▪ Άγιος Βασίλης έρχεται..

Αρχιμηνιά κι αρχιχρονιά ψηλή μου δενδρολιβανιά. 

Κι αρχή-κι αρχή καλός μας χρόνος 

εκκλησιά-εκκλησιά με τ' άγιο θρόνος. 

Αρχή που βγήκε ο Χριστός άγιος και πνευματικός 

στη γη-στη γη να περπατήσει 

και να μας-και να μας καλοκαρδίσει. 

Άγιος Βασίλης έρχεται -άρχοντες το κατέχετε- 

από-από την Καισαρεία 

σύ 'σ' αρχό- συ 'σ' αρχόντισσα κυρία. 

Βαστά εικόνα και χαρτί ζαχαροκάρνο, ζυμωτή 

χαρτί και καλαμάρι 

δες και με-δες και με το παλικάρι. 

Το καλαμάρι έγραφε, τη μοίρα του την έλεγε 

και το χαρτί-και το χαρτί ομίλει 

Άγιε μου-άγιε μου καλέ Βασίλη. 

Και νέον έτος αριθμεί 

την του Χριστού περιτομή 

και η μνήμη του Αγίου 

Ιεράρχου Βασιλείου. 

Του χρόνου μας αρχή καλή 

και ο Χριστός μας προσκαλεί 

την κακία ν' αρνηθούμε 

μ' αρετές να στολιστούμε. 

Να ζούμε βίον τέλειον 

κατά το ευαγγέλιον 

με αγάπη με ειρήνη 

και με τη δικαιοσύνη. 

Χρόνια πολλά και ευτυχή 

με καθαρά κι αγνή ψυχή 

με χαρά και με υγεία 

και με θεία ευλογία.

▪ Διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου

▪ Διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

▪ Κάρολος Ντίκενς: Μια Χριστουγεννιάτικη ιστορία

Ο Κάρολος Ντίκενς αποτελεί έναν από τους σημαντικότερους ξένους συγγραφείς που ταξίδεψε και συνεχίζει να ταξιδεύει γενιές και γενιές μικρών και μεγάλων θαυμαστών του.

Γεννήθηκε στις 7 Φεβρουαρίου του 1812 και ήταν ο γιος του John και της Elizabeth Dickens. Ο πατέρας του ήταν υπάλληλος στο Naval Pay Office και μη έχοντας καθόλου καλή σχέση με τα οικονομικά βρέθηκε το 1824 στη φυλακή για χρέη στα οποία δεν μπορούσε να ανταποκριθεί. Σύσσωμη η οικογένεια με εξαίρεση των συγγραφέα, ο οποίος αναγκάστηκε να πιάσει δουλειά στο εργοστάσιο Warren’s Blacking, τον ακολούθησε στις φυλακές Marshalsea. Μόλις τα οικονομικά της οικογένειας μπήκαν σε μια σειρά και ο πατέρας του αφέθηκε ελεύθερος, ο δωδεκάχρονος Ντίκενς όντας σημαδεμένος ψυχολογικά από την πρώτη του άσχημη εργασιακή εμπειρία δέχτηκε και νέο χτύπημα αντιμετωπίζοντας την σκληρότητα της ίδιας του της μητέρας, η οποία επέμενε να συνεχίσει ο γιος της να εργάζεται κάτω από αυτές τις άθλιες συνθήκες. Για καλή του τύχη ωστόσο ο πατέρας του τον έσωσε στέλνοντας τον σχολείο στο Λονδίνο από το 1824 έως το 1827. Στα δεκαπέντε του βρήκε δουλειά ως υπάλληλος σε ένα δικηγορικό γραφείο και το βράδυ σπούδαζε στενογραφία.

Το σύντομο πέρασμά του ωστόσο από το εργοστάσιο στο οποίο δούλεψε τον είχε σημαδέψει βαθύτατα σε όλη του τη ζωή. Αναφερόταν για εκείνη την περίοδο ελάχιστα μόνο στην σύζυγό του και στον στενό του φίλο John Foster αλλά τα βιώματά του λειτούργησαν σαν μια δημιουργική ενέργεια και έναυσμα για την ενασχόλησή του με τα θέματα της αλλοτρίωσης και της προδοσίας όπως εμφανίζονται ξεκάθαρα και σε βιβλία του όπως ο David Copperfield και οι Μεγάλες Προσδοκίες.

▪ Raphael's school of Athens

▪ Αριθμός 251

Ο αριθμός 251 είναι ο μικρότερος ακέραιος αριθμός που μπορεί να γραφεί με δύο τρόπους ως άθροισμα τριών διαφορετικών κύβων:

251 = 1³ + 5³ + 5³ = 2³ + 3³ + 6³.

