$(-1)^{-i}$
ισούται με
1) αριθμό που είναι μικρότερος του $1$
2) αριθμό που είναι μεγαλύτερος του $1$ και μικρότερος του $2$
3) $23,14069263.....$
4) $(-i)^{-1}$
5) κανένα από τα παραπάνω.
▪ Τρία σημεία
Δίνονται τρία σημεία $Α(1, 0), Β(1, 0), Γ(0,h )$, όπου $h> 0$.
Να βρεθούν σημεία $Μ(x,y)$, για τα οποία οι αποστάσεις από τα $Α,Β,Γ$ να έχουν την ελάχιστη δυνατή τιμή.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Στόχος $10752$
Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς, στην κάτω σειρά (μία φορά τον καθένα) και οποιαδήποτε μαθηματική πράξη, να σχηματίσετε τον αριθμό $10752$.
▪Συναρτησιακές σχέσεις - Άσκηση 51
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $ f :\mathbb{R}\to\mathbb{R} $, για τις οποίες ισχύουν:
i) $ f(x)\ge 0 $, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.ii) αν $ a, b, c, d\in\mathbb{R}$, με $ab+bc+cd = 0$, τότε ισχύει
$ f(a-b)+f(c-d) = f(a)+f(b+c)+f(d) $.
Korea Mathematical Olympiad, Final Round 2013
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Θέματα και απαντήσεις του Διαγωνισμού "Β. Ξανθόπουλου" 2013
Πραγματοποίηθηκε σήμερα 31-03-2013 ο διαγωνισμός «Β. Ξανθόπουλου» στα Μαθηματικά και τη Φυσική με πολύ μεγάλη συμμετοχή των μαθητών των Λυκείων της Περιφερειακής Ενότητας Δράμας.▪ Γεωμετρία - Άσκηση 522
Δίνεται τρίγωνο $ABC (\angle B >\angle C)$ και $D$ σημείο επί της $AC$, τέτοιο ώστε $ \angle{ABD} =\angle{C}$. Έστω $I$ το έγκεντρο του τριγώνου $ABC$ και $E$ το σημείο τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $CDI $ με την $AI$. Η ευθεία που διέρχεται από το $E$ και είναι παράλληλη στην $AB$ τέμνει την ευθεία $BD$ στο σημείο $P$. Έστω $J$ το έγκεντρο του τριγώνου $ABD$ και $A'$ σημείο τέτοιο ώστε $ AI = IA' $. Αν $Q$ το σημείο τομής των $JP$ και $A'C$, να αποδειχθεί ότι $ QJ = QA' $.
Korea Mathematical Olympiad, Final Round 2013
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Στόχος $86$
Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς, στην κάτω σειρά (μία φορά τον καθένα) και οποιαδήποτε μαθηματική πράξη, να σχηματίσετε τον αριθμό $86$.
▪ Πόσα κιλά είναι ο Ήλιος;
Υπολογίστε την μάζα του Ήλιου, δεδομένου ότι η απόσταση της Γης από τον Ήλιο είναι:
$r=1,50\cdot{10^{11}}$ m.
Υποθέστε ότι η Γη ακολουθεί κυκλική τροχιά γύρω από τον Ήλιο και όχι ελλειπτική.
