▪ Challenges in Geometry

Christopher J. Bradley 

Challenges in Geometry for Mathematical Olympians Past and Present

Κάντε κλικ εδώ, για να διαβάσετε το βιβλίο.

▪ Τα Θέματα του IMC 2011

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1ης ΗΜΕΡΑΣ 

Πρόβλημα 1

Έστω συνεχής συνάρτηση . Ένα σημείο λέγεται σκιώδες αν υπάρχει σημείο ώστε . Έστω οι πραγματικοί για τους οποίους όλα τα σημεία του ανοικτού διαστήματος είναι σκιώδη σημεία.Τα και δεν είναι σκιώδη σημεία.Αποδείξτε ότι:

α) για κάθε .

β).

Πρόβλημα 2

Υπάρχει πραγματικός πίνακας , ώστε και ;

Πρόβλημα 3

Έστω ένας πρώτος αριθμός.Καλούμε ενδιαφέροντα έναν θετικό ακέραιο αν για κάποια πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές.

α) Αποδείξτε ότι ο αριθμός είναι ενδιαφέροντας.

β) Για ποιους ο αριθμός είναι ο μικρότερος ενδιαφέρων αριθμός.

Πρόβλημα 4

Έστω τα , τα οποία είναι πεπερασμένα, μη κενά σύνολα. Ορίστε τη συνάρτηση .

Αποδείξτε ότι η είναι μη φθίνουσα στο . (Το συμβολίζει τον αριθμό των στοιχείων του Α)

Πρόβλημα 5

Έστω ένας θετικός ακέραιος και έστω ένας -διάστατος διανυσματικός χώρος υπέρ του σώματος των δύο στοιχείων. Να αποδειχθεί ότι για τυχόντα διανύσματα υπάρχει ακολουθία δεικτών έτσι ώστε

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 2ης ΗΜΕΡΑΣ

▪ Νικόλαος Νικολάου: Τριγωνομετρία

ΝΙΚΟΛΑΟΥ Δ. ΝΙΚΟΛΑΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΔΙΑ ΤΗΝ Η΄ ΤΑΞΙΝ ΤΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ

ΕΝ ΑΘΗΝΑΙΣ 1950

Κάντε κλικ εδώ, για να διαβάσετε το βιβλίο.

▪ Νείλου Σακελαρίου: ΑΛΓΕΒΡΑ

Νείλου Σακελαρίου

Καθηγητού τού Πανεπιστημίου

ΑΛΓΕΒΡΑ

Διά τάς ανωτέρας τάξεις των Γυμνασίων

ΕΝ ΑΘΗΝΑΙΣ 1966

Κάντε κλικ εδώ, για να διαβάσετε το βιβλίο.

▪ Γ Λυκείου: Δύο διαγωνίσματα εφ΄ όλης της ύλης

Επιμέλεια: Κριμπάς Θοδωρής, Καρακάωστα Νάσια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

▪ Τα παράδοξα του Ζήνωνα

Συμβολή σε μιαν ατελείωτη συζήτηση 

Του Διονύση Μετζενιώτη

«Τα επιχειρήματα του Ζήνωνα, σε κάποια τους μορφή, έχουν δώσει τις βάσεις για όλες σχεδόν τις θεωρίες του χώρου και του απείρου που έχουν προταθή από την εποχή του, έως τις ημέρες μας».

Β. Russell

▪ Μαθήματα τριγωνομετρίας: Ευθυγράμμου και Σφαιρικής

Σπάνιο βιβλίο.

Μαθήματα τριγωνομετρίας: Ευθυγράμμου και Σφαιρικής

Ερανισθέντα υπό του συνταγματάρχου του πυροβολικού Μιχαήλ Σοφιανού. Εν Αθήναις, 1871

Κάντε κλικ εδώ.

▪ Σχολεία χωρίς δασκάλους και καθηγητές

600 μόνο διορισμούς δασκάλων - νηπιαγωγών και καθηγητών!!

