♦ Θεώρημα Monge & D’ Alembert

Έστω τρεις κύκλοι C₁ , C₂ και C₃ ανά δύο εκτός και Y το σημείο τομής των κοινών εξωτερικών εφαπτομένων των κύκλων C₁ , C₃  , X το σημείο τομής των κοινών εξωτερικών εφαπτομένων των κύκλων C₂ , C₃ και Ζ το σημείο τομής των κοινών εξωτερικών εφαπτομένων των κύκλων C₁ , C₂ .

Τα σημεία X , Y και Ζ είναι συνευθειακά .     

  

   Gaspard Monge (1746 -1818) France

                                             Jean Le Rond d'Alembert 91717 – 1783) France 

                                             

▪ Αεί ο Θεός ο Μέγας Γεωμετρεί

Ένας μνημονικός κανόνας για την απομνημόνευση των 23 πρώτων ψηφίων του αριθμού π είναι η παρακάτω φράση :

Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση  

 3    1    4     1      5              9            2       6            5       3       5           

διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, καί όν, φεύ,

       8                   9                  7                  9             3   2       3 

ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι .

        8             4         6       2        6 

Το πλήθος των γραμμάτων κάθε λέξης της φράσης αυτής αντιστοιχεί σε καθένα από τα διαδοχικά ψηφία του αριθμού π .

▪ Πάντα πρώτος

Ο πρώτος αριθμός $73939133$ έχει μία χαρακτηριστική ιδιότητα . Αν του αφαιρείς διαδοχικά από τα δεξιά ένα ψηφίο πάντα προκύπτει πρώτος αριθμός.

Δηλαδή οι αριθμοί:

$7393913 , 739391 , 73939 , 7393 , 739 , 73$  και $7$

είναι όλοι πρώτοι !

Σχηματίστε 100

Τοποθετώντας τα σύμβολα $+$ και $–$, των πράξεων της πρόσθεσης και της αφαίρεσης μεταξύ των ψηφίων του αριθμού $123456789$ προσπαθήστε να σχηματίσετε αριθμητικές παραστάσεις των οποίων το αλγεβρικό άθροισμα να είναι ίσο με $100$. 

Πριν μερικά χρόνια στο γαλλικό περιοδικό Science et Vie δημοσιεύτηκαν οι ακόλουθες $11$ απαντήσεις:

$1 + 2 + 34 - 5 + 67 - 8 + 9 = 100$

$12 + 3 - 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100$

$123 - 4 - 5 - 6 - 7 + 8 - 9 = 100$

$123 + 4 - 5 + 67 - 89 = 100$

$123 + 45 - 67 + 8 - 9 = 100$

$123 - 45 - 67 + 89 = 100$

$12 - 3 - 4 + 5 - 6 + 7 + 89 = 100$

$12 + 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + 89 = 100$

$1 + 23 - 4 + 5 + 6 + 78 - 9 = 100$

$1 + 23 - 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100$

$1 + 2 + 3 - 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100$.

Μπορείτε να βρείτε ακόμα μία τέτοια αριθμητική παράσταση ?

Το Θεώρημα των 4 χρωμάτων

Το 1852 ο μαθηματικός Francis Guthrie υποστήριξε ότι οποιοσδήποτε γεωγραφικός χάρτης μπορεί να χρωματιστεί με τέσσερα χρώματα , έτσι ώστε καμία περιοχή του χάρτη να μην βρίσκεται σε επαφή με άλλη περιοχή του ίδιου χρώματος . Η πρόταση ονομάστηκε το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων και η πρώτη απόδειξη ήρθε το 1976 από τους Αμερικανούς μαθηματικούς Kenneth Appel and Wolfgang Haken από το Πανεπιστήμιο του  Illinois οι οποίοι χρησιμοποίησαν υπολογιστή για να ελέγξουν χιλιάδες πιθανούς χάρτες. 

Η απόδειξη όμως αμφισβητήθηκε επειδή κανείς δεν μπορεί να επιβεβαιώσει ότι στον κώδικα του υπολογιστή δεν υπήρχε κάποιο εγγενές λογικό

σφάλμα.

Το 2005 οι Georges Gonthier των εργαστηρίων της Microsoft στη Βρετανία και Benjamin Werner στο INRIA της Γαλλίας υποστηρίζουν ότι απέδειξαν την απόδειξη. Οι ερευνητές μετέγραψαν την απόδειξη στη γλώσσα υπολογιστή Coq, η οποία χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση λογικών προτάσεων και ανέπτυξαν ένα λογισμικό ελέγχου λογικής προκειμένου να επιβεβαιώσουν ότι κάθε βήμα που οδηγεί στην απόδειξη είναι σωστό . 

