▪Μητροπολίτης Μεσογαίας και Λαυρεωτικής Νικόλαος: Φωνή αύρας λεπτής

Πριν από αρκετά χρόνια με πλησίασε κάποιος νεαρός φοιτητής. Με πολλή διστακτικότητα, αλλά και με την ένταση του απαιτητικού αναζητητή, μου δήλωσε ότι είναι άθεος, που όμως θα ήθελε πολύ να πιστέψει, αλλά δεν μπορούσε. Χρόνια προσπαθούσε και αναζητούσε, χωρίς όμως αποτέλεσμα. Συνομίλησε με καθηγητές και μορφωμένους, αλλά δεν ικανοποιήθηκε η δίψα του για κάτι σοβαρό. Άκουσε για μένα και αποφάσισε να μοιρασθεί μαζί μου την υπαρξιακή ανάγκη του.
Μου ζήτησε μιά επιστημονική απόδειξη περί υπάρξεως Θεού.
"Ξέρεις ολοκληρώματα ή διαφορικές εξισώσεις;" τον ρώτησα.
"Δυστυχώς όχι", μου απαντά, "είμαι της Φιλοσοφικής"
"Κρίμα, διότι ήξερα μια τέτοια απόδειξη" είπα εμφανώς αστειευόμενος.

▪Πανελλαδικές εξετάσεις 2013 - Όλα τα θέματα και οι απαντήσεις τους από την Ο.Ε.Φ.Ε.

Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερήσιων Γενικών Λυκείων και ΕΠΑ.Λ. (ομάδας Β')
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ	ΜΑΘΗΜΑ	ΘΕΜΑΤΑ	ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
17/5/2013	ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ	Αρχείο Θεμάτων	Αρχείο Απαντήσεων
20/5/2013	ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ	Αρχείο Θεμάτων	Αρχείο Απαντήσεων
20/5/2013	ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ	Αρχείο Θεμάτων	Αρχείο Απαντήσεων
20/5/2013	ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ	Αρχείο Θεμάτων	Αρχείο Απαντήσεων
20/5/2013	ΙΣΤΟΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ	Αρχείο Θεμάτων	Αρχείο Απαντήσεων
22/5/2013	ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ	Αρχείο Θεμάτων	Απαντήσεις Σχόλια
22/5/2013	ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (και των δύο κύκλων)	Αρχείο Θεμάτων	Αρχείο Απαντήσεω

▪ $f$ και $F$

Έστω $f:R\rightarrow{R}$ μονότονη συνάρτηση και έστω συνάρτηση $F:R\rightarrow{R}$, τέτοια ώστε

$F(x) = \int_0^xf(t)dt$.

Να αποδειχθεί ότι, αν η συνάρτηση $F$ είναι παραγωγίσιμη, τότε η $f$ είναι συνεχής.

Dorin Andrica (Romania)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ $?$

Αν

τότε

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 581

Έστω τρίγωνο $ABC$. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $X$ επί της ευθείας $BC$, για τα οποία ισχύει

$AB^2 + AC^2 = 2(AX^2 + BX^2)$.

Ivan Borsenco (ΜIT - USA)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Βίνσεντ Βαν Γκογκ - Αφιέρωμα 1ο

«Εκεί όπου οι γραμμές είναι πολύ πυκνές και τονισμένες, εκεί αρχίζει η ζωγραφική»

Βίνσεντ Βαν Γκογκ (1853-1890)

Πρώτο μέρος ενός τετράπτυχου αφιερώματος στην θέαση του έργου του Βίνσεντ Βαν Γκογκ, με την ηχητική συνοδεία κλασσικής μουσικής.
Πηγή: antifono

▪Μαθηματική κούπα

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 580

Ο εγγεγραμμένος κύκλος ενός τριγώνου $ABC$ εφάπτεται των πλευρών $BC, CA, AB$ στα σημεία $D, E, F$, αντίστοιχα. Έστω $K$ σημείο επί της πλευράς $BC$ και $M$ σημείο του τμήματος $AK$, τέτοια ώστε $AM = AE = AF$. Αν $L$ και $N$ είναι τα έγκεντρα των τριγώνων $ABK$ και $ACK$,  να αποδειχθεί ότι το $K$ είναι το ίχνος του ύψους από την κορυφή $A$, αν και μόνο αν, το $DLMN$ είναι τετράγωνο.

