▪ Πόλος και πολική

Έστω η έλλειψη

και σημείο Μ(χ₀ ,ψ₀) στο εξωτερικό της. Από το Μ φέρουμε τις εφαπτόμενες ΜA και ΜB της έλλειψης.

Aποδεικνύεται ότι η εξίσωση της ευθείας AB είναι:

Η AB ονομάζεται πολική ευθεία του σημείου Μ και το σημείο Μ πόλος της AB.
Αν το σημείο Μ είναι ένα σημείο της έλλειψης, τότε η πολική του είναι η εφαπτομένη της έλλειψης στο Μ.

▪ Από το 1 έως το 19

Να τοποθετήσετε τους αριθμούς από το 1 έως το 19, στα λευκά κυκλάκια, έτσι ώστε ανά τρεις οι αριθμοί που βρίσκονται σε ευθεία γραμμή να έχουν άθροισμα 30. 

Η Λύση

▪ Σχολικό βοήθημα - Μαθηματικά Β Γυμνασίου

Το σχολικό βοήθημα των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, των εκδόσεων Βολονάκη, διανεμήθηκε δωρεάν σε CD, στους αναγνώστες της εφημερίδας "Έθνος".

Για να κατεβάσετε το βιβλίο (μορφή pdf ), κάντε κλικ εδώ .

▪ Ο Θεός υπαγορεύει και ο Ραμανουτζάν γράφει IX

                      

Από τον χαρισματικό Ραμανουτζάν:

▪ Σχολικό βοήθημα - Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Το σχολικό βοήθημα των Μαθηματικών της Γ Γυμνασίου, των εκδόσεων Βολονάκη, διανεμήθηκε δωρεάν σε CD, στους αναγνώστες της εφημερίδας "Έθνος".

Για να δείτε το βιβλίο και να το κατεβάσετε (μορφή pdf, σελίδες 432), κάντε κλικ εδώ .

▪ Αστέρι αριθμών

Στην παρακάτω εικόνα, γύρω από κάθε χρωματισμένο κύκλο υπάρχουν πέντε μικρά κυκλάκια. Να τοποθετήσετε σε κάθε κυκλάκι ένα αριθμό, από το 1 έως το 15, έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών γύρω από κάθε χρωματισμένο κύκλο να είναι 40.

Η Λύση

▪ Δωδεκάγωνο

Στο παρακάτω σχήμα, το κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ έχει εμβαδόν 60. Να βρεθεί το εμβαδόν του κανονικού δωδεκαγώνου που σχηματίζεται στο εσωτερικό του.

▪ Προτεινόμενα θέματα 2011

Προτεινόμενα θέματα για τα Μαθηματικά κατεύθυνσης και Γενικής παιδείας της Γ Λυκείου από το www.in.gr.

Μαθηματικά κατεύθυνσης 1

Μαθηματικά κατεύθυνσης 2

Μαθηματικά κατεύθυνσης 3

Μαθηματικά κατεύθυνσης 4

Μαθηματικά Γενικής παιδείας 1

Μαθηματικά Γενικής παιδείας 2

Μαθηματικά Γενικής παιδείας 3
Mαθηματικά Γενικής παιδείας 4

θα ενημερώνεται....

▪ Γράφω - διαγράφω

Γράφουμε τους φυσικούς αριθμούς από το 1 μέχρι το 10 σε έναν πίνακα 10 φορές. Και τώρα διαγράφουμε δύο αριθμούς και στην θέση τους γράφουμε το άθροισμα τους μειωμένο κατά 1. Στη συνέχεια διαγράφουμε δύο άλλους αριθμούς στη θέση τους γράφουμε το άθροισμα τους μειωμένο κατά 1 και συνεχίζουμε έτσι.Ποιος είναι ο αριθμός που θα μείνει στο τέλος?

