▪ Scramble με αριθμούς - 96

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 1, 3, 5 και 7 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 100.

▪ Πράξεις με Ενδεχόμενα

Πράξεις με Ενδεχόμενα

Όπως είδαμε, τα ενδεχόμενα είναι υποσύνολα του δειγματικού χώρου $Ω$. Επομένως, μεταξύ των ενδεχομένων ενός πειράματος μπορούν να οριστούν οι γνωστές πράξεις μεταξύ των συνόλων, από τις οποίες προκύπτουν νέα ενδεχόμενα. Έτσι, αν $Α$ και $Β$ είναι δύο ενδεχόμενα, έχουμε:

Το ενδεχόμενο $A∩B$, που διαβάζεται “$Α$ τομή $Β$” ή “$Α$ και $Β$” και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β. 

Το ενδεχόμενο $ΑUΒ$, που διαβάζεται “$Α$ ένωση $Β$” ή “$Α$ ή $Β$” και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα $Α, Β$.

 

Το ενδεχόμενο $A'$, που διαβάζεται “όχι $Α$” ή“συμπληρωματικό του $Α$” και πραγματοποιείται, όταν δεν πραγματοποιείται το $Α$.

▪ 2 - Τα λευκά κερδίζουν

Σε αυτήν την σειρά των αναρτήσεων δεν προσδιορίζεται ο αριθμός των κινήσεων για να κερδηθεί η παρτίδα, αλλά ο νικητής.

▪ Πόσο ύψος έχει το σχολείο σας;

Ένας μαθητής βλέπει την κορυφή $Γ$ του σχολείου από δύο σημεία $Α$ και $Β$ στο έδαφος. Χρησιμοποιώντας έναν εξάντα μετράει τις γωνίες $Α, Β$ με τις οποίες φαίνεται το σχολείο, π.χ. $A = 19°$ και $Β = 43°$. 

Κατόπιν μετράει την απόσταση από το σημείο $Α$ ως το $Β$, π.χ. $ΑΒ=12$ μέτρα. Η μέτρηση των γωνιών έγινε από κάποια απόσταση από το έδαφος ίση με το ύψος του μαθητή, ας υποθέσουμε ότι έχει ύψος $1,8$ μέτρα.

▪ A Theorem of Melody Chan on Group Actions

▪ Σαν σήμερα

Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 31 Αυγούστου

1821 : Helmholtz
1864 : Robert Hardie
1880 : Tietze
1885 : Turnbull

Μαθηματικοί που πέθαναν στις 31 Αυγούστου

1721 : Keill
1811 : Bougainville
1918 : Cholesky
1940 : John Pullar
1945 : Banach
1946 : Leslie Cunningham
1975 : Remez

▪ Ἡ Ἱστορία τῆς Ἁγίας Ζώνης

Στὶς 31 Αὐγούστου θὰ ἑορτάζουμε τὴν Κατάθεση τῆς Τιμίας Ζώνης τῆς Θεοτόκου. Ἀποτελεῖ τὸ μοναδικὸ ἱερὸ κειμήλιο ποὺ σχετίζεται μὲ τὸν ἐπίγειο βίο τῆς Θεοτόκου καὶ διασῴζεται μέχρι σήμερα στὴν Ἱερὰ Μονὴ τοῦ Βατοπαιδίου στὸ Ἅγιο Ὅρος, στὸ Περιβόλι τῆς Παναγίας. Ἡ ἴδια ἡ Θεοτόκος τὴν ὕφανε ἀπὸ τρίχες καμήλας. 

Οἱ πληροφορίες γιὰ τὸν ἐπίγειο βίο τῆς Θεοτόκου εἶναι λιγοστὲς καὶ προέρχονται ἀπὸ τὴν Καινὴ Διαθήκη καὶ ἀπὸ τὴν παράδοση ποὺ διασώθηκε ἀπὸ τοὺς ἀποστολικοὺς ἀκόμη χρόνους. Ἡ Θεοτόκος μέχρι τὴν Κοίμησή της παρέμεινε στὰ Ἱεροσόλυμα καὶ ἦταν μέλος τῆς πρώτης Ἐκκλησίας. Τὴ φροντίδα τῆς εἶχε ἀναλάβει ὁ ἀγαπημένος μαθητὴς τοῦ Κυρίου, ὁ Εὐαγγελιστὴς Ἰωάννης.