Bogdan Enescu (Romania)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ $a^2+b^2$

Έστω $a,b$ ρητοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε

$\mid{a}\mid\leq$${\frac{47}{\mid{a^2-3ab^2}\mid}}$

και

$\mid{b}\mid\leq$${\frac{52}{\mid{b^2-3a^2}\mid}}$.

Να αποδειχθεί ότι

$a^2+b^2\leq17$.

Titu Andreescu

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 579

Έστω σημείο $P$ στο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ και έστω $A', B', C'$ τα σημεία τομής των ευθειών $AP$, BP$, $CP$ με τις πλευρές $BC$, $CA$, $AB$, αντίστοιχα. Αν ισχύει 

$A'B^2 + B'C^2 + C'A^2 = AB'^2 + BC'^2 + CA'^2$

 να βρεθεί η θέση του σημείου $P$.

Catalin Barbu (Romania)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ $E(x, y, z)$

Aν $x, y, z > 0$ και $x + y + z = 1$, να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

$E(x, y, z) =$$\frac{xy}{x + y}+\frac{yz}{y + z}+\frac{zx}{z + x}$.

Dorin Andrica (Romania)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 578

Στο εσωτερικό ενός κανονικού πενταγώνου $ABCDE$ θεωρούμε σημείο $M$, τέτοιο ώστε το τρίγωνο $MDE$ να ε΄ναι ισόπλευρο. Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου $AMB$.

Catalin Barbu (Romania)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Chaos Theory

▪ $XXXXX$

Aν σε διαφορετικά γράμματα αντιστοιχούν διαφορετικά ψηφία, τότε η παρακάτω πρόσθεση

                                    AXXXU
                            BXXV
                            CXXY
                       + DEXXZ 
                          XXXXX
μπορεί να είναι σωστή;

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 577

Δίνεται εγγράψιμο τετράπλευρο $ABCD$ με κάθετες διαγώνιες. Έστω $P$ τυχόν σημείο επί του περιγεγραμμένου του κύκλου και $l_P$ η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο $P$. Αν $U = l_A\cap{l_B}$, $V = l_B\cap{l_C}$, $W = l_C\cap{l_D}$ και $K = l_D\cap{l_A}$, να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο $UVWK$ είναι εγγράψιμο.

Ivan Borsenco (ΜΙΤ - USA)

Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ $f(1) = 0$

Έστω $f:[0,1]\rightarrow{R}$ συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση, τέτοια ώστε $f(1) = 0$. Να αποδειχθεί ότι

Duong Viet Thong (Vietnam)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Σµαράγδι

∆ύο έµποροι διεκδικούν να αγοράσουν ένα σµαράγδι, του οποίου η αξία ανέρχεται στις 10 χιλιάδες χρυσά νοµίσµατα. 

Ο πρώτος λέει στον δεύτερο: 

∆ώσε µου το $\frac{1}{5}$ των χρηµάτων σου για να µπορέσω να αγοράσω το σµαράγδι. 

Ο δεύτερος απαντά: 

Όχι, δάνεισέ µου εσύ το $\frac{1}{7}$ των χρηµάτων σου και ϑα µπορέσω να το αγοράσω. 

Πόσα χρήµατα είχε ο κάθε έµπορος;

▪ $(x+y)_{min}$

Αν $x$ και $y$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε  

$(x +\sqrt{x^2 + 1})( y +\sqrt{y^2 + 1}) =2011$

να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος $x + y$.