$G=6,67\cdot{10^{-11}} Nm^2/kg^2$
(G : η παγκόσμια βαρυτική σταθερά / σταθερά παγκόσμιας έλξης)
▪ Ιντιάνα Τζόουνς
Στην εικόνα βλέπετε τον διάσημο Ιντιάνα Τζόουνς σε σκηνή από την πρώτη του περιπέτεια. Οι παλαιότεροι, σίγουρα θα θυμούνται τη σκηνή όπου απειλείται να γίνει χαλκομανία από μια θανάσιμη πέτρινη Σφαίρα-Γίγας. Η ερώτηση είναι: Πόσο χαλκομανία θα γινόταν ο ήρωας, αν δεν ήταν τόσο ήρωας;
Μ'άλλα λόγια, αν η πέτρα-τέλεια σφαίρα έχει μάζα 1500 Κιλά και κυλάει (χωρίς καθόλου να γλιστράει! Δεν εκτελεί δηλαδή μεταφορική κίνηση) με μια σταθερή γραμμική ταχύτητα 4 m/sec, πόση είναι η ολική κινητική ενέργεια της σφαίρας;
Δίνεται:
Ροπή αδράνειας συμπαγούς σφαίρας $Ι = (2/5)\cdotΜ\cdot{R^2}$.
Ροπή αδράνειας συμπαγούς σφαίρας $Ι = (2/5)\cdotΜ\cdot{R^2}$.
▪ Το μυστικό του Φακίρη
Υποθέτουμε ότι το φορτίο του σώματός του είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο ανά μονάδα επιφάνειας.
▪ Εφημερίδα "ΤΟ ΒΗΜΑ" - Αφιέρωμα στις Πανελλήνιες εξετάσεις
Είναι θέματα όμοια με Πανελληνίων εξετάσεων. Απαιτούν καλή γνώση της ύλης καθώς και γνώσεις Άλγεβρας Β' Λυκείου.
2. Θέματα Μαθηματικών Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου (1)
Τα θέματα χαρακτηρίζονται από υψηλό βαθμό δυσκολίας και απαιτείται πλήρης εμπέδωση και αφομοίωση της ύλης.
▪Measurement and Scale
Film Summary
How Maharaja Jai Singh used scale to build and enhance the accuracy of his giant astronomical sundials.
Κατασκευή γεωμετρικού μέσου
Δίνεται το δισορθογώνιο τραπέζιο $ABCD$, ($\hat{A}=\hat{D}= 90^0$), στο οποίο για τη μεγαλύτερη μη παράλληλη πλευρά ισχύει : $BC>AB+CD$ .
2) Αν η ακτίνα $KS$ προς το σημείο επαφής, τέμνει την $AD$ στο $T$ δείξτε ότι το τμήμα $TS$, είναι ο γεωμετρικός μέσος των δύο βάσεων του τραπεζίου.
Πηγή: mathematica (KARKAR)
▪Διαδραστικές επιστημονικές προσομοιώσεις
Μια πολύ καλή συλλογή προσομοιώσεων για τις Φυσικές Επιστήμες και τα Μαθηματικά από το Πανεπιστήμιο του Κολοράντο.Kάντε κλικ εδώ.
▪ Δύσκολο ξεκίνημα
Έπρεπε να αποστηθίσω: "το τετράγωνο του αθροίσµατος δύο αριθµών είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων τους αυξηµένο κατά το διπλάσιο γινόµενό τους".
Δεν είχα την παραµικρή ιδέα τι σήµαινε αυτό και όταν δεν µπορούσα να θυµηθώ τα λόγια, ο δάσκαλος µου πέταγε το βιβλίο στο κεφάλι µου, πράγµα που δεν διέγειρε µε κανένα τρόπο τη νόηση µου.»
Bertrand Russell
▪ Έξι μετάλλια για το Πανεπιστήμιο Πατρών στην 7η Μαθηματική Ολυμπιάδα
Έξι μετάλλια, ένα χρυσό και πέντε χάλκινα κέρδισαν οι φοιτητές του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου πατρών, στην 7η Μαθηματική Ολυμπιάδα για Φοιτητές Πανεπιστημίων της Νοτιοανατολικής Ευρώπης (South Eastern European Mathematical Olympiad for University Students SEEMOUS 2013), με συμμετοχή πρωτοετών και δευτεροετών φοιτητών, διεξήχθη στο Πανεπιστήμιο Αθηνών.
