▪ Ανισότητες - 54η

Αν a, b και c μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε  
να αποδειχθεί ότι:

[W. Berndt]

▪ Ανισότητες - 53η

Αν a, b και c πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε   και , να αποδειχθεί ότι:

▪ Ανισότητες - 52η

Αν a, b και c θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε

να αποδειχθεί ότι:

[T. Q. Anh]

▪ Ανισότητες - 51η

Αν a, b και c μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε , να αποδειχθεί ότι:

[W. Berndt]

▪ Διχοτόμος γωνίας

Κατασκευή διχοτόμου δοθείσης γωνίας με κανόνα και διαβήτη.

▪ Κατασκευή κανονικού πενταγώνου (Ι)

Κατασκευή κανονικού πενταγώνου με κανόνα και διαβήτη.

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 55

Στο παρακάτω σχήμα, είναι ΑΖ : ΒΖ = ΓΗ : ΕΗ. Να αποδειχθεί ότι: (ΓΖΕ) = (ΑΗΕ) + (ΒΓΗ).

▪ Βαρκάκι στην μπανιέρα

"Το πανηγύρι των Μαθηματικών"

Martin Gardner

▪ Διαστημικά πουλιά

"Το πανηγύρι των Μαθηματικών"

Martin Gardner

▪ Ενυδρείο

"Το πανηγύρι των Μαθηματικών"

Martin Gardner

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 54

Στο παρακάτω σχήμα είναι ΕΖ = 9, ΖΗ = 1. Να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειας Ω.

▪Επικαλυπτόμενοι κύκλοι

Ίσοι επικαλυπτόμενοι κύκλοι σχηματίζουν το παρακάτω σχήμα. Δύο από τις τέσσερις χρωματισμένες επιφάνειες έχουν ίσα εμβαδά. Ποιες είναι?

Η Απάντηση

▪ Το παράδοξο του ποδηλάτου

Δένουμε ένα σχοινί στο πηδάλι ενός ποδηλάτου, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Κάποιος κρατά το ποδήλατο ελαφρά, ώστε να ισορροπεί.

Αν τραβήξουμε το σχοινί προς τα πίσω, τι θα συμβεί? Το ποδήλατο θα κινηθεί προς τα πίσω, προς τα μπρος ή θα μείνει ακίνητο?

"Το πανηγύρι των Μαθηματικών"

Martin Gardner

▪ Μαθηματικά ραβασάκια

▪ Χαριτωμένο σύνολο

"Το πανηγύρι των Μαθηματικών"

Martin Gardner

▪ Ακολουθία STANDART

Από τη λέξη STANDART, αφαιρέσετε δύο γράμματα και προσθέστε τρία ψηφία, έτσι ώστε να σχηματισθεί μία λογική ακολουθία.

▪ Πρώτοι μεταξύ τους

Στο παρακάτω σχήμα, το ορθογώνιο έχει χωριστεί σε 9 τετρά-γωνα. Αν το ύψος και το πλάτος του ορθογωνίου, είναι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους, να βρεθεί το εμβαδόν και η περίμετρος του.

ΑΙΜΕ 2000

▪ Ο Βασιλιάς είναι μόνος

Ματ σε τρεις κινήσεις. Sam Loyd

▪ Φεβρουάριος

Αν καθένας από τρεις διαδοχικούς μήνες έχει 4 Κυριακές, να αποδει-χθεί ότι ένας από αυτούς θα είναι ο μήνας Φεβρουάριος.

▪ 2 στοίβες

Ένα σύνολο από n κάρτες, αριθμημένες από 1 έως το n, το χωρίζουμε σε 2 στοίβες. Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη τιμή του n, ώστε τουλάχιστον μία στοίβα να περιλαμβάνει ένα ζευγάρι καρτών, των οποίων οι αριθμοί προστιθέμενοι να μας δίνουν ένα τέλειο τετράγωνο?

▪ Ίσα

Γίνεται το γινόμενο έξι διαφορετικών θετικών αριθμών να ισούται με το άθροισμα τους? Αν ναι, εξηγήστε πως?

▪ Δυαδικό τετράγωνο

Μπορεί ένας αριθμός που περιέχει 300 ψηφία 1 (ένα) και αρκετά ψηφία 0 (μηδέν), να είναι τέλειο τετράγωνο?

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 53

Στο παρακάτω σχήμα, οι τριχοτόμοι των γωνιών του τετραγώνου Κ, Λ, Μ, Ν και Ε, Ζ, Η, Θ. Να αποδειχθεί ότι:

α) το ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο

β) το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο

γ) (ΕΖΗΘ) = 3(ΚΛΜΝ).

▪ Το πρόβλημα του τρένου

Μία συλλεκτική ταινία που περιγράφει τον γνωστό γρίφο, του Sam Loyd. 

▪ Μικρο - μεγάλος

Να βρεθεί ένας τριψήφιος αριθμός με διαδοχικά ψηφία, όπως π.χ. ο αριθμός 789, ο οποίος είναι μεγαλύτερος από το τετράγωνο ενός αριθμούς κατά 2 και μικρότερος από τον κύβο ενός αριθμούς επίσης κατά 2.

▪ Ίσα ή άνισα?

Δύο τρίγωνα με δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι δυνατόν να μην είναι ίσα? Η απάντηση είναι του μαθηματικού Θανάση Ξένου, από το περιοδικό "Εκπαιδευτικοί προβληματισμοί".

▪ Πυθαγόρεια τριάδα (5, 12, 13)

Αν δεν το βλέπετε σε κίνηση, κάντε κλικ εδώ .

