▪ Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης

 Του Βασίλη Κακαβά 

ΘΕΜΑ Α

A1. Έστω μία συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του , στο οποίο όμως είναι συνεχής. 

Αν στο και στο , τότε να δείξετε ότι το είναι τοπικό μέγιστο της . (Μ 10 )

A2. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] του πεδίου ορισμού της; (Μ 5) 

Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. 

α) Αν f(x) = αx, α > 0, τότε ισχύει (αx) ′ =xαx−1 

β) Αν παραγωγίσιμη και αντιστρέψιμη με παραγωγίσιμη τότε υπάρχει ώστε

γ) Αν ή , τότε

δ) Αν και τότε α=β

ε) Αν Αν παραγωγίσιμη, τότε μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της η έχει τουλάχιστον ένα ακρότατο.(Μ 10)

ΘΕΜΑ Β

Έστω μιγαδικός αριθμός

B1. Αν γνωρίζουμε ότι η εικόνα του ανήκει στην ευθεία

 

να δείξετε ότι (Μ 6) 

B2. Αν για τον μιγαδικό w ισχύει ότι να δείξετε ότι το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών w που απέχουν από τις εικόνες του z, απόσταση 1, είναι κύκλος (C) κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας ρ=2.(Μ 7)

B3. Αν w=2i είναι ένας από τους μιγαδικούς του συνόλου (C) να υπολογίσετε τον μιγαδικό z. (Μ 6) 

B4. Να δείξετε ότι

 

όπου z,w μιγαδικοί του ερωτήματος (B3) (Μ 6) 

ΘΕΜΑ Γ 

Δίνονται οι συναρτήσεις

  ,

Γ1. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα [1,e] (Μ 6 )

Γ2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι ΄΄1-1΄΄ στο (Μ 5)

Γ3. Δίνεται η συνάρτηση

και  

όπου παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R με και

α) Να δείξετε ότι η F είναι συνεχής στο (Μ 6) 

β) Αν γνωρίζουμε ότι και ln(f(e))=1 να δείξετε ότι (Μ 4 )

γ) Αν επίσης γνωρίζουμε ότι F(x) lnx=h(x), για x>1να δείξετε ότι (Μ 4)

ΘΕΜΑ Δ 

Έστω παραγωγίσιμη με γνήσια μονότονη στο

∆1. Αν ισχύει τότε να δείξετε ότι η είναι κυρτή στο (Μ 6 )

∆2. Αν είναι και η εφαπτομένη στο σημείο τέμνει την εφαπτομένη στο στο σημείο να δείξετε ότι και ότι (Μ 7 )

∆3. Αν επίσης το και το εμβαδό μεταξύ της γραφικής παράστασης της και των εφαπτομένων στα σημεία και είναι να δείξετε ότι (Μ 7 )

∆4. Να δείξετε ότι για κάθε (Μ 5)

Κάντε κλικ εδώ, για να το κατεβάσετε.
Δείτε επίσης:

Γ΄ Λυκείου: Τρίωρο διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης (μέχρι τα Χριστούγεννα)