▪ Αριθμός 219

Ο αριθμός 219 είναι ο μικρότερος ακέραιος αριθμός που μπορεί να γραφεί με δύο τρόπους ως άθροισμα τεσσάρων κύβων:

219 = 1³ + 1³ + 1³ + 6³ = 3³+ 4³ + 4³ + 4³.

▪ Επιστολή του Μητροπολίτου Εδέσσης κ.Ιωήλ

Επιστολή του Μητροπολίτου Εδέσσης Πέλλης και Αλμωπίας κ. Ιωήλ στην Πρόεδρο του Αρείου Πάγου για τον Γέροντα Εφραίμ

Ἐν Ἐδέσσῃ τῇ 28ῃ Δεκεμβρίου 2011 

Πρὸς

Τὴν Ἐρίτιμον

Πρόεδρον τοῦ Ἀρείου Πάγου

κ. Ρέναν Ἀσημακοπούλου

Εἰς Ἀθήνας

Λαμβάνω τὸ θάρρος ὡς Ἐπίσκοπος καὶ Ἕλλην πολίτης ἐξ ἀφορμῆς τῆς προφυλακίσεως τοῦ Ἡγουμένου τῆς Ἱερᾶς Μονῆς Βατοπαιδίου π. Ἐφραὶμ νὰ ἀπευθυνθῶ εἰς Ὑμᾶς καὶ νὰ κοινοποιήσω ὡρισμένας σκέψεις μου.

Χωρὶς νὰ εἰσέρχωμαι εἰς τὴν ἐξουσίαν καὶ τὸ λειτούργημα, τὸ ὁποῖον ἐκπροσωπεῖτε, καὶ ἔχων διάθεσιν οὐχὶ ἐλεγκτικήν, ἀλλὰ παρακλητικήν, ἐπιθυμῶ νὰ Σᾶς παρακαλέσω νὰ ἐπιληφθῆτε τοῦ δημιουργηθέντος θέματος καὶ νὰ δώσητε λύσιν, ἡ ὁποία θὰ ἱκανοποιῇ τὸ δημόσιον αἴσθημα, ἐκκλησιαστικῶν ἢ μὴ ἀνθρώπων, περὶ Δικαίου. Πῶς εἶναι δυνατὸν νὰ εἶναι ἴσοι ἐνώπιον τοῦ νόμου ὅλοι (κληρικοὶ καὶ λαϊκοί), ὅταν οἱ ἐμπλεκόμενοι εἰς τὴν ὑπόθεσιν τῆς Ἱερᾶς Μονῆς Βατοπαιδίου δὲν εἶναι μόνον ὁ π. Ἐφραίμ, ἀλλὰ καὶ ὑπάλληλοι τοῦ κράτους καὶ πολλοὶ πολιτικοί; Αὐτοὶ ὅλοι ἀπηλλάγησαν, ἐνῶ ὁ π. Ἐφραὶμ προεφυλακίσθη. Δὲν εἶναι αὐτὸ κατάστασις ποὺ δημιουργεῖ εὐλόγους ἀπορίας; Ἴσως μοι ἀντείπητε ὅτι οἱ πολλοὶ ἀπηλλάγησαν διὰ νόμου. Ἀλλὰ τί νόμος εἶναι αὐτός, ὁ ὁποῖος διὰ τὸ ἴδιον παράπτωμα ἄλλους τοὺς ἀπαλλάσσει καὶ ἄλλους τοὺς κατακρίνει. Μήπως ἐπικρατεῖ εἰς τὴν πατρίδα μας τὸ jus majoris(τὸ δίκαιον τοῦ ἰσχυροτέρου) ἐκ μέρους τῶν πολιτικῶν μας;  
Ὁ χρόνος ποὺ ἐπραγματοποιήθη ἡ σύλληψις καὶ ἡ προφυλάκισις τοῦ Ἡγουμένου μόνον λύπην μπορεῖ νὰ δημιουργήσῃ. Ἡ Γέννησις τοῦ Χριστοῦ εἶναι σημεῖον ἀγάπης καὶ ὄχι ἐντάσεων.

Δώσατε λύσιν, διότι ὁ λαὸς τῆς Ἑλλάδος, ὡς ἄλλοι ἔνορκοι, ἴσως διαφορετικὰ ἐκτιμήσουν τὴν ὑπόθεσιν αὐτὴν καὶ σχηματίσουν ἀντίληψιν διὰ τοὺς δικαστικοὺς ὄχι ὀρθὴ ἀλλὰ οὔτε καὶ κολακευτική.

