▪ Μαθηματικό περιοδικό "Το φ"

Το εκδίδει ο κ. Βασίλης Βισκαδουράκης, καθηγητής στο Πειραματικό Λύκειο της Ιωνιδείου Σχολής Πειραιά. Εκδίδεται μία φορά τον χρόνο. 

Ένα εξαιρετικό μαθηματικό περιοδικό, χρήσιμο για καθηγητές και μαθητές. Το συστήνουμε ανεπιφύλακτα

Στο "Φ" θα βρείτε:
ΣYNENTEYΞΕΙΣ
ΣΧΟΛΙΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΔΙΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΛΗ ΤΗΝ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ
ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΑΡΘΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΕΣ ΣΕΛΙΔΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ- ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

▪ Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem

Μαθηματικό περιοδικό Crux Mathematicorum. Το περιοδικό εκδίδεται από την Καναδική Μαθηματική εταιρία. Θέματα μαθηματικών διαγωνισμών από όλον τον κόσμο.

2005 - Τεύχος 31

Feb Mar Apr May Sep Oct Nov Dec

2004 - Τεύχος 30

Feb Mar Apr May Sep Oct Nov Dec
2003 - Τεύχος 29

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 13

Επί των πλευρών και των διαγωνίων του παραλληλογράμμου ABCD κατασκευάζουμε τετράγωνα με εμβαδά S₁, S₂, S₃ και S₄. Να αποδειχθεί ότι 2S₁ + 2S₂ = S₃ + S₄.

▪ Μαγικό τετράγωνο 69

Το παρακάτω τετράγωνο είναι μαγικό, δηλαδή το άθροισμα των αριθμών του οριζοντίως, καθέτως και διαγωνίως είναι 264. 

Το τετράγωνο παραμένει μαγικό(με άθροισμα 264), αν οι αριθμοί του περιστραφούν κατά 180 μοίρες π.χ ο αριθμός 18 θα γίνει 81, ο αριθμός 98 θα γίνει 86 κ.τ.λ.

▪ Καλά ποιος είμαι?

Είμαι ένας τετραψήφιος θετικός ακέραιος αριθμός που το άθροισμα των ψηφίων μου είναι 18 και αν τα ψηφία μου αντιστραφούν θα γίνω τέσσερις φορές μεγαλύτερος από τον εαυτό μου.

Ποιος αριθμός είμαι?

▪ Μαθηματικές Ολυμπιάδες - Ανισότητες

▪ Ένα καλλιτεχνικό ερώτημα

Τρεις καλλιτέχνες, ο βιολονίστας κ. Μαύρος, ο γλύπτης κ. Άσπρος και ο ηθοποιός κ. Κόκκινος συναντώνται για τσάι. Κάποια στιγμή, ο ένας από τους τρεις φίλους κάνει την εξής παρατήρηση: «Εγώ έχω μαύρα μαλλιά και εσείς οι δύο έχετε ο ένας κόκκινα και ο άλλος άσπρα, αλλά κανείς μας δεν έχει χρώμα μαλλιών που να ταιριάζει με το επίθετο του!» Ο κος Άσπρος του απαντά: «Πραγματικά! Έχεις απόλυτο δίκιο». 
Τι χρώμα έχουν τα μαλλιά του ηθοποιού?

Από το βιβλίο "Το κοτόπουλο από το Μινσκ"

▪ Τροφή ή ύπνος?

Ας υποθέσουμε ότι ένας άνθρωπος μπορεί να επιβιώσει δύο εβδομάδες χωρίς τροφή και χωρίς ύπνο. Τι θα έπρεπε να κάνει κάποιος μετά από δεκατέσσερις ημέρες χωρίς φαγητό και χωρίς ύπνο? Να φάει ή να κοιμηθεί πρώτα?

Από το βιβλίο "Το κοτόπουλο από το Μινσκ"

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 12

Δίνεται τρίγωνο ABC και Η το ορθόκεντρο του.Αν a,b,c,d,e και f είναι οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων AFH, BDH, CEH, CDH, AEH και BFH αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι a.b.c = d.e.f.