Οι έξι συμμετέχοντες φοιτητές κατέκτησαν έξι μετάλλια, ως εξής:
Χρυσό μετάλλιο
1. Κακαρούμπας Σπυρίδων (2ο έτος)
Χάλκινα μετάλλια
1. Καλαντζής Γιώργος (2ο έτος)
2. Καλογήρου Αλέξανδρος-Δημήτριος (2ο έτος)
3. Βαν Ντερ Βέιλε Μαρία-Χριστίνα (1ο έτος)
4. Σακελλαρίου Δημήτριος (2ο έτος)
5. Σούλη Γεωργία (1ο έτος)
▪ Τι είναι αυτό που......έχει περισσότερα από 17 εκατ. ψηφία, εκτείνεται σε μήκος 482 χλμ. όταν γραφτεί με αυτή τη γραμματοσειρά, αρχίζει με...
…και τελειώνει σε 1; Η απάντηση: είναι ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός που μόλις ανακαλύφθηκε από έναν καθηγητή στο Μιζούρι των ΗΠΑ και, φυσικά, κάνει τον μέχρι πριν από λίγες ημέρες μεγαλύτερο πρώτο αριθμό να φαίνεται μπροστά του νάνος.
▪Junior...εξίσωση
Να λυθεί η εξίσωση
$\frac{x^{2}}{x-1}+\sqrt{x-1}+\frac{\sqrt{x-1}}{x^{2}}=$
$=\frac{x-1}{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\frac{x^{2}}{\sqrt{x-1}}$.
Moldova Junior Balkan Team Selection Tests 2006
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Properties of Shape: Arches
Film Summary
Discover how forces are applied through an arch, and why this makes it the perfect shape for architecture.
Αιφνιδιαστική καθετότητα
Οι κύκλοι $(O),(K)$, τέμνονται στα σημεία $A,B$. Τμήμα $PQ$, με άκρα επί των δύο κύκλων,διέρχεται από το $A$.
Δείξτε ότι $SB \perp BT$.
Πηγή: mathematica (KARKAR)
▪ Γεωμετρία - Άσκηση 521
Έστω σημείο $Ρ$ στο εσωτερικό τριγώνου $ABC$, τέτοιο ώστε $\angle{ABP}=\angle{PCA}$ και σημείο $Q$, τέτοιο ώστε το τετράπλευρο $PBQC$ να είναι παραλληλόγραμμο.
Να αποδειχθεί ότι $\angle{QAB}=\angle{CAP}$.
British Math Olympiad 2013
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪Μαθηματικά: Γιατί;
Ημερομηνία διεξαγωγής της εκδήλωσης:
Τετάρτη 24/04/2013 - 19:00 - 20:30
Φορέας φιλοξενίας:
Στέγη Γραμμάτων και Τεχνών
Παρακολουθείστε εδώ, ζωντανά την εκδήλωση.
▪ Τα μαθηματικά της βιολογίας
Ο νόμος τόνιζε επιγραμματικά την αμφιβολία των βιολόγων αν τα μαθηματικά είχαν ποτέ κάτι να πουν για τη ζωή.
Είναι ακριβώς αυτή η περιορισμένη, επικουρική θεώρηση των μαθηματικών σε σχέση με την «επιστήμη των έμβιων οργανισμών», τη βιολογία, που ανατρέπεται μέσα από τις πέντε επαναστάσεις που την αφορούν και τις περιγράφει στο βιβλίο του ο διάσημος βρετανός μαθηματικός και εκλαϊκευτής των επιστημών Ιαν Στιούαρτ.
Επανάσταση 1η: χωρίς το μικροσκόπιο «μια σταγόνα νερό» θα έμενε «μια απλή σταγόνα νερό» και όχι ένα «πολύπλοκο, σύνθετο σύνολο» μικροοργανισμών, οι οποίοι και καταλήγουν στα κύτταρα «τους βασικούς δομικούς λίθους της ζωής» και βάση της βιολογίας. Η μικροσκοπία: ένας συνδυασμός φακών που υπακούουν σε γεωμετρικούς κανόνες, μαθηματικά που αποκαλύπτουν τη ζωή, εξοπλίζουν τη βιολογία.