Δέκα και πλέον χιλιάδες αιτήσεις συνταξιοδότησης εκπαιδευτικών αναμένονται φέτος και διορισμοί "χιλίων συν πλην" κατά την έκφραση της, σε ΟΛΕΣ τις βαθμίδες της εκπαίδευσης: νηπιαγωγεία, δημοτικά, γυμνάσια - λύκεια, πανεπιστήμια ... 

Το πιστεύετε? Κι όμως ...

Παρακολουθήστε τη συνέντευξη της:

Από το 7ο λεπτό και μετά μιλάει για τους διορισμούς και ξανά μετά το 34ο λεπτό. Πάρτε και κανένα υπογλώσσιο καλού κακού...

▪Ολοκληρωτικός Λογισμός: 121 ασκήσεις

121 ασκήσεις, στον Ολοκληρωτικό Λογισμό, στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου, με τις λύσεις τους.  

Κάντε κλικ εδώ.
Του Χ. Πέτροβα

▪ Οκτώ μέρη - 3

Να τοποθετήσετε σε κάθε ένα τετραγωνάκι έναν από τους αριθμούς 1 έως και 8. Ο αριθμός n εμφανίζεται n φορές. Οι ίδιοι αριθμοί είναι όλοι τους μαζεμένοι, ο ένας δίπλα στον άλλον. Οι αριθμοί που βρίσκονται εξωτερικά του τετραγώνου, δηλώνουν το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται στις αντίστοιχες γραμμές και στήλες.

α) β)

Δείτε ένα παράδειγμα εδώ.

▪Ερευνητικές εργασίες της Α΄ Τάξης Λυκείου

Στους παρακάτω συνδέσμους μπορείτε να βρείτε σχετικό επιμορφωτικό υλικό από διάφορες πηγές:

• Οι ερευνητικές εργασίες της Α΄ Τάξης Λυκείου -Οδηγός επιμορφωτή
• Οι ερευνητικές εργασίες της Α΄ Τάξης Λυκείου -Οδηγός επιμορφούμενου
• Καινοτομία Ερευνητικών Εργασιών
• Οδηγός Ερευνητικών Εργασιών Λυκείου
• Οι Φάσεις των Ερευνητικών Εργασιών
• Ερευνητικές Εργασίες: Το γενικότερο πλαίσιο
• Παρουσιάσεις από το ΠΕΚ Μυτιλήνης (1η μέρα, 2η μέρα)
• Χρονοπρογραμματισμός (ενδεικτικός)
• Ολοκληρωμένο παράδειγμα Ερευνητικής Εργασίας με θέμα τον Πολιτισμό
• Ιστοεξερευνήσεις (τι είναι, άρθρο)
Πηγή: http://blogs.sch.gr/nikmichailidis

▪ Οκτώ μέρη - 2

Να τοποθετήσετε σε κάθε ένα τετραγωνάκι έναν από τους αριθμούς 1 έως και 8. Ο αριθμός n εμφανίζεται n φορές. Οι ίδιοι αριθμοί είναι όλοι τους μαζεμένοι, ο ένας δίπλα στον άλλον. Οι αριθμοί που βρίσκονται εξωτερικά του τετραγώνου, δηλώνουν το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται στις αντίστοιχες γραμμές και στήλες.

α) β)
Δείτε ένα παράδειγμα εδώ.

▪ Σαλινόν

Εμβαδόν του Σαλινόν. Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Σαλινόν (από το όνομα αρχαίας ελληνικής ασπίδας)

▪ Και πού θα μας χρησιμεύσουν αυτά, κύριε?