Neculai Stanciu (Romania)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Ανισότητες - 281η

Έστω $a, b, c$ πραγματικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του $1$. Αν ισχύει

$\frac{b+c}{a^2 -1}+\frac{c+a}{b^2 -1}+\frac{a+b}{c^2 -1 }$$\geq1$

να αποδειχθεί ότι

$\frac{bc+1}{a^2 -1}+\frac{ca+1}{b^2 -1}+\frac{ab+1}{c^2 -1 }$$\geq$${\frac{10}{3}}$.

Titu Andreescu

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Ανισότητες - 280η

Έστω $a, b, c$ μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε $ab + bc + ca\geq0$. Να αποδειχθεί ότι

$\frac{ab}{a^2 + b^2}+\frac{bc}{b^2 + c^2}+\frac{ca}{c^2 + a^2 }\geq{-\frac{1}{2}}$.

Titu Andreescu

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Tέλειοι κύβοι

Υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί $n$, τέτοιοι ώστε ακριβώς δύο από τους αριθμούς

$n+ 8,  8n-27,  27n-1$ 

να είναι τέλειοι κύβοι;

Titu Andreescu

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Κλέφτης αλόγων

Ένας έκλεψε ένα άλογο, το καβάλησε και έφυγε. ΄Οταν έφτασε 37 µίλια µακριά ο ιδιοκτήτης του το πήρε είδηση και άρχισε να τον κυνηγά. ΄Οταν ο ιδιοκτήτης έκανε 145 µίλια σταµάτησε να τον κυνηγά. Ο κλέφτης εκείνη τη στιγµή ϐρισκόταν 23 µίλια µπροστά. Αν συνέχιζε να τον κυνηγά σε πόσα µίλια ϑα τον έφτανε;

▪ Μάξιμος Πλανούδης - Γεωγραφία του Κλαύδιου Πτολεμαίου

Ο Μάξιμος Πλανούδης βυζαντινός λόγιος, ούτε λίγο ούτε πολύ ξαναζωντάνεψε την γεωγραφική επιστήμη παραμελημένη για περίπου 10 αιώνες. Είναι αυτός που ευθύνεται για την αναβίωση της Πτολεμαϊκής Γεωγραφίας της οποίας η διάδοση στην Δύση είναι ένα από τα σημαντικά γεγονότα που προετοίμασαν την Αναγέννηση.

O Mάξιμος Πλανούδης (1260-1310) από τη Nικομήδεια, μοναχός στη Mονή της Xώρας στην Κωνσταντινούπολη. Με αίτημα του αυτοκράτορα Ανδρόνικου B', ετοίμασε ένα αντίγραφο της Γεωγραφίας του Πτολεμαίου με χάρτες φέρνοντας σε πέρας ένα έργο που απαιτούσε επιστημονικές και τεχνικές δυνατότητες που θα του επέτρεπαν την κατανόηση αλλά και την εφαρμογή των επιστημονικών οδηγιών του Πτολεμαίου, για την σύνταξη των χαρτών.

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 576

Σε τρίγωνο $ABC$ οι ευθείες $AA', BB', CC'$ συντρέχουν στο σημείο $P$, όπου $A', B', C'$ σημεία επί των πλευρών $BC, CA, AB$, αντίστοιχα. Έστω τα σημεία $A'', B'', C''$ επί των τμημάτων $B'C', C'A', A'B'$, αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες $AA'', BB'', CC''$ συντρέχουν, αν και μόνο αν, οι ευθείες $A'A'', B'B'', C'C''$ συντρέχουν. 