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 52

Να βρεθεί η γωνία χ. (όχι τριγωνομετρική λύση)

και μία παρόμοια:

▪ Μαθηματικός διαγωνισμός - Μικρός Ευκλείδης

2007

Τάξη Ε'

Θέματα 

Απαντήσεις 

Τάξη ΣΤ'

Θέματα 

Απαντήσεις 

2008

▪ Παγκύπριες εξετάσεις 2011

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

2-ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ  

∆ευτέρα, 23 Μαΐου 2011  

Θέματα

Απαντήσεις

Τυπολόγιο

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

Δευτέρα, 30 Μαΐου 2011

Θέματα

▪Πλακοστρώσεις (tesselations) II

▪Πλακοστρώσεις (tesselations) I

▪ Άθροισμα V

Αν για τους διαφορετικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς a, b, c, … w, x, y, z ισχύουν:

1²   +    a²   +   2²    =   3²

b²   +    c²   +   d²    =   7²

e²   +    f²   +   g²    =   13²

4²   +    h²   +   20²    =   i²

j²   +    k²   +   m²    =   n²

p²   +    q²   +   r²    =   43²

w²   +    x²   +   y²    =   z² 

να υπολογισθεί το άθροισμα 13w + 13x + 15y + 17z.

▪ Άθροισμα IV

Παρατηρήστε ότι:
3² + 4² = 5²
10² + 11² + 12² = 13² + 14²
21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²
36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44², κ.τ.λ.
Η πρώτη ισότητα έχει τρεις όρους, η δεύτερη έχει πέντε όρους, η τρίτη έχει επτά όρους και η τέταρτη έχει εννιά όρους.
Αν μία τέτοια ισότητα έχει 2003 όρους και γράφεται:

w² + ... + x² = y² + ... + z², (όπου, w < ... < x < y < ... < z) 

να βρεθεί το άθροισμα w + x + y + z.

▪ Άθροισμα ΙΙ

Αν

a + 2b + 3c + 4d = 262

4a + b + 2c + 3d = 123

3a + 4b + c + 2d = 108

2a + 3b + 4c + d = 137.

να υπολογισθεί το άθροισμα 27a+ 28b + 29c + 30d.

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 51

Στο παρακάτω σχήμα, το Η είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ και Β = 60⁰. Αν Μ το μέσο του ΒΗ, να αποδειχθεί ότι:

ΑΔ = 2ΒΗ.

▪ Σπιράλ

Το μεγαλύτερο τετράγωνο, στο εσωτερικό του ορθογωνίου, έχει πλευρά 1. Να βρεθεί το μήκος του κόκκινου σπιράλ, που σχηματίζεται από έξι τεταρτοκύκλια εγγεγραμμένα στα τετρά-γωνα.

▪ Ορθο - τετράγωνο

Από ορθογώνιο σε τετράγωνο. Υπέροχο.

▪ Τετρα - οκτάγωνο

Από τετράγωνο σε οκτάγωνο. Τέλειο.

Τρίτη 29 Μαΐου 1453, η Αποφράς ημέρα

▪ Χειροτεχνία

Με ένα τετράγωνο χαρτόνι πλευράς 1 θέλουμε να κατασκευά-σουμε ένα κουτί - με καπάκι - σχήματος ορθογωνίου παραλλη-λεπιπέδου. Να βρεθεί το ύψος του h, ώστε να μεγιστοποιή-σουμε τον όγκο του κουτιού.

▪ Εμβαδόν χωρίου

Στο παρακάτω σχήμα, βλέπουμε τις γραφικές παραστάσεις δύο πολυωνυμικών συναρτήσεων 2ου και 4ου βαθμού, οι οποίες είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα ψ΄ψ. Οι δύο καμπύλες εφάπτονται στο σημείο (0, 1/4) και οι εφαπτομένες τους, στο κοινό τους σημείο (1, 0), είναι κάθετες. 

Να βρεθεί το εμβαδόν της πράσινης επιφάνειας. 

▪ Ιδιαίτερες πράξεις

Αριθμητικές πράξεις με όλα τα ψηφία, χωρίς το 0.

174 + 3 x 58 = 6 x 29

2 x 78 = 4 x 39 = 156

12 + 3 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

Αριθμητικές πράξεις με όλα τα ψηφία, με το 0.

1 x 26 x 345 = 8.970

2 x 14 x 307 = 8.596

▪ Επίθεση

Με 40 κινήσεις, να βρεθούν τα πιόνια, στη θέση που δείχνει η εικόνα, στα δεξιά. 

▪ Δεν είναι δυνατόν!

Οι δύο επιφάνειες είναι ίσες!

Jastrow Illusion

Αν δεν το πιστεύετε, δείτε το βίντεο.

▪ Οφθαλμαπάτη XVIIΙ

Καθώς περιστρέφονται τα τετράγωνα, με τις στρογγυλεμένες γωνίες, το σχήμα φαίνεται να πάλλεται.

▪ Tρίγωνα Kobon

Πόσα τρίγωνα (μη επικαλυπτόμενα) μπορούμε να σχηματίσουμε με n ευθείες?
Το πρόβλημα πρωτοδιατυπώθηκε από τον Kobon Fujimura.
Με 3 ευθείες σχηματίζουμε 1 τρίγωνο: 

Με 4 ευθείες σχηματίζουμε 2 τρίγωνα: 

Με 5 ευθείες σχηματίζουμε 5 τρίγωνα:

▪ Λουλούδια

Να αναδιατάξετε, τα μέρη των δύο λουλουδιών, κοτσάνια, φύλλα και πέταλα, με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματισθεί ένας κύκλος.

Η Απάντηση