Ύψη, προβολές, μέσο
Σε τρίγωνο $ABC$ φέρνουμε τα ύψη $AD,BE,CZ$ και τις προβολές $K,L$ του $D$ πάνω στις ευθείες $AC,AB$ αντίστοιχα.
Πηγή: mathematica (Doloros)
▪Σωκρατικός διάλογος για τα Μαθηματικά
ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: "Όχι, Σωκράτη, γιατί τον βρήκα κιόλας. Είσαι εσύ. "Έψαχνα παντού να σε βρω. Κάποιος στην αγορά µου 'πε οτι σε είδε να περπατάς στις όχθες του ποταµού Ιλισού και έτσι σε βρήκα.
ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Ωραία, λοιπόν, πες µου πρώτα γιατί ήρθες και µετά θέλω να σε ρωτήσω κάτι για τη συζήτηση µας µε τον Πρωταγόρα. τη θυµάσαι;
ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Και µε ρωτάς; Από τότε δεν έχει περάσει ούτε στιγµή πού να µην την έχω στο µυαλό µου. Ακριβώς λοιπόν γι' αυτή τη συζήτηση ήρθα σήµερα να ζητήσω τη συµβουλή σου.
▪ Μέγιστο $m$
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του $m$, έτσι ώστε η ανισότητα
$(a^2+4(b^2+c^2))(b^2+4(a^2+c^2))(c^2+4(a^2+b^2))\ge m $
να ισχύει για κάθε $ a,b,c\in\mathbb{R}\setminus\{0\} $ με
$ \left|\frac{1}{a}\right|+\left|\frac{1}{b}\right|+\left|\frac{1}{c}\right|\le 3 $.
Πότε ισχύει η ισότητα;
Austria Federal Competition For Advanced Students, 2011
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Ανισότητες - 252η
Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοπιοι ώστε $ a+b+c = 1 $. Να αποδειχθεί ότι
$\sqrt{a^{1-a}b^{1-b}c^{1-c}}\le\frac{1}{3}$.
Austria Federal Competition For Advanced Students, 2008
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Σύστημα - 24
Να λυθεί στο σύνολο των μη αρνητικών ακεραίων αριθμών, το σύστημα
$ x_1x_2(1-x_3)=x_4x_5\\ x_2x_3(1-x_4)=x_5x_6\\ x_3x_4(1-x_5)=x_6x_1\\ x_4x_5(1-x_6)=x_1x_2\\ x_5x_6(1-x_1)=x_2x_3\\ x_6x_1(1-x_2)=x_3x_4 $.
Austria Federal Competition For Advanced Students, 2007
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com ▪ Ανισότητες - 251η
Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι
$3(a+b+c)\ge 8\sqrt [3]{abc}+\sqrt [3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$.
Austria Federal Competition For Advanced Students, 2006
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Σύστημα - 23
Να λυθεί το σύστημα
$ 4a = (b+c+d+e)^4 $
$ 4b = (c+d+e+f)^4 $
$ 4c = (d+e+f+a)^4 $
$ 4d = (e+f+a+b)^4 $
$ 4e = (f+a+b+c)^4 $
$ 4f = (a+b+c+d)^4 $.
Austria Federal Competition For Advanced Students, 2005
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com ▪Συναρτησιακές σχέσεις - Άσκηση 50
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $ f: R\to R$, για τις οποίες ισχύει
$f(f(x)^2+f(y)) = xf(x)+y$.
Austria Federal Competition For Advanced Students, 2001
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com ▪Συναρτησιακές σχέσεις - Άσκηση 49
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $ f: R\to R$, για τις οποίες ισχύει
$f(x+f(y+z))+f(f(x+y)+z) = 2y$.