Οἱ τελευταῖες στιγμὲς τῆς ἐπίγειας ζωῆς τῆς εἶναι θαυμαστὲς καὶ συγκινητικές. Κοντὰ τῆς βρέθηκαν οἱ Ἀπόστολοι οἱ ὁποῖοι ἔφτασαν ἀπὸ τὰ πέρατα τῆς οἰκουμένης στὰ Ἱεροσόλυμα μὲ τρόπο θαυμαστό, «ἐπὶ νεφελῶν» . Καὶ τότε, ὁ ἴδιος ὁ Κύριος ἐμφανίστηκε θριαμβευτικὰ «ἐπὶ νεφελῶν», μὲ τὴ συνοδεία πλήθους ἀγγέλων.

▪Πανελλήνιες εξετάσεις 2012: Τα ονόματα των επιτυχόντων του Νομού Πέλλας

Ευχαριστώ πολύ την κ. Μαρία Βαγουρδή, εκδότρια της τοπικής εφημερίδας "Γιαννιτσά", που ευγενώς προσφέρθηκε να μου αποστείλει τα ονόματα των παιδιών που πέτυχαν στις εξετάσεις.
1ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ

Επιτυχόντες 10%

Αρβανιτίδης Αθανάσιος του Π. Κοινωνικής Διοίκησης Θράκης (Κομοτηνή), Βασιλειάδης Νικόλαος - Αρ. του Θ. Οικονομικών Επιστημών Μακεδονίας (Θεσ/νίκη), Ζεγλής Χρήστος του Ευ. Πολιτικών Μηχανικών Θεσ/νίκης, Καραπατσιάς Βασίλειος του Στ. Τεχνών Ηχου και Εικόνας Ιονίου (Κέρκυρα), Λάππα Νιόβη του Ι. Αρχειονομίας και Βιβλιοθηκονομίας Ιονίου (Κέρκυρα), Μάζνη Στεφανή του Δ. Ελληνικής Φιλολογίας Θράκης (Κομοτηνή), Μάζνης Ευθύμιος του Δ. Πληροφορικής Θεσ/νίκης, Μαυρίδου Φωτεινή του Απ. Προστ. και Συντρ. Πολ. Κληρ/μιάς ΤΕΙ Ιον. Νήσων (Ζάκυνθος), Μαυρόπουλος Ελευθέριος του Πρ. Διοίκησης Επιχειρήσεων Θράκης (Κομοτηνή), Ντίτουρα Ηλιάνα του Δ. Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών Θράκης (Ξάνθη), Ντίτουρα Σταυρούλα του Δ. Παιδαγωγικό Δημοτικής Εκπ/σης Θεσ/νίκης, Παρασκευαΐδης Ιωάννης του Β. Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Θεσσαλίας (Βόλος), Πετρίδου Μαριάννα του Ν. Φιλολογίας Πάτρας, Ραμπούση Αικατερίνη του Χ. Ψηφιακών Συστημάτων Πειραιά, Σαμαράς Γεώργιος του Κ. Διεθνούς Εμπορίου ΤΕΙ Δυτ. Μακεδονίας (Καστοριά), Σοφιά Ελευθερία του Χ. Παιδ/κό Νηπιαγωγών Δυτ. Μακεδονίας (Φλώρινα), Τσελεπίδης Κωνσταντίνος του Ευ. Φυτικής Παραγωγής ΤΕΙ Λάρισας, Τσομπάνη Αθανασία του Ν. Επιστ. Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Θεσ/νίκης (Σέρρες), Χρηστίδης Μάριος του Κ. Αστυφυλάκων.

▪ Βίντεο Αγίων της Εκκλησίας

Έχει τονισθεί κατά κόρον η σπουδαία σημασία της ύπαρξης και παρουσίας των Αγίων του Θεού για την Εκκλησία αλλά και η προβολή τους ως γνήσια παραδείγματα της εν Χριστώ ζωής. Η μελέτη των βίων τους στην εποχή μας μπορεί να γίνει και μέσω των ηλεκτρονικών μέσων με ευχάριστο τρόπο.