Dorin Andrica (Romania)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Καλάμι (ΙΙΙ)

Ένα καλάµι βρίσκεται στη µέση μιας τετράγωνης λίµνης πλευράς 10 ποδιών και πεϱισσεύει 1 πόδι από την επιφάνεια. Αν το τραβήξουµε µέχρι την άκρη της λίµνης, ϑα ϕτάσει ίσα ίσα. Ποιο είναι το ϐάθος της λίµνης και πόσο το μήκος του καλαμιού;

Το ανωτέρω πρόβλημα, προέρχεται από το Κινέζικο μαθηματικό σύγγραμμα του 2600 π.Χ. K’iu - Ch’ang Suan – Shu – ts’au – t’u (Αριθμητική σ’ εννέα ενότητες), το οποίο εκδόθηκε από τον Tsin – Kin – Tschaou το 1250 π.Χ. Χρονολογείται, στη περίοδο της δυναστείας Hun (Χαν), 206 π.Χ.- 220 μ.Χ., αναθεωρημένη.

Η λύση του γρίφου από τον Carlo de Grandi, εδώ.

▪ ΟΛΜΕ: Εξετάσεις πέρα από τα όρια της λογικής και της ευαισθησίας

Η ΟΛΜΕ έχει αναφερθεί επανειλημμένα στις παθογενείς καταστάσεις που έχει δημιουργήσει ο θεσμός των πανελλαδικών εξετάσεων πρόσβασης στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Στο θέμα αυτό έχει υποστηρίξει υπεύθυνα και τεκμηριωμένα την αυτονόμηση της λυκειακής βαθμίδας από τη διαδικασία πρόσβασης στην επόμενη εκπαιδευτική βαθμίδα και τη μετακίνηση προς ένα σύστημα ελεύθερης πρόσβασης.

Τα προβλήματα, ωστόσο, που δημιουργήθηκαν στις εφετινές πανελλαδικές εξετάσεις φαίνεται πως έχουν ξεπεράσει κάθε προηγούμενο, επιτείνοντας ως τα άκρα το άγχος και την αβεβαιότητα μεταξύ των υποψηφίων και των λοιπών μελών της εκπαιδευτικής κοινότητας και προκαλώντας σύγχυση στην ελληνική κοινωνία.

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 575

Έστω τρίγωνο ABC, με $\angle{B}\geq{\angle{2C}}$. Αν $AD$ το ύψος του τριγώνου και $M$ το μέσο της πλευράς $BC$, να αποδειχθεί ότι

$DM$$\geq{\frac{AB}{2}}$.

Titu Andreescu

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 574

Έστω τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $O$ και ακτίνας $R$. Αν $d_A, d_B, d_C$ είναι οι αποστάσεις του $O$ από τις πλευρές του τριγώνου, να αποδειχθεί ότι

$R^3-(d^2_A + d^2_B + d^2_C)R-2d_Ad_Bd_C = 0$.

Dorin Andrica (Romania)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 573

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ ($\angle{A}=90^0$) και έστω ευθεία $ε$ που διέρχεται από το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου, που τέμνει τις πλευρές $AB$ και $AC$ στα σημεία $P$ και $Q$, αντίστοιχα. Να βρεθεί το ελάχιστο του γινομένου $AP\cdot{AQ}$.

Dorin Andrica (Romania)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Minimum

Έστω $a, b, c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε

$a + b + c + 2 = abc$. 

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.

Abdulmajeed Al-Gasem (Saudi Arabia)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Η θεωρία της γενικής σχετικότητας

Σύμφωνα με την νευτώνεια θεωρία δύο σώματα με μάζα (π.χ. η γη και ένα μήλο) ασκούν μια έλξη το ένα στο άλλο ως αποτέλεσμα του νόμου της βαρύτητας. Η Γενική θεωρία της Σχετικότητας υποστηρίζει πως λόγω της μάζας ή ισοδύναμα της ενέργειας, τα σώματα κινούνται σε τροχιές του καμπύλου χωρόχρονου (γεωδαισιακές), στις οποίες η καμπύλη τροχιά συμπίπτει με μια γραμμή ελάχιστου μήκους. 

