▪ $(-1)^{-i}=?$

Ο αριθμός

$(-1)^{-i}$

ισούται με

1) αριθμό που είναι μικρότερος του $1$

2) αριθμό που είναι μεγαλύτερος του $1$ και μικρότερος του $2$

3) $23,14069263.....$

4) $(-i)^{-1}$

5) κανένα από τα παραπάνω.

▪ Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία - Α' Διαγωνισμός Επιλογής «Ευκλείδης» 2013

ΛΥΣΕΙΣ  

Α' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΚΑΤΩ ΤΩΝ 15.5 ΕΤΩΝ

▪ Τρία σημεία

Δίνονται τρία σημεία $Α(1, 0), Β(1, 0), Γ(0,h )$, όπου $h> 0$.

Να βρεθούν σημεία $Μ(x,y)$, για τα οποία οι αποστάσεις από τα $Α,Β,Γ$ να έχουν την ελάχιστη δυνατή τιμή. 

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Στόχος $10752$

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς, στην κάτω σειρά (μία φορά τον καθένα) και οποιαδήποτε μαθηματική πράξη, να σχηματίσετε τον αριθμό $10752$.

▪Υπερβολοειδής γέφυρα

▪Συναρτησιακές σχέσεις - Άσκηση 51

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $ f :\mathbb{R}\to\mathbb{R} $, για τις οποίες ισχύουν:

i) $ f(x)\ge 0 $, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
ii) αν $ a, b, c, d\in\mathbb{R}$, με $ab+bc+cd = 0$, τότε ισχύει

$ f(a-b)+f(c-d) = f(a)+f(b+c)+f(d) $.

Korea Mathematical Olympiad, Final Round 2013

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Θέματα και απαντήσεις του Διαγωνισμού "Β. Ξανθόπουλου" 2013

Πραγματοποίηθηκε σήμερα 31-03-2013 ο διαγωνισμός «Β. Ξανθόπουλου» στα Μαθηματικά και τη Φυσική με πολύ μεγάλη συμμετοχή των μαθητών των Λυκείων της Περιφερειακής Ενότητας Δράμας.

 Μαθηματικά  Α Β Γ 

 ΦΥΣΙΚΗ        Α Β Γ

Αποτελέσματα

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 522

Δίνεται τρίγωνο $ABC (\angle B >\angle C)$ και $D$ σημείο επί της $AC$, τέτοιο ώστε $ \angle{ABD} =\angle{C}$. Έστω $I$ το έγκεντρο του τριγώνου $ABC$ και $E$ το σημείο τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $CDI $ με την $AI$. Η ευθεία που διέρχεται από το $E$ και είναι παράλληλη στην $AB$ τέμνει την ευθεία $BD$ στο σημείο $P$. Έστω $J$ το έγκεντρο του τριγώνου $ABD$ και $A'$ σημείο τέτοιο ώστε $ AI = IA' $. Αν $Q$ το σημείο τομής των $JP$ και $A'C$, να αποδειχθεί ότι $ QJ = QA' $.

Korea Mathematical Olympiad, Final Round 2013

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Στόχος $86$

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς, στην κάτω σειρά (μία φορά τον καθένα) και οποιαδήποτε μαθηματική πράξη, να σχηματίσετε τον αριθμό $86$.

▪ Το πρώτο μοιρογνωμόνιο φτιάχτηκε στην Αίγυπτο

Είναι ένα παράξενο όργανο που βρέθηκε στον τάφο ενός αρχιτέκτονα των Φαραώ

Ιταλίδα επιστήμονας υποστηρίζει ότι ένα παράξενο αντικείμενο που βρέθηκε στον τάφο ενός αρχιτέκτονα της αρχαίας Αιγύπτου είναι στην πραγματικότητα ένα μοιρογνωμόνιο, πιθανότατα το πρώτο που έφτιαξε ο άνθρωπος. 

Ο τάφος ανήκει στον Kha, ένα αρχιτέκτονα που πιστεύεται ότι έχτιζε τάφους των Φαραώ της 18ης δυναστείας γύρω στο 1400 π.Χ. Ο τάφος του εντοπίστηκε το 1906 και στο εσωτερικό του βρέθηκαν διάφορα εργαλεία κα όργανα ανάμεσα στα οποία και ένα ξύλινο αντικείμενο που μοιάζει με ένα είδος χάρακα αλλά η χρησιμότητα του παραμένει άγνωστη μέχρι σήμερα.