▪ Βραβείο Αbel 2011

Στον Αμερικανό μαθηματικό Τζον Μίλνορ απονέμεται το Βραβείο Abel για το 2011, το αποκαλούμενο και «Νόμπελ Μαθηματικών», όπως ανακοίνωσε η Νορβηγική Ακαδημία Επιστημών.Σύμφωνα με την ανακοίνωση της Ακαδημίας ο 80χρονος σήμερα επιστή-μονας βραβεύεται για τις πρωτοποριακές του ανακαλύψεις στην τοπολογία, τη γεωμετρία και την άλγεβρα, δηλαδή σε όλο το φάσμα των μαθηματικών, ένα ασυνήθιστο επίτευγμα.

Ο Μίλνορ έγινε διάσημος όταν ανακάλυψε ότι υπάρχουν σφαί-ρες σε επτά διαστάσεις, πολύ διαφορετικές απ' αυτές με τις οποίες παίζουμε ποδόσφαιρο ή μπάσκετ. Το βραβείο Abel απονεμήθηκε για πρώτη φορά το 2003, αποκτώντας γρήγορα «στάτους» ισοδύναμο με Νόμπελ μεταξύ των μαθηματικών, και συνοδεύεται από το ποσό περίπου του 1 εκατ. δολαρίων. Πήρε την ονομασία του Νορβηγού μαθηματικού του 19ου αιώνα Niels Henrik Abel, ο οποίος ανακάλυψε τη θεωρία ομάδων. 

Πηγή: www.enet.gr

▪ 2,7 τρις ψηφία

Νέο ρεκόρ ψηφίων για τον αριθ-μό π. Ο Fabrice Bellard χρη-σιμοποίησε έναν απλό υπολο-γιστή για να κάνει το νέο υπο-λογισμό που του πήρε 131 μέρες. Ο νέος αριθμός-ρεκόρ του π έχει σχεδόν 2,7 τρισεκατο-μμύρια ψηφία που ακολουθούν μετά το 3,14, δηλαδή περίπου 123 δισεκατομμύρια περισσότερα ψηφία σε σχέση με το προηγού-μενο ρεκόρ και χρειάζεται πάνω από ένα terabyte για να αποθηκευτεί σε σκληρό δίσκο. Τα προη-γούμενα ψηφία-ρεκόρ του π είχαν βρεθεί με τη βοήθεια τερά-στιων υπερ-υπολογιστών. Το προηγούμενο ρεκόρ με περίπου 2,6 τρις ψηφία κατείχε, από τον Αύγουστο του 2009, ο Ιάπωνας Daisuke Takahashi (University Tsukuba) και του είχε πάρει 29 ώρες, αλλά με την υποστήριξη ενός σούπερ-κομπιούτερ 2000 φορές πιο γρήγορου και χιλιάδες φορές πιο ακριβού από τον υπολο-γιστή που χρησιμοποίησε ο Bellard.
          

Ο Bellard δήλωσε ότι διάβασε το πρώτο του βιβλίο του για τον αριθμό «π» όταν ήταν 14 ετών και έκτοτε παρακολουθούσε ανελλιπώς τις προσπάθειες υπολογισμού όλο και περισσότερων ψηφίων του. 

▪ 3 όροι

Nα συμπληρώσετε στα κενά κυκλάκια, τους αριθμούς από 1 έως 6, σύμφωνα με τις εξής προυποθέσεις:

α) οι αριθμοί σε κάθε γραμμή να είναι διαφορετικοί

β) οι αριθμοί σε κάθε στήλη να είναι διαφορετικοί

γ) οι αριθμοί σε κάθε ροή να είναι διαφορετικοί.

Η Λύση

▪ Θεώρημα Μενελάου

Αν μια ευθεία ε τέμνει τις πλευρές ΒΓ, ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ ή τις προεκτάσεις τους στα σημεία Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα, τότε ισχύει:

Αν επί των πλευρών ΒΓ, ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ ή των προεκτάσεων τους υπάρχουν τρία σημεία Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα, τέτοια ώστει:

τότε τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά.

▪ Πέρσι και φέτος

Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο, που το τελευταίο τετραψήφιο τμήμα του είναι 2010 και διαιρείται με το 2011.