Σε αντίθεση με την επίπεδη επιφάνεια που οι παράλληλες τροχιές παραμένουν παράλληλες στο άπειρο, στην επιφάνεια μιας σφαίρας οι παράλληλες τροχιές τείνουν να καμπυλωθούν πλησιάζοντας η μία προς την άλλη (θετική κυρτότητα) ενώ στην επιφάνεια μιας σέλας οι παράλληλες τροχιές τείνουν να καμπυλωθούν αποκλίνοντας μεταξύ τους (αρνητική καμπυλότητα).

▪ $3(+)2(-)$

Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης

$Α=1^2 + 2^2 + 3^2-4^2-5^2 + 6^2 + 7^2 +$

$+ 8^2-9^2-10^2 +...-2010^2$

όπου τρία διαδοχικά πρόσημα $+$ διαδέχονται από δύο $-$.

Titu Andreescu

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ A History of a Solved Conjecture (Catalan's problem)

▪ Ανισότητες - 279η

Έστω $a, b, c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε $abc = 1$. Να αποδειχθεί ότι

$\frac{1}{a^5(b + 2c)^2}+\frac{1}{b^5(c + 2a)^2}+\frac{1}{c^5(a + 2b)^2}\geq\frac{ 1}{3}$.

Titu Andreescu

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Οι αριθμοί δεν λένε ποτέ ψέμματα

▪ Απόδειξη του θεωρήματος Bolzano

 Του Σωτήρη Σκοτίδα 

▪ Ανισότητες - 277η και 278η

Έστω $a ≥ b ≥ c > 0$.  Να αποδειχθεί ότι

$(a − b + c)$$(\frac{1}{a}−\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$≥$$1$.

Titu Andreescu

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Έστω $a, b, c > 0$. Να αποδειχθεί ότι
$\frac{a + b}{a + b + 2c}+\frac{b + c}{b + c + 2a}+\frac{c + a}{c + a + 2b}+$

$+\frac{2(ab + bc + ca)}{3 (a^2 + b^2 + c^2)}$$≤$$\frac{13}{6}$.

Andrei Razvan (Romania)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪Μαθηματικές αναλογίες στον Ακάθιστο Ύμνο

 Του Βασίλη Α. Σαρρή 

Εργασία του αγαπητού συναδέλφου Βασίλη Σαρρή, ο οποίος εδώ και χρόνια ασχολείται με τις μαθηματικές αναλογίες στον Ακάθιστο Ύμνο και τελευταία και σε άλλα υμνογραφικά κείμενα. 

Για να διαβάσετε την εργασία, κάντε κλικ εδώ.

Lemoine Point and Circles

▪ $f : [a, b] → R$

Let $f : [a, b] → R$ συνεχής συνάρτηση, τέτοια ώστε

$ \int_0^1xf(x)dx = 0$.

Nα αποδειχθεί ότι

Duong Viet Thong (Vietnam)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 572

Έστω $X$ εσωτερικό σημείο ενός κυρτού τετραπλεύρου $ABCD$. Αν $P, Q, R, S$ οι προβολές του $X$ επί των πλευρών $AB$, $BC, CD, DA$, αντίστοιχα, να αποδει-
χθεί ότι

$PA·AB + RC·CD =\frac{1}{2}(AD^2 + BC^2)$

αν και μόνο αν

$QB·BC + SD·DA =\frac{1}{2}(AB^2 + CD^2)$.

Titu Andreescu

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 571

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ και $MNPQ$ ένα ορθογώνιο εγγεγραμμένο στο τρίγωνο, με $M, N ∈ BC$, $P ∈ AC$, $Q ∈ AB$. Να αποδειχθεί ότι 

$(MNPQ) ≤\frac{1}{2}(ABC)$.

