▪ Scramble με αριθμούς - 71

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 2, 5, 5 και 7 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 33.

▪ Εμβαδόν ημικυκλίου

Έστω ημικύκλιο με διάμετρο $ΑΒ$ και κέντρο $Ο$ και ακτίνας $ρ$ και έστω $ΓΔ$ η χορδή του ημικυκλίου που εφάπτεται στους δύο κύκλους με διαμέτρους $ΑΟ$ και $ΟΒ$. Αν το μήκος της $ΓΔ$ είναι $120cm$, να υπολογίσετε το εμβαδόν του ημικυκλίου. 

7η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1990

 

▪ Γ΄ Γυμνασίου: 50ος Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός

Να γράψετε κύκλο που περνά από τα μέσα των τριών πλευρών ορθογωνίου τριγώνου και να αποδείξετε ότι το τόξο του κύκλου το εξωτερικό της υποτείνουσας, ισούται με τη διαφορά των εξωτερικών τόξων του κύκλου στις δύο κάθετες πλευρές του τριγώνου. 

50ος Πανελλήνιος Μαθηματικός διαγωνισμός 1990

 

▪ Γ΄ Γυμνασίου: 49ος Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός

Έστω ένα ημικύκλιο με διάμετρο $ΑΒ = 50cm$ και $Γ$ ένα σημείο του ημικυκλίου τέτοιο ώστε $ΑΓ = 40cm$  και $Ε$ η προβολή του $Γ$ πάνω στην $ΑΒ$. Πάνω στην κάθετη από το σημείο $Γ$ στο επίπεδο του ημικυκλίου παίρνουμε τμήμα $ΓΔ =ΓΕ$ και κατασκευάζουμε το τετράεδρο $ΔΓΑΒ$. 

α) να βρείτε τις ακμές του τετραέδρου 

β) να βρείτε τον όγκο του τετραέδρου 

γ) να αποδείξετε ότι $ΑΔ^2 + ΒΓ^2 = ΒΔ^2 + ΓΔ^2$.

49ος Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1989

 

▪ Γ΄ Γυμνασίου: 48ος Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός

Αν οι εξωτερικές γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ανάλογες των αριθμών 2, 3 και 4, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. 

48ος Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1988

 

▪ Κανονικό $72$-γωνο

Έστω ένα κανονικό $72$-γωνο $Α_1Α_2Α_3…..Α_{72}$ με κέντρο $Ο$.
α) Να βρείτε την εξωτερική του γωνία και τις γωνίες

$\angle{Α_{45}ΟΑ_{46}}$ και $\angle{Α_{44}Α_{45}Α_{46}}$.

β) Πόσες διαγώνιες έχει το κανονικό $72$-γωνο.

6η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1989

 

▪ Δίκλαδη

Η εξίσωση $xy +2x - y = 3$ ορίζει μία ασυνεχή καμπύλη που έχει δύο κλάδους.  

Να βρεθεί η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των δύο αυτών κλάδων.

▪ Quiz-Μαθηματικών

ΟΝΟΜΑ:  

1.Τιμή μιας μετοχής πέφτει κατά 50%. Πόσο τις % θα πρέπει να ανεβεί για να αποκτήσει την αρχική του τιμή.  20 50 100 200

2.Τι πιθανότητα έχουμε οταν ρίχνουμε δυο ζάρια να φέρουμε "6άρες" ? (δηλαδή να δείχνουν και τα δύο 6)  1/2 1/6 1/12 1/36

3.Η τιμή ενός προϊόντος με ΦΠΑ 18% είναι 5900. Ποια η τιμή του χωρίς ΦΠΑ?  5000 5720 5340 5192

▪ Scramble με αριθμούς - 70

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 4, 5, 7 και 7 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 11.

▪ Επαρκής λόγος

Το τρίγωνο $ABC$ είναι ορθογώνιο και τα $K,L,M$ είναι κέντρα τετραγώνων.

Βρείτε την ελάχιστη τιμή του λόγου $\frac{(KLM)}{(ABC)}$.

Πηγή: KARKAR

▪ Marios Chatzidimou, winner of the 41st UPU Letter writing competition

Winning letters of the 2012 International letter-writing competition for young people

Marios Chatzidimou, winner of the 41st UPU Letter writing competition

The 2012 edition asked young people to write a letter to an athlete or a sports personality they admire to tell them what the Olympic Games mean to them.

Results

Gold: Greece

Marios Chatzidimou's letter

Silver: Kenya

Valentine Chimba's letter

Bronze ex aequo: Ukraine / Trinidad & Tobago

Alyona Kuchinskaya's letter

Chelsea Gabriella Ellise Mangarro's letter

Διαβάστε περισσότερα εδώ.