 

Άγιος Λουκάς ο Ιατρός (Βίντεο)

Η Αγία οικογένεια των Παλαμάδων (video)

 

Άγιος Αλέξανδρος του Σβίρ, Το πιο καλοδιατηρημένο Λείψανο της Ορθοδοξίας (Βίντεο)

 

Άγιος Ιωάννης ο Χρυσόστομος (video) 

Πηγή: impantokratoros

▪ Ο Γέροντας Ελισσαίος, Ηγούμενος της Ι.Μ. Σίμωνος Πέτρας

Ομιλίες του Γέροντος Ελισσαίου, Ηγούμενου της Ι.Μ. Σίμωνος Πέτρας.

ΓΕΡΟΝΤΑΣ ΕΛΙΣΣΑΙΟΣ - Η ΠΡΟΣΕΥΧΗ ΜΕΡΟΣ 1ο (8-4-2008)

▪ 1ο Κριτήριο ομοιότητας τριγώνων

Θεώρημα (1ο Κριτήριο Ομοιότητας)

Αν δυο τρίγωνα έχουν δυο γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι όμοια.

Απόδειξη

Ας θεωρήσουμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' με A = A', Β= Β', οπότε και Γ = Γ'. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι Α'Β'ΑΒ'' = ΑΓ''ΑΓ = Β''Γ''ΒΓ και η A είναι κοινή, ενώ Β'' = Β οπότε και Γ'' = Γ.
Όμως τα τρίγωνα ΑΒ''Γ'' και Α'Β'Γ' είναι ίσα, καθώς έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες. Συνεπώς τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' είναι όμοια.
Από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας Α΄-Β΄ Λυκείου.

▪ $Α$ ή $Β$

Έστω

και

Ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο, το Α ή το Β?

▪ Το θεώρημα Fermat - Euler

Θεώρημα

Έστω $n$ φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του $1$ και $a$ ένας ακέραιος αριθμός τέτοιος, ώστε $(a,n)=1$. Τότε

$a^{φ(n)}=1(modn)$.

▪ Ο Νεύτων έγραφε (και) στα Ελληνικά!

Προσφάτως το Πανεπιστήμιο του Cambridge δημοσιοποίησε στην ψηφιακή βιβλιοθήκη του ένα σημειωματάριο του Νεύτωνα από την εποχή που αυτός φοιτούσε ως προπτυχιακός φοιτητής στο Trinity College (1661-1665).

Αρκετές από τις σελίδες του σημειωματαρίου είναι γραμμένες στα Ελληνικά, όπως φαίνεται και από την εικόνα παραπάνω!

Πηγή: akouts

▪ 1 - Τα λευκά κερδίζουν

Σε αυτήν την σειρά των αναρτήσεων δεν προσδιορίζεται ο αριθμός των κινήσεων για να κερδηθεί η παρτίδα, αλλά ο νικητής.

▪ Το θεώρημα Wilson

Θεώρημα

Ένας ακέραιος αριθμός $p>1$ είναι πρώτος, αν και μόνο αν, ισχύει

$(p-1)! = -1 (mod p)$.

▪ Άλλοι τύποι για το εμβαδόν τριγώνου

Με τη βοήθεια του βασικού τύπου για το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ, με μήκη πλευρών α, β, γ, προκύπτουν και οι επόμενοι τύποι [όπου τ η ημιπερίμετρος του τριγώνου].

(i) $Ε=\sqrt{τ(τ-α)(τ-β)(τ-γ)}$, (τύπος του Ήρωνα)

(ii) $Ε=τ\cdot{ρ}$, όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

(iii) $Ε=\frac{αβγ}{4R}$, όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Απόδειξη

(i) Γνωρίζουμε ότι:

$υ_α=\frac{2}{a}\sqrt{τ(τ-α)(τ-β)(τ-γ)}$

οπότε έχουμε:

$Ε=\frac{1}{2}αυ_α$

$=\frac{a}{2}\cdot\frac{2}{a}\sqrt{τ(τ-α)(τ-β)(τ-γ)}$

$=\sqrt{τ(τ-α)(τ-β)(τ-γ)}$.