Dorin Andrica (Romania) 

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ $tanθ=\frac{1}{φ}$

$tanθ=$$\frac{1}{φ}$

▪ $(x,y)\in{\mathbb{Z}}$

Να λυθεί στο σύνολο των ακεραίων αριθμών η εξίσωση

$xy -7\sqrt{x^2 + y^2} = 1$.

Titu Andreescu

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Θα γίνω πολιτικός

Βρείτε τη γωνία (VΙ)

Σε τρίγωνο ABC με $\widehat B = {84^ \circ }4, φέρω τη διχοτόμο 4BD\,(D \in AC)$ και τη διχοτόμο $DE (E \in BC\,\& B\widehat DC = {72^ \circ })$. 

Βρείτε τη γωνία $x = A\widehat ED$.

Πηγή: mathematica

Ένα … «περίεργο» τετράπλευρο

 Του Σωτήρη Σκοτίδα 
Η εργασία αυτή δημοσιεύτηκε στο περιοδικό «Φ», τεύχος 4ο.

▪ Αρχική Συνάρτηση - Προτάσεις και ασκήσεις

 Του Μπάμπη Στεργίου 

Κάντε κλικ εδώ.
Πηγή: mathematica

▪ Online Εκπαιδευτικό Λογισμικό Α' βάθμιας & Β' βάθμιας Εκπαίδευσης

Οι εφαρμογές είναι διαθέσιμες online στους παρακάτω συνδέσμους:

        

Μαθηματικά Α'-Β'               Μαθηματικά Γ'-Δ'

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 570

Έστω $m_a, m_b, m_c$ οι διάμεσοι,$k_a, k_b, k_c$ οι συμετροδιάμεσοι, $r$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου $ABC$. Να αποδειχθεί ότι

$\frac{R}{2r}≥ \frac{m_a}{k_a}+\frac{m_b}{k_b}+\frac{m_c}{k_c}≥ 3$.

Pangiote Ligouras (Italy)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 569

Έστω τετράπλευρο $ABCD$, τέτοιο ώστε $∠A ≥ 60^0$. Να αποδειχθεί ότι

$AC^2 < 2(BC^2 + CD^2)$.

Titu Andreescu

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪Συναρτησιακές σχέσεις - Άσκηση 56

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $ f:Q\rightarrow Q$, για τις οποίες ισχύει

$f(x+y)+f(y+z)+f(z+t)+f(t+x)+$

$+f(x+z)+f(y+t)\ge 6f(x-3y+5z+7t)$

για κάθε $ x,y,z,t\in Q$.

Uzbekistan National Mathematical Olympiad 2013

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Η Διελκυστίνδα

"Δώς μοι πά στώ και ταν Γάν κινάσω!"

Αρχιμήδης ο Συρακούσιος

Το παιχνίδι της διελκυστίνδας είναι γνωστό σε όλους και μάλλον όλοι το έχουμε παίξει, είτε ατομικά εναντίον ενός αντιπάλου, είτε σαν μέλη μιας ομάδας που προσπαθεί να τραβήξει, να έλξει προς το μέρος της τους αντιπάλους, πέρα από κάποιο όριο/ γραμμή, η υπέρβαση της οποίας  καθορίζει τους χαμένους.

Ας πούμε ότι το έπαιξαν ο Γιώργος και ο Σωκράτης και ο Σωκράτης κέρδισε.

Η ερώτηση είναι: Γιατί κέρδισε ο Σωκράτης;

▪ $S_{max}$ και $S_{min}$

Έστω $x,y$ πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε 

$ x^2y^2+2yx^2+1=0$.

Αν

$ S=\frac{2}{x^2}+1+\frac{1}{x}+y(y+2+\frac{1}{x}) $

τότε να βρεθεί

α) $S_{max}$

β) $S_{min}$.

Uzbekistan National Mathematical Olympiad 2013

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Ανισότητες - 276η

Έστω $a,b$ πραγματικοί αριθμοί με $ a\ge b\ge 0 $. Να αποδειχθεί ότι

$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt[3]{a^3+b^3}+\sqrt[4]{a^4+b^4}\le 3a+b$.

