▪ Γ' Λυκείου: Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1986

1. Θεωρούμε τη συνάρτηση για την οποία

  με .

Να δείξετε ότι :

α) Αν , η συνάρτηση είναι περιοδική (με περίοδο ,).

β) Αν , όπου αριθμός ασύμμετρος, η συνάρτηση δεν είναι περιοδική με περίοδο .

2. Είναι γνωστό ότι ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες του συνόλου των πραγματικών αριθμών:

i) Για κάθε υπάρχει φυσικός (Θεώρ.Αρχιμήδη)

ii) Για κάθε υπάρχει μοναδικός ακέραιος τέτοιος ώστε .

Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων (i), (ii) (ή με άλλο τρόπο) να αποδείξετε οτι μεταξύ δυο πραγματικών αριθμών () υπάρχει πάντα ένας ρητός .

3. Στο σχολικό βιβλίο υπάρχει η παρακάτω άσκηση:

''Έστω τέσσερα σημεία του χώρου. Αν υπάρχουν από τους οποίους ένας τουλάχιστον δεν είναι μηδέν, 

τέτοιοι ώστε και

 , 

να αποδειχτεί ότι τα είναι συνευθειακά.

i) Να διατυπώσετε και να δείξετε την αντίστροφη πρόταση.

ii) Με την βοήθεια αυτών (ή με άλλο τρόπο) να δείξετε την πρόταση:

''Σε τρίγωνο φέρνουμε ευθεία που τέμνει τις πλευρές του στα σημεία και τη διάμεσο στο σημείο . 

Να δείξετε ότι: 

''.

(Μπορείτε αντί για λόγους διανυσμάτων να χρησιμοποιήσετε τους λόγους των αντίστοιχων αλγεβρικών τιμών).

4. Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς που δεν είναι μεγαλύτεροι από , 

για τους οποίους το σύστημα 

 

έχει μη μηδενικές λύσεις.

Πηγή: mathematica (parmenides51)