(ii) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ο εγγεγραμμένος κύκλος του (Ι, ρ). Φέρουμε τα τμήματα ΙΑ, ΙΒ και ΙΓ και έτσι το τρίγωνο χωρίζεται στα τρίγωνα ΙΒΓ, ΙΓΑ και ΙΑΒ που έχουν το ίδιο ύψος ρ και δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, οπότε έχουμε:

$Ε=(ΑΒΓ)=(ΙΒΓ)+(ΙΓΑ)+(ΙΑΒ)$

$=\frac{1}{2}αρ+\frac{1}{2}βρ+\frac{1}{2}γρ$

$=\frac{1}{2}(α+β+γ)=τρ$.

(iii) Είναι γνωστό ότι βγ = 2Rυ_α οπότε έχουμε ότι υ_α = βγ2R και με αντικατάσταση στον τύπο Ε = 12 αυ_α προκύπτει το ζητούμενο.

▪ Scramble με αριθμούς - 95

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 1, 2, 2 και 9 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 25.

▪ Το 29ο Μαθηματικό Συνέδριο της ΕΜΕ στην Καλαμάτα

9/11/2012 - 11/11/2012

Στην Καλαμάτα το 29ο μαθηματικό συνέδριο της ΕΜΕ

Στην Καλαμάτα πραγματοποιείται φέτος το 29ο μαθηματικό συνέδριο, που διοργανώνει η ελληνική μαθηματική εταιρεία, σύμφωνα με ανακοίνωση του διοικητικού της συμβουλίου.

Σημαντικοί πανεπιστημιακοί δάσκαλοι, διακεκριμένοι στοχαστές των μαθηματικών και διαμορφωτές της σύγχρονης μαθηματικής σκέψης εκατοντάδες σύνεδροι - καθηγητές από τα πανεπιστήμια της χώρας, της Κύπρου, και εκπαιδευτικοί από τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση όλης της χώρας, θα πάρουν μέρος στο συνέδριο. 

Στόχος του τριήμερου επιστημονικού συνεδρίου, είναι η ανάδειξη των μαθηματικών και η επισήμανση της συμβολή τους στην επίλυση προβλημάτων των επιστημών, της τεχνολογίας, και της εκπαίδευσης.

▪ Το ωράριο των καθηγητών Πανεπιστημίων - Τ.Ε.Ι.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑ

Τ.Ε.Ι.

▪ Σαν σήμερα

Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 30 Αυγούστου

1819 : Serret
1856 : Runge
1906 : Taussky-Todd
1907 : Mauchly

Μαθηματικοί που πέθαναν στις 30 Αυγούστου

1621 : Al-Amili
1928 : Wien
1995 : Fischer Black

▪ Γεωμετρία: Άσκηση 345

Έστω κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ εγγεγραμμένο σε κύκλο. Έστω $F = AC\cap{BD}$ και $E = AD\cap{BC}$. Αν $M$ και $N$ είναι τα μέσα των $AB$ και $CD$, να αποδειχθεί ότι: 

$\frac{MN}{EF}=\frac{1}{2}\mid\frac{AB}{CD}-\frac{CD}{AB}\mid$.

National Bulgarian Mathematical Olympiad 1997

Regional Round

▪ Επίλυση συστημάτων: Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών (ή της απαλοιφής)

Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς, ώστε οι συντελεστές του ενός αγνώστου στις εξισώσεις που θα προκύψουν να είναι αντίθετοι:

  $x - 2y = 6$     $\cdot(-3)$

$3x + 4y = 8$     $\cdot(1)$

ή ισοδύναμα

$-3x + 6y = -18$

$3x + 4y = 8$

Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που βρήκαμε, οπότε προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο, την οποία και επιλύουμε:

$-3x +6y +3x +4y =-18 +8⇔$ 

$10y =-10⇔$ 

$y =11$

Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μια από τις αρχικές εξισώσεις και βρίσκουμε την τιμή του άλλου:

$x -2(-1) =6 ⇔$

$x+2 =6 ⇔$

$x =4$.

Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος $(x,y)=(4, 1)$.