Uzbekistan National Mathematical Olympiad 2013

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 568

Έστω $A_1A_2A_3A_4A_5$ κυρτό πεντάγωνο και έστω $X ∈ A_1A_2$, $Y ∈ A_2A_3$, $Z ∈A_3A_4$, $U ∈ A_4A_5$, $V ∈ A_5A_1$ σημεία, τέτοια ώστε οι ευθείες $A_1Z$, $A_2U$, $A_3V$, $A_4X$, $A_5Y$ να τέμνονται στο σημείο $P$. Να αποδειχθεί ότι

$\frac{A_1X}{A_2X}\cdot\frac{A_2Y}{A_3Y}\cdot\frac{A_3Z}{A_4Z}\cdot\frac{A_4U}{A_5U}\cdot\frac{A_5V}{A_1V}$$= 1$.

Ivan Borsenco (MIT - USA)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪Feuerbach's Theorem

▪Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου 2013: Η μεγάλη κλοπή των κόπων μας …. μαθητών και δασκάλων

Των Κώστα Αθανασιάδη - Mιχάλη Γράβα                                   

Επιχειρούμε να γράψουμε ένα σχόλιο για τα σημερινά θέματα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης, σχετικά σύντομα και πριν κατασταλάξει ο κουρνιαχτός που αυτό το διαγώνισμα προκάλεσε.
Πρώτα όμως θέλoυμε να συγχαρούμε όλους τους μαθητές για την προσπάθεια που έκαναν και τους  προτρέπουμε να μείνουν ψύχραιμοι και να έχουν υπομονή μέχρι να ολοκληρωθεί και το τελευταίο μάθημα. Ο λογαριασμός θα γίνει μόνον τότε.

Πάμε λοιπόν στο σημερινό διαγώνισμα

Πολλές φορές εμείς οι δάσκαλοι αναρωτιόμαστε για τον τρόπο επιλογής των θεμάτων από τις επιτροπές. Άλλη μια φορά φάνηκε ότι τα θέματα δεν φαίνεται να λύθηκαν από τους λύτες.

Το ερώτημα Β3 είναι λαμπρή απόδειξη για τα λεγόμενα μας. Το δυσκολότερο ερώτημα όλων των ετών από το 1988 και μετά  χωρίς αμφιβολία.

Καμιά σχέση με το πνεύμα του σχολικού βιβλίου ενώ ταυτόχρονα  δεν αξιολογούσε  τι έκανε  ο μαθητής όλο τον χρόνο. Μια προετοιμασία δεν μπορεί να στηρίζεται σε τέτοια θέματα. 

▪Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου 2013: Οι απαντήσεις των θεμάτων

 Του Κώστα Αθανασιάδη 

▪ $\sqrt{AMATYC}$

Στην ισότητα

$\sqrt{AMATYC}=MYM$

σε διαφορετικά γράμματα αντιστοιχούν διαφορετικά ψηφία. Να βρεθεί η τιμή του $T$.

AMATYC Student Mathematics League 2003

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Ανισότητες - 275η

Έστω $x, y, z$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε

$x\leq1$, $y\leq2$ και $x + y + z = 6$. 

Να αποδειχθεί ότι

$(x + 1)(y + 1)(z + 1)\geq{4xyz}$.

Marius Stanean (Romania)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Ανισότητες - 274η

Έστω $a, b, c$ πραγματικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του $2$, τέτοιοι ώστε

$\frac{7 -2a}{3a -6}+\frac{7-2b}{3b- 6}+\frac{7-2c}{3c- 6}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.

Να αποδειχθεί ότι

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq1$.

Titu Andreescu

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Math clips: Pythagoras and the 30 Virgins (1977)

Κάντε κλικ στην εικόνα για να δείτε το βίντεο.