▪ Ένα λάθος θεώρημα

Δίνονται τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ με  ΑΒ=ΔΕ, ΑΓ=ΔΖ και τις γωνίες ΑΒΓ= ΔΕΖ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. 

Απόδειξη

Κατασκευάζουμε το τρίγωνο ΑΗΓ όπως φαίνεται στο σχήμα με τις γωνίες ΗΑΓ = ΕΔΖ και ΑΗ = ΔΕ. Τότε τα τρίγωνα ΑΗΓ και ΔΕΖ είναι ίσα (δύο πλευρές και η περιεχόμενη γωνία ίσες) , άρα οι γωνίες  ΑΒΓ=ΑΗΓ=ΔΕΖ και ΑΒ=ΑΗ.  

Από το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΗ έχουμε γωνίες ΑΒΗ=ΑΗ , οπότε  οι γωνίες ΓΒΗ=ΓΗΒ , άρα το τρίγωνο ΓΒΗ είναι ισοσκελές, άρα ΓΒ=ΓΗ.

Επομένως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΗΓ είναι ίσα (τρεις πλευρές ίσες) άρα και τα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι ίσα.

Από το άρθρο “Ποιο είναι το λάθος;” του I.F. Sharygin στο περιοδικό QUANTUΜ, τεύχος Σεπτεμβρίου-Οκτωβρίου 1998 

▪ Γιώτ εις την γιώτ = πραγματικός αριθμός?

Εάν στην εξίσωση του Euler 

θέσουμε x = π/2 τότε έχουμε

και αν υψώσουμε και τα δύο μέλη εις την i παίρνουμε

▪ Τα τρία στάδια της μαθηματικής σκέψης

Τα τρία στάδια της μαθηματικής σκέψης σύμφωνα με τον Poincare είναι:
Α. Το προπαρασκευαστικό στάδιο. Σε αυτό πραγματοποιείται ένας συνδυασμός ιδεών και η συνειδητή νόηση συλλαμβάνει μόνο εκείνους τους συνδυασμούς που είναι γόνιμοι. 

Β. Το στάδιο της επινόησης ή της επώασης. Εδώ αρχίζει η επιλογή κι εδώ συνίσταται η ιδιοφυΐα, αφού «αυτό που ονομάζουμε ιδιοφυΐα δεν είναι τόσο το έργο του πρώτου (σ.σ. εκείνου που κατασκευάζει συνδυασμούς), όσο η ετοιμότητα του δεύτερου (σ.σ. εκείνου που επιλέγει) να κατανοεί την αξία όσων του παρουσιάζονται και να τα επιλέγει.
Γ. Το τρίτο και ίσως το πιο ενδιαφέρον από τα στάδια, είναι αυτό της φώτισης. Πρόκειται για τη στιγμή που ενώ έχει προηγηθεί κοπιαστική δουλειά προκειμένου να φθάσουμε στο επιθυμητό αποτέλεσμα, στην «τελική λύση», αλλά αυτό δεν έχει καταστεί δυνατό, σε ανύποπτη στιγμή η λύση εμφανίζεται αιφνίδια.

▪ Να βρεθεί ο τετραψήφιος αριθμός

Να βρεθεί ο τετραψήφιος αριθμός ΑΒΓΔ, στον οποίο όταν βάλουμε ανάμεσα στα ψηφία Β και Γ την υποδιαστολή, τότε θα προκύψει ένα αριθμός που είναι ο μέσος όρος των αριθμών ΑΒ και ΓΔ. 

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 11

Στο σχήμα, ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABC έχει ακτίνα 1. Η CD είναι διχοτόμος της γωνίας C, η FH είναι μεσοκάθετος της πλευράς BC και η EG είναι μεσοκάθετος της AC. Να αποδειχθεί ότι (DGE) = (DHF) = (CFG).

▪ Πέντε στα έξι

Αν δύο τρίγωνα έχουν πέντε από τα έξι στοιχεία τους ίσα (3 πλευρές + 3 γωνίες), τότε αυτά είναι ίσα?

