▪ Μεγάλη Τρίτη - Των Δέκα Παρθένων

Στην παραβολή των Δέκα παρθένων είναι αφιερωμένη η αποψινή βραδιά, που ψάλλεται ο όρθρος της Μεγ. Τρίτης. Τί σχέση έχει η παραβολή των Δέκα παρθένων με τη Μεγ. Εβδομάδα; Γιατί γίνεται ιδιαίτερη μνεία γι’ αυτήν κατά τη Μεγ. Εβδομάδα;

Ένας λόγος: Την παραβολή αυτή είπε ο Χριστός λίγο πριν από το εκούσιο Πάθος. Η τελευταία διδασκαλία του Χριστού πριν από το Μυστικό Δείπνο περιέχεται στο 25ο κεφάλαιο του Ευαγγελίου του Ματθαίου, και είναι καθαρά εσχατολογική. Αναφέρεται στη βασιλεία των ουρανών και στη δευτέρα παρουσία του Χριστού. Στην αρχή είναι οι δύο γνωστές και συγγενείς παραβολές: η παραβολή των Δέκα παρθένων (Ματθ. 25,1-13) και η παραβολή των ταλάντων, ή μάλλον «του κρύψαντος το τάλαντον» (Ματθ. 25,14-30). Και ακολουθεί η γνωστή περικοπή της μελλούσης κρίσεως (Ματθ. 25,31-46). Το βράδυ της Μεγ. Δευτέρας οι ύμνοι μιλάνε και για τα τρία αυτά, και για την παραβολή των Δέκα παρθένων, και για την παραβολή του κρύψαντος το τάλαντο και για την περικοπή της μελλούσης κρίσεως.

▪ $2025$

Πάνω στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων παίρνουμε 100 σημεία. Να αποδείξετε ότι το πολύ $2025$ ορθογώνια μπορούν να σχηματιστούν με κορυφές αυτά τα σημεία και με τις πλευρές τους παράλληλες με τους άξονες των συντεταγμένων.

Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία - Β΄ Διαγωνισμός επιλογής IMC(II) 2013 (Λύκειο)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Μία και μία

1. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς $x,y$ ισχύει:

 $2x^2+3xy+2y^2=1$

να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης:

$x+y+xy$.

2. Στο παρακάτω σχήμα η $ΒΕ$ είναι διχοτόμος της γωνίας $ΑΒΔ$ και η $ΓΖ$ είναι διχοτόμος της γωνίας $ΑΓΔ$. 

Αν $\angle{ΒΔΓ}=145^0$ και $\angle{ΒΟΓ}=95^0$, να υπολογίσετε τη γωνία $\angle{ΒΑΓ}$.

Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία - Β΄ Διαγωνισμός επιλογής IMC(II) 2013 (Γυμνάσιο)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Στη σειρά

Ο Μιχάλης αρχίζει να γράφει αριθμούς ως εξής: Γράφει $1, 2, 3$ και αφήνει πίσω ένα αριθμό το $4$. Μετά γράφει $5,6,7$ και αφήνει πίσω δύο αριθμούς τους $8,9$. Μετά γράφει $10, 11,12$ και αφήνει πίσω τους $13,14,15$. Μετά γράφει τους $16,17,18$ και αφήνει πίσω τους αριθμούς $19, 20, 21,22$ και συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο. Να βρείτε ποιος αριθμός βρίσκεται στην $2011$η θέση στην σειρά αυτή.

Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία - Β΄ Διαγωνισμός επιλογής IMC(II) 2013 (Δημοτικό)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ 2011 κέρματα

2011 κέρματα του ενός ευρώ είναι τοποθετημένα σε σειρά. Κάθε τρίτο κέρμα αυτής της σειράς το αντικαθιστούμε με χαρτονόμισμα των 10 ευρώ. Μετά κάθε πέμπτο κέρμα αυτής της σειράς το αντικαθιστούμε με χαρτονόμισμα των 5 ευρώ. Μετά κάθε έβδομο κέρμα αυτής της σειράς το αντικαθιστούμε με χαρτονόμισμα των 20 ευρώ. Ποια είναι η συνολική αξία σε ευρώ της νέας σειράς;

Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία - A΄ Διαγωνισμός επιλογής IMC(II) 2013 (Δημοτικό)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪Αλλεπάλληλες συνθέσεις

