▪ ΚΥΣΔΕ: Άνθρωποι...απάνθρωποι

Δεν μας φτάνει η Τρόικα έχουμε και τα εγχώρια όργανα της.

Αποσπάσεις καθηγητών Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης από ΠΥΣΔΕ σε ΠΥΣΔΕ

Του Δ. Καρλαύτη

Στις 27 Σεπτεμβρίου έγινε η τρίτη φάση των αποσπάσεων. Στη διαδικασία αυτή το συμβούλιο έκρινε ότι έπρεπε να εξετασθούν όλες οι ενστάσεις και οι αιτήσεις επανεξέτασης των συναδέλφων που ζητούσαν απόσπαση. Προς τούτο πρότεινε να χρησιμοποιηθούν όλα τα κενά που δόθηκαν για διορισμούς αναπληρωτών.

Δυστυχώς η διοίκηση αποφάσισε και έδωσε εντολή να εξετασθούν οι αιτήσεις μόνο των τριτέκνων, αυτών που είχαν πρόβλημα υγείας οι ίδιοι, οι σύζυγοι ή τα τέκνα τους καθώς και ορισμένων ειδικοτήτων της τεχνικής εκπαίδευσης και μάλιστα μόνο σε περιοχές που υπήρχαν κενά.

Αυτό είχε σαν αποτέλεσμα να γίνουν ελάχιστες αποσπάσεις, αριθμός δυσανάλογος με τις ανάγκες των συναδέλφων. Με τη λογική αυτή έγιναν 14 αποσπάσεις για να διορθωθούν λάθη στα μόρια από τις δυο προηγούμενες φάσεις, 27 αποσπάσεις, κατά προτεραιότητα για τις ειδικές κατηγορίες ανεξαρτήτως κενού, 74 αποσπάσεις για τρίτεκνους και λόγους υγείας, μόνο σε κενά και σύμφωνα με τα μόρια, καθώς και 37 αποσπάσεις τεχνικών ειδικοτήτων πάλι σε κενά και σύμφωνα με τα μόρια τους. Τέλος έγιναν 4 τροποποιήσεις και 19 ανακλήσεις.

▪ Ε.Μ.Ε. Παράρτημα Ημαθίας: Βράβευση μαθητών

▪Καθορισμός και διαχείριση διδακτέας ύλης Θετικών Μαθημάτων των Β΄ και Γ΄ τάξεων Ημερήσιου και Γ΄ Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχ. έτος 2012-13

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου: Επαναληπτικό διαγώνισμα στην Τριγωνομετρία με τις απαντήσεις

Πηγή: lisari

Η ιστορία της Τριγωνομετρίας

▪ Σωστό ή Λάθος

Είναι σωστή η παρακάτω διαδικασία υπολογισμού του ορίου:

▪ Σαν σήμερα

Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 21 Σεπτεμβρίου

1623 : Angeli
1884 : Denes Konig
1895 : Joseph Walsh
1899 : Schauder
1917 : Nicolson
1935 : Sinai

Μαθηματικοί που πέθαναν στις 21 Σεπτεμβρίου

1576 : Cardan
1842 : Ivory
1937 : Chrystal Macmillan
1950 : Milne
1981 : Forder

▪ Καμπύλες Watt

Καμπύλες Watt

▪ Weekend

▪ Eμβαδόν τριγώνου (I)

Πρόβλημα 

Να υπολογιστεί το εμβαδόν τριγώνου συναρτήσει των διαμέσων του.

Απόδειξη

Έστω τρίγωνο $ABC$ και $AD=m_a, BE=m_b, CF=m_c$ οι διάμεσοι του. 

Γνωρίζουμε ότι:

$AG =\frac{2}{3}AD$

οπότε

$(AGF) = \frac{1}{2}(ABG) = \frac{1}{6}(ABC)$.

Αν $P$ μέσο του $AG$, τότε έχουμε:

$PG=\frac{1}{3}m_a$, $FP=\frac{1}{3}m_b$, $FG=\frac{1}{3}m_c$

οπότε

$(FPG) = \frac{1}{2}(AFG) = \frac{1}{12}(ABC)$.