▪ Ο κατασκηνωτής και η αρκούδα

Ένας κατασκηνωτής φεύγει από τη σκηνή του και βαδίζει διαδοχικά 2 km νότια, 5 km δυτικά και τέλος 2 km βόρεια και βρίσκεται ξανά στη σκηνή του. Εκεί βρίσκει μια αρκούδα που γευματίζει με τα δικά του τρόφιμα. 

Τι χρώμα έχει η αρκούδα;

Από το βιβλίο "Το κοτόπουλο από το Μινσκ"

▪ Πως βρίσκουμε πρώτους αριθμούς

Για την εύρεση του n –οστού πρώτου αριθμού χρησιμοποιούμε τον τύπο:

όπου

▪ Επαναληπτικά Θέματα Γ Λυκείου κατεύθυνσης

50 πολύ ωραία Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου από τον ιστότοπο των Μαθηματικών www.mathematica.gr.
Kάντε κλικ στον σύνδεσμο: 50 Επαναληπτικά θέματα

1 μήνας eisatopon

Αγαπητοί φίλοι μου, 
σήμερα το eisatopon έχει γενέθλια, έκλεισε ένα μήνα από τότε που δημιουργήθηκε.
Η αγάπη με την οποία το έχετε αγκαλιάσει είναι μεγάλη. 

Ο χρόνος είναι περιορισμένος αλλά η σκέψη μου είναι συνέχεια εδώ, στην όμορφη παρέα μας.

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ.

Φιλικά
Σωκράτης Ρωμανίδης

▪ Ο Πλάτων και οι μαθηματικές αλήθειες

Κατά τους Πλατωνιστές ο μαθηματικός δεν εφευρίσκει νέες μαθηματικές αλήθειες.Η αλήθεια είναι αντικειμενική και δεν εξαρτάται από τη δυνατότητα ή μη του μαθηματικού να τη συλλάβει.

Οι μαθηματικές αλήθειες υπάρχουν και αναμένουν υπομονετικά να τις ανακαλύψουμε.

▪ Θεώρημα της μη πληρότητας

▪ Το 1ο Θεώρημα της μη πληρότητας

“Σε κάθε τυπικό σύστημα, επαρκές για τη θεωρία των αριθμών, υπάρχει ένας–μη αποφασίσιμος μαθηματικός τύπος-δηλαδή, ένας τύπος που δεν είναι αποδείξιμος και που η άρνησή του είναι επίσης μη αποδείξιμη.” 

▪ Το 2ο Θεώρημα της μη πληρότητας
“Η συνέπεια ενός τυπικού συστήματος επαρκούς για τη θεωρία των φυσικών αριθμών, δεν μπορεί να αποδειχθεί εντός αυτού του ίδιου του συστήματος”. 

Ένα Τυπικό σύστημα αποτελείται από ορισμένες Πρωταρχικές Έννοιες, πιθανώς κάποιους Προσδιορισμένους Όρους (βασισμένους στις Πρωταρχικές Έννοιες), κάποιες διατυπώσεις που αποκαλούνται Αξιώματα και από άλλες διατυπώσεις που καλούνται Θεωρήματα και τα οποία συνάγονται λογικά από τα αξιώματα. Τα αξιώματα παρέχουν, κατ’ ουσία, την απαραίτητη γνώση για τις Πρωταρχικές Έννοιες. 

(Donald Davis:Η φύση και η δύναμη των μαθηματικών,εκδ.ΠΕΚ)

▪ Kurt Friedrich Gödel

Ο Κουρτ Γκέντελ γεννήθηκε στις 28 Απριλίου 1906 στο Μπρνο της Τσεχίας από γονείς με γερμανική καταγωγή. Ο πατέρας του ήταν αρκετά εύπορος και η μητέρα του είχε ανώτερη μόρφωση. Σπούδασε αρχικά Φυσική στο Πανεπιστήμιο της κοντά στον αδελφό του Ρούντολφ, αλλά τελικά στράφηκε στα μαθηματικά και ιδιαιτέρως στη μαθηματική λογική μυημένος στη μαγεία του Πλατωνισμού. 