▪Συναρτησιακές σχέσεις - Άσκηση 26

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f : R\rightarrow{R}$, για τις οποίες ισχύει

$f(x) = f(x^2 +\frac{1}{4} )$

για κάθε $x\in{R}$.

National Bulgarian Mathematical Olympiad 1997

Regional Round

▪ Το πρόβλημα του κινέζου μάγειρα

Σε μία επιδρομή 17 πειρατές αρπάζουν ένα μπαούλο γεμάτο με χρυσές λίρες (ίσης αξίας). Αποφασίζουν να τις μοιραστούν σε ίσα μέρη και να δώσουν το υπόλοιπο στον κινέζο μάγειρα του καραβιού τους. Σ΄ αυτόν αντιστοιχούν 3 λίρες. Σε μία μάχη που έδωσαν οι πειρατές σκοτώθηκαν έξι από αυτούς. Στον μάγειρα τότε αντιστοιχούν 4 λίρες. Κατόπιν σε ένα ναυάγιο σώθηκαν μόνο έξι από αυτούς, το μπαούλο και ο μάγειρας. Στο μάγειρα τότε αντιστοιχούν 5 λίρες. Κατόπιν ο μάγειρας δηλητηριάζει τους πειρατές και παίρνει το μπαούλο. Πόσες λίρες τουλάχιστον περιέχει το μπαούλο;

▪ Scramble με αριθμούς - 94

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 3, 5, 8 και 9 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 37.

▪ Επίλυση συστημάτων: Μέθοδος της αντικατάστασης

Έστω, για παράδειγμα, ότι θέλουμε να λύσουμε το σύστημα:

$x - 2y = 6$          (1)

$3x + 4y = 8$        (2)

Λύνουμε τη μία από τις δύο εξισώσεις ως προς ένα άγνωστο, π.χ. την (1) ως προς $x$. Έτσι το σύστημα είναι ισοδύναμο με το 

$x = 6 + 2y$         

$3x + 4y = 8$       

Αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση το $x$ με την παράσταση που βρήκαμε και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει

$3(2y + 6) + 4y =8 ⇔$

$6y + 18 + 4y = 8 ⇔$

$10y = - 10 ⇔$

$y = - 1$

Έτσι το σύστημα είναι ισοδύναμο με το

              $x = 6 + 2y$         

$y = - 1$

Αντικαθιστούμε την τιμή του $y$ στην πρώτη εξίσωση και υπολογίζουμε τον άλλο άγνωστο:

$x = 6 + 2(-1) =4$

Άρα λύση του συστήματος είναι το ζεύγος $(x,y)=(4, 1)$.

▪ Αυγά και καλάθια

Όταν παίρνουμε αυγά από ένα καλάθι ανά: $2,3,4,5,6,$ κάθε φορά, τότε μένουν, αντίστοιχα: $1,2,3,4,5$ αυγά στο καλάθι. Όταν όμως παίρνουμε ανά $7$ δεν μένει κανένα. Να υπολογισθεί ο ελάχιστος αριθμός αυγών που θα πρέπει να περιέχει το καλάθι.

Brahmagupta, 7oς μ.Χ αιώνας 

▪ Haken’s Unknot Theorem

▪ Σαν σήμερα

Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 29 Αυγούστου

1904 : Roth

Μαθηματικοί που πέθαναν στις 29 Αυγούστου

1873 : Hankel
1930 : Bolam
1937 : Hölder
1975 : Éamon de Valera

▪Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα

Πείραμα Τύχης

Όπως γνωρίζουμε από τη Φυσική, αν θερμάνουμε αποσταγμένο νερό σε $1000$ Κελσίου στην επιφάνεια της θάλασσας, δηλαδή σε ατμοσφαιρική πίεση $760$ mm Hg, το νερό θα βράσει. Επίσης, αν αφήσουμε ένα σώμα να πέσει στο κενό υπό την επίδραση της βαρύτητας, μπορούμε να προβλέψουμε με ακρίβεια το διάστημα που θα διανύσει σε ορισμένο χρόνο t. Κάθε τέτοιο πείραμα κατά το οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό (deterministic) πείραμα.