▪ Ασκήσεις επανάληψης στην Γεωμετρία - Α Λυκείου

18 λυμένες επαναληπτικές ασκήσεις στην Γεωμετρία Α Λυκείου από τον αγαπητό συνάδελφο Μπάμπη Στεργίου, που αναρτήθηκαν στο www.mathematica.gr 

Με κατάλληλες μετατροπές, προκειμένου να μειωθεί ο βαθμός δυσκολίας, γίνονται πολύ ωραία θέματα εξετάσεων Ιουνίου. 

Ασκήσεις επανάληψης 

▪ Ο άνθρωπος που αγαπούσε τους αριθμούς

"Ο ΑΝΘΡΩΠΟΣ ΠΟΥ ΑΓΑΠΟΥΣΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ", του Πολ Χόφμαν, σε μετά-φραση του Τεύκρου Μιχαηλίδη.
«Κατά πάσα πιθανότητα θα μπορούσα άνετα να βράσω ένα αβγό, ποτέ όμως δεν δοκίμασα» έλεγε ο Ερντος, ο οποίος σε ηλικία 20 ετών άλειψε για πρώτη φορά μία φέτα ψωμί με βούτυρο. Πώς λοιπόν επι-βίωνε ένας τέτοιος άνθρωπος, γεννημένος στις αρχές του 20ού αιώνα; Εβραϊκής κα-ταγωγής, μεγάλωσε στη Βουδαπέστη με τη φροντίδα και τη στοργή της μητέρας του. Εξελίχθηκε σε έναν από τους πιο πα-ραγωγικούς μαθηματικούς του αιώνα του, αλλά έμεινε ένα μωρό που δεν μεγάλωσε ποτέ. Αρνήθηκε συνειδητά να αποκτήσει οικογένεια, ούτε καν να δημιουργήσει σχέσεις με το άλλο φύλο, να αναλάβει τις ευθύνες άλλων ή έστω της αλληλογραφίας του και προτιμούσε οι άλλοι να έχουν την ευθύνη για αυτόν, ακόμη και τα χρήματα που έπαιρνε από διάφορες διαλέξεις και εργα-σίες τα διαχειριζόταν άλλος. Εκείνος, με ελάχιστα ρούχα σε μία βαλίτσα, γύριζε παντού και πήγαινε όπου πίστευε ότι υπήρχαν προβλήματα προς λύση. Ηταν ένας ασκητής-μαθηματικός που έπινε ακατάπαυστα καφέδες και χάπια διεγερτικά για να κρα-τάει το μυαλό του στο ανώτατο σημείο απόδοσης. 

▪ Σπασμένο ρολόι

Ένα ρολόι τοίχου πέφτει και σπάει σε τρία κομμάτια. Οι αριθμοί που υπάρχουν σε κάθε κομμάτι έχουν το ίδιο άθροισμα. Ποιοι είναι οι αριθμοί σε κάθε κομμάτι του ρολογιού?

▪ Πόσο κάνει?

Ένα βιβλίο κοστίζει 5 ευρώ περισσότερο από το μισό της τιμής του. Πόσο κοστίζει το βιβλίο?

▪ Σοκολάτα

Η σοκολάτα γάλακτος "LEIBNIZ" είναι διαστάσεων m x n. Ποιος είναι ο αριθμός σπασιμάτων (κατά μήκος των γραμμών της σοκολάτας) που απαιτούνται, ώστε να κόψουμε τη σοκολάτα σε mn κομμάτια?

▪ Εις υγείαν

O Άρης συναντήθηκε μετά από τη δουλειά με οκτώ συναδέλφους του σε ένα μπαρ για ένα ποτό. Αφού τα παρήγγειλαν τσούγκρισαν τα πο-τήρια και αλληλοευχήθηκαν "εις υγείαν". Πόσα κλινκ ακούστηκαν συνολικά? 

▪ Τρίγωνο Pascal

Χωρίς λόγια.