Γκέντελ - Αϊνστάϊν

ο 1929 πήρε την αυστριακή υπηκοότητα. Παντρεύτηκε το 1938 την κατά έξι χρόνια μεγαλύτερή του Adele Nimbursky (πρώην χορεύτρια σε καμπαρέ). Θέλοντας να αποφύγει την επιστράτευση στο ναζιστικό στρατό μετανάστευσε στις ΗΠΑ το 1940 όπου έγινε δεκτός στο περίφημο Ινστιτούτο Ανωτέρων Μελετών του Πρίνστον.

▪ Ανισότητες - Θεωρήματα και Τεχνικές

Εξαιρετικό σύγγραμμα του Hojoo Lee. Μεγάλη βοήθεια για τα παιδιά που συμμετέχουν σε μαθηματικούς διαγωνισμούς, αλλά και για τους πολλούς και φανατικούς λύτες των ασκήσεων ανισοτήτων.

Κάντε κλικ Ανισότητες.  

▪ Θεώρημα Clifford

Δίνονται οι κύκλοι C_i, i = 1,2,3,4 (C₁, C₂, C₃, C₄) που διέρχονται από το ίδιο σημείο Ρ. Έστω ότι οι κύκλοι  C_i και C_j τέμνονται και στο σημείο Ρ_ij( οι κύκλοι C₁,C₂ στο σημείο Ρ₁₂, οι κύκλοι C₁, C₃ στο σημείο Ρ₁₃, οι κύκλοι C₁, C₄ στο σημείο Ρ₁₄, οι κύκλοι C₂, C₃ στο σημείο Ρ₂₃, οι κύκλοι C₂, C₄ στο σημείο Ρ₂₄, οι κύκλοι C₃, C₄ στο σημείο Ρ₃₄).Έστω C_ijk  ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία Ρ_ij, Ρ_ik, Ρ_jk (ο κύκλος C₁₂₃ που διέρχεται από τα σημεία Ρ₁₂, Ρ₁₃, Ρ₂₃, ο κύκλος C₁₂₄ που διέρχεται από τα σημεία Ρ₁₂, Ρ₁₄, Ρ₂₄ , ο κύκλος C₁₃₄ που διέρχεται από τα σημεία Ρ₁₃ ,Ρ₁₄, Ρ₃₄ ,ο κύκλος C₂₃₄ που διέρχεται από τα σημεία Ρ₂₃ ,Ρ₂₄ ,Ρ₃₄ ), τότε οι κύκλοι C_ijk  (C₁₂₃), C_ijl (C₁₂₄), C_ikl (C₁₃₄), C_jkl  (C₂₃₄) έχουν ένα κοινό σημείο το Ρ_ijkl.

▪ Θεώρημα Εyeball

Έστω δύο κύκλοι C₁ και C₂ με κέντρα Α και Β.Από το κέντρο Α του κύκλου C₁ φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα AC και AD του κύκλου C₂ και έστω Μ και Ν τα σημεία τομής τους με τον κύκλο C₁.Από το κέντρο B του κύκλου C₂ φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα BF και BE του κύκλου C₁ και έστω P και Q τα σημεία τομής τους με τον κύκλο C₂. Να αποδείξετε ότι 

MN = PQ. 

▪ Κέντρο 9 Κύκλων-Περίκεντρο-Ορθόκεντρο-Βαρύκεντρο-Έκκεντρο

kΤρίγωνο ABC και τα κέντρα: του Κύκλου των 9 σημείων (Ν) - Περίκεντρου (Ο) - Ορθόκεντρου (Η) - Βαρύκεντρου (G) -Έκκεντρου (I).

▪ Γεωμετρία του τριγώνου (V)

Άλλες γνωστές ισότητες στο τρίγωνο είναι:  

▪ Γεωμετρία του τριγώνου (IV)

Σε κάθε τρίγωνο τα ύψη του διέρχονται από το ίδιο σημείο , το οποίο ονομάζεται ορθόκεντρο και διαιρεί το καθένα ύψος σε δύο τμήματα με σταθερό γινόμενο .  

