▪ Scramble με αριθμούς - 175

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 1, 1, 6 και 7 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 4.

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 441

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ και $Μ$ ένα εσωτερικό σημείο του. Αν $D, E$ και $F$ είναι τα ίχνη των καθέτων από το σημείο $Μ$ προς τις πλευρές $BC, CA$ και $AB$ αντιστοίχως, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του $M$ έτσι ώστε $\angle{FDE}= 90^o$. 

10th Irish Mathematical Olympiad 1997 

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 440

Έστω τρίγωνο $ABC$ και $Ρ$ εσωτερικό του σημείο τέτοιο ώστε

$\angle{APB}-\angle{C}=\angle{APC}-\angle{B}$.

Αν $D$ και $Ε$ είναι τα έγκεντρα των τριγώνων $ΑΡΒ$ και $ΑΡC$ αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι οι ευθείες $ΑΡ$ και $BD$ και $CE $ διέρχονται από το ίδιο σημείο.

37th International Mathematical Olympiad 1996

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Λόγος ακτίνων = Λόγος αποστημάτων

ΠΟΡΙΣΜΑ

Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται με το λόγο των ακτίνων τους και το λόγο των αποστημάτων τους.

Απόδειξη

Θεωρούμε δύο κανονικά πολύγωνα ΑΒΓ...Τ και Α'ΒΤ'...Τ' με το ίδιο πλήθος πλευρών, έστω ν (ν ≥3). Αν Ο,Ο' τα κέντρα των πολυγώνων, τα τρίγωνα ΟΑΒ και Ο'Α'Β' είναι όμοια γιατί είναι ισοσκελή και έχουν ΑÔΒ = Α'Ô'Β' = 360°ν και επομένως AΒA'B' = ΟΑΟ'Α' = ΟΗΟ'Η' , όπου ΟΗ, Ο'Η' τα ύψη των τριγώνων. Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι:

όπου λ_ν , R, α_ν τα συνήθη στοιχεία του ΑΒΓ...Τ και λ'_ν , R', α'_ν τα στοιχεία του Α'Β'Γ'...Τ'.

Από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας της Β΄ Λυκείου.

▪ Βάζο

Μέσα σε ένα βάζο υπάρχουν μαύρες και άσπρες μπίλιες. Παίρνουμε στην τύχη δύο μπίλιες και αυτές είναι άσπρες. 

i) Αν η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι $\frac{1}{1000}$, τότε ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός των μπιλιών που υπήρχαν στο βάζο;

ii) Αν η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι $\frac{3}{7}$, τότε ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός των μπιλιών που υπήρχαν στο βάζο;

▪ Κύβοι αριθμών

Ο κύβος του 51 τελειώνει σε 51:

$51^3=132651$.

Ο κύβος του 249 τελειώνει σε 249:

$249^3=15438249$.

Πόσων 30 ψήφιων αριθμών, ο κύβος τελειώνει με τον ίδιο αριθμό; 

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Ημιτελής διαίρεση - 1

Σε κάθε αστερίσκο αντιστοιχεί και ένα ψηφίο.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 439

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και έστω $Μ$ εσωτερικό σημείο του, τέτοιο ώστε $\angle{ΜΑΒ}=10^0$,$\angle{ΜΒΑ}=20^0$,$\angle{ΜΑC}=40^0$ και $\angle{ΜCΑ}=30^0$.

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $ABC$ είναι ισοσκελές.

USA Mathematical Olympiad 1996

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 438

Έστω $ABCDE$ κυρτό πεντάγωνο και $M, N, P, Q, R$ τα μέσα των πλευρών $AB, BC, CD, DE, EA$ αντιστοίχως.
Αν τα τμήματα $AP, BQ, CR, DM$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $Ο$, να αποδείξετε ότι και το τμήμα $ΕΝ$ διέρχεται από το σημείο $Ο$.

13th Balkan Mathematical Olympiad 1996

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Μ' ένα σμπάρο δυο τρίγωνα

Το σημείο $M$ είναι το μέσο της πλευράς $AB$, του τετραγώνου $ABCD$. 

A) Βρείτε τη θέση σημείου $S$ της πλευράς $BC$, ώστε: $\widehat{MDA}= \widehat{MDS}$. 

B) Βρείτε τη θέση σημείου $S$ της πλευράς $BC$, ώστε: $SM\perp MD$.