▪ Τρεις φορές 42/42

Ο Ρουμάνος Ciprian Manolescu (24 – 12 - 1978) κατέχει ένα μοναδικό ρεκόρ. Έχει κατακτήσει τρία χρυσά μετάλλια σε τρεις διαδοχικές Διεθνείς Μαθηματικές Ολυμπιάδες (ΙΜΟ) , με γραπτά και τις τρεις φορές βαθμολογημένα με 42/42 (perfect score).

Το πρώτο χρυσό το πήρε στην ΙΜΟ που έγινε στο Τορόντο του Καναδά το 1995, το δεύτερο στην Βομβάη της Ινδίας το 1996  και το τρίτο στην Μαρ Ντελ Πλάτα  της Αργεντινής το 1997.

O Manolescu σήμερα είναι καθηγητής στο Μαθηματικό τμήμα του Πανεπιστημίου της Columbia των ΗΠΑ . 

Ο 10χρονος μαθητής Gauss

Ο δάσκαλος του Gauss στο Δημοτικό ζήτησε από τους μαθητές του να υπολογίσουν το άθροισμα όλων των αριθμών από το $1$ έως και το $100$.

Οι μαθητές έπρεπε μόλις απαντήσουν στο ερώτημα να σηκωθούν και να αφήσουν την πλάκα τους στο γραφείο του δασκάλου.

Ο δάσκαλος εκνευρίστηκε όταν σε λίγα δευτερόλεπτα είδε τον Gauss να σηκώνεται με την πλάκα του και να κατευθύνεται στο γραφείο του , θεωρώντας ότι η βιασύνη του θα τον είχε οδηγήσει προφανώς σε εσφαλμένο αποτέλεσμα.

Έμεινε έκπληκτος όταν είδε στην πλάκα γραμμένη την σωστή απάντηση $5050$, χωρίς μάλι-στα να υπάρχουν οι ανάλογες προσθέσεις.

Ο Gauss είχε σκεφτεί ως εξής:

Το άθροισμα $S$ των $100$ αριθμών

$S = 1 + 2 + 3 + ……..+ 97 + 98 + 99 + 100$

το έγραψε

$S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + …... = 101 + 101 + 101 +…$ (50 προσθετέοι) .

Άρα το άθροισμα τους είναι 

 $S = 101\times50 = 5050$.

Η χαρά της Απόδειξης

Ο Godfrey H. Hardy είχε πει κάποτε στο φίλο του Bertrand Russel:

«Αν μπορούσα να δώσω μία λογική απόδειξη ότι θα πεθάνετε σε πέντε λεπτά , θα λυπόμουν βέβαια πολύ για τον επερχόμενο θάνατο σας, η λύπη μου όμως αυτή θα αντισταθμιζόταν από τη χαρά της απόδειξης».

Απόσπασμα από το βιβλίο:

«Η Μουσική των πρώτων αριθμών», του Marcus du Sautoy

Αλήθεια ή Ψέματα

Περπατάμε σε ένα δρόμο και σε κάποια στιγμή φτάνουμε σε ένα σταυροδρόμι. Μια πινακίδα που βρίσκεται πεσμένη στο έδαφος μας πληροφορεί ότι ο ένας δρόμος οδηγεί σε ένα χωριό που όλοι λένε την αλήθεια και ο άλλος σε ένα χωριό που όλοι λένε ψέματα. 

Η πινακίδα δεν είναι στη θέση της έτσι δεν ξέρουμε ποιος δρόμος οδηγεί σε κάθε χωριό. Σε λίγο μας πλησιάζει ένας κάτοικος ενός από τα δύο χωριά από το μονοπάτι από το οποίο ήρθαμε και εμείς. Έχουμε τη δυνατότητα να του κάνουμε μια ερώτηση για να μάθουμε ποιος δρόμος οδηγεί σε κάθε χωριό.

Ποια θα είναι η ερώτηση αυτή;

Η ζωή του Διόφαντου

Από την Παλατινή Ανθολογία διαβάζουμε:

«Ο Διόφαντος έζησε το ένα έκτο της ζωής του σαν παιδί, το ένα δωδέκατο σαν νέος και ένα έβδομο παραπάνω σαν εργένης. Πέντε χρόνια μετά το γάμο του γεννήθηκε ένας γιος που πέθανε πέντε χρόνια πριν τον πατέρα του, σε ηλικία ίση με το μισό της [τελικής] ηλικίας του πατέρα του. 