Στον σύγχρονο κόσμο των πρακτικών εφαρμογών  οι μαθητές απαιτούν από το σχολείο να τους προσφέρει  εκείνες τις γνώσεις που μπορούν να χρησιμοποιούν άμεσα, αλλά και την σύνδεση αυτών με την καθημερινή πραγματικότητα. Αυτό σημαίνει ότι αποκτά γι΄αυτούς αξία  κάθε τι χειροπιαστό και όχι κάτι το αφηρημένο. Η κατάρα του αφηρημένου όμως συνοδεύει πάντα τα μαθηματικά και αυτό περνάει (αναπόφευκτα) και μέσα από τα σχολικά μαθηματικά. Έτσι όμως καταλήγουμε στην   δημιουργία  μιας στρεβλής εικόνας:  δεν μπορούμε να δούμε πως τα μαθηματικά βρίσκονται παντού γύρω μας, και σαν παγκόσμια γλώσσα συμβάλλουν στην καλύτερη κατανόηση του κόσμου που μας περιβάλλει, μόνο που χρειάζεται προσπάθεια (άλλοτε μικρή και άλλοτε μεγάλη) για να τo ανακαλύψουμε. 

Αρχικά ας δώσουμε  μερικά παραδείγματα χρησιμότητας των Μαθηματικών: 

Η μέτρηση της απόστασης δύο απρόσιτων σημείων δεν θα ήταν δυνατή χωρίς  τη Γεωμετρία,  οι Μιγαδικοί αριθμοί έχουν άμεση εφαρμογή στο εναλλασσόμενο ρεύμα, ο λεπτομερής σχεδιασμός των τροχιών των διαστημικών οχημάτων γίνεται με την βοήθεια διαφορικών εξισώσεων, η Αναλυτική Γεωμετρία μέσω της ανακλαστικής ιδιότητας της έλλειψης δίνει στην Ιατρική έναν τρόπο κονιορτοποίησης των λίθων του νεφρού, η λειτουργία του γνωστού μας  GPS (Global Positioning System) στηρίζεται στον ορισμό της κωνικής τομής που λέγεται Υπερβολή, η Θεωρία Αριθμών έχει εφαρμογές στην Κρυπτογραφία. 

Οι μαθητές συνήθως κάνουν  την ερώτηση "πού χρησιμεύει αυτό;" σαν άλλοθι, όταν δεν αντιλαμβάνονται μια έννοια. Από τα πιο συνηθισμένα ερωτήματα που θέτουν οι μαθητές στους καθηγητές τους είναι «Γιατί μαθαίνουμε Μαθηματικά;» και «Πού θα μας χρησιμεύσουν;» Πράγματι, με μια επιδερμική και αφελή προσέγγιση θα έλεγε κάποιος πως τα Μαθηματικά δεν είναι και τόσο χρήσιμα, αφού οι περισσότεροι άνθρωποι χρειάζονται μόνο τις 4 πράξεις για τους καθημερινούς υπολογισμούς τους. 

Τα πράγματα όμως δεν είναι τόσο απλά. Μέσω των Μαθηματικών οι μαθητές μπορούν να αποκτήσουν έναν επιστημονικό τρόπο σκέψης και αντιμετώπισης πραγματικών καταστάσεων. Αυτό δύναται να επιτευχθεί μέσω των διαδικασιών επίλυσης προβλημάτων. Επιλύοντας προβλήματα, οι μαθητές επιστρατεύουν πολλές διανοητικές λειτουργίες τους, όπως αυτές  της κρίσης, της φαντασίας, της αυτενέργειας κ.ά., συνθέτουν ένα συλλογισμό επίλυσης, τον εφαρμόζουν, ελέγχουν τα αποτελέσματα και αξιολογούν την ορθότητά τους. Σε πολλές χώρες υπάρχει ειδικό (σχετικό) μάθημα το Problem Solving.

Με την εκμάθηση και σωστή χρήση της αυστηρά δομημένης γλώσσας των Μαθηματικών, οι μαθητές δημιουργούν θετικές στάσεις ζωής, όπως ακρίβεια, σαφήνεια, πειθαρχία, ορθολογική σκέψη, επιχειρηματολογία (μέσω της απόδειξης). 