▪ Salman Khan: Ας ξαναεφεύρουμε την εκπαίδευση με βίντεο

Ο Salman Khan μιλάει για το πώς και το γιατί δημιούργησε την ακαδημία Khan, μια προσεκτικά δομημένη σειρά από εκπαιδευτικά βίντεο που προσφέρει πλήρη διδακτική ύλη στα μαθηματικά και τώρα σε άλλα θέματα. 

Δείχνει τη δύναμη των διαδραστικών ασκήσεων και καλεί τους δασκάλους να εξετάσουν την περίπτωσή να αντιστρέψουν το παραδοσιακό σενάριο στην τάξη -- να δώσουν στους μαθητές μαθήματα σε βίντεο για να παρακολουθήσουν στο σπίτι, και να κάνουν τις "ασκήσεις για το σπίτι" στην τάξη με τον εκπαιδευτικό διαθέσιμο για βοήθεια.

▪ Πόσα κιλά είναι ο Ήλιος;

Υπολογίστε την μάζα του Ήλιου, δεδομένου ότι η απόσταση της Γης από τον Ήλιο είναι:

$r=1,50\cdot{10^{11}}$ m.

Υποθέστε ότι η Γη ακολουθεί κυκλική τροχιά γύρω από τον Ήλιο και όχι ελλειπτική.

$G=6,67\cdot{10^{-11}} Nm^2/kg^2$

(G : η παγκόσμια βαρυτική σταθερά / σταθερά παγκόσμιας έλξης)

▪ Ιντιάνα Τζόουνς

Στην εικόνα βλέπετε τον διάσημο Ιντιάνα Τζόουνς σε σκηνή από την πρώτη του περιπέτεια. Οι παλαιότεροι, σίγουρα θα θυμούνται τη σκηνή όπου απειλείται να γίνει χαλκομανία από μια θανάσιμη πέτρινη Σφαίρα-Γίγας. Η ερώτηση είναι: Πόσο χαλκομανία θα γινόταν ο ήρωας, αν δεν ήταν τόσο ήρωας;

Μ'άλλα λόγια, αν η πέτρα-τέλεια σφαίρα έχει μάζα 1500 Κιλά και κυλάει (χωρίς καθόλου να γλιστράει! Δεν εκτελεί δηλαδή μεταφορική κίνηση) με μια σταθερή γραμμική ταχύτητα 4 m/sec, πόση είναι η ολική κινητική ενέργεια της σφαίρας;

Δίνεται:
Ροπή αδράνειας συμπαγούς σφαίρας $Ι = (2/5)\cdotΜ\cdot{R^2}$.

▪ Το μυστικό του Φακίρη

Ο φακίρης θα ξαπλώσει στο κρεβάτι με τα καρφιά. Θεωρείστε τη "δραστική" άκρη/μύτη  από ένα καρφί σαν κύκλο ακτίνας $r=1$ mm. (Επιφάνεια καρφιού=$πr^2$). Αν υπάρχουν $4$ καρφιά ανά τετραγωνικό εκατοστό, και ο $75$ kg φακίρης έχει $0,64$ τετραγωνικά μέτρα δέρματος εκτεθειμένο στα καρφιά, ποια είναι η μέση τιμή δύναμης και πίεσης που δέχεται ανά καρφί;

Υποθέτουμε ότι το φορτίο του σώματός του είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο ανά μονάδα επιφάνειας. 

▪ Πως ο εγκέφαλός μας αντιλαμβάνεται τον ήχο;

Το μυστήριο για το πώς ο εγκέφαλός μας αντιλαμβάνεται τον ήχο ενισχύεται ύστερα από μια πρόσφατη ανακάλυψη: μια ομάδα μουσικών συνέτριψε το σχετικό με την αντίληψη του ήχου όριο, που έχει επιβληθεί από έναν διάσημο αλγόριθμο.