►Γνωστές σχέσεις και προτάσεις με τα ύψη υ_α, υ_β, υ_γ και το ορθόκεντρο Η του τριγώνου:

3. Οι τρεις κορυφές του τριγώνου και το ορθόκεντρο του αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα, δηλαδή ανά τρία τα σημεία αυτά ορίζουν τρίγωνο το οποίο έχει ως ορθόκεντρο το τέταρτο σημείο.

▪ Γεωμετρία του τριγώνου (ΙΙΙ)

Σε κάθε τρίγωνο οι διάμεσοι του διέρχονται από το ίδιο σημείο , το οποίο ονομάζεται κέντρο βάρους ή βαρύκεντρο  και χωρίζει την κάθε διάμεσο σε δύο τμήματα από τα οποία το ένα είναι διπλάσιο του άλλου.

►Γνωστές σχέσεις με τις διαμέσους μα , μβ , μγ και το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου :

▪ Γεωμετρία του τριγώνου (ΙΙ)

Σε κάθε τρίγωνο οι διχοτόμοι δύο εξωτερικών γωνιών του και η ημιευθεία που διχοτομεί την τρίτη γωνία του διέρχονται από το ίδιο σημείο , το οποίο ονομάζεται παράκεντρο και είναι το κέντρο του κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δύο άλλων .

▪ Γεωμετρία του τριγώνου (Ι)

▪ Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Παράρτημα Κέρκυρας

Στην ιστοσελίδα του παραρτήματος Κέρκυρας της Ε.Μ.Ε θα βρείτε μερικά ενδιαφέροντα "ελεύθερα" βιβλία καθώς και τις εισηγήσεις των ομιλητών στις φετινές διαλέξεις.

▪ Ποια είναι η τιμή του χ?

Στο παραπάνω σχήμα, ο αριθμός 8 σχηματίζεται από την πρόσθεση των δύο αριθμών που βρίσκονται από κάτω του. Οι υπόλοιποι αριθμοί στις τρεις πιο πάνω σειρές σχηματίζονται με τον ίδιο τρόπο. Ποια είναι η τιμή του χ?

▪ Πόσα κέρματα?

Στην παρακάτω εικόνα φαίνονται δύο εξαγωνικές επιφάνειες που έχουν σχηματιστεί από κέρματα. Σε κάθε πλευρά της πρώτης έχουμε δύο κέρματα και της δεύτερης έχουμε τρία κέρματα.

Πόσα κέρματα θα χρειαστούμε συνολικά προκειμένου να κατασκευάσουμε μία τέτοια εξαγωνική επιφάνεια που σε κάθε πλευρά της θα έχει 21 κέρματα? 

▪ Γενίκευση του θεωρήματος του Πτολεμαίου

Στο παρακάτω σχήμα, οι κύκλοι A, B, C, D εφάπτονται στον κύκλο O και a, b, c, d, x, y είναι οι κοινές εφαπτομένες των κύκλων A και B, B και C, C και D, D και A, A και C, και B και D αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι xy = ac + bd.

▪ Επέκταση του θεωρήματος του Πτολεμαίου

Σε κάθε εγγεγραμμένο τετράπλευρο, ο λόγος των διαγωνίων του ισούται με το λόγο του αθροίσματος των γινομένων των πλευρών, που καταλήγουν στα άκρα τους,δηλαδή

▪ Θεώρημα του Πτολεμαίου

Σε κάθε εγγεγραμμένο τετράπλευρο το γινόμενο των διαγωνίων του ισούται με το άθροισμα των γινομένων των απέναντι πλευρών του, δηλαδή xy = ac + bd.

Ειδική περίπτωση
Αν το ABCD είναι ορθογώνιο τότε έχουμε μία απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος.

▪ Τι είναι επιστήμη?

«Η επιστήμη είναι ένα θαυμάσιο πράγμα, εάν δεν χρειάζεται να κερδίσεις τα προς το ζην από αυτήν.»

Albert Einstein

▪ Το νησί του κρυμμένου θησαυρού

Το παρακάτω πρόβλημα πρωτοδημοσιεύθηκε στο βιβλίο του διάσημου Ρώσου φυσικού George Gamow (Georgiy Antonovich Gamov) "One, Two, Three, ..., Infinity" που κυκλοφόρησε το 1947, και συνεχίζει να εκδίδεται ακόμα και σήμερα.