Αν υποθέσουμε ότι οι λεπτομέρειες του προβλήματος είναι σωστές, πόσων χρονών ήταν ο Διόφαντος όταν πέθανε»;

Σημείωση:

Παλατινή Ανθολογία ονομάζεται η συλλογή ελληνικών επιγραμμάτων πολλών ποιητών από τον 5ο π.Χ. αιώνα έως το Μεσαίωνα, η οποία σώζεται σ' ένα χειρόγραφο της Bibliotheka Palatina στη Χαϊδελβέργη (οι εκατό τελευταίες σελίδες βρίσκονται από το 1797 στην Παρισινή Εθνική Βιβλιοθήκη). Γράφτηκε στο τέλος του 10ου μ.Χ. αιώνα στην Κωνσταντινούπολη από τη μη διασωθείσα Ανθολογία του Κεφαλά.

Πότε γεννήθηκες ?

Πρόσθεσε τον αριθμό $18$ στον μήνα που γεννήθηκες

Πολλαπλασίασε με $25$

Αφαίρεσε $333$

Πολλαπλασίασε με $8$

Αφαίρεσε $554$

Διαίρεσε με $2$

Πρόσθεσε την ημέρα που γεννήθηκες

Πολλαπλασίασε με $5$

Πρόσθεσε $692$

Πολλαπλασίασε με $20$

Πρόσθεσε μόνα τα δύο τελευταία ψηφία του έτους γεννήσεως σου

Αφαίρεσε $32940$

Ο αριθμός που βρήκες είναι η ημερομηνία που γεννήθηκες !

Αν για παράδειγμα βρήκες τον αριθμό $122507$, τότε γεννήθηκες στις $25$ Δεκεμβρίου $2007$.

▪ Από το χάος στην τάξη

Το τρίγωνο του Sierpinski είναι ένα fractal που ανακαλύφτηκε από τον Wacław Sierpiński το 1915 .

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο (Σχ.1) το υποδιαιρούμε σε τέσσερα ίσα ισόπλευρα τρίγωνα (Σχ.2) και αφαιρούμε το μεσαίο λευκό τρίγωνο .         

Σχήμα 1                                     Σχήμα 2

 Στη συνέχεια εφαρμόζουμε το ίδιο σε κάθε ένα από τα τρία ισόπλευρα τρίγωνα που έχουμε και προκύπτουν 9 μικρότερα ισόπλευρα τρίγωνα (Σχ.3) .  

Εφαρμόζουμε το ίδιο στα 9 ισόπλευρα τρίγωνα που έχουμε και προκύπτουν 27 μικρότερα ισόπλευρα τρίγωνα (Σχ.4) .

Σχήμα 3                       Σχήμα 4

 Εφαρμόζουμε το ίδιο στα 27 ισόπλευρα τρίγωνα που έχουμε και προκύπτουν 81 μικρότερα ισόπλευρα τρίγωνα (Σχ.5) . 

Σχήμα 5  

Παρατηρούμε ότι όσο επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία κάθε τρίγωνο που δημιουργείται είναι ακριβώς το ίδιο σύνολο Sierpinski και άρα είναι το ίδιο με το όλον. Η ιδιότητα της αυτο – ομοιότητας σε όλο της το μεγαλείο .Εύκολα μπορεί κάποιος να οδηγηθεί στο συμπέρασμα ότι αυτό το πράγματι εντυπωσιακό fractal είναι αποτέλεσμα της μεγάλης τάξης και οργάνωσης  που είχαμε καθ΄ όλη τη διάρκεια της κατασκευής του . Λάθος συμπέρασμα .

Για να δούμε το παρακάτω παιχνίδι , το οποίο ονομάζεται παιχνίδι του χάους .

Σε ένα χαρτί κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒC , όπως στο παρακάτω σχήμα .

 Έστω Σ ένα τυχαίο σημείο του χαρτιού .

Ορίζουμε το σημείο Σ₁ ως εξής :

Ρίχνουμε ένα ζάρι και αν

 • φέρουμε άσσο (1) ή δύο (2) , τότε ως σημείο Σ₁ ορίζουμε το μέσο του  ευθυγράμμου τμήματος ΣΑ . 

 • φέρουμε τρία (3) ή τέσσερα (4) , τότε ως σημείο Σ₁ορίζουμε το μέσο του  ευθυγράμμου τμήματος ΣΒ . 

 • φέρουμε πέντε (5) ή έξι (6) , τότε ως σημείο Σ₁ ορίζουμε το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΣΓ . 

Στη συνέχεια ξαναρίχνουμε το ζάρι και ορίζουμε το σημείο Σ₂ , ως εξής :

 • φέρουμε άσσο (1) ή