▪ Κάστρο

Ένα κάστρο περιβάλλεται από τάφρο πλάτους 20 μέτρων. Ο γενναίος ιππότης Giorgio Vedi θέλει να μπει στο κάστρο, για να διασώσει μία κοπέλα που κινδυνεύει. 

Έχει μόνο δύο σανίδες, μήκους 19 μέτρων η καθεμία και δεν έχει καρφιά μαζί του. Πώς μπορεί ο ιππότης να περάσει την τάφρο;
Η λύση του γρίφου: Φραγκάκης Νίκος (Doloros)

▪ Γεωμετρία: Άσκηση 331

Έστω κύκλος με κέντρο $Ο$ που διέρχεται από τις κορυφές $A$ και $C$ τριγώνου $ABC$ και τέμνει τις πλευρές του $ΑΒ$ και $BC$ στα σημεία $K$ και $N$ αντιστοίχως. Αν $C_1$ και $C_2$ οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $ABC$ και $KBN$ στα σημεία $B$ και $M$, τότε να αποδείξετε ότι $\angle{ΟΜΒ}=90^0$. 

26th International Mathematical Olympiad 1985

 

▪ Γωνία εφαπτομένων

Έστω η παραβολή $y^2 = 4x$ και $Ρ$ τυχαίο σημείο επί της ευθείας $x=-1$. Όπως φαίνεται από το παρακάτω σχήμα μπορούμε να φέρουμε ακριβώς δύο εφαπτομένες από το σημείο $Ρ$ προς την παραβολή.

Να βρεθεί η γωνία των δύο εφαπτομένων.

▪ Γεωμετρία: Άσκηση 330

Έστω κύκλος $(Ο, ρ)$ και τα σημεία $A, B$ και $C$ επί του κύκλου, τέτοια ώστε $BA = BC$. Αν $D$ σημείο στο εσωτερικό του κύκλου, τέτοιο ώστε το τρίγωνο $BCD$ να είναι ισόπλευρο και η $AD$ τέμνει τον κύκλο στο σημείο $E$, να αποδείξετε ότι $DE = ρ$. 

25th Swedish Μathematical Olympiad 1985

 

▪ Γεωμετρία: Άσκηση 329

Έστω τρίγωνο $ABC (AB ≠ AC)$ και $P$ σημείο από την αντίθετη μεριά του ημιεπιπέδου $(ΑΒ,C)$ τέτοιο ώστε $PA = PB$ και $Q$ σημείο από την αντίθετη μεριά του ημιεπιπέδου $(AC, B)$ τέτοιο ώστε $QA = QC$ και  $\angle{Q}=\angle{P}$. Αν $R$ σημείο του ημιεπιπέδου $(BC, A)$, τέτοιο ώστε $RB = RC$ και $\angle{R}=\angle{P}$, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $APRQ$ είναι παραλληλόγραμμο. 

24th International Mathematical Olympiad 1983 shortlist

 

▪ Evangelista Torricelli (1608 – 1647)

Evangelista Torricelli (1608 – 1647)

▪ Ώρα

Ένας άντρας βιαζόταν για να προλάβει το τρένο που αναχωρούσε στις 1:15πμ από το σταθμό και ήταν ήδη περασμένες 13.00 μ.μ. 

Από μακριά βλέπει ένα ρολόι της εκκλησίας και παρόλο που ο ίδιος δεν μπορούσε να δει τι ώρα έδειχναν οι δείκτες του, μπορούσε να δει ότι οι δύο δείκτες ταυτίζονταν και αμέσως κατάλαβε τι ώρα ήταν. Ποια ήταν η ώρα;

▪Συντεταγμένες Διανύσματος

Έστω $Oxy$ ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και $\overrightarrow{a}$ ένα διάνυσμα του επιπέδου. Με αρχή το $Ο$ σχεδιάζουμε το διάνυσμα $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$. Αν $A_1$ και $A_2$είναι οι προβολές του $Α$ στους άξονες $x΄x$ και $y΄y$ αντιστοίχως, έχουμε:

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}$      (1)

Αν x,y είναι οι συντεταγμένες του $A$, τότε ισχύει $\overrightarrow{OA_1}=x\overrightarrow{i}$  και $\overrightarrow{OA_2}=y\overrightarrow{i}$.  Επομένως η ισότητα (1) γράφεται

$\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$.

Αποδείξαμε δηλαδή ότι το  $\overrightarrow{a}$  είναι γραμμικός συνδυασμός των  $\overrightarrow{i}$ και  $\overrightarrow{j}$. 

Στην παραπάνω κατασκευή οι αριθμοί $x$ και $y$ είναι μοναδικοί. Θα αποδείξουμε τώρα ότι και η έκφραση του  $\overrightarrow{a}$ ως γραμμικού συνδυασμού των  $\overrightarrow{i}$ και  $\overrightarrow{j}$ είναι μοναδική.