Δὲν ἀναμένω ἀπάντησίν Σας, ἐπειδὴ ἀσχολεῖστε μὲ πολλὰς ὑποθέσεις, ἀλλὰ τυχὸν ἀπόκρισίς Σας θὰ θεωρηθῇ ἐξαιρετικὴ τιμὴ δι' ἡμᾶς.

Μὲ τὴν ἐλπίδα ὅτι θὰ ἀποκατασταθῇ τὸ δίκαιον καὶ ἡ ἀλήθεια εὔχομαι Ὑμῖν τὰ δέοντα.   

Ὁ Ἐδέσσης, Πέλλης καὶ Ἀλμωπίας ΙΩΗΛ

▪ Χριστουγεννιάτικο δέντρο

Έστω ένα σημείο στο εσωτερικό ενός ισοπλεύρου τριγώνου, τέτοιο ώστε οι αποστάσεις του από τις τρεις κορυφές του είναι 5, 12, και 13. 

Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου.
Δείτε εδώ, τη λύση που μου έστειλε ο φίλος Νίκος Φραγκάκης, από την Ιεράπετρα.

Πολύεδρο με επτά ακμές;

Ένα πολύεδρο με έξι ακμές καλείται τετράεδρο, και ένα πολύεδρο με οκτώ ακμές ονομάζεται τετράπλευρη πυραμίδα. 

Πως λέγεται το πολύεδρο με επτά ακμές;

Πολλά 56

Nα υπολογισθεί:

 

▪ Akropolis World News

Ο Ισπανός καθηγητής Χουάν Κοντέρχ, που διδάσκει Αρχαία Ελληνικά και Λατινικά στο Πανεπιστήμιο St Andrews της Σκωτίας είναι ο δημιουργός της σελίδας Akropolis World News, στην οποία θα βρείτε άρθρα για την επικαιρότητα γραμμένα σε άπταιστα Αρχαία Ελληνικά! 

Σύμφωνα με όσα λέει ο Ισπανός καθηγητής, αυτή ήταν η απάντησή του στις τρεις ιστοσελίδες που ανεβάζουν ειδήσεις στα Λατινικά. Βασικός του στόχος είναι και η εξάσκηση φοιτητών της αρχαίας ελληνικής γλώσσας, που είναι και επισκέπτες της σελίδας.

Όσοι λοιπόν θέλετε να δείτε το εγχείρημα του Ισπανού καθηγητή, ο οποίος δηλώνει λάτρης της χώρας μας, μπείτε στο www.akwn.net.

▪ Σχέσεις αμετάβλητες

“Οι μαθηματικοί δεν μελετούν αντικείμενα, αλλά σχέσεις μεταξύ αντικειμένων. Επομένως, διαθέτουν την ελευθερία να αντικαταστήσουν κάποια αντικείμενα με άλλα εφόσον οι σχέσεις παραμένουν αμετάβλητες.” 

Jules Henri Poincare (1854-1912)

▪ Φράκταλ (ΙΙ)

Δύναμη του 2

Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο:

είναι δύναμη του 2.

Γωνίες τριγώνου

Τι μπορούμε να πούμε για τις γωνίες ενός τριγώνου, του οποίου οι πλευρές του έχουν την παρακάτω ιδιότητα:

▪ Τούρτα γάμου

▪ Παράγουσα συνάρτηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

[Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1

Εκφώνηση

Να βρείτε την παράγουσα της συνάρτησης , όταν η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα στο σημείο με τεταγμένη .
Λύση
Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το και οι παράγουσες της στο είναι οι συναρτήσεις:
.
Επειδή η γραφική παράσταση της ζητούμενης παράγουσας τέμνει τον άξονα στο σημείο , θα έχει εξίσωση που επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του σημείου Α.
Άρα:
.
Επομένως, η ζητούμενη παράγουσα της είναι η .(Βλέπε Σχήμα)

Μεθοδολογία

Για να βρούμε την παράγουσα μιας συνάρτησης που η γραφική της παράσταση διέρχεται από γνωστό σημείο Α εργαζόμαστε ως εξής:
Βρίσκουμε πρώτα τις παράγουσές της με τη βοήθεια των πινάκων παραγουσών συναρτήσεων και τις ιδιότητες των παραγουσών.
Προσδιορίζουμε τη ζητούμενη παράγουσα με τη βοήθεια των συνταγμένων του σημείου Α.
Επιμέλεια: Καρούσος Σωκράτης
Επιστημονικός έλεγχος: Μπαραλός Γεώργιος

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2

Εκφώνηση
Για κάθε μία από τις παρακάτω συναρτήσεις, να βρείτε την αρχική συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(0,1).
i.
ii.
iii.
iv.
Λύση
i. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, συνεπώς έχει αρχική συνάρτηση.
Αναζητούμε αρχικά μια συνάρτηση , τέτοια ώστε να ισχύει .
Παρατηρούμε ότι μια τέτοια συνάρτηση είναι η , διότι
.
Γνωρίζουμε ότι κάθε άλλη αρχική G της f παίρνει τη μορφή , .
Δηλαδή .
Για να υπολογίσουμε τη σταθερά αξιοποιούμε το δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της αρχικής που αναζητούμε διέρχεται από το σημείο Α(0,1), δηλαδή θα ισχύει .
Έχουμε .
Τελικά η ζητούμενη συνάρτηση είναι η .
ii. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, συνεπώς έχει αρχική συνάρτηση.