Υπάρχουν όμως και πειράματα των οποίων δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνονται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Ένα τέτοιο πείραμα ονομάζεται πείραμα τύχης (random experiment).

▪ Γεωμετρία: Άσκηση 344

Στο παρακάτω σχήμα, το τετράπλευρο $ΑΒΓΔ$ είναι παραληλόγραμμο και τα τρίγωνα $ΑΕΔ$ και $ΑΒΖ$ είναι ισόπλευρα.

Να βρεθεί η γωνία $\angle{ΖΕΓ}$.

▪ 2ο Κριτήριο ομοιότητας τριγώνων

Θεώρημα (2ο Κριτήριο Ομοιότητας)

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες μία προς μία και τις περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι όμοια.

Απόδειξη

Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' έτσι, ώστε A= A' και Α'Β''ΑΒ = Α'Γ'ΑΓ . Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε ότι Α'Β'

AB''AB = ΑΓ''ΑΓ ή Α'Β'ΑΒ = ΑΓ''ΑΓ .

Όμως, από την υπόθεση ισχύει ότι A'B'AB = Α'Γ'ΑΓ .

Επομένως καταλήγουμε ότι AΓ''AΓ = Α'Γ'ΑΓ ή ΑΓ'' = Α'Γ'.

Τελικά τα τρίγωνα ΑΒ''Γ'' και Α'Β'Γ' είναι ίσα, καθώς έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες.
Από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας Α΄-Β΄ Λυκείου.

▪ 2ο Λύκειο Γιαννιτσών: Εντός ορίων της δικαιοδοσίας τους οι καθηγητές

Το υπουργείο Παιδείας προτίθεται να καταθέσει προς ψήφιση στη Βουλή τροπολογίας που θα δίνει τη δυνατότητα στο Σύλλογο διδασκόντων να λαμβάνει υπ' όψιν του εκπρόθεσμα δικαιολογητικά απουσιών των μαθητών των Γενικών Λυκείων, κρίνοντας αν η φοίτηση είναι επαρκής ή όχι.

Την ανακοίνωση αυτή έκανε στη Βουλή ο υφυπουργός Παιδείας Θ. Παπαθεοδώρου, απαντώντας σε ερώτηση της Βουλευτού του ΠΑΣΟΚ Θεοδώρας Τζάκρη, σχετικά με διώξεις εκπαιδευτικών, γιατρών και γονέων του 2ου Λυκείου Γιαννιτσών για την εκπρόθεσμη δικαιολόγηση σχολικών απουσιών και σημείωσε: « το θέμα της επάρκειας φοίτησης των μαθητών θα πρέπει να αποφασίζεται στο πλαίσιο της λειτουργίας του συλλόγου διδασκόντων, της χρηστής διοίκησης ,της ίσης μεταχείρισης και της δικαιοσύνης με παιδαγωγικά χαρακτηριστικά και κριτήρια, με στόχο πάντα την ολοκληρωμένη εκπαίδευση των μαθητών.

▪ Μητέρα και κόρη πέρασαν μαζί στο Πανεπιστήμιο!

Διπλή ήταν η χαρά για μία οικογένεια από το Λιτόχωρο Κατερίνης μετά την ανακοίνωση των αποτελεσμάτων των βάσεων εισαγωγής στην τριτοβάθμια εκπαίδευση, καθώς μητέρα και κόρη κατάφεραν να εξασφαλίσουν ταυτόχρονα την είσοδό τους σε πανεπιστημιακές σχολές.

Η 35 ετών μητέρα τριών παιδιών και καθαρίστρια στον Δήμο Ολύμπου-Δίου, πέτυχε την εισαγωγή της στο Οικονομικό του πανεπιστημίου Βόλου, ενώ η 18χρονη κόρη της, Μαρία Πίνου, στην Φιλοσοφική Ρεθύμνου.

▪ 3ο Κριτήριο ομοιότητας τριγώνων

Θεώρημα (3ο Κριτήριο Ομοιότητας)

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες μία προς μία, τότε είναι όμοια.

Απόδειξη

Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ', ώστε

A'B'AB = Α'Γ'ΑΓ = Β'Γ'ΒΓ .