Austria Federal Competition For Advanced Students, 2000
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com ▪ Σύστημα - 22
Έστω $a$ ακέραιος αριθμός. Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις του συστήματος
$5x+(a+2)y+(a+2)z = a$
$(2a+4)x+(a^2+3)y+(2a+2)z = 3a-1$
$(2a+4)x+(2a+2)y+(a^2+3)z = a+1$.
Austria Federal Competition For Advanced Students, 1997
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪Συναρτησιακές σχέσεις - Άσκηση 48
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $ f: R\to R$, για τις οποίες ισχύει
$ f(\frac{xf(y)}{2})+f(\frac{yf(x)}{2})=4xy,\forall x,y\in R $.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ 15 - Υπολογισμός του αριθμού π
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪Ευρωπαιχνιδάκι
«Ρώτα πέντε οικονομολόγους και θα πάρεις πέντε διαφορετικές απαντήσεις. Έξι, αν ο ένας είναι του Χάρβαρντ.»
Edgar R. Fiedler (διάσημος Αμερικ. οικονομολόγος)
Παίζετε το εξής παιχνίδι:
Στρίβετε ένα «τίμιο» νόμισμα (σαν το «ευρώ» ας πούμε..) μέχρι να φέρετε «γράμματα». Όσες φορές ρίξετε το νόμισμα, τόσα ευρώ κερδίζετε. Ας πούμε, αν φέρετε αμέσως με την πρώτη: «γράμματα», κερδίζετε $1$ ευρώ. Αν φέρετε κατά σειρά Κ-Γ κερδίζετε $2$ ευρώ, κλπ. Ποια είναι η αναμενόμενη τιμή των κερδών σας;
2η ερώτηση
Το ίδιο παιχνίδι, μόνο που τώρα ο αριθμός των ευρώ που κερδίζετε ισούται με:
Το ίδιο παιχνίδι, μόνο που τώρα ο αριθμός των ευρώ που κερδίζετε ισούται με:
$2^{ν-1}$
όπου ν είναι ο αριθμός ρίψεων που χρειάζεστε μέχρι να έρθει «γράμματα».
Ποια είναι σ’αυτήν την περίπτωση η αναμενόμενη τιμή κερδών; Σάς φαίνεται λογικό το αποτέλεσμα ή παράδοξο;
▪ Η συνάρτηση ζ της Ευρωπαϊκής αλληλεγγύης
"-Γιατί δεν λέτε τίποτα κύριε Όϋλερ;
-Μεγαλειότατη, προέρχομαι από μια χώρα όπου όποιος μιλάει χάνει το κεφάλι του.."
Ο πρώτος διάλογος μεταξύ της τσαρίνας και του Εuler.
Ποια είναι η πιθανότητα, δύο τυχαίοι θετικοί ακέραιοι να είναι μεταξύ τους πρώτοι;
▪ Δυνάμεις αριθμών Pandigital (Ι)
Αριθμοί pandigital εις την τρίτη $=$ αριθμοί pandigital (δις).
$4680215379^3 = 102517384602327906545167884939$,
$4752360918^3 = 107331759078841289462659540632$,
$4765380219^3 = 108216298065465737327981043459$,
$4915280637^3 = 118753100269752896627409434853$,
$5063248197^3 = 129803872805295961407646541373$,
$5164738920^3 = 137766973511455269432948288000$,
$5382417906^3 = 155930920888203446772967513416$,
$5426370189^3 = 159782147738463045208395061269$,
$5429013678^3 = 160015778029845493668293341752$,
$5628130974^3 = 178275879003943616358291650424$,
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ 5η Μαθηματική Εβδομάδα 2013
Tηλεοπτικό - διαφημιστικό σποτ για το 5ο Συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.