Σύμφωνα με τον τύπο του Ήρωνα έχουμε:

$(ABC)=12(FPG) $

            $=12\cdot{\frac{1}{9}}\sqrt{(m-m_a)(m-m_b)(m-m_c)}$

            $=\frac{4}{3}\sqrt{(m-m_a)(m-m_b)(m-m_c)}$, 

όπου $m=\frac{1}{2}(m_a+m_b+m_c)$.

▪ Scramble με αριθμούς - 116

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 7, 8, 8 και 8 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 48.

▪ Ψηλά δέντρα

Δύο δέντρα βρίσκονται σε απόσταση $100$ m και έχουν και τα δύο ύψος $100$ m. 

Αν πέσουν και τα δύο  (σε μία κατεύθυνση), ποια είναι η πιθανότητα το ένα να πέσει πάνω στο άλλο;

▪ $x_{57}=;$

Οι πρώτοι $15$ όροι της ακολουθίας $\{x_i\}$ απεικονίζονται γραφικά παρακάτω:

Με άλλα λόγια η ακολουθία είναι:

 $x_1 = 1, x_2 = 2, . . ., x_{10} = 1, . . ., x_{15} = 2$.

Να βρεθεί ο $x_{57}$.

▪ Πράξεις με συναρτήσεις: Σημαντικές Παρατηρήσεις

Ορισμός 

Δίδονται δύο συναρτήσεις $f, g$ με πεδία ορισμού $Α, Β$ αντίστοιχα και $A\cap{B}\neq{\emptyset}$.

Ορίζουμε ως
▪ άθροισμα $f+g$,
▪ διαφορά $f-g$,
▪ γινόμενο $f\cdot{g}$ και
▪ πηλίκο $\frac{f}{g}$
των συναρτήσεων $f, g$ τις συναρτήσεις με τύπους:

Σημαντικές Παρατηρήσεις

Το σημείο που πρέπει να προσέξουμε είναι ο προσδιορισμός των πεδίων ορισμού και κυρίως του $A\cap{B}$. Στην περίπτωση που $A\cap{B}=\emptyset$, τότε δεν ορίζονται οι πράξεις. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορούμε να κάνουμε πράξεις με τις συναρτήσεις αν πρώτα δεν εξασφαλίσουμε ότι $A\cap{B}\neq{\emptyset}$.

Οι $f+g, f-g,  f\cdot{g}, \frac{f}{g}$, είναι και αυτές συναρτήσεις. Δηλαδή οι πράξεις είναι ένας τρόπος δημιουργίας νέων συναρτήσεων.

Σ'αυτό το σημείο πρέπει να εξηγήσουμε επίσης τις έννοιες του «γινομένου πραγματικού αριθμού κ επί τη συνάρτηση f» καθώς και τη συνάρτηση «δύναμη». Δηλαδή:

$(kf)(x)=k\cdot{f(x)}$, με $D_{kf}=A$ και $k\in{R}$

και

$(f^n)(x)=f^n(x)$, με $D_{f^n}=A$ και $n\in{N^*}$.

▪ Μοναδιαίο εμβαδόν

Να αποδειχθεί ότι κάθε τρίγωνο εγγεγραμμένο στην παραβολή $y = x^2$, με τις κορυφές του να έχουν τετμημένες $(a, a + 1, a + 2)$ έχει εμβαδόν $1$. 

▪ Άθροισμα ριζικών

Nα βρεθεί η μικρότερη τιμή του $n$, έτσι ώστε:
$\frac{1}{\sqrt1+\sqrt4}+\frac{1}{\sqrt4+\sqrt7}+\frac{1}{\sqrt7+\sqrt{10}}+....+\frac{1}{\sqrt{n-3}+\sqrt{n}}\geq2008$.

▪ Καλά, δεν έχουν λίγη ανθρωπιά;

Του αιρετού Β. Παληγιάννη

Στη σημερινή συνεδρίαση του ΚΥΣΠΕ με θέμα τις αποσπάσεις εκπαιδευτικών Πρωτοβάθμιας Εκπαίδευσης από ΠΥΣΠΕ σε ΠΥΣΠΕ επικράτησε η λογική του «παραλόγου». Συγκεκριμένα η Διοίκηση εισηγήθηκε να πραγματοποιηθούν αποσπάσεις μόνο για πολύ σοβαρούς λόγους με την προσχηματική δικαιολογία ότι η ικανοποίηση των αιτήσεων απόσπασης θα δημιουργούσε προβλήματα στην εύρυθμη λειτουργία των σχολείων. Με βάση αυτήν την εισήγηση η πλειοψηφία του Συμβουλίου αποφάσισε:

Να γίνουν δεκτές 26 ανακλήσεις από τις 43 αιτήσεις που είχαν υποβληθεί με βάση τους λόγους που επικαλούνταν οι συνάδελφοί μας.

