▪ Τα Θέματα του IMC 2011

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1ης ΗΜΕΡΑΣ 

Πρόβλημα 1

Έστω συνεχής συνάρτηση . Ένα σημείο λέγεται σκιώδες αν υπάρχει σημείο ώστε . Έστω οι πραγματικοί για τους οποίους όλα τα σημεία του ανοικτού διαστήματος είναι σκιώδη σημεία.Τα και δεν είναι σκιώδη σημεία.Αποδείξτε ότι:

α) για κάθε .

β).

Πρόβλημα 2

Υπάρχει πραγματικός πίνακας , ώστε και ;

Πρόβλημα 3

Έστω ένας πρώτος αριθμός.Καλούμε ενδιαφέροντα έναν θετικό ακέραιο αν για κάποια πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές.

α) Αποδείξτε ότι ο αριθμός είναι ενδιαφέροντας.

β) Για ποιους ο αριθμός είναι ο μικρότερος ενδιαφέρων αριθμός.

Πρόβλημα 4

Έστω τα , τα οποία είναι πεπερασμένα, μη κενά σύνολα. Ορίστε τη συνάρτηση .

Αποδείξτε ότι η είναι μη φθίνουσα στο . (Το συμβολίζει τον αριθμό των στοιχείων του Α)

Πρόβλημα 5

Έστω ένας θετικός ακέραιος και έστω ένας -διάστατος διανυσματικός χώρος υπέρ του σώματος των δύο στοιχείων. Να αποδειχθεί ότι για τυχόντα διανύσματα υπάρχει ακολουθία δεικτών έτσι ώστε

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 2ης ΗΜΕΡΑΣ

Πρόβλημα 1

Έστω . Ορίστε την ακολουθία ,. Συγκλίνει; Αν ναι, βρείτε το όριο της.

Πρόβλημα 2

Μια εξωγήινη φυλή έχει τρία φύλα: αρσενικό,θυληκό και ουδέτερο. Μια παντρεμένη τριάδα αποτελείται από τρία άτομα, ένα από κάθε φύλο, από τα οποία ο καθένας αρέσει στον άλλον. Κάθε άτομο επιτρέπεται να ανήκει στο πολύ μια παντρεμένη τριάδα. Τα αισθήματα είναι πάντα αμοιβαία. (Αν ο αρέσει τον , τότε ο αρέσει τον )

H φυλή θέλει να αποικήσει έναν πλανήτη, οποτε στέλνει αρσενικά, θυληκά και ουδέτερα. Κάθε μέλος της αποστολής αρέσει τουλάχιστον μέλη των υπολοίπων δύο φύλων. Το πρόβλημα είναι να δημιουργηθούν όσο το δυνατόν περισσότερες παντρεμένες τριάδες για να αποικήσουν τον πλανήτη.

α) Αποδείξτε ότι ότι αν ο είναι άρτιος και , τότε μπορεί να μην υπάρχει καμία παντρεμένη τριάδα.

β) Αποδείξτε ότι αν , τότε μπορούν να δημιουργηθούν παντρεμένες τριάδες.

Πρόβλημα 3
Υπολογίστε το
Πρόβλημα 4

Έστω ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελέστές βαθμού n. Έστω πως το κλάσμα είναι ακέραιο για κάθε . Αποδείξτε ότι για κάθε διαφορετικά .

Πρόβλημα 5

Έστω κυρτό πολύγωνο στο επίπεδο. Ορίζουμε για κάθε την πράξη η οποία αντικαθιστά το με ένα νέο πολύγωνο όπου το είναι το συμμετρικό του ως προς την μεσοκάθετη της ευθείας . Να αποδειχθεί ότι .
Πηγή: http://www.mathematica.gr/