H υπέρθεση απλών κυματομορφών (αρμονικά κύματα) δίνει ένα κυματοπακέτο. Το κυματοπακέτο γίνεται περισσότερο εντοπισμένο στον χώρο καθώς προστίθενται συνεχώς απλές κυματομορφές. Ο μετασχηματισμός Fourier αναλύει ένα κυματοπακέτο στα αρμονικά κύματα που το συνιστούν.

Ο γνωστός Μετασχηματισμός Fourier, που επινοήθηκε πριν από περίπου 200 χρόνια, είναι μια μαθηματική διαδικασία που διαχωρίζει ένα ηχητικό κύμα στις μεμονωμένες συχνότητες του. Είναι η πιο κοινή μέθοδος για την ψηφιοποίηση αναλογικών σημάτων, και κάποιοι πίστευαν ότι ο εγκέφαλος χρησιμοποιεί τον ίδιο αλγόριθμο για να μετατρέψει την κακοφωνία και τους θορύβους που μας περιβάλλουν σε μεμονωμένους ήχους και φωνές.

▪ Βράβευση διακριθέντων μαθητών Ν. Ημαθίας στους Μαθηματικούς Διαγωνισμούς 2012-2013

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ν. ΗΜΑΘΙΑΣ

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ- ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

Το Παράρτημα Ημαθίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας διοργανώνει εκδήλωση βράβευσης των μαθητών Γυμνασίων και Λυκείων της Ημαθίας, που διακρίθηκαν στους Μαθηματικούς Διαγωνισμούς του σχολικού έτους 2012-2013.

Βραβεύονται:

α) οι 59 μαθητές της Α΄ Γυμνασίου, οι οποίοι διακρίθηκαν στον διαγωνισμό «Υπατία», που διοργανώνει το Παράρτημα Ημαθίας. Τριάντα τρεις (33) από αυτούς τους μαθητές διακρίθηκαν και στον διαγωνισμό «Καραθεοδωρή» της επόμενης φάσης.

β) οι 59 μαθητές Β΄ Γυμνασίου ως και Γ΄ Λυκείου, οι οποίοι διακρίθηκαν στον διαγωνισμό «Θαλής», που διοργανώνει πανελλαδικά η Ε.Μ.Ε. Επτά (7) από αυτούς τους μαθητές διακρίθηκαν και στον διαγωνισμό «Ευκλείδης» της δεύτερης φάσης και συμμετείχαν στην Εθνική Ολυμπιάδα Μαθηματικών «Αρχιμήδης».

Η εκδήλωση θα πραγματοποιηθεί την Κυριακή 31 Μαρτίου 2013 και ώρα 11:00 στην αίθουσα «Ανδρόνικος» του Ξενοδοχείου «Αιγές Μέλαθρον». Ομιλητής θα είναι ο διδάσκων στο Εθνικό Μετσόβειο Πολυτεχνείο κ. Μιχάλης Βαφόπουλος, ο οποίος θα αναπτύξει το θέμα: «Το διαδίκτυο στη ζωή μας: Πλαίσιο δημιουργίας για υποψήφιους επιστήμονες».

Ο Πρόεδρος                   Ο Γενικός Γραμματέας

Στυλιανός Μιόγλου          Αναστάσιος Παντζαρτζίδης

▪ Μαθητές που βραβεύονται στην 5η Μαθηματική Εβδομάδα 2013

                   E΄ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ                   

▪ Sonia Kovalévskaya (1850-1891)

Sonia Kovalévskaya (1850-1891)

▪ Εφημερίδα "ΤΟ ΒΗΜΑ" - Αφιέρωμα στις Πανελλήνιες εξετάσεις

1. Θέματα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ' Λυκείου (2)

Είναι θέματα όμοια με Πανελληνίων εξετάσεων. Απαιτούν καλή γνώση της ύλης καθώς και γνώσεις Άλγεβρας Β' Λυκείου.

Θέματα Μαθηματικών

Λύσεις Θεμάτων

2. Θέματα Μαθηματικών Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου (1)

Τα θέματα χαρακτηρίζονται από υψηλό βαθμό δυσκολίας και απαιτείται πλήρης εμπέδωση και αφομοίωση της ύλης.

Θέματα Μαθηματικών

Λύσεις Μαθηματικών

▪ Limit

▪Measurement and Scale

      

Film Summary

How Maharaja Jai Singh used scale to build and enhance the accuracy of his giant astronomical sundials.