Ένας νεαρός ανακαλύπτει στο παλιό σεντούκι του παππού του έναν χάρτη θησαυρού. Ο χάρτης αναφέρει την τοποθεσία ενός έρημου νησιού και τις παρακάτω οδηγίες για την ανεύρεση ενός θησαυρού που είναι θαμμένος σε αυτό: "Στο νησί υπάρχει μια βελανιδιά, ένα πεύκο και έχουν στήσει και μια αγχόνη. Ξεκίνα από την αγχόνη και περπάτα ίσια προς τη βελανιδιά μετρώντας τα βήματά σου. Μόλις φτάσεις στη βελανιδιά στρίψε δεξιά, σχηματίζοντας ορθή γωνία με την προηγούμενη διαδρομή σου και περπάτησε τον ίδιο αριθμό βημάτων.

Κάρφωσε έναν πάσσαλο στο σημείο αυτό. Γύρνα πίσω στην αγχόνη και ξεκινώντας πάλι από αυτήν, περπάτα προς το πεύκο μετρώντας τα βήματά σου. Στο πεύκο στρίψε αριστερά, σχηματίζοντας πάλι ορθή γωνία και περπάτα τον ίδιο αριθμό βημάτων που έκανες από την αγχόνη μέχρι το πεύκο. Κάρφωσε έναν πάσσαλο στο σημείο αυτό. Σκάψε στα μισά του δρόμου ανάμεσα στους δύο πασσάλους και θα βρεις εκεί τον θησαυρό".

Όλο ενθουσιασμό ο νεαρός φτάνει στο νησί, βλέπει τη βελανιδιά και το πεύκο, αλλά πουθενά η αγχόνη. Μάλλον την είχαν μεταγενέστερα αφαιρέσει και το ίχνος όπου βρισκόταν έχει εξαφανισθεί. Πως μπορεί ο νεαρός να βρει το ακριβές σημείο που είναι θαμμένος ο θησαυρός χωρίς το στίγμα της αγχόνης;

▪ Τεστ στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση με ακέραιους αριθμούς (***)

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση με ακέραιους αριθμούς

3ο Φύλλο Εργασίας 

1. Την ημέρα της ονομαστικής τους γιορτής , ο Κωνσταντίνος και η Ελένη , συγκέντρωσαν από δώρα το ίδιο ποσό χρημάτων. Ο Κωνσταντίνος από τα χρήματα αυτά ξόδεψε τα 160 ευρώ και η Ελένη ξόδεψε τα 250 ευρώ. Μετά από τα έξοδα αυτά η  Ελένη είχε το μισά από τα χρήματα που είχε ο Κωνσταντίνος . Πόσα χρήματα είχαν αρχικά τα δύο παιδιά;

2. Ο Άρης έχει στη συλλογή του 482 γραμματόσημα και ο φίλος του ο Διονύσης έχει 234 γραμματόσημα. Πόσα γραμματόσημα πρέπει να δώσει ο Άρης στον Διονύση έτσι ώστε οι δύο φίλοι να έχουν τον ίδιο αριθμό γραμματοσήμων;

3. Σε μια λαική αγορά 2 άνδρες πλανόδιοι πωλητές πούλησαν τόσα ζευγάρια κάλτσες όσα πούλησαν και 3 γυναίκες πλανόδιες πωλήτριες.

Αν 6 άνδρες πλανόδιοι πωλητές και 7 γυναίκες πλανόδιες πωλήτριες πούλησαν 464 ζευγάρια κάλτσες, τότε πόσα ζευγάρια κάλτσες πούλησε ο καθένας από τους άνδρες πωλητές; 

4. Ένα φόρεμα κοστίζει τρεις φορές περισσότερο από ένα Τ-shirt . Μία τσάντα ταξιδιού κοστίζει πέντε φορές περισσότερο από το Τ-shirt. Αν τα τρία προιόντα κοστίζουν συνολικά 621 ευρώ , τότε πόσο κοστίζει το κάθε προιόν ξεχωριστά; 

▪ Τεστ στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση με ακέραιους αριθμούς (**)

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση με ακέραιους αριθμούς

2ο Φύλλο Εργασίας 

1. Να βρείτε τους αριθμούς που λείπουν .
                    Α :    12  14    16   18     ?
                    Β : 144  168  192  216    ?