▪ Σφαίρα Hoberman
Πόσοι χρωματιστοί κύκλοι υπάρχουν; Κάθε κύκλος πόσες φορές εφάπτεται των άλλων κύκλων;
Tι είδους επιφάνειες σχηματίζονται επί της σφαίρας; Πόσες από κάθε είδος;
▪ 14 - Υπολογισμός του αριθμού π
Newton (1642-1727)
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com ▪ Ανισότητες - 249η - 250η
249. Έστω $a,b,c,d$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι
$\sum\frac{a^{2}-bc}{(a+b)(b+c)}\geq 0$.
250. Έστω $a,b,c,d$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι
$\sum\frac{(a-b)(a-c)}{(a+b)(a+c)} \ge 0$.
J. Chen
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Ανισότητες - 248η
Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι
$\sum \frac {(a + b)(a + c)}{a^2 + bc}\ge \frac {8(a + b + c)^2}{3(a^2 + b^2 + c^2) + ab + bc + ca}$.
V. Q. B. Can
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com ▪ Ανισότητες - 247η
Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι
$\sum\frac{a^2}{(a+b)^2}(2a-b-c)\ge 0$.
N. P. Sy
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Ανισότητες - 246η
Έστω $x,y,z,u,v,w$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι
$\left(\sum x\right)\left(\sum u\right)\left(\frac{1}{xu}+\frac{1}{yv}+\frac{1}{zw}\right) \ge 21+ \sum\frac{x}{y}+\sum\frac{u}{v}$.
B. Q. Liu
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com ▪ Ανισότητες - 245η
Έστω $a,b,c$ πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι
$\sqrt{\prod[12a^2+(b+c)^2]} +8(a+b)(b+c)(c+a) \ge 0.$
V. T. Tu
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Ανισότητες - 244η
Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι
$\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+$
$+\frac{ca}{c+3a+2b} \le \frac{a+b+c}{6}$.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com ▪ Ανισότητες - 243η
Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι
$ \begin{array}{c} (a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}\ge \\ \ge (a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca)(ab+bc+ca)^{2}.\end{array}$.
N. H. Tung
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com ▪ Ανισότητες - 242η
Έστω $ x, y, z $ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι
\[\frac{(x+y+z)^{3}}{xyz}\geq 27\left( \frac{x+y}{x+z}+\frac{x+z}{x+y}-1\right).\]
B.Q. Liu
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com ▪ Ανισότητες - 241η
Έστω $ x, y, z $ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι
$x+y+z \ge \frac{4xyz}{(x+y)(x+z)}+\frac{(x+y)^2+(x+z)^2}{2x+y+z}$.
B.Q. Liu
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com ▪ Ανισότητες - 240η
Έστω $ x, y, z $ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι
$\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\geq1 + \frac{y + z}{z + x} + \frac {z + x}{x + y} + \frac{x + y}{y + z}$.
B.Q. Liu
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com ▪ 1 - Μαθηματικά κόλπα
Βήμα 1: Επιλέξτε έναν αριθμό από το $1$ έως το $70$.
Βήμα 2: Διαιρέστε τον με το $7$. Αν το πηλίκο της διαίρεσης είναι ακέραιος αριθμός, τότε ξαναδιαιρέστε το με το $7$.
Υπάρχει κάπου ανάμεσα στα δεκαδικά ψηφία το ψηφίο $1$;
Υπάρχει, ωραία.
Υπάρχει, ωραία.
Το επόμενο ψηφίο μετά το $1$ είναι το $4$.
Σωστά; Εντάξει, όλα πήγαν καλά.
Τότε, το άθροισμα των έξι πρώτων δεκαδικών ψηφίων μετά την υποδιαστολή είναι $27$.
Σωστά; Εντάξει, όλα πήγαν καλά.
Τότε, το άθροισμα των έξι πρώτων δεκαδικών ψηφίων μετά την υποδιαστολή είναι $27$.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ 12 - Υπολογισμός του αριθμού π
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