Κατασκευή γεωμετρικού μέσου

Δίνεται το δισορθογώνιο τραπέζιο $ABCD$, ($\hat{A}=\hat{D}= 90^0$), στο οποίο για τη μεγαλύτερη μη παράλληλη πλευρά ισχύει : $BC>AB+CD$ . 

1) Μπορούμε να κατασκευάσουμε κύκλο, διερχόμενο από τα $A,D$ και εφαπτόμενο της $BC$? 

2) Αν η ακτίνα $KS$ προς το σημείο επαφής, τέμνει την $AD$ στο $T$ δείξτε ότι το τμήμα $TS$, είναι ο γεωμετρικός μέσος των δύο βάσεων του τραπεζίου. 

Πηγή: mathematica (KARKAR)

▪Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής: Προτεινόμενα θέματα από study4exams.gr

                         ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ                           

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

▪Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από study4exams.gr

                         ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ                           

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

▪Διαδραστικές επιστημονικές προσομοιώσεις

Μια πολύ καλή συλλογή προσομοιώσεων για τις Φυσικές Επιστήμες και τα Μαθηματικά από το Πανεπιστήμιο του Κολοράντο.
Kάντε κλικ εδώ.

▪ 17 - Υπολογισμός του αριθμού π

Bellard (1997)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Δύσκολο ξεκίνημα

«Το ξεκίνηµα της άλγεβρας το βρήκα πολύ δύσκολο, ίσως ως αποτέλεσµα κακής διδασκαλίας.

Έπρεπε να αποστηθίσω: "το τετράγωνο του αθροίσµατος δύο αριθµών είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων τους αυξηµένο κατά το διπλάσιο γινόµενό τους".

Δεν είχα την παραµικρή ιδέα τι σήµαινε αυτό και όταν δεν µπορούσα να θυµηθώ τα λόγια, ο δάσκαλος µου πέταγε το βιβλίο στο κεφάλι µου, πράγµα που δεν διέγειρε µε κανένα τρόπο τη νόηση µου.»

Bertrand Russell

▪ Έξι μετάλλια για το Πανεπιστήμιο Πατρών στην 7η Μαθηματική Ολυμπιάδα

Έξι μετάλλια, ένα χρυσό και πέντε χάλκινα κέρδισαν οι φοιτητές του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου πατρών, στην 7η Μαθηματική Ολυμπιάδα για Φοιτητές Πανεπιστημίων της Νοτιοανατολικής Ευρώπης (South Eastern European Mathematical Olympiad for University Students SEEMOUS 2013), με συμμετοχή πρωτοετών και δευτεροετών φοιτητών, διεξήχθη στο Πανεπιστήμιο Αθηνών.

Οι έξι συμμετέχοντες φοιτητές κατέκτησαν έξι μετάλλια, ως εξής:

Χρυσό μετάλλιο

1. Κακαρούμπας Σπυρίδων (2ο έτος)

Χάλκινα μετάλλια

1. Καλαντζής Γιώργος (2ο έτος)

2. Καλογήρου Αλέξανδρος-Δημήτριος (2ο έτος)

3. Βαν Ντερ Βέιλε Μαρία-Χριστίνα (1ο έτος)

4. Σακελλαρίου Δημήτριος (2ο έτος)

5. Σούλη Γεωργία (1ο έτος)

▪ Τι είναι αυτό που......έχει περισσότερα από 17 εκατ. ψηφία, εκτείνεται σε μήκος 482 χλμ. όταν γραφτεί με αυτή τη γραμματοσειρά, αρχίζει με...

581, 887, 266, 232, 246, 442, 175, 100, 212, 113, 232, 368, 636, 370, 852, 325, 421, 589, 325, 781, 704, 480, 584, 492, 761, 707, 442, 316, 428, 281, 349, 423, 376, 942, 979, 071, 335, 489, 886, 655, 517, 752, 224, 731, 316, 967, 316, 601, 101, 080, 371, 457, 923, 021, 838, 436, 917, 492, 197, 333, 394, 648, 729, 851, 218, 665, 756, 323, 673, 512, 565, 202, 964, 097, 437, 803, 696, 250, 542, 088, 744, 968, 273, 344, 617, 858, 384, 022, 131, 920, 787, 583, 935, 917, 496, 283, 612, 402, 707, 082, 209, 797, 985, 800, 006, 635, 414, 921, 583, 881, 775, 901, 175, 855, 244, 421, 937, 156, 984, 065, 294, 070, 824, 916, 668, 433, 336, 287, 290, 654, 803, 493, 450, 648, 643, 707, 818, 608, 236, 480, 359, 745, 219, 707, 507, 173, 734, 977, 384, 81...

