▪ Πράξεις με Ενδεχόμενα

Πράξεις με Ενδεχόμενα

Όπως είδαμε, τα ενδεχόμενα είναι υποσύνολα του δειγματικού χώρου $Ω$. Επομένως, μεταξύ των ενδεχομένων ενός πειράματος μπορούν να οριστούν οι γνωστές πράξεις μεταξύ των συνόλων, από τις οποίες προκύπτουν νέα ενδεχόμενα. Έτσι, αν $Α$ και $Β$ είναι δύο ενδεχόμενα, έχουμε:

Το ενδεχόμενο $A∩B$, που διαβάζεται “$Α$ τομή $Β$” ή “$Α$ και $Β$” και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β. 

Το ενδεχόμενο $ΑUΒ$, που διαβάζεται “$Α$ ένωση $Β$” ή “$Α$ ή $Β$” και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα $Α, Β$.

 

Το ενδεχόμενο $A'$, που διαβάζεται “όχι $Α$” ή“συμπληρωματικό του $Α$” και πραγματοποιείται, όταν δεν πραγματοποιείται το $Α$.
Το $A'$ λέγεται και “αντίθετο του $Α$”.

  

Το ενδεχόμενο $A-B$, που διαβάζεται “διαφορά του $Β$ από το $Α$” και πραγματοποιείται, όταν  πραγματοποιείται το $Α$ αλλά όχι το $Β$. Είναι εύκολο να δούμε ότι $A-B =A∩B'$. 

Στον παρακάτω πίνακα τα $Α$ και $Β$ συμβολίζουν ενδεχόμενα ενός πειράματος και το $ω$ ένα αποτέλεσμα του πειράματος αυτού. Στην αριστερή στήλη του πίνακα αναγράφονται διάφορες σχέσεις για τα $Α$ και $Β$ διατυπωμένες στην κοινή γλώσσα, και στη δεξιά στήλη αναγράφονται οι ίδιες σχέσεις αλλά διατυπωμένες στη γλώσσα των συνόλων.

Το ενδεχόμενο  Α  πραγματοποιείται $ω\inΑ$ Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται $ω\inΑ'$ (ή $ω\not\inΑ)$ Ένα τουλάχιστον από τα  Α  και  Β  πραγματο- ποιείται $ω\in{A∩B}$ Πραγματοποιούνται αμφότερα τα  Α  και  Β $ω\in{A∩B}$ Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα  Α  και  Β $ω\in{(ΑUΒ)'}$ Πραγματοποιείται μόνο το  Α $ω\in{A-B}$ (ή $ω\in{A∩B'})$ Η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β $Α\subseteq{B}$

Για παράδειγμα, στη ρίψη ενός ζαριού έστω τα ενδεχόμενα $A=\{2,4,6\}$ και $B=\{1,3,5\}$. Αν το αποτέλεσμα της ρίψης είναι ο αριθμός 1, τότε τα ενδεχόμενα $Α, ΑUΒ, A-B, B$, πραγματοποιούνται, ενώ τα $Α', B, (Α U Β)', (A - B)', A ∩ B$ δεν πραγματοποιούνται.

Ασυμβίβαστα Ενδεχόμενα

Στη ρίψη ενός ζαριού αν $Α$ είναι το ενδεχόμενο να φέρουμε άρτιο αριθμό και $B$ το ενδεχόμενο να φέρουμε περιττό αριθμό, έχουμε $A=\{2,4,6\}$ και $B=\{1,3,5\}$. Παρατηρούμε ότι τα $Α$ και $B$ δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν συγχρόνως, αφού δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο. Στην περίπτωση αυτή τα $Α$ και $B$ λέγονται ασυμβίβαστα. Γενικά:

Δύο ενδεχόμενα $Α$ και $Β$ λέγονται ασυμβίβαστα, όταν $A∩B=\oslash$. Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα λέγονται επίσης ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαίως αποκλειόμενα.