▪ 9 στους 10

Έχουμε 10 φυσικούς αριθμούς, δύο από τους οποίους είναι ίσοι. Προσθέτοντας οποιουσδήποτε εννιά από τους αριθμούς αυτούς παίρνουμε τα ακόλουθα αθροίσματα:
82, 83, 84, 85, 87, 89, 90, 91, 92.
Να βρεθεί ο μεγαλύτερος από τους δέκα αριθμούς.

▪ Συλλογή Προβλημάτων - Θάνος Μάγκος

Μία συλλογή 430 προβλημάτων από διάφορες πηγές, περιοδικά, διαγωνισμούς, διαδίκτυο κ.τ.λ. Μία πολύ καλή δουλειά του συναδέλφου Θάνου Μάγκου.

430 Προβλήματα

▪ Θεώρημα Steiner-Lehmus

Αν οι διχοτόμοι ΒΔ , ΓΕ των γωνιών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσες, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ).

▪ EU και WU

Αν 2 ΕU και 4 WU κάνουν 14 και 3 ΕU και 2 WU κάνουν 17, τότε πόσο κάνουν 1 ΕU και 3 WU?

▪ Άγνωστος

4 7 9

2 8 7
3 6 4

6 9 3
7 8 8
6 1 0

8 3 5
2 4 9
1 9 2

5 7 6
3 1 8
x x+1 x+2

Να βρεθεί ο αριθμός x.

▪ Πατάτες

Ο Κώστας ξεκίνησε να καθαρίσει ένα σωρό από 44 πατάτες. Καθάριζε 3 πατάτες ανά λεπτό. Τέσσερα λεπτά αφότου ξεκίνησε ήρθε και ο αδελφός του Γιώργος να τον βοηθήσει. Ο Γιώργος καθάριζε 5 πατάτες ανά λεπτό. Στο τέλος, πόσες πατάτες είχε καθαρίσει ο καθένας?

▪ Από 100 σε 50

Έχουμε ένα φύλλο χαρτί διαστάσεων 10cm x 10cm. To εμβαδόν του είναι 100cm². Για κάποιο λόγο χρειαζόμαστε ένα φύλλο χαρτί εμβαδού 50cm². Ποιος είναι ο ευκολότερος τρόπος να σχηματίσουμε ένα νέο τετράγωνο, αυτού του εμβαδού, στο χαρτί που έχουμε?

▪ Οπτική Απάτη 13

Κι όμως τα ευθύγραμμα τμήματα είναι ίσα.

▪ Eutrigon

Ένα τρίγωνο που έχει μία γωνία 60 μοιρών λέγεται eutrigon. Το δίδυμο τρίγωνο του ορθογωνίου, ας πούμε. 
Θεώρημα Eutrigon 
Επί των πλευρών ενός eutrigon κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα. Το εμβαδόν κάθε eutrigon ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των ισοπλεύρων τριγώνων με πλευρές β και γ, μείον το εμβαδόν του ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α (υποτείνουσα του eutrigon).

Η Απόδειξη

▪ Μονοπάτια

Πόσες διαδρομές υπάρχουν από το Α ως το Β, κινούμενοι μόνο κατά τη διεύθυνση των βελών(κάτω και δεξιά).

▪ Κρυπτογραφική εξίσωση

Στην παρακάτω ισότητα, σε κά-

θε γράμμα αντιστοιχεί και ένα ψηφίο. 

WWWDOT - GOOGLE = DOTCOM

Σε διαφορετικά γράμματα αντιστοιχούν διαφορετικά ψηφία. Να λυθεί η εξίσωση.

▪ Δίκαιη μοιρασιά

Να μοιράσετε μεταξύ τριών ατόμων 24 μπουκάλια με νερό, εκ των οποίων τα 5 είναι γεμάτα, 8 άδεια και 11 μισογεμάτα, με τέτοιο τρόπο, ώστε ο καθένας να πάρει τον ίδιο αριθμό μπουκαλιών και την ίδια ποσότητα νερού.