Αναζητούμε αρχικά μια συνάρτηση , τέτοια ώστε να ισχύει .
Παρατηρούμε ότι μια τέτοια συνάρτηση είναι η , διότι

.

Γνωρίζουμε ότι κάθε άλλη αρχική της παίρνει τη μορφή , .
Δηλαδή .
Για να υπολογίσουμε τη σταθερά αξιοποιούμε το δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της αρχικής που αναζητούμε διέρχεται από το σημείο Α(0,1), δηλαδή θα ισχύει .
Έχουμε .
Τελικά η ζητούμενη συνάρτηση είναι η .
iii. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, συνεπώς έχει αρχική συνάρτηση.
Αναζητούμε αρχικά μια συνάρτηση , τέτοια ώστε να ισχύει .
Παρατηρούμε ότι μια τέτοια συνάρτηση είναι η , διότι
.
Γνωρίζουμε ότι κάθε άλλη αρχική της παίρνει τη μορφή , .
Δηλαδή .
Για να υπολογίσουμε τη σταθερά αξιοποιούμε το δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της αρχικής που αναζητούμε διέρχεται από το σημείο Α(0,1), δηλαδή θα ισχύει .
Έχουμε .
Τελικά η ζητούμενη συνάρτηση είναι η .
iv. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, συνεπώς έχει αρχική συνάρτηση.
Αναζητούμε αρχικά μια συνάρτηση , τέτοια ώστε να ισχύει .
Παρατηρούμε ότι μια τέτοια συνάρτηση είναι η , διότι
.
Γνωρίζουμε ότι κάθε άλλη αρχική της παίρνει τη μορφή , .
Δηλαδή .
Για να υπολογίσουμε τη σταθερά αξιοποιούμε το δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της αρχικής που αναζητούμε διέρχεται από το σημείο Α(0,1), δηλαδή θα ισχύει .
Έχουμε .
Τελικά η ζητούμενη συνάρτηση είναι η .
Μεθοδολογία
Για να βρούμε μία συγκεκριμένη παράγουσα μιας συνάρτησης αναζητούμε αρχικά μια συνάρτηση , τέτοια ώστε να ισχύει .
Κάθε άλλη αρχική της παίρνει τη μορφή .
Αξιοποιούμε τα δεδομένα για να υπολογίσουμε τη σταθερά και να βρούμε τον τύπο της ζητούμενης παράγουσας.

Επιμέλεια: Ανδριόπουλος Θεόδωρος

Επιστημονικός έλεγχος: Μπερκέτης Νικόλαος

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3

Εκφώνηση
Ο συνολικός αριθμός Ν των πωλήσεων (σε χιλιάδες) ενός μοντέλου κινητού τηλεφώνου στους πρώτους 6 μήνες της κυκλοφορίας του εμφανίζει ρυθμό μεταβολής
, ( σε μήνες).
Να βρείτε τον συνολικό αριθμό των πωλήσεων στο τέλος του 6ου μήνα με δεδομένο ότι τον 3ο μήνα οι συνολικές πωλήσεις ήταν 7,5 χιλιάδες τηλέφωνα.
Λύση
Αφού ο ρυθμός μεταβολής είναι , τότε .

Όμως δίνεται άρα αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση προκύπτει ,
δηλαδή .
Έτσι, ο συνολικός αριθμός των πωλήσεων στο τέλος του 6ου μήνα θα είναι χιλιάδες τηλέφωνα.
Μεθοδολογία
Όταν δίνεται η συνάρτηση του ρυθμού μεταβολής μιας συνάρτησης , δηλαδή , όπου γνωστή συνάρτηση, και ζητείται ο υπολογισμός μιας τιμής της συνάρτησης , τότε βρίσκουμε μια συνάρτηση τέτοια ώστε . Από την ισότητα και αξιοποιώντας τα δεδομένα, βρίσκουμε τον τύπο της συνάρτησης και στη συνέχεια υπολογίζουμε τη ζητούμενη τιμή της.

Επιμέλεια: Ανδριόπουλος Θεόδωρος

Επιστημονικός έλεγχος: Μπερκέτης Νικόλαος