▪ Γεωμετρική ανισότητα - 7

Σε ημικύκλιο διαμέτρου $ΑE$  και ακτίνας $1$, έστω οι διαδοχικές χορδές $AB, BC, CD$ και $DE$. Αν τα μήκη των χορδών είναι $a, b, c$ και $d$ αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι 

$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + abc + bcd < 4$. 

22nd International Mathematical Olympiad 1981 shortlist

 

▪ Γεωμετρία: Άσκηση 328

Έστω τρίγωνο $ABC$ τέτοιο ώστε 

$\frac{\angle{A}}{\angle{C}}$=$\frac{\angle{B}}{\angle{A}}$=$2$

Αν O είναι το έκκεντρο του τριγώνου και $K, L$ είναι τα κέντρα των παρεγεγραμμένων κύκλων απέναντι από τις γωνίες $B$ και $A$ αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα $ABC$ και $OKL$ είναι όμοια. 

Brazil MO 1982

 

▪ Γεωμετρία: Άσκηση 327

Έστω τρίγωνο $ABC$ και $Ρ$ ένα εσωτερικό σημείο του. Αν $AD, BE$ και $CF$ οι κάθετες από το σημείο $Ρ$ στις πλευρές $BC, CA$ και $AB$ του τριγώνου αντιστοίχως, τότε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου $Ρ$, έτσι ώστε το άθροισμα 

$\frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{B}{PF}$

να είναι ελάχιστο.

22nd International Mathematical Olympiad 1981

 

▪ Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920)

Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920)

▪ Καρτεσιανό Επίπεδο

Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες $x΄x$ και $y΄y$ με κοινή αρχή $Ο$ και μοναδιαία διανύσματα τα $\overrightarrow{i}$ και $\overrightarrow{j}$. 

Λέμε τότε ότι έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή απλούστερα ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή ακόμα ένα καρτεσιανό επίπεδο και το συμβολίζουμε με $Oxy$. 

Το σύστημα $Oxy$ λέγεται ορθοκανονικό, γιατί είναι ορθογώνιο και κανονικό. Ορθογώνιο είναι, γιατί οι άξονες $x΄x$ και $y΄y$ είναι κάθετοι, και κανονικό, γιατί τα διανύσματα $\overrightarrow{i}$ και $\overrightarrow{j}$ είναι ισομήκη.

▪ Γ΄ Γυμνασίου: 47ος Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ΑΒΓ (ΑΒ =ΑΓ)$ και έστω $ΓΔ$ το ύψος του. Επί της πλευράς $ΑΓ$ παίρνουμε σημείο $Ε$ τέτοιο ώστε $ΓΕ =ΓΔ$. Αν $\angle{A}= 50^0$, να υπολογίσετε όλες τις γωνίες του σχήματος. 

 47ος Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1987

 

▪ Χρώματα

Χρωματίζουμε όλα τα σημεία του επιπέδου με 2 χρώματα. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία του επιπέδου που έχουν το ίδιο χρώμα και απέχουν μεταξύ τους απόσταση 1. 

3η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1986

▪ Ίσα εμβαδά;

Αν ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ένα τετράγωνο έχουν ίσες περιμέτρους, τότε θα έχουν και ίσα εμβαδά;

 46ος Πανελλήνιος Μαθηματικός διαγωνισμός 1986

▪ Frederick Soddy (1877 – 1956)

Frederick Soddy (1877 – 1956)

▪ Γεωμετρία: Άσκηση 326

Έστω κυρτό πεντάγωνο $ABCDE$ με ίσες πλευρές και

$A\geq{B}\geq{C}\geq{D}\geq{E}$.  

Να αποδειχθεί ότι το πεντάγωνο είναι κανονικό. 

22η Ιnternational Μathematical Οlympiad 1981 shortlist

 

▪ Γεωμετρία: Άσκηση 325

Έστω τρίγωνο $ABC$ και $Α΄$ σημείο της πλευράς $BC$ τέτοιο ώστε $\frac{BA΄}{BC}=k$, όπου  $\frac{1}{2}< k < 1$. Ομοίως παίρνουμε και σημείο $Β΄$ της πλευράς $AC$ τέτοιο ώστε $\frac{CB΄}{CA}=k$ και σημείο $C΄$ της πλευράς $AB$ τέτοιο ώστε $\frac{AC ΄}{AB}=k$. Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου $Α΄Β΄C΄$ είναι κατά $(k -1)$ μικρότερη από την περίμετρο του τριγώνου $ABC$.

53rd Kurschak Mathematical Olympiad 1952