…και τελειώνει σε 1; Η απάντηση: είναι ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός που μόλις ανακαλύφθηκε από έναν καθηγητή στο Μιζούρι των ΗΠΑ και, φυσικά, κάνει τον μέχρι πριν από λίγες ημέρες μεγαλύτερο πρώτο αριθμό να φαίνεται μπροστά του νάνος.

▪Junior...εξίσωση

Να λυθεί η εξίσωση

$\frac{x^{2}}{x-1}+\sqrt{x-1}+\frac{\sqrt{x-1}}{x^{2}}=$

$=\frac{x-1}{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\frac{x^{2}}{\sqrt{x-1}}$.

Moldova Junior Balkan Team Selection Tests 2006

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Properties of Shape: Arches

      
Film Summary

Discover how forces are applied through an arch, and why this makes it the perfect shape for architecture.

▪ Αλήθεια

«Η ουσία των Μαθηματικών είναι η αλήθεια.»

George Cantor

Αιφνιδιαστική καθετότητα

Οι κύκλοι $(O),(K)$, τέμνονται στα σημεία $A,B$. Τμήμα $PQ$, με άκρα επί των δύο κύκλων,διέρχεται από το $A$. 

Οι εφαπτόμενες στα $P,Q$, τέμνονται στο $S$, ενώ οι $PO,QK$ στο $T$. 

Δείξτε ότι $SB \perp BT$.

Πηγή: mathematica (KARKAR)

▪ A cute triangle

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 521

Έστω σημείο $Ρ$ στο εσωτερικό τριγώνου $ABC$, τέτοιο ώστε $\angle{ABP}=\angle{PCA}$ και σημείο $Q$, τέτοιο ώστε το τετράπλευρο $PBQC$ να είναι παραλληλόγραμμο.

Να αποδειχθεί ότι $\angle{QAB}=\angle{CAP}$.

British Math Olympiad 2013

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Πρώτοι αριθμοί: Το κόσκινο του Ερατοσθένη

Κάντε κλικ εδώ.

▪Μαθηματικά: Γιατί;

Ημερομηνία διεξαγωγής της εκδήλωσης:

Τετάρτη 24/04/2013 - 19:00 - 20:30

Φορέας φιλοξενίας:

Στέγη Γραμμάτων και Τεχνών

Παρακολουθείστε εδώ, ζωντανά την εκδήλωση.

▪ 7th South Eastern European Mathematical Olympiad for University Students (SEEMOUS) 2013

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ 

ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

▪ Τα μαθηματικά της βιολογίας

«Τα πειραματόζωα κάτω από προσεκτικά ελεγχόμενες εργαστηριακές συνθήκες κάνουν ό,τι σκατά θέλουν», έλεγε ο νόμος του Χάρβαρντ για τη συμπεριφορά των ζώων

Ο νόμος τόνιζε επιγραμματικά την αμφιβολία των βιολόγων αν τα μαθηματικά είχαν ποτέ κάτι να πουν για τη ζωή.

Είναι ακριβώς αυτή η περιορισμένη, επικουρική θεώρηση των μαθηματικών σε σχέση με την «επιστήμη των έμβιων οργανισμών», τη βιολογία, που ανατρέπεται μέσα από τις πέντε επαναστάσεις που την αφορούν και τις περιγράφει στο βιβλίο του ο διάσημος βρετανός μαθηματικός και εκλαϊκευτής των επιστημών Ιαν Στιούαρτ.

Επανάσταση 1η: χωρίς το μικροσκόπιο «μια σταγόνα νερό» θα έμενε «μια απλή σταγόνα νερό» και όχι ένα «πολύπλοκο, σύνθετο σύνολο» μικροοργανισμών, οι οποίοι και καταλήγουν στα κύτταρα «τους βασικούς δομικούς λίθους της ζωής» και βάση της βιολογίας. Η μικροσκοπία: ένας συνδυασμός φακών που υπακούουν σε γεωμετρικούς κανόνες, μαθηματικά που αποκαλύπτουν τη ζωή, εξοπλίζουν τη βιολογία.