Η μέθοδος διδασκαλίας του μαθηματικού αντικειμένου βέβαια δεν θα πρέπει να προσφέρει έτοιμη γνώση, αλλά να βοηθάει τους μαθητές να την ανακαλύψουν μόνοι τους. Έτσι, οι μαθητές, μέσω της παρατήρησης, της εξερεύνησης, της ανίχνευσης των νόμων και κανόνων που διέπουν τα Μαθηματικά, θα αναπτύξουν ικανότητες  λογικής σκέψης, θα διαμορφώσουν σωστή κρίση και θα μάθουν να αναγνωρίζουν σχέσεις μεταξύ ανεξάρτητων γεγονότων. 

Μέσω των  μαθημάτων  της Γεωμετρίας, της Τριγωνομετρίας και της Στερεομετρίας, μπορούν να αναγνωρίσουν την  ομορφιά, την αρμονία και τη συμμετρία των σχημάτων της φύσης και να ανακαλύψουν τις ιδιότητές τους. 

Στο σημερινό σχολείο η χρησιμότητα των Μαθηματικών καθώς και η σύνδεση της μαθηματικής γνώσης με την πραγματικότητα αγνοούνται (σε μεγάλο βαθμό) επιμελώς, ενώ τα πραγματικά Μαθηματικά, οι μαθηματικές έννοιες δηλαδή, υποχωρούν μπροστά στην τεχνική και η μαθηματική γνώση διολισθαίνει σε ένα σύνολο από κανόνες, τύπους και μεθοδολογίες. Ο μαθητής αγνοεί την ουσία, το νόημα, το περιεχόμενο, τη χρησιμότητα. Απομνημονεύει απλώς και μάλιστα βίαια στοχεύοντας  στην επιτυχία στις εξετάσεις , αλλά η  μαθηματική παιδεία του πληθυσμού  εξακολουθεί να παραμένει σε ανησυχητικά χαμηλά επίπεδα. Ως αποτέλεσμα έχουμε το τραγελαφικό φαινόμενο, μαθητές που γράφουν άριστα στα Μαθηματικά στις  Εισαγωγικές Εξετάσεις στα Πανεπιστήμια, να μην ξέρουν τι είναι Ορισμένο Ολοκλήρωμα.

▪ ΔΙΟΡΙΣΜΟΙ 2010 - 2011

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ΔΙΟΡΙΣΜΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 2010 - 2011

Αρ.Πρωτ.96218/Δ2/02-08-2010/ΥΠΔΒΜΘ

ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ
Α/ΘΜΙΑΣ & Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ
ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ
ΤΜΗΜΑ Α
Πληροφορίες:
210.3442387 - 210.3442267 - 210.3443417 - 210.3443345 - 210.3442789- 210.3442260 - 210.3443373 - 210 3442311 - 210 3442261 - 210 3442274 - 210 3443084 - 210 3443072

ΘΕΜΑ :Πρόσκληση υποψηφίων εκπαιδευτικών

α) των κλάδων που έχουν πραγματική προϋπηρεσία είκοσι τεσσάρων μηνών (24/μηνίτες) με επιτυχία σε διαγωνισμό του ΑΣΕΠ του κλάδου τους,

β) των κλάδων που είναι εγγεγραμμένοι στον ενιαίο πίνακα αναπληρωτών του άρθρου 6 παρ.2α περ.ββ’ του Ν. 3255/2004 σε ποσοστό 40%,

γ) από τους πίνακες διοριστέων του ΑΣΕΠ του έτους 2008 (αριθμ. 2Π/2008, 3Π/2008 4Π/2008 και 5Π/2008 Προκηρύξεις ΑΣΕΠ) σε ποσοστό 60%,

δ) κλάδων Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, οι οποίοι έχουν συμπληρώσει στις 30-06-2008 πραγματική προϋπηρεσία τουλάχιστον τριάντα μηνών (30/μηνίτες) και

ε) κλάδου ΠΕ16.01 από συμπληρωματικό πίνακα διοριστέων του ΑΣΕΠ του έτους 2010 (αριθμ. 1Π/2008 Προκήρυξη ΑΣΕΠ),

για μόνιμο διορισμό σε κενές οργανικές θέσεις κατά το σχολικό έτος 2010-2011, σύμφωνα με τις διατάξεις του άρθρου 9 του ν. 3848/2010 (ΦΕΚ 71/19.5.2010 τ. Α).