Πηγή: mathematica (KARKAR)

▪ Scramble με αριθμούς - 174

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 3, 3, 5 και 8 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 1.

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 437

Έστω $Ο$ και $G$ το περίκεντρο και το κέντρο βάρους του τριγώνου $ΑΒΓ$ αντιστοίχως. Αν $R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και $ρ$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο $ΑΒΓ$, να αποδείξετε ότι

$ΟG\leq\sqrt{R(R-2ρ)}$. 

13th Balkan Mathematical Olympiad 1996

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Γ' Λυκείου: Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1986

1. Θεωρούμε τη συνάρτηση για την οποία

  με .

Να δείξετε ότι :

α) Αν , η συνάρτηση είναι περιοδική (με περίοδο ,).

β) Αν , όπου αριθμός ασύμμετρος, η συνάρτηση δεν είναι περιοδική με περίοδο .

2. Είναι γνωστό ότι ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες του συνόλου των πραγματικών αριθμών:

i) Για κάθε υπάρχει φυσικός (Θεώρ.Αρχιμήδη)

ii) Για κάθε υπάρχει μοναδικός ακέραιος τέτοιος ώστε .

Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων (i), (ii) (ή με άλλο τρόπο) να αποδείξετε οτι μεταξύ δυο πραγματικών αριθμών () υπάρχει πάντα ένας ρητός .

▪ Β' Λυκείου: Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1986

1. Έστω τρίγωνο και σημείο στο εσωτερικό σημείο του . Από τυχαίο σημείο Μ θεωρούμε τα διανύσματα . 

Αν

  

όπου , να δείξεις ότι .

2. Έστω η ακολουθία με

  με . 

Να υπολογίσετε το .

▪Διοφαντικές εξισώσεις (Ι)

Nα λυθούν οι διοφαντικές εξισώσεις:

i) $x^2=1+y+y^2+y^3+y^4$, στο $Ν$.

ii)  $x^2+x=y+y^2+y^3+y^4$, στο $Ζ$.

iii)  $x^6+3x^3+1=y^4$, στο $Ζ$.

iv)  $x^8+2x^6+2x^4+2x^2+1=y^2$, στο $Ζ$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Κατασκευή τριγώνου - 16

Να κατασκευαστεί τρίγωνο, αν γνωρίζουμε:

$γ, μ_α$ και $μ_β$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Elementary Number Theory – David Burton

Κάντε κλικ εδώ, για να το κατεβάσετε.

▪Γεωμετρική κατασκευή του αριθμού φ (3)

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$. Επί της πλευράς $BC$ κατασκευάζουμε εξωτερικά ένα τετράγωνο $CBED$.  Με κέντρο την κορυφή $C$ και ακτίνα $CE$ γράφουμε κύκλο, που τέμνει την προέκταση της $ΑΒ$ στο σημείο $F$. 

Είναι

$\frac{AF}{AB}=Φ$.

▪ Σαν σήμερα

 Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 31 Δεκεμβρίου                    

1856 : William Thomson
1872 : Levytsky
1896 : Siegel
1916 : Northcott
1937 : Mazya
1945 : Adleman
1952 : Vaughan Jones

 Μαθηματικοί που πέθαναν στις 31 Δεκεμβρίου                      

1610 : van Ceulen
1659 : Apaczai
1719 : Flamsteed
1894 : Stieltjes
1912 : Robert Ferguson
1944 : Kochin
1956 : Edwin P Adams
1962 : Charles Galton Darwin
1982 : Friedrichs

▪ Τεστ Μαθηματικών

Σε ένα Τεστ Μαθηματικών πήραν μέρος μαθητές, οι οποίοι είχαν να απαντήσουν σε τρεις ερωτήσεις. 

Οι απαντήσεις τους στις τρεις ερωτήσεις ήταν, αντίστοιχα, ως εξής:

Πρώτος μαθητής: α) , β) , γ) .

Δεύτερος μαθητής: α) , β) , γ) .

Τρίτος μαθητής: α) , β) , γ) .

Τέταρτος μαθητής: α) , β) , γ) .

Πέμπτος μαθητής: α) , β) , γ) .

Έκτος μαθητής: α) , β) , γ) .

Αν κάθε μαθητής απάντησε σωστά σε τουλάχιστον μία ερώτηση, ποιες είναι οι σωστές απαντήσεις στο τεστ;

Πηγή: mathematica (Mihalis_Lambrou)