Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Δευτέρα 31 Δεκεμβρίου 2012
▪ Γεωμετρία - Άσκηση 441
Έστω ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ και $Μ$ ένα εσωτερικό σημείο του. Αν $D, E$ και $F$ είναι τα ίχνη των καθέτων από το σημείο $Μ$ προς τις πλευρές $BC, CA$ και $AB$ αντιστοίχως, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του $M$ έτσι ώστε $\angle{FDE}= 90^o$.
10th Irish Mathematical Olympiad 1997
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Γεωμετρία - Άσκηση 440
Έστω τρίγωνο $ABC$ και $Ρ$ εσωτερικό του σημείο τέτοιο ώστε
$\angle{APB}-\angle{C}=\angle{APC}-\angle{B}$.
Αν $D$ και $Ε$ είναι τα έγκεντρα των τριγώνων $ΑΡΒ$ και $ΑΡC$ αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι οι ευθείες $ΑΡ$ και $BD$ και $CE $ διέρχονται από το ίδιο σημείο.
37th International Mathematical Olympiad 1996
▪ Λόγος ακτίνων = Λόγος αποστημάτων
ΠΟΡΙΣΜΑ
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται με το λόγο των ακτίνων τους και το λόγο των αποστημάτων τους.
Απόδειξη
Θεωρούμε δύο κανονικά πολύγωνα ΑΒΓ...Τ και Α'ΒΤ'...Τ' με το ίδιο πλήθος πλευρών, έστω ν (ν ≥3). Αν Ο,Ο' τα κέντρα των πολυγώνων, τα τρίγωνα ΟΑΒ και Ο'Α'Β' είναι όμοια γιατί είναι ισοσκελή και έχουν ΑÔΒ = Α'Ô'Β' = 360°ν και επομένως AΒA'B' = ΟΑΟ'Α' = ΟΗΟ'Η' , όπου ΟΗ, Ο'Η' τα ύψη των τριγώνων. Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι:
Από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας της Β΄ Λυκείου.▪ Βάζο
Μέσα σε ένα βάζο υπάρχουν μαύρες και άσπρες μπίλιες. Παίρνουμε στην τύχη δύο μπίλιες και αυτές είναι άσπρες.
i) Αν η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι $\frac{1}{1000}$, τότε ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός των μπιλιών που υπήρχαν στο βάζο;
ii) Αν η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι $\frac{3}{7}$, τότε ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός των μπιλιών που υπήρχαν στο βάζο;
Μ' ένα σμπάρο δυο τρίγωνα
Το σημείο $M$ είναι το μέσο της πλευράς $AB$, του τετραγώνου $ABCD$.
A) Βρείτε τη θέση σημείου $S$ της πλευράς $BC$, ώστε: $\widehat{MDA}= \widehat{MDS}$.
B) Βρείτε τη θέση σημείου $S$ της πλευράς $BC$, ώστε: $SM\perp MD$.
Πηγή: mathematica (KARKAR)
▪ Γ' Λυκείου: Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1986
1. Θεωρούμε τη συνάρτηση για την οποία
με .
Να δείξετε ότι :
α) Αν , η συνάρτηση είναι περιοδική (με περίοδο ,).
β) Αν , όπου αριθμός ασύμμετρος, η συνάρτηση δεν είναι περιοδική με περίοδο .
2. Είναι γνωστό ότι ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες του συνόλου των πραγματικών αριθμών:
i) Για κάθε υπάρχει φυσικός (Θεώρ.Αρχιμήδη)
ii) Για κάθε υπάρχει μοναδικός ακέραιος τέτοιος ώστε .
Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων (i), (ii) (ή με άλλο τρόπο) να αποδείξετε οτι μεταξύ δυο πραγματικών αριθμών () υπάρχει πάντα ένας ρητός .
▪Διοφαντικές εξισώσεις (Ι)
Nα λυθούν οι διοφαντικές εξισώσεις:
i) $x^2=1+y+y^2+y^3+y^4$, στο $Ν$.
ii) $x^2+x=y+y^2+y^3+y^4$, στο $Ζ$.
iii) $x^6+3x^3+1=y^4$, στο $Ζ$.
iv) $x^8+2x^6+2x^4+2x^2+1=y^2$, στο $Ζ$.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com ▪ Σαν σήμερα
Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 31 Δεκεμβρίου
1856 : William Thomson
1872 : Levytsky
1896 : Siegel
1916 : Northcott
1937 : Mazya
1945 : Adleman
1952 : Vaughan Jones
1610 : van Ceulen
1659 : Apaczai
1719 : Flamsteed
1894 : Stieltjes
1912 : Robert Ferguson
1944 : Kochin
1956 : Edwin P Adams
1962 : Charles Galton Darwin
1982 : Friedrichs
1872 : Levytsky
1896 : Siegel
1916 : Northcott
1937 : Mazya
1945 : Adleman
1952 : Vaughan Jones
Μαθηματικοί που πέθαναν στις 31 Δεκεμβρίου
1659 : Apaczai
1719 : Flamsteed
1894 : Stieltjes
1912 : Robert Ferguson
1944 : Kochin
1956 : Edwin P Adams
1962 : Charles Galton Darwin
1982 : Friedrichs
Κυριακή 30 Δεκεμβρίου 2012
▪ Τεστ Μαθηματικών
Σε ένα Τεστ Μαθηματικών πήραν μέρος μαθητές, οι οποίοι είχαν να απαντήσουν σε τρεις ερωτήσεις.
Οι απαντήσεις τους στις τρεις ερωτήσεις ήταν, αντίστοιχα, ως εξής:
Πρώτος μαθητής: α) , β) , γ) .
Δεύτερος μαθητής: α) , β) , γ) .
Τρίτος μαθητής: α) , β) , γ) .
Τέταρτος μαθητής: α) , β) , γ) .
Πέμπτος μαθητής: α) , β) , γ) .
Έκτος μαθητής: α) , β) , γ) .
Αν κάθε μαθητής απάντησε σωστά σε τουλάχιστον μία ερώτηση, ποιες είναι οι σωστές απαντήσεις στο τεστ;
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)