Να γίνουν δεκτές 9 από τις 13 ενστάσεις που αφορούσαν κυρίως λάθη μοριοδότησης ή λάθη καταχώρησης στο ολοκληρωμένο πληροφοριακό σύστημα αποσπάσεων.

▪ «Όμιλοι αριστείας» για μαθητές Λυκείων

Ερωτήματα του τύπου «Το σύμπαν είναι πεπερασμένο ή άπειρο; Θα υπάρχει αιωνίως;», «Ποια είναι η φύση ενός άπειρου συνόλου;» θα απασχολήσουν τους εφήβους που θα επιλέξουν τον Όμιλο των Μαθηματικών, της Λογοτεχνίας και των Τεχνών. Την ίδια στιγμή, οι μαθητές που θα δηλώσουν συμμετοχή στον Όμιλο για την Ιστορία της Χημείας θα έχουν την ευκαιρία να κάνουν ένα... ταξίδι από τον Αριστοτέλη και τους Έλληνες φιλοσόφους, στους αλχημιστές και στους σύγχρονους χημικούς. 

Αυτές είναι μόνο μερικές από τις δραστηριότητες που θα αναπτυχθούν στο πλαίσιο λειτουργίας των Ομίλων Δημιουργικότητας και Αριστείας, αφού το Επιστημονικό Εποπτικό Συμβούλιο του 2ου Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου (που βρίσκεται επί της οδού Κριεζώτου) άναψε «πράσινο φως» για τη συγκρότησή τους από τη φετινή σχολική χρονιά.

▪ Σαν σήμερα

Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 20 Σεπτεμβρίου

Paul Erdős

1842 : Brill
1861 : Cole
1874 : Mihály Bauer
1887 : Hecke
1925 : Stewartson

Μαθηματικοί που πέθαναν στις 20 Σεπτεμβρίου

1804 : Mechain
1882 : Briot
1930 : Pasch
1982 : Bath
1996 : Erdős

Περί Φ … ο λόγος

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB=A\Gamma =\beta$ και $\Delta$ το μέσο της $B\Gamma$. Αν $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε είναι $\dfrac{B\Gamma }{R}=\sqrt{\Phi + 2}$, όπου $\Phi$ ο λόγος της χρυσής τομής. 

Έστω $Z$ το σημείο της $A\Gamma$ τέτοιο ώστε $\Delta Z\perp A\Gamma$ και σημείο $E$ της $\Delta Z$ τέτοιο ώστε να ισχύει 

$\dfrac{\left(A\Delta E \right)}{\left(AB\Gamma \right)} =\dfrac{\Phi +1}{16}$. 

Αν $H$ η τομή των $AE ,BZ$ και $S_{1} , S_{2}$ τα εμβαδά των δίσκων των περίκυκλων των τριγώνων $AB\Gamma ,B\Delta H$ αντίστοιχα τότε να δειχθεί ότι είναι 

$\dfrac{S_{1}}{S_{2}}= 8 -4\Phi$.

Πηγή: Γιώργος Μήτσιος

Η καμπυλότητα του χωροχρόνου και η έννοια της μετρικής

Τι εννοούμε όταν λέμε ότι ο χώρος είναι καμπύλος;

Είναι αρκετά δύσκολο να κατανοήσουμε την έννοια της καμπυλότητας του χώρου. Η δυσκολία προέρχεται κυρίως από την έμφυτη αντίληψη που έχουμε για τη γεωμετρία και η οποία αναπτύχθηκε σ’ ένα περιβάλλον στο οποίο ισχύει αρκετά καλά η Ευκλείδεια γεωμετρία.

Ένα ακόμα εμπόδιο είναι και η λέξη καμπυλότητα, η οποία στην καθομιλουμένη μας δίνει τελείως λανθασμένη εικόνα.