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε Α'Β'

ΑΒ''ΑΒ = AΓ''ΑΓ = Β''Γ''ΒΓ ή A'B'AB = ΑΓ''ΑΓ = Β''Γ''ΒΓ .

Όμως από την υπόθεση έχουμε ότι

A'B'AB = Α'Γ'ΑΓ = Β'Γ'ΒΓ .

Επομένως προκύπτει ότι

ΑΓ''ΑΓ = Α'Γ'ΑΓ και Β''Γ''ΒΓ = Β'Γ'ΒΓ ,

οπότε ΑΓ'' = Α'Γ' και Β"Γ" = Β'Γ'. Άρα τα τρίγωνα ΑΒ''Γ'' και Α'Β'Γ' είναι ίσα γιατί έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες.
Από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας Α΄-Β΄ Λυκείου.

▪ Scramble με αριθμούς - 93

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 2, 7, 7 και 9 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 4.

▪ Μελέτη της συνάρτησης

Για να κάνουμε μελέτη μιας συνάρτησης ακολουθούμε τα εξής βήματα: 

ΒΗΜΑ 1ο 

Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της $f$.

ΒΗΜΑ 2ο 

Eξετάζουμε τη συνέχεια της f στο πεδίο ορισμού της.

ΒΗΜΑ 3ο 

Βρίσκουμε τις παραγώγους $fʹ$  και $fʹʹ$ και κατασκευάζουμε τους πίνακες των προσήμων τους. Με τη βοήθεια του προσήμου της $fʹ$ προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της f, ενώ με τη βοήθεια του προσήμου της $fʹʹ$ καθορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι κυρτή ή κοίλη και βρίσκουμε τα σημεία καμπής.

▪ Έλεγχος

Ο παρακάτω χάρτης δείχνει τους δρόμους μιας πόλης.

Τοποθετήστε τρεις αστυνομικούς, έτσι ώστε για κάθε δρόμο να υπάρχει τουλάχιστον ένας αστυνομικός που μπορεί να βλέπει όλο το μήκος του δρόμου.

Ο Θεός υπάρχει!

Στα μέσα του 18ου αιώνα, κατά την περίοδο της παραμονής του Euler στην Αγία Πετρούπολη, η Μεγάλη Αικατερίνη φιλοξενεί τον φημισμένο Γάλλο φιλόσοφο και άθεο Denis Diderot.

Κατά την παραμονή του στο παλάτι ο Diderot δεν έχανε ευκαιρία να βγάζει λόγους ενάντια στο Θεό και αυτό ενόχλησε την Μεγάλη Αικατερίνη η οποία ζήτησε από τον Euler να του δώσει μία αποστομωτική απάντηση.

▪ Σαν σήμερα

Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 28 Αυγούστου

1796 : Bienaymé
1801 : Cournot
1867 : Bôcher
1883 : Schouten
1910 : Koopmans
1911 : Kakutani
1939 : Kingman

Μαθηματικοί που πέθαναν στις 28 Αυγούστου

2005 : Szekeres

▪ Η "ιστοσελίδα" του parmenides51

Εδώ θα βρείτε παραπομπές σε όσες συλλογές μαθημάτων έχει δημιουργήσει το  δραστήριο μέλος του μαθηματικού φόρουμ mathematica, ο parmenides51. 

Η "ιστοσελίδα" του ανανεώνεται συνεχώς. Πραγματικός μαθηματικός θησαυρός!

Πηγή: mathematica

▪ Πράξεις με σύνολα

Έστω Ω = {1, 2, 3, ...,10} ένα βασικό σύνολο και δύο υποσύνολά του:

Α = {1, 2, 3, 4} και Β = {3, 4, 5, 6} .

• Το σύνολο {1, 2, 3, 4, 5, 6}, που έχει ως στοιχεία τα κοινά και τα μη κοινά στοιχεία των Α και Β, δηλαδή το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα Α και Β λέγεται ένωση των συνόλων Α και Β.

Γενικά: 

Ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β και συμβολίζεται με Α U Β .

Δηλαδή είναι:

Α U Β = {x $\in Ω$| $x\inΑ$ και $x\inΒ$}.