2. α) Χρησιμοποιώντας τους τέσσερις 26, 25, 24 και 600 και κάποια από τα σύμβολα "+", "-", "χ", ":" και το "=" να δημιουργήσετε μία σωστή αριθμητική παράσταση.
β) Ομοίως με τους αριθμούς 252, 18, 14, 250.

3. Ο Ηρακλής σκέφτηκε ένα ακέραιο αριθμός μεταξύ του 50 και του 60. Όταν ο αριθμός αυτός διαιρεθεί με το 8 αφήνει υπόλοιπο 6 και όταν διαιρεθεί με το 11 αφήνει υπόλοιπο 10. Ποιος είναι ο αριθμός που σκέφτηκε ο Ηρακλής;

▪ Κύκλοι Soddy

Στο σχήμα, ο κύκλος (D,d), (εσωτερικός κύκλος Soddy), εφάπτεται εξωτερικά των κύκλων (A,a), (B,b) και (C,c) καθώς και ο κύκλος (E, e),(εξωτερικός κύκλος Soddy), εφάπτεται εξωτερικά των κύκλων αυτών.

Να αποδειχθεί ότι:

▪ Τεστ στον πολλαπλασιασμό και διαίρεση με ακέραιους αριθμούς (*)

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση με ακέραιους αριθμούς

1ο Φύλλο Εργασίας 

1. Ποιος αριθμός αν πολλαπλασιαστεί με το 16 και στη συνέχεια διαιρεθεί με το 5 μας δίνει αποτέλεσμα 672;

2. Ποιοι διαδοχικοί αριθμοί έχουν γινόμενο 1806;

3. Ποια από τις παρακάτω διαιρέσεις μας δίνει υπόλοιπο 3;

            α) 327:8        β) 327:7       γ) 327:6     δ) 327:56

▪ Τεστ στους Ακέραιους αριθμούς (***)

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3o Φύλλο εργασίας

1. Τα γράμματα Α, Β και Γ αντιπροσωπεύουν ψηφία. Αν ισχύουν οι ισότητες:

                                     Α + Β + Γ = 24

                                     Α – Β + Γ = 8

                                     Α x Β x Γ = 504

τότε να βρείτε τους αριθμούς Α, Β και Γ.

2. Ο Πέτρος έχει τριπλάσια χρήματα από τον μικρότερο του αδελφό Γιάννη . Όταν ο Πέτρος του έδωσε 12 ευρώ, τότε ο Γιάννης είχε 16 ευρώ λιγότερα από τον αδελφό του Πέτρο.Πόσα χρήματα είχαν αρχικά τα δύο αδέλφια; 

3. Η Έλλη έχει 134 τραγούδια αποθηκευμένα στο κινητό της . Η φίλη της Αλέκα έχει στο κινητό της 53 τραγούδια λιγότερα από την Έλλη και η Νικολίνα έχει 78 τραγούδια περισσότερα από την Αλέκα.Πόσα τραγούδια έχουν στα κινητά τους συνολικά οι τρεις φίλες;

4. Η Ζωή αγόρασε 28 στιλό . Έδωσε στην αδελφή της Μαίρη 6 στιλό και έτσι είχαν τον ίδιο αριθμό από στιλό . Αν το κάθε ένα στιλό το αγόρασαν 2 ευρώ, πόσα χρήματα έδωσαν οι δύο αδελφές προκειμένου να αγοράσουν τα στιλό τους; 

▪ Τεστ στους Ακέραιους αριθμούς (**)

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 

2ο Φύλλο εργασίας

1. Σε ποιους από τους παρακάτω αριθμούς, αν αφαιρέσετε το 2 θα γίνουν περιττοί;  

96  , 83  , 77  , 54  , 41  ,  39

2. Να τοποθετήσετε στα δύο κενά κάποια από τα σύμβολα + , - , x , : , έτσι ώστε η παρακάτω αριθμητική παράσταση να γίνει σωστή.