Έστω η συνάρτηση $f(x)=ax+b$, όπου $a,b$ ακέραιοι αριθμοί. Αν 

$ f(f(f(4)))=9 $ και $ f(f(f(4)))=9 $ 

τότε

$ f(f(f(f(10))))=?$

USA Purple Comet 2012

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 550

Έστω $A_1, B_1, C_1$ τα σημεία επαφής εγγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου $ABC$, με τις πλευρές $BC, CA, AB$, αντίστοιχα. Αν $O_1, O_2$ τα κέντρα των εγγεγραμμένων κύκλων των τετραπλεύρων $BA_1IC_1$ και $CA_1IB_1$, αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι η εσωτερική κοινή διχοτόμος των δύο κύκλων διέρχεται από το $A$.

All-Russian Olympiad 2009

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪Εφαπτομένη παραβολής

Έστω μια παραβολή $C$ με εξίσωση

$y=2px$         (1)

και ένα σταθερό της σημείο $M_1(x_1,y_1)$. Έστω επιπλέον μια μη κατακόρυφη ευθεία $ζ$ που διέρχεται από το $M1(x_1,y_1)$ και τέμνει την παραβολή και σε ένα άλλο σημείο $M_2(x_2,y_2)$. Τότε η $ζ$ θα έχει συντελεστή διεύθυνσης

$λ=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

και επειδή διέρχεται από το σημείο $M_1(x_1,y_1)$, θα έχει εξίσωση

$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$ (2)

Επειδή τα σημεία $M_1(x_1,y_1), M_2(x_2,y_2)$ ανήκουν στην παραβολή, οι συντεταγμένες τους θα επαληθεύουν την εξίσωση (1). Άρα, θα ισχύει

$y_1^2=2px_1$   και   $y_2^2=2px_2$

οπότε θα έχουμε διαδοχικά

▪ Παράγωγοι - Ολοκληρώματα

 Του Δημήτρη Κουζούδη 

Ποια είναι η χρήση των παραγώγων στην Φυσική και τι ακριβώς είναι παράγωγος;

▪ 19 - Εκθαμβωτική Γεωμετρία

▪ Αλυσίδα κύκλων

Ο κύκλος $Β$ έχει ακτίνα 2008 και εφάπτεται στην οριζόντια ευθεία στο σημείο $P$. O κύκλος $C_1$ έχει ακτίνα 1 και εφάπτεται στον κύκλο $B$ και στην οριζόντια ευθεία. Ο κύκλος $C_2$ έχει ακτίνα μεγαλύτερη από 1 και εφάπτεται στην ευθεία και στους κύκλους $B$ και $C_1$. 

Για $n>1$, o κύκλος $C_n$ εφάπτεται της ευθείας και των κύκλων $B$ και $C_{n-1}$. Nα βρεθεί η μεγαλύτερη τιμή του $n$, έτσι ώστε να μπορεί να  κατασκευαστεί ο κύκλος $C_n$, με την πιο πάνω διαδικασία.

USA Purple Comet 2008

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Μεγάλη Δευτέρα - Ιωσήφ του Παγκάλου

Από τη σημερινή μέρα ξεκινούν τα άγια Πάθη του Κυρίου μας Ιησού Χριστού. Τύπος του Κυρίου μας Ιησού είναι ο πάγκαλος Ιωσήφ που σήμερα επιτελούμε την ανάμνησή του.

Ήταν ο μικρότερος γιός του Πατριάρχη Ιακώβ και ο πιο αγαπητός. Όμως φθονήθηκε από τα αδέλφια του και αρχικά τον έρριξαν σ' ένα βαθύ λάκκο και εξαπάτησαν το πατέρα τους χρησιμοποιώντας ένα ματωμένο ρούχο ότι δήθεν τον κατασπάραξε κάποιο θηρίο. Στη συνέχεια τον πούλησαν για τριάντα αργύρια σε εμπόρους, οι οποίοι τον ξαναπούλησαν στον αρχιμάργειρα του βασιλιά της Αιγύπτου, τον Πετεφρή. Ο Ιωσήφ ήταν πανέμορφος και τον ερωτεύθηκε η γυναίκα του Πετεφρή, που θέλησε να τον παρασύρει σε ανήθικη πράξη βιαίως. Μόλις εκείνη έπιασε τον Ιωσήφ, εκείνος άφησε στα χέρια της το χιτώνα του και έφυγε. Εκείνη από το θυμό της τον συκοφάντησε στο σύζυγό της, ότι δήθεν αυτός επιτέθηκε εναντίον της με ανήθικους σκοπούς. Ο Πετεφρής την πίστευσε και φυλάκισε τον Ιωσήφ.

