+Z)= 8X+45 Ισχύει λοιπόν: 8X+45 = (X+X+X+X+X)mod(9)=5X mod(9) 3X+45=0mod(9) , άρα Χ είναι 3 ή 6 ή 9 (3*(3,6,9)+4+5= 9+9=1+8=9 ,και ομοίως για χ6 ή χ9) Για Χ=3 έχουμε το άθροισμα: A333U +B33V+ C33Y+ DE33Z = 33333 3*4=12 , άρα για να έχουμε το δεύτερο από δεξιά 3άριπρέπει το U+V+Y+Z να δίνει κρατούμενο =1. Άρα Β+C+D+4=13 ή 23 (Β+C+D<=9) Aν Β+C+E+4=13 t;ote A+D+1(κρατούμενο)=3 =αδύνατο Αν Β+C+E+4=23 τότε Α+D+2(κρατ.)=3= αδύνατον επίσης, άρα το Χ=3 απορρίπτεται Το Χ=9 απορρίπτεται επίσης γιατί η: A999U +B99V +C99Y+ DE99Z= 99999 σημαίνει (αφού 4*9=36) ότι το U + V + Y + Z πρέπει να αφήνει κρατούμενο 3 (u+V+Y+Z=39>27 ,αδύνατον!) Άρα μένει το Χ=6 που δίνει λύση που στέκει: A666U +B66V +C66Y +DE66Z= 66666 Προκύπτουν λύσεις: 46667 +5662+3669+10668= 66666 Και όλες οι μεταθέσεις ανά ομόλογα ψηφία (ανά στήλη) Π.χ 16662 +5667 + 3668 + 40669= 66666 Μεταθέσεις δηλαδή μεταξύ των (U,V,Y,Z) =(2,7,8,9) Των (Β,C,E)=(5,3,0) και των Α,D=(1,4) Σύνολο: 4!*3!*2!= 288 διαφορετικές λύσεις.
Το σωστό αποτέλεσμα των μεταθέσεων ομόλογων ψηφίων(ανά στήλη) είναι 4!*2!*2!=96 (προφανώς η παραδρομή θα έγινε από κεκτημένη ταχύτητα) Oι μεταθέσεις του (Β,C,E)=(5,3,0) είναι 2! καθότι το μηδέν(0) είναι αμετάθετο (μόνο Ε=0) και μετατίθενται τα (5, 3) στα (B,C) Εκτός των παραπάνω μεταθέσεων της επιλογής (U,V,Y,Z)=(2,7,8,9),(Β,C,E)=(5,3,0) και (Α,D)=(1,4) υπάρχει και η παρακάτω επιλογή των αριθμών 0,1,2,3,4,5,7,8,9 (Α,D)=(2,3),((B,C)=(7,1),Ε=0) και (U,V,Y,Z)=(4,5,8,9) που δίνει άλλες 2!*2!*4!=96 λύσεις, π.χ. 26664 .7665 .1668 30669 ..... 66666 Σύνολον λύσεων: 96+96=192
3 σχόλια:
Όλα τα διαφορετικά ψηφία είναι 10, άρα προφανώς έχουμε:
ΑπάντησηΔιαγραφήA+B+C+D+E+U+V+X+Y+Z=0+1+2+…+9=45 (1)
Bάσει γνωστής ιδιότητας, υπάρχει απόλυτη αντιστοιχία (ισομορφισμός) της αριθμητικής modulo(9) και του αθροίσματος των ψηφίων. Π.χ 12=3 mod(9) και 1+2=3
Ή 12+25=37, 37=1mod(9). 3+7=10=1mod(9) κ.λ.π
Δηλαδή Το άθροισμα 2 (ή περισσότερων) αριθμών εκφρασμένο σε mod(9) ,ισούται με το mod(9)ανάλογό (congruent) του αθροίσματος των αντίστοιχών τους mod(9)αναλόγων.
Το άθροισμα των ψηφίων είναι: A+3X+U+B+2X+V+C+2X+Y+D+E+2X+Z=
=8x+ (A+B+C+D+E+U+V+X+Y+Z)= 8X+45
Ισχύει λοιπόν: 8X+45 = (X+X+X+X+X)mod(9)=5X mod(9)
3X+45=0mod(9) , άρα Χ είναι 3 ή 6 ή 9 (3*(3,6,9)+4+5= 9+9=1+8=9 ,και ομοίως για χ6 ή χ9)
Για Χ=3 έχουμε το άθροισμα:
A333U +B33V+ C33Y+ DE33Z = 33333
3*4=12 , άρα για να έχουμε το δεύτερο από δεξιά 3άριπρέπει το U+V+Y+Z να δίνει κρατούμενο =1. Άρα Β+C+D+4=13 ή 23 (Β+C+D<=9)
Aν Β+C+E+4=13 t;ote A+D+1(κρατούμενο)=3 =αδύνατο
Αν Β+C+E+4=23 τότε Α+D+2(κρατ.)=3= αδύνατον επίσης, άρα το Χ=3 απορρίπτεται
Το Χ=9 απορρίπτεται επίσης γιατί η:
A999U +B99V +C99Y+ DE99Z= 99999 σημαίνει (αφού 4*9=36) ότι το U + V + Y + Z πρέπει να αφήνει κρατούμενο 3 (u+V+Y+Z=39>27 ,αδύνατον!)
Άρα μένει το Χ=6 που δίνει λύση που στέκει:
A666U +B66V +C66Y +DE66Z= 66666
Προκύπτουν λύσεις:
46667 +5662+3669+10668= 66666
Και όλες οι μεταθέσεις ανά ομόλογα ψηφία (ανά στήλη)
Π.χ 16662 +5667 + 3668 + 40669= 66666
Μεταθέσεις δηλαδή μεταξύ των (U,V,Y,Z) =(2,7,8,9)
Των (Β,C,E)=(5,3,0) και των Α,D=(1,4)
Σύνολο: 4!*3!*2!= 288 διαφορετικές λύσεις.
Το σωστό αποτέλεσμα των μεταθέσεων ομόλογων ψηφίων(ανά στήλη) είναι 4!*2!*2!=96 (προφανώς η παραδρομή θα έγινε από κεκτημένη ταχύτητα)
ΑπάντησηΔιαγραφήOι μεταθέσεις του (Β,C,E)=(5,3,0) είναι 2! καθότι το μηδέν(0) είναι αμετάθετο (μόνο Ε=0) και μετατίθενται τα (5, 3) στα (B,C)
Εκτός των παραπάνω μεταθέσεων της επιλογής
(U,V,Y,Z)=(2,7,8,9),(Β,C,E)=(5,3,0) και (Α,D)=(1,4)
υπάρχει και η παρακάτω επιλογή των αριθμών 0,1,2,3,4,5,7,8,9
(Α,D)=(2,3),((B,C)=(7,1),Ε=0) και (U,V,Y,Z)=(4,5,8,9)
που δίνει άλλες 2!*2!*4!=96 λύσεις, π.χ.
26664
.7665
.1668
30669
.....
66666
Σύνολον λύσεων: 96+96=192
Σωστή η παρατήρηση του Ε.Αλεξίου.
ΑπάντησηΔιαγραφή