Ύψη, προβολές, μέσο

Σε τρίγωνο $ABC$ φέρνουμε τα ύψη $AD,BE,CZ$ και τις προβολές $K,L$ του $D$ πάνω στις ευθείες $AC,AB$ αντίστοιχα. 

Αν οι $ZE,LK$ κόψουν το $AD$ στα $T,M$ αντίστοιχα, να δειχθεί ότι $TM = MD$.

Πηγή: mathematica (Doloros)

▪Σωκρατικός διάλογος για τα Μαθηματικά

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Ψάχνεις για κανέναν, αγαπητέ µου Ιπποκράτη;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: "Όχι, Σωκράτη, γιατί τον βρήκα κιόλας. Είσαι εσύ. "Έψαχνα παντού να σε βρω. Κάποιος στην αγορά µου 'πε οτι σε είδε να περπατάς στις όχθες του ποταµού Ιλισού και έτσι σε βρήκα. 

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Ωραία, λοιπόν, πες µου πρώτα γιατί ήρθες και µετά θέλω να σε ρωτήσω κάτι για τη συζήτηση µας µε τον Πρωταγόρα. τη θυµάσαι; 

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Και µε ρωτάς; Από τότε δεν έχει περάσει ούτε στιγµή πού να µην την έχω στο µυαλό µου. Ακριβώς λοιπόν γι' αυτή τη συζήτηση ήρθα σήµερα να ζητήσω τη συµβουλή σου.

▪ Μέγιστο $m$

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του $m$, έτσι ώστε η ανισότητα

$(a^2+4(b^2+c^2))(b^2+4(a^2+c^2))(c^2+4(a^2+b^2))\ge m $

να ισχύει για κάθε $ a,b,c\in\mathbb{R}\setminus\{0\} $ με 

$ \left|\frac{1}{a}\right|+\left|\frac{1}{b}\right|+\left|\frac{1}{c}\right|\le 3 $.

Πότε ισχύει η ισότητα;

Austria Federal Competition For Advanced Students, 2011

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Ανισότητες - 252η

Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοπιοι ώστε $ a+b+c = 1 $. Να αποδειχθεί ότι

$\sqrt{a^{1-a}b^{1-b}c^{1-c}}\le\frac{1}{3}$.

Austria Federal Competition For Advanced Students, 2008

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Σύστημα - 24

Να λυθεί στο σύνολο των μη αρνητικών ακεραίων αριθμών, το σύστημα

$ x_1x_2(1-x_3)=x_4x_5\\ x_2x_3(1-x_4)=x_5x_6\\ x_3x_4(1-x_5)=x_6x_1\\ x_4x_5(1-x_6)=x_1x_2\\ x_5x_6(1-x_1)=x_2x_3\\ x_6x_1(1-x_2)=x_3x_4 $.

Austria Federal Competition For Advanced Students, 2007

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Ανισότητες - 251η

Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι

$3(a+b+c)\ge 8\sqrt [3]{abc}+\sqrt [3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$.

Austria Federal Competition For Advanced Students, 2006

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Σύστημα - 23

Να λυθεί το σύστημα

$ 4a = (b+c+d+e)^4 $

$ 4b = (c+d+e+f)^4 $

$ 4c = (d+e+f+a)^4 $

$ 4d = (e+f+a+b)^4 $

$ 4e = (f+a+b+c)^4 $

$ 4f = (a+b+c+d)^4 $.

Austria Federal Competition For Advanced Students, 2005

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪Συναρτησιακές σχέσεις - Άσκηση 50

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $ f: R\to R$, για τις οποίες ισχύει

$f(f(x)^2+f(y)) = xf(x)+y$.

Austria Federal Competition For Advanced Students, 2001

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪Συναρτησιακές σχέσεις - Άσκηση 49

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $ f: R\to R$, για τις οποίες ισχύει

$f(x+f(y+z))+f(f(x+y)+z) = 2y$.