3. Αν σε έναν ακέραιο αριθμό προσθέσουμε το 7435 και στη συνέχεια αφαιρέσουμε από το άθροισμα το 918 βρίσκουμε ως αποτέλεσμα το 12012. Ποιος είναι ο ακέραιος αριθμός?  

▪ Τεστ στους Ακέραιους αριθμούς (*)

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

 1ο Φύλλο εργασίας

1. Ποιος από τους παρακάτω 5– ψήφιους αριθμούς είναι ο μεγαλύτερος;  

α) 17654       β) 17564      γ) 17645      δ) 17546

2. Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός, στην παρακάτω σειρά των αριθμών:

13131 , 13162 , 13175 , 13206 ,  ?   

3. Σε ποιόν ακέραιο αριθμό, αν προσθέσουμε το 542 και στη συνέχεια αφαιρέσουμε από το άθροισμα το 132, θα πάρουμε ως αποτέλεσμα το 493;  

▪ Σε ικετεύω

O Φάρκας Μπολυαί ήταν καθηγητής Μαθηματικών σε ένα χωριό της Ουγγαρίας και είχε παθιαστεί με την προσπάθεια να αποδείξει το 5ο αίτημα του Ευκλείδη.Όταν συνέχισε ο γιος του Γιάνος το έργο αυτό, θεώρησε ότι ματαιοπονεί και του έγραψε λέγοντας:
 "Για τ' όνομα του Θεού, σε ικετεύω παράτα τα. Αυτό το πάθος είναι χειρότερο του κι από το πάθος του αισθησιασμού, γιατί μπορεί να σου στερήσει το χρόνο σου, την υγεία σου, την ψυχική σου ηρεμία και την ευτυχία σου. Δεν πρέπει να επιχειρήσεις αυτήν την προσέγγιση των παραλλήλων. 

János Bolyai

Αυτό τον δρόμο τον ξέρω καλά μέχρι το τέλος του. Διέσχισα αυτήν την απύθμενη νύχτα που έσβησε κάθε φως και χαρά απ΄ τη ζωή μου. Σε ικετεύω, άφησε ήσυχη την επιστήμη των παραλλήλων. Νόμιζα ότι θυσίαζα τον εαυτό μου εν ονόματι της αλήθειας. Ήμουν έτοιμος να γίνω ο μάρτυρας που θα αφαιρούσε το προπατορικό αμάρτημα της γεωμετρίας και θα την απέδιδε καθαρή στην ανθρωπότητα. Πέρασα τερατώδεις και απίστευτες ταλαιπωρίες, τα ευρήματά μου είναι πολύ καλύτερα από εκείνα πολλών άλλων, αλλά δεν έχω ακόμα ικανοποιηθεί απολύτως. Αποτραβήχτηκα απαρηγόρητος, οικτίροντας τον εαυτό μου και την ανθρωπότητα.»

▪ Κανονικό 9-γωνο

Στο παρακάτω κανονικό 9-γωνο να αποδειχθεί ότι AF=AB+AC.

▪ Διάμεσος και ορθή γωνία

Στο σχήμα το ABC είναι τυχαίο τρίγωνο με AB≠AC και ΑΟ κάθετη στην BC. Αν AD διάμεσος και οι γωνίες OAB και CAD είναι ίσες, να αποδειχθεί ότι η γωνία CAB είναι ορθή.

▪ Διχοτόμος ορθής γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

Το τρίγωνο ΑBC είναι ορθογώνιο και η ΑD είναι η διχοτόμος της ορθής γωνίας του.Αν CD = 1 και BD = AD + 1,να βρεθεί το μήκος των AC και AD.

▪ Ορθογώνια τρίγωνα

Το τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο και ΑΕ το ύψος του. Αν D σημείο τέτοιο ώστε CD = 1και BD = BE = 1, να βρεθεί το μήκος του AD.

▪ Εγγεγραμμένο εξάγωνο

Στο παρακάτω σχήμα, να βρεθεί η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του εξαγώνου.