▪ Θεώρημα Stewart

Έστω Δ τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ.
i) Αν το σημείο Δ βρίσκεται μεταξύ των σημείων Β και Γ, τότε ισχύει: 

ii) Αν το σημείο Δ βρίσκεται αριστερά του Β, τότε ισχύει: 

iii) Αν το σημείο Δ βρίσκεται δεξιά του Γ, τότε ισχύει: 

Matthew Stewart  (1717 -1785)

Ειδική περίπτωση:

Αν το σημείο Δ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, τότε έχουμε το 1ο θεώρημα της διαμέσου, οπότε ισχύει:

▪ Τρεις παίκτες

Τρεις παίκτες κάνουν την εξής συμφωνία, ο ηττημένος σε κάθε παιχνίδι θα διπλασιάζει τα χρήματα που έχουν οι άλλοι δύο. Παίζουν λοιπόν τρία παιχνίδια και χάνει ο καθένας από ένα παιχνίδι και βρίσκονται δε να κατέχει ο καθένας τους από 16 ευρώ. Πόσα χρήματα είχε ο καθένας όταν κάθισαν να παίξουν?

Νικόλαος Chuquet

▪ Αγελάδες και κοτόπουλα

Αν 30 αγελάδες και 30 κοτόπουλα τρώνε όλο το χορτάρι ενός λιβαδιού σε 60 ημέρες και 70 αγελάδες και 70 κοτόπουλα κάνουν το ίδιο σε 24 ημέρες, τότε πόσες αγελάδες και πόσα κοτόπουλα τρώνε το χορτάρι του λιβαδιού σε 96 ημέρες? Το χορτάρι μεγαλώνει συνεχώς.

▪ Περίμετρος έλλειψης

Η περίμετρος μιας έλλειψης είναι πολύ δύσκολο να προσδιορι-
στεί με ακρίβεια. Υπάρχουν διάφοροι προσεγγιστικοί τύποι για την εύρεση της περιμέτρου μια έλλειψης.
1. Αν η έλλειψη είναι πολύ κοντά προς το σχήμα του κύκλου (δηλαδή, αν ο μεγάλος και ο μικρός άξονας είναι σχεδόν ίσοι), τότε η περίμετρος δίνεται από τον τύπο: P =π(a + b), όπου 2a

ο μεγάλος άξονας και 2b ο μικρός άξονας της.
2. Αν η έλλειψη διαφέρει από ένα κύκλο (δηλαδή, όταν υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των μηκών των δύο αξόνων της), τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους τύπους:

                        

και

                            
Το αποτέλεσμα που προκύπτει από τη βοήθεια του τύπου (2) είναι μικρότερο από την πραγματική τιμή της περιμέτρου και το αποτέλεσμα από τον τύπο (3) είναι μεγαλύτερο. Η μέση τιμή των αποτελεσμάτων αυτών είναι μία πολύ καλή προσέγγιση της πε-
ριμέτρου.

Παράδειγμα
Βρείτε την περίμετρο της έλλειψης της οποίας ο μεγάλος άξονας είναι 18cm και ο μικρός είναι 6cm.
Λύση

Έχουμε a=9 και b=3, οπότε από τον πρώτο τύπο έχουμε:

                           P = π(a +b) =π(9 +3) = 37.699
από τον δεύτερο έχουμε:

και από τον τρίτο έχουμε:

.

▪ Θεώρημα Pompeiu

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ρ του επιπέδου του. Αν το σημείο Ρ δεν ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου , τότε τα τμήματα ΡΑ, ΡΒ και ΡΓ  αποτελούν πλευρές τριγώνου (τρίγωνο Pompeiu).

Αν το Ρ ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο , τότε το μεγαλύτερο από τα τμήματα αυτά είναι ίσο με το άθροισμα των άλλων δύο.

     Dimitri Pompeiu (1873 – 1954)

▪ Μπιλιάρδο (ΙΙ)

Σε μια πλευρά ενός μπιλιάρδου, σχήματος κανονικού ν - γώνου, υπάρχει μία μπίλια. Πως πρέπει να κινηθεί η μπίλια ώστε να κτυπήσει όλες τις πλευρές του μπιλιάρδου και να επιστρέψει στην ίδια θέση?