Το Υπουργείο Παιδείας, Διά Βίου Μάθησης και Θρησκευμάτων θα προβεί σε διορισμό μόνιμου εκπαιδευτικού προσωπικού σε περιοχές διορισμού Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης για το σχολικό έτος 2010-2011 από υποψηφίους που συμπλήρωσαν πραγματική προϋπηρεσία αναπληρωτή ή ωρομίσθιου εκπαιδευτικού μέχρι 30-06-2010 τουλάχιστον 24 μηνών και έχουν λάβει τη βαθμολογική βάση (επιτυχόντες) σε οποιονδήποτε διαγωνισμό του ΑΣΕΠ του κλάδου τους, από υποψηφίους που είναι εγγεγραμμένοι στους ενιαίους πίνακες αναπληρωτών της παρ. 2 του άρθρου 6 περ.ββ΄ του ν. 3255/2004 σε ποσοστό 40% των πληρούμενων θέσεων, από τους εγγεγραμμένους στους πίνακες διοριστέων του ΑΣΕΠ 2008 του άρθρου 1 παρ.7 του ν. 2834/2000 (ΦΕΚ 160 τ.Α΄) για την κάλυψη σε ποσοστό 60% των πληρούμενων θέσεων και από υποψηφίους που συμπλήρωσαν πραγματική προϋπηρεσία αναπληρωτή ή ωρομίσθιου εκπαιδευτικού μέχρι 30-06-2008 τουλάχιστον 30 μηνών, σύμφωνα με όσα προβλέπονται στις μεταβατικές διατάξεις του άρθρου 9 του ν.3848/2010(ΦΕΚ 71 Α΄/19-5-2010).

Προθεσμία υποβολής αιτήσεων ορίζεται: από 04-08-2010 μέχρι 10-08-2010.

Η προθεσμία είναι αποκλειστική και ουδεμία παράταση θα δοθεί.

ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΗ: Οι εκπαιδευτικοί που ανήκουν στις ειδικές κατηγορίες της παρ.10 του άρθρου 9 του ν.3848/2010(ΦΕΚ 71 Α΄/19-5-2010) θα κληθούν με νεώτερη εγκύκλιο να υποβάλουν αίτηση για μόνιμο διορισμό.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α - ΝΟΜΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

(σ.σ. Βλέπε πρωτότυπο έγγραφο στο τέλος του άρθρου)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β - ΥΠΟΒΟΛΗ ΑΙΤΗΣΕΩΝ

▪Μαθηματική ανάλυση

Η Μαθηματική ανάλυση μπορεί να υποδιαιρείται στο Διαφορικό λογισμό και στον Ολοκληρωτικό λογισμό. Ο Διαφορικός λογισμός αναφέρεται στο στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής ποσοτήτων σε συνάρτηση με άλλες ποσότητες ή αλλιώς στην τοπική συμπεριφορά μιας συνάρτησης. Αυτό μπορεί να ερμηνευτεί από την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τον άξονα των χ. Ο Ολοκληρωτικός λογισμός περιγράφει το πώς αθροίζονται οι στιγμιαίες αυτές μεταβολές σ’ ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα για να μας δώσουν το συνολικό αποτέλεσμα. Δηλαδή εξετάζοντας πως ένα μέγεθος μεταβάλλεται, οι επιστήμονες επιζητούσαν να μάθουν κάτι για το ίδιο το μέγεθος. Παραδείγματος χάριν, από τη γνώση της ταχύτητας ενός κινητού, επιθυμούσαν να προσδιορίσουν τη θέση του σώματος συναρτήσει του χρόνου. Έτσι άρχισαν να μελετούν εμβαδά επιφανειών που ορίζονται από καμπύλες. Η διαδικασία εύρεσης ολοκληρωμάτων καλείται ολοκλήρωση και χρησιμοποιείται συνήθως για να μετρήσουμε μια ολότητα όπως εμβαδόν, όγκο, μάζα, μετατόπιση κ.λπ., όταν η κατανομή της ή ο ρυθμός μεταβολής της καθορίζεται με ακρίβεια σε σχέση με μια άλλη ποσότητα (θέση, χρόνος κ.λπ). Στην ανάλυση το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης είναι μια επέκταση της έννοιας του αθροίσματος. 