Πράγματι στην καθομιλουμένη αλλά και στα στοιχειώδη μαθηματικά η λέξη “καμπύλη” σημαίνει μια καμπυλωμένη γραμμή. Αλλά με την ορολογία του Gauss, την οποία χρησιμοποιούμε στην κοσμολογία, ένας μονοδιάστατος χώρος (μια γραμμή) δεν έχει καμπυλότητα όποιο κι αν είναι το σχήμα της.

▪ Ισότητα Συναρτήσεων: Σημαντικές παρατηρήσεις

Ορισμός 

Δίδονται οι συναρτήσεις 

$f:{A}\rightarrow{R}$ και $g:{B}\rightarrow{R}$. 

Θα λέμε ότι οι $f$ και $g$ είναι ίσες ($f=g$) όταν:

▪ έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού ($A=B$).

▪ για κάθε $x\in{A}$ ισχύει $f(x)=g(x)$.

Σημαντικές Παρατηρήσεις

1. Από τον παραπάνω ορισμό είναι φανερό ότι οι ίσες συναρτήσεις $f,g$ θα έχουν και ίδια σύνολα τιμών.

2. Αν οι συναρτήσεις $f$ και $g$ ορίζονται σε ένα σύνολο $Δ\subseteq{D_{f}}\cap{D_{f}}$ και για κάθε  $x\in{Δ}$ ισχύει $f(x)=g(x)$, τότε θα λέμε ότι οι $f, g$ είναι ίσες στο $Δ$ αλλά, χωρίς απαραίτητα να είναι και ίσες στο πεδίο ορισμού τους.

π.χ.

$f(x)=\mid{x}\mid$, $D_{f}=R$

$g(x)=x$, $D_{g}=R$.

Έστω $Δ=[0,+\infty)$ .

Παρατηρώ ότι $f(x)=\mid{x}\mid=x=g(x)$, για κάθε  $x\in{Δ}$.

Επίσης παρατηρώ ότι έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. Όμως υπάρχει (τουλάχιστον ένα) $x_{0}\in{R}$ με $f(x_0)\neq{g(x_0)}$, δηλαδή $f(-8)\neq{g(-8)}$.

▪ Άθροισμα θετικών περιττών ακεραίων

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

▪ Scramble με αριθμούς - 115

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 1, 1, 5 και 6 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 7.

▪ "Κυβικά" ψηφία

Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός (εκτός από το 0 και το 1), του οποίου το άθροισμα των κύβων των ψηφίων του ισούται με τον ίδιο τον αριθμό;

Για παράδειγμα, αν ο αριθμός είναι τετραψήφιος, τότε να ισχύει:

$abcd = a^3 + b^3 + d^3 + c^3$.

▪ Black and White - 4

Τα λευκά κάνουν ματ σε δύο κινήσεις.

H. Van Beek, Chemnitzer Wochenschach, 1926

▪ Indian Mathematics

Duration: 45 min

Melvyn Bragg and guests discuss the contribution Indian mathematicians have made to our understanding of the subject. Mathematics from the Indian subcontinent has provided foundations for much of our modern thinking on the subject. 

Play now

▪ Η συνάρτηση $y = αx^2$, με $α≠ 0$

Γενικά ισχύουν:

▪ Η συνάρτηση έχει γραφική παράσταση μία καμπύλη που είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Ο(0,0) και άξονα συμμετρίας τον y΄y. 

▪ Απόδειξη Θεωρήματος Rolle

▪ Όλες ακέραιες

Nα βρεθούν όλοι οι αριθμοί $α$ για τους οποίους, οι λύσεις των εξισώσεων  

$x^2 + ax + 1996 = 0$ και $y^2 + 1996y + a = 0$

είναι όλες ακέραιοι αριθμοί.

V. Protasov, Quantum 

▪ $169$

Ο αριθμός $169$ μπορεί να γραφεί ως τετράγωνο ενός αριθμού, ως άθροισμα τετραγώνων δύο, τριών, τεσσάρων και πέντε αριθμών: 

$169 = 13^2$

       $= 5^2+12^2$ 

       $= 3^2+4^2+12^2$ 

       $= 1^2+2^2+8^2+10^2$ 

       $= 1^2+2^2+2^2+4^2+12^2$.

Μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τετραγώνων έξι ή επτά αριθμών;

▪ Μονοπάτια

Παρακάτω βλέπουμε ένα $10$x$10$ τετράγωνο χωρισμένο σε μικρότερα τετράγωνα. Υπάρχουν πολλά μονοπάτια συνολικού μήκους $20$ μονάδων, της διαδρομής από το σημείο $(0, 0)$ ως το σημείο $(10, 10)$.

Πόσα μονοπάτια υπάρχουν, μήκους $20$, από το σημείο $(0, 0)$ ως το $(10, 10)$, της διαδρομής που περνάει από το σημείο $(7, 1)$ και διέρχεται επίσης από τα σημεία - διασταυρώσεις $(i, j)$, με $i<j$;

▪ Περιττές τριάδες

Nα αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν περιττοί θετικοί ακέραιοι αριθμοί $x, y$ και $z$ που να ικανοποιούν την Πυθαγόρεια ισότητα:  

$(x + y)^2 + (x + z)^2 = (y + z)^2$ .

▪ "Βάρος" τετραπλεύρου

Τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου είναι $3,4,3,4$ και τα μήκη των διαγωνίων του είναι $5,5$. Λέμε ότι το "βάρος" του ορθογωνίου είναι: $3 +4 +3 +4 +5 +5 = 24$. 

Να βρεθεί ένα τετράπλευρο που οι πλευρές του και οι διαγώνιοι του να έχουν ακέραια μήκη και το "βάρος" του να είναι μικρότερο από 24.

▪ Λόγος δακτυλίων

Να βρεθεί ο λόγος του εμβαδού του κίτρινου δακτυλίου του σχήματος 1 προς το εμβαδόν του κίτρινου δακτυλίου του σχήματος 2.

▪ The Mind/Body Problem

Duration: 45 min 

Melvyn Bragg and guests discuss the mind/body problem in philosophy. At the start of René Descartes' Sixth Meditation he writes:  "there is a great difference between mind and body, inasmuch as body is by nature always divisible, and mind is entirely indivisible. For when I consider the mind, or myself in so far as I am merely a thinking thing, I am unable to distinguish many parts within myself; I understand myself to be something quite single and complete. Although the whole mind seems to be united to the whole body, I recognize that if a foot or an arm or any other part of the body is cut off nothing has thereby been taken away from the mind".

Play now

▪ Γωνία δύο τεμνουσών

i) Ας θεωρήσουμε γωνία xAy, όπου η κορυφή της Α είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου. Οι πλευρές της Ax, Ay και οι προεκτάσεις τους τέμνουν τον κύκλο στα σημεία Β₁,Γ₁ και Β₂, Γ₂ αντίστοιχα. Τότε, ισχύει ότι η γωνία xAy ισούται με το άθροισμα των εγγεγραμμένων γωνιών που βαίνουν στα τόξα που περιέχει η xAy και η κατακορυφήν της, δηλαδή:

xAy = ΑB₁Γ₂ + Β₁Γ₂Α.

(ii) Ας θεωρήσουμε γωνία xAy όπου η κορυφή της Α είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου. Οι πλευρές της Ax, Ay τέμνουν τον κύκλο στα σημεία Β₁,Β₂και Γ₁,Γ₂ αντίστοιχα. Τότε ισχύει ότι η γωνία xAy ισούται με τη διαφορά των εγγεγραμμένων γωνιών, που βαίνουν στα τόξα του κύκλου που περιέχει η xAy, δηλαδή

xAy = Β₂Β₁Γ₂ - Β₁Γ₂Γ₁, όπου Β₂Β₁Γ₂ > Β₁Γ₂Γ₁.

Απόδειξη

(i) Η xAy είναι εξωτερική του τριγώνου Β1ΑΓ2, επομένως ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών, δηλαδή xAy = ΑΒ1Γ2 + Β1Γ2Α. ΣΧΟΛΙΟ xAy = Β1Γ12 + Β2Γ22 .

(ii) Η γωνία Β2Β1Γ2 είναι εξωτερική του τριγώνου Β1ΑΓ2, επομένως Β2Β1Γ2 = xAy + ΑΓ2Β1 ή xAy = Β2Β1Γ2 - Β1Γ2Γ1. ΣΧΟΛΙΟ xAy = Β2Γ22 - Β1Γ12 .

Από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας της Α΄-Β΄ Λυκείου.