Austria Federal Competition For Advanced Students, 2000

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Σύστημα - 22

Έστω $a$ ακέραιος αριθμός. Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις του συστήματος

$5x+(a+2)y+(a+2)z = a$

$(2a+4)x+(a^2+3)y+(2a+2)z = 3a-1$

$(2a+4)x+(2a+2)y+(a^2+3)z = a+1$.

Austria Federal Competition For Advanced Students, 1997

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪Συναρτησιακές σχέσεις - Άσκηση 48

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $ f: R\to R$, για τις οποίες ισχύει

$ f(\frac{xf(y)}{2})+f(\frac{yf(x)}{2})=4xy,\forall x,y\in R $.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Ανισώσεις και Γεωμετρία

Ένα φυλλάδιο με παραδείγματα ασκήσεων που συνδυάζουν ανισώσεις και γεωμετρία για την Β' Γυμνασίου.

Κάντε κλικ εδώ.
Πηγή: theorhma

▪ 15 - Υπολογισμός του αριθμού π

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪Ευρωπαιχνιδάκι

«Ρώτα πέντε οικονομολόγους και θα πάρεις πέντε διαφορετικές απαντήσεις. Έξι, αν ο ένας είναι του Χάρβαρντ.» 

Edgar R. Fiedler (διάσημος Αμερικ. οικονομολόγος) 

Παίζετε το εξής παιχνίδι: 

Στρίβετε ένα «τίμιο» νόμισμα (σαν το «ευρώ» ας πούμε..) μέχρι να φέρετε «γράμματα». Όσες φορές ρίξετε το νόμισμα, τόσα ευρώ κερδίζετε. Ας πούμε, αν φέρετε αμέσως με την πρώτη: «γράμματα», κερδίζετε $1$ ευρώ. Αν φέρετε κατά σειρά Κ-Γ κερδίζετε $2$ ευρώ, κλπ. Ποια είναι η αναμενόμενη τιμή των κερδών σας;

2η ερώτηση
Το ίδιο παιχνίδι, μόνο που τώρα ο αριθμός των ευρώ που κερδίζετε ισούται με: 

$2^{ν-1}$

όπου ν είναι ο αριθμός ρίψεων που χρειάζεστε μέχρι να έρθει «γράμματα».

Ποια είναι σ’αυτήν την περίπτωση η αναμενόμενη τιμή κερδών; Σάς φαίνεται λογικό το αποτέλεσμα ή παράδοξο;

▪ Η συνάρτηση ζ της Ευρωπαϊκής αλληλεγγύης

"-Γιατί δεν λέτε τίποτα κύριε Όϋλερ;

-Μεγαλειότατη, προέρχομαι από μια χώρα όπου όποιος μιλάει χάνει το κεφάλι του.."

Ο πρώτος διάλογος μεταξύ της τσαρίνας και του Εuler.

Ποια είναι η πιθανότητα, δύο τυχαίοι θετικοί ακέραιοι να είναι μεταξύ τους πρώτοι;

▪ Δυνάμεις αριθμών Pandigital (Ι)

Αριθμοί pandigital εις την τρίτη $=$ αριθμοί pandigital (δις).

$4680215379^3 = 102517384602327906545167884939$,

$4752360918^3 = 107331759078841289462659540632$,

$4765380219^3 = 108216298065465737327981043459$,

$4915280637^3 = 118753100269752896627409434853$,

$5063248197^3 = 129803872805295961407646541373$,

$5164738920^3 = 137766973511455269432948288000$,

$5382417906^3 = 155930920888203446772967513416$,

$5426370189^3 = 159782147738463045208395061269$,

$5429013678^3 = 160015778029845493668293341752$,

$5628130974^3 = 178275879003943616358291650424$,

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ 1980 - 2013

▪ 5η Μαθηματική Εβδομάδα 2013

Tηλεοπτικό - διαφημιστικό σποτ για το 5ο Συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.

▪ Kazakhstan National Olympiad 2013

 Grade 9 

Day 1

1. On the board written numbers from 1 to 25 . Bob can pick any three of them say and replace by . Prove that last number on the board can not be . 

2. Prove that for all natural there exists such that 

.

 Day 2 

1. Given triangle ABC with incenter I. Let P,Q be point on circumcircle such that 

and . 

Prove that and are concurrent.