Υπάρχουν δυο τύποι ολοκληρωμάτων, το αόριστο (μια συνάρτηση) και το ορισμένο ολοκλήρωμα. Το ορισμένο ολοκλήρωμα υπολογίζει το αθροιστικό αποτέλεσμα πολλών μικρών αλλαγών μιας ποσότητας.

Φύση και Μαθηματικά

▪ O κόσμος των φράκταλς

Αξιοποίηση του Sketchpad για τη δημιουργία και εξερεύνηση του κόσμου των φράκταλς

Στην εργασία αυτή συζητάμε πρώτα κάποια χαρακτηριστικά των φράκταλς και περιγράφουμε με πολύ απλούς όρους μερικές από τις ιδιότητές τους. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε κάποιες ιδέες και υποδείξεις για την κατασκευή διαφόρων τύπων απλών φράκταλς αξιοποιώντας κάποιες εντολές του γεωμετρικού λογισμικού Geometer’s Sketchpad, όπως αρχεία εντολών και μετασχηματισμούς. Όλες αυτές οι ιδέες και υποδείξεις μπορεί να χρησιμοποιηθούν προκειμένου να βοηθήσουν τους μαθητές, καθώς επίσης και καθηγητές των μαθηματικών σε επιμορφωτικά προγράμματα, να δημιουργήσουν και να εξερευνήσουν δικές τους εικόνες φράκταλς με την βοήθεια του Geometer’s Sketchpad.

Εργασία: Μπάμπης Τουμάσης - Τάσος Αρβανίτης

▪ 5ο τεύχος του περιοδικού "Εικοσιδωδεκάεδρον"

Κάντε κλικ εδώ, για να δείτε το περιοδικό.

▪Προγράμματα επιμόρφωσης εκπαιδευτικών στη χρήση ΤΠΕ

Στο 4ο Γυμνάσιο Σταυρούπολης, τον Σεπτέμβριο (Γ περίοδος) θα υλοποιηθούν 2 προγράμματα επιμόρφωσης εκπαιδευτικών β’ επιπέδου με τα εξής χαρακτηριστικά:

1. Πρόγραμμα 3216-3 – ΠΕ02
Τετάρτη: 16:00-19:00
Παρασκευή: 19:00-22:00
2. Πρόγραμμα 3216-4 – ΠΕ70
Τρίτη & Πέμπτη
19:00-22:00
για πληροφορίες και αιτήσεις επισκεφτείτε την ιστοσελίδα:

http://b-epipedo2.cti.gr/mis

και χρησιμοποιείστε τους κωδικούς που σας ειχαν δωθει για την πιστοποιηση Α’ Επίπεδου.

▪ Είναι?

Οι κόκκινες γραμμές είναι παράλληλες μεταξύ τους!

▪ Όμορφα Μαθηματικά

1. Κλασική Γεωμετρία
2. Πλακοστρώσεις
3. Το θεώρημα των 4 χρωμάτων
Εργασία του Δημήτρη Παναγόπουλου.

▪Μικροοργανισμοί

Πανέμορφες εικόνες μικροοργανισμών από μικροσκόπιο.

	Algae
	Arachnids
	Bacteria
	Crystals
	Fungi
	Insects
	Medical
	Misc. Invertebrates
	Misc. Vertebrates
	Miscellaneous
	Plants
	Protozoa
	Viruses