▪ Το 19 χάθηκε..

Έχουμε ένα σύνολο βαρών $1$g, $2$g, $3$g, ..., $101$gr. Από αυτά χάθηκε το βάρος $19$gr. Είναι δυνατόν να διαιρεθούν τα υπόλοιπα $100$ βάρη σε δύο ομάδες με τον ίδιο αριθμό των τεμαχίων και το ίδιο συνολικό βάρος;

[V. Proizvolov]

▪ Σαν σήμερα

Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 19 Σεπτεμβρίου

1749 : Delambre
1840 : McClintock
1888 : Alexander
1895 : Lumsden
1914 : Lyapin

Μαθηματικοί που πέθαναν στις 19 Σεπτεμβρίου

1843 : Coriolis
1958 : Archibald Milne
1995 : Peierls
2002 : Falconer

▪ Γεωμετρία Α΄ και Β΄ Λυκείου: Οι λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου

Λύσεις Ασκήσεων - Κεφάλαιο 2

Λύσεις Ασκήσεων - Κεφάλαιο 3

Λύσεις Ασκήσεων - Κεφάλαιο 4 

Λύσεις Ασκήσεων - Κεφάλαιο 5

Λύσεις Ασκήσεων - Κεφάλαιο 6

Λύσεις Ασκήσεων - Κεφάλαιο 7

Λύσεις Ασκήσεων - Κεφάλαιο 8

Λύσεις Ασκήσεων - Κεφάλαιο 9

Λύσεις Ασκήσεων - Κεφάλαιο 10

Λύσεις Ασκήσεων - Κεφάλαιο 11

Λύσεις Ασκήσεων - Κεφάλαιο 12

Λύσεις Ασκήσεων - Κεφάλαιο 13

▪ 21 ώρες διδασκαλίας = 84 ώρες δουλειάς γραφείου

Σύμφωνα με πρόσφατη (2012) μελέτη της UNESCO κάθε ώρα διδακτικού έργου ενός καθηγητή αντιστοιχεί σε 4 ώρες εργασίας γραφείου!

Αυτό συμβαίνει διότι η δυσκολία μίας εργασίας καθορίζεται κατά βάση από το πλήθος και τη δυσκολία των αποφάσεων που καλείται να λάβει ο εργαζόμενος κατά τη διάρκειά της.

Και μαντέψτε ποιο είναι το επάγγελμα στο οποίο ο εργαζόμενος πρέπει να λαμβάνει συνεχώς σημαντικές αποφάσεις για την πορεία της εργασίας του.

Αυτός είναι και ο λόγος που οι εκπαιδευτικοί παθαίνουν συχνά υπερκόπωση, burnout και γενικώς στρεσάρονται πολύ περισσότερο από άλλους εργαζόμενους.

Τάδε έφη UNESCO...

Πηγή: mathematica

▪ Scramble με αριθμούς - 114

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 3, 3, 5 και 6 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 84.

▪ Ptolemy and Ancient Astronomy

Duration: 45 min

Melvyn Bragg and his guests discuss the ancient Greek astronomer and mathematician Ptolemy, and consider how and why his geocentric theory of the universe held sway for so many centuries.

Listen now

▪ 7 ίσα τμήματα

Στο παρακάτω σχήμα είναι

 $AB = BC = CD = DE = EF = FG = GA$. 

Να βρεθεί η γωνία $\angle{DAE}$.

▪Μαθηματική πρόοδος

Αν κάποιος θέλει να προοδεύσει στα Μαθηματικά πρέπει να μελετήσει τους μεγάλους δασκάλους των Μαθηματικών κι όχι τους μαθητές.

Niels Henrik Abel

▪ Επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου

 1η δεκάδα γενικών ασκήσεων

 2η δεκάδα γενικών ασκήσεων

 3η δεκάδα γενικών ασκήσεων

 4η δεκάδα γενικών ασκήσεων

 5η δεκάδα γενικών ασκήσεων

 6η δεκάδα γενικών ασκήσεων

 7η δεκάδα γενικών ασκήσεων

 8η δεκάδα γενικών ασκήσεων

▪Προσεταιριστική ιδιότητα

Στην πρόσθεση:

(a + b) + c  =  a + (b + c)

Στον πολλαπλασιασμό:

(a × b) × c  =  a × (b × c)