▪ $a+b+c$

Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε

$ a^2+b^2+c^2=989 $

$ (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=2013 $.

Nα βρεθεί το άθροισμα

$a+b+c$.

USA Purple Comet 2013

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Ν. Λυγερός- "Σχολή του Πυθαγόρα, Ακαδημία του Πλάτωνα, Λύκειο του Αριστοτέλη και Ελληνική Παιδεία"

▪ Βράβευση μαθητών από την ΕΜΕ Ηρακλείου 2013

Τη Δευτέρα 22 Απριλίου 2013 και ώρα 19:30 πραγματοποιήθηκε, στην αίθουσα πολλαπλών χρήσεων του 2ου Λυκείου Ηρακλείου, από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία - Παράρτημα Ηρακλείου η τελετή βράβευσης των μαθητών Γυμνασίων και Λυκείων του νομού Ηρακλείου, που διακρίθηκαν στους φετινούς διαγωνισμούς «Θαλής», «Ευκλείδης», «Αρχιμήδης».

Στην εκδήλωση μίλησε ο καθηγητής αναπτυξιακής ψυχολογίας του Πανεπιστημίου Κρήτης, κ. Ιωάννης Κουγιουμουτζάκης με θέμα:

«Τι είναι τελικά τα Μαθηματικά;»

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που πήραν μέρος στους διαγωνισμούς και ένα μεγάλο μπράβο σε αυτά που διακρίθηκαν.
Πηγή: mathher

▪ Πεντάγωνο

To πεντάγωνο $ABCDE$ αποτελείται από ένα τετράγωνο $ABCD$ και ένα ισόπλευρο τρίγωνο με κοινή πλευρά την $AC$, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ο κύκλος με κέντρο το $C$ έχει εμβαδόν $24$. 

Το εμβαδόν της κοινής επιφάνειας του κύκλου και του πενταγώνου ισούται με το μισό του εμβαδού του πενταγώνου. Να βρεθεί το εμβαδόν του πενταγώνου. 

USA Purple Comet 2012

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Γεωμετρίας Εγκώμιον

 Του Βένιου Αγγελόπουλου  

Αφιερώνεται στους Παντελή Ρόκο, Παύλο Κολλάρο, Denis Clodic που μ’έμαθαν Γεωμετρία.

Όταν κανείς αρχίζει και βγάζει ένα λόγο επιχειρηματολογώντας υπέρ ή κατά κάποιου, συνηθίζουμε να δίνουμε περισσότερη βάση (και καλώς ίσως) στο γιατί λέει αυτά που λέει, παρά στο τί λέει.

Αισθάνομαι λοιπόν καταρχήν υποχρεωμένος να δηλώσω τα κίνητρά μου, δηλαδή για ποιό λόγο θα τοποθετηθώ υπερ της Γεωμετρίας. Πρώτα – πρώτα γιατί μ’ αρέσει η Γεωμετρία. Δεν νομίζω ότι αυτό χρειάζεται παραπέρα εξήγηση. Δεύτερο γιατί αρνούμαι να υποστώ την μοίρα των δεινοσαύρων. Αυτό χρειάζεται κάποια εξήγηση.

▪ $x^2+y^2+z^2$

Αν για τους ακεραίους $x,y,z$ ισχύουν

$x^2y+y^2z+z^2x=2186$

$xy^2+yz^2+zx^2=2188$

να υπολογισθεί το άθροισμα

$x^2+y^2+z^2$.

USA Purple Comet 2013

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Τρικολόρ

Στο παρακάτω σχήμα, το μεγάλο τετράγωνο έχει πλευρά $20$. Τα δύο τρίγωνα, που είναι εγγεγραμμένα στα δύο μικρότερα τετράγωνα είναι ίσα και ισοσκελή.

Να βρεθεί το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας.

USA Purple Comet 2013

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪Mathematiker Congress 1897 (Ζυρίχη, Ελβετία)

▪ $n = ?$

Αν

$ 4^{4^{4^2}}=2^{8^n} $

να βρεθεί ο αριθμός $n$.

USA Purple Comet 2013

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ πολ.7

Στο  παρακάτω διάγραμμα, πόσα ορθογώνια υπάρχουν, τέτοια ώστε το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται σε αυτά, να είναι πολλαπλάσιο του 7;

▪ Max

Έστω $x,y,z$ διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα $0$. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

$\frac{x^2+2-\sqrt{x^4+4}}{x}$.

Harvard-MIT Mathematics Tournament 2005

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Θεώρημα Pitot

Θεώρημα

Έστω τετράπλευρο με πλευρές $a,b,c,d$, περιγγεγραμμένο σε κύκλο.Τα αθοίσματα των μηκών των απέναντι πλευρών του είναι ίσα

$a + c = b + d$.

Henri Pitot (1695 – 1771)

▪ $ f :\mathbf{R}\to\mathbf{R} $

Έστω $ f :\mathbf{R}\to\mathbf{R} $ συνεχής συνάρτηση. Αν 

$ \int_{0}^{1}f(x) f'(x)\,\mathrm{d}x = 0 $

και

$ \int_{0}^{1}f(x)^2 f'(x)\,\mathrm{d}x = 18 $

τότε 

$ \int_{0}^{1}f(x)^4 f'(x)\,\mathrm{d}x =?$

Harvard-MIT Mathematics Tournament 2005

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ $ \int_{1}^{2005}f(x)\,\mathrm{d}x $

Έστω $f$ συνεχής πραγματική συνάρτηση, τέτοια ώστε

$ f(x-1)+f(x+1)\ge x+f(x) $

για κάθε πραγματικό αριθμό $x$. Να βρεθεί η ελάχιστη του ολοκληρώματος

$ \int_{1}^{2005}f(x)\,\mathrm{d}x $.

Harvard-MIT Mathematics Tournament 2005

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Ιδιότητες ισοπλεύρου τριγώνου

Αν $a, b, c$ οι πλευρές του ισοπλεύρου τριγώνου, $s$ η ημιπερίμετρος του, $T$ το εμβαδόν του, $r_a, r_b, r_c$ οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων του, $R$ και $r$ οι ακτίνες του περιγεγραμμένου και εγγεγραμμένου κύκλου, αντίστοιχα, τότε:

▪ Πλευρές

▪ Ημιπερίμετρος

▪ $abc$

Αν

$ a+\frac{1}{b}= 5 $

$ b+\frac{1}{c}= 12 $

$ c+\frac{1}{a}= 13 $

τότε

$ abc+\frac{1}{abc}=? $

USA Purple Comet 2003

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Πλήρης κάλυψη

Ένα τετράγωνο, ένα κανονικό πεντάγωνο και ένα κανονικό εικοσάγωνο, μπορούν να καλύψουν πλήρως το επίπεδο γύρω από μία κορυφή.

$m+n=?$

Επί ενός κύκλου διαμέτρου $20$ παίρνουμε τα σημεία $A,B,C,D,E,F$ σε ίσα διαστήματα. Ένας δεύτερος κύκλος εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου και των χορδών $AB$ και $AF$.

Αν το μήκος της διαμέτρου του δεύτερου κύκλου είναι της μορφής $\sqrt{m}+ n$, όπου $m,n$, ακέραιοι αριθμοί, να βρεθεί το άθροισμα $m+n$.

USA Purple Comet 2007

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Τρίλιζα

Στο παρακάτω σχήμα, το μεγάλο τετράγωνο χωρίζεται σε εννέα μικρότερα τετράγωνα. Σε πέντε από αυτά, υπάρχουν εγγεγραμμένοι κύκλοι, με συνολικό εμβαδόν $20π$. 

Να βρεθεί το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου.

USA Purple Comet 2012

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Η φανταστική μονάδα

Ο φανταστικός αριθμός είναι η απάντηση σε έναν γρίφο που παίδεψε τους μαθηματικούς επί αιώνες.

Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του $-1$;

Πόσο κάνει το $\sqrt{-1}$;

Ο γρίφος αυτός είναι γνωστός εδώ και αιώνες. Το 50 μ.Χ. ο Έλληνας μαθηματικός Ήρων ο Αλεξανδρεύς έπεσε πάνω του όταν προσπαθούσε να υπολογίσει τον όγκο ενός τμήματος μιας πυραμίδας. Όμως ο πρώτος που χρησιμοποίησε την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού στα μαθηματικά του ήταν ο Ιταλός Νίκολο Φοντάνα.

▪ Τομή τετραέδρων

Έστω κύβος $ABCDEFGH$ με ακμή $30$. 

Τα τετράεδρα $ACFH$ και $BDEG$ είναι κανονικά. Να βρεθεί ο όγκος του στερεού που σχηματίζεται από την τομή των δύο τετραέδρων.

USA Purple Comet 2013

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Πλήθος τριγώνων (ΙΙ)

Πόσα τρίγωνα βλέπετε;

▪Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στις Πανελλαδικές εξετάσεις (και επαναληπτικές)

 Του Θεολόγη Καρκαλέτση 

Κάντε κλικ εδώ.

Πηγή: mathkanavis

▪ $ a > b^2 $

Αν $ a > b^2 $, να αποδειχθεί ότι

$\sqrt{a-b\sqrt{a+b\sqrt{a-b\sqrt{a+\cdots}}}=\sqrt{a-\frac{3}{4}b^2}-\frac{1}{2}b}$.

IMO Longlists 1969

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Γκράφιτι για μαθηματικούς

▪ Κανονικό 12 - γωνο

Έστω $ABCDEFGHIJKL$ κανονικό δωδεκάγωνο πλευράς $1$. Να βρεθεί το άθροισμα

$ \frac{AB}{AF}+\frac{AF}{AB} $.

USA Purple Comet 2003

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ $15=16$

Μπορεί το 15 να είναι ίσο με το 16;

Κάντε κλικ εδώ. (Γιώργος Φραγκάκος)

▪ ΖΖΖΖΖΖ

Στην παρακάτω πρόσθεση σε κάθε γράμμα αντιστοιχεί και ένα ψηφίο, σε διαφορετικά γράμματα αντιστοιχούν διαφορετικά ψηφία.

$ \begin{array}{cccccc}P&U&R&P&L&E\\&C&O&M&E&T\\&&M&E&E&T\\ \hline Z&Z&Z&Z&Z&Z\end{array}$

Να βρεθούν τα ψηφία που αντιστοιχούν τα γράμματα, ώστε η πρόσθεση να είναι σωστή.

USA Purple Comet 2008

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Α΄Λυκείου - Επαναληπτικές ασκήσεις Γεωμετρίας

 Του Δημήτρη Χασάπη 

▪ Ωραίοι λόγοι

Η ακτίνα $OA$ κύκλου $(O,R)$, είναι κάθετη στη διάμετρο $BC$ και στην προέκτασή της, βρίσκεται σημείο $S$, ώστε να είναι $OS=2R$. Η $SB$ τέμνει τον κύκλο στο $T$ και η $CT$ την $OA$ στο $M$. 

Βρείτε, με όποια σειρά σας εξυπηρετεί, τους λόγους: 

$\displaystyle \frac{OM}{MA} , \frac{BT}{TS}, \frac{TM}{MC}$.

Πηγή: mathematica (KARKAR)

▪ Κυριακή των Βαΐων - Ευλογημένος ο Ερχόμενος

 Του Φώτη Κόντογλου              

Εκείνος που έχει θρόνο τον ουρανό και υποπόδιο τη γη, ο γυιός του Θεού και ο Λόγος του ο συναΐδιος, σήμερα τα­πεινώθηκε και ήρθε στη Βηθανία απάνω σ' ένα που­λάρι. Και τα παιδιά των Εβραίων τον υποδεχθήκανε φωνάζοντας: «Ωσαννά εν τοις υψίστοις, ευλογημένος ο ερχόμενος, ο βασιλιάς του Ισραήλ».

Οι πολέμαρχοι του κόσμου, σαν τελειώνανε τον πόλεμο και βάζανε κάτω τους οχ­τρούς τους, γυρίζανε δοξασμένοι και καθί­ζανε απάνω σε χρυσά αμάξια για να μπούνε στην πολιτεία τους.

▪ $\frac{a}{b}$

Έστω $a,b$ πραγματικοί αριθμοί στο διάστημα (0,1), που έχουν επιλεγεί τυχαία. Να υπολογιστεί η πιθανότητα ο κοντινότερος ακέραιος στον αριθμό $\frac{a}{b}$ να είναι περιττός. (Σημείωση: η απάντηση δεν είναι $\frac{1}{2}$).

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ $33$

Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού

$333^{333}$

με τον αριθμό $33$?

USA Purple Comet 2013

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Πλήθος τριγώνων (Ι)

Πόσα τρίγωνα βλέπετε;

▪ Η Ανάσταση του Λαζάρου

Ο Λάζαρος ήταν στενός φίλος του Χριστού. Κατοικούσε στη Βηθανία, 3 χλμ. περίπου ανατολικά της Ιερουσαλήμ και οι αδελφές του Μάρθα και Μαρία φιλοξένησαν πολλές φορές τον Ιησού στο σπίτι τους στη Βηθανία (Λουκ. 10,38-40, Ιωαν. 12,1-3).

Η Ανάσταση του Λαζάρου

Κάποια φορά όμως, όπως αναφέρει ο ευαγγελιστής Ιωάννης (Ιω. 11,3), που ο Κύριος βρισκόταν στη Γαλιλαία, έμαθε πως ο φίλος Του ο Λάζαρος ήταν άρρωστος. Του το είχαν διαμηνύσει οι αδελφές του με τούτα τα λόγια: «Κύριε, να, αυτός που τόσο πολύ αγαπάς, είναι άρρωστος». Σαν ήκουσε όμως ο Ιησούς τούτο, είπε: «Αυτή η αρρώστια είναι για να φανεί η δόξα του Θεού». Ο Ιησούς όμως καθυστέρησε εσκεμμένα τη μετάβασή του στη Βηθανία (Ιω. 11,6) κι έμεινε εκεί στον τόπο που βρισκόταν ακόμη δύο μέρες. Ύστερα είπε στους μαθητές Του: «Πάμε πάλι στην Ιουδαία».

▪ $23=24$

ΗΛΙΑΣ: Κυριάκο, το εμβαδόν του μη κυρτού πενταγώνου $ΑΒΓΔΕ$ ισούται με το εμβαδόν των τριγώνων $ΑΓΒ+ΔΓΒ$, μείον το εμβαδόν του $ΕΒΓ$. Δηλαδή $15+15-6=24$. Ε;

ΚΥΡΙΑΚΟΣ: Άσε με να το σκεφτώ...

Τι λόγο έχει ο Κυριάκος να σκεφτεί πριν συμφωνήσει με τον αδελφό του; 

Κάντε κλικ εδώ. (Κυριάκος - Ηλίας Φραγκάκος)

▪Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - 150 επαναληπτικά θέματα

 Του Παύλου Τρύφωνος 

Δείτε μια συλλογή 150 ασκήσεων στα Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄Λυκείου. Η συλλογή αυτή δημιουργήθηκε επί σειρά ετών είτε από διάφορα φροντιστηριακά βιβλία από την δεκαετία του 70 είτε και από ασκήσεις του ίδιου του συγγραφέα. 

Είναι μια δουλειά που έγινε με μεράκι και με πολύ υπομονή και πιστεύουμε ότι θα είναι πολύ χρήσιμη συλλογή για τους διδάσκοντες μαθηματικούς και για τους μαθητές που αναζητούν το καλύτερο αποτέλεσμα για τις πανελλήνιες εξετάσεις. 

Κάντε κλικ εδώ.

▪ Ηλία Ντζιώρα - Μαθηματικά Ε΄ Γυμνασίου (1976)

΄

Κάντε κλικ εδώ.
Πηγή: pavtryfon

▪ Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία - Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

1)Να προσδιορίσετε του μη αρνητικούς ακεραίους που ικανοποιούν την εξίσωση 

.

2) Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο με , εγγεγραμμένο σε κύκλο . Ο κύκλος τέμνει την στο και τον στο . Η τέμνει για δεύτερη φορά τον στο . Η τέμνει την στο και την στο . Τέλος,η τέμνει την στο . Να αποδείξετε ότι:

α)τα σημεία είναι ομοκυκλικά,

β)τα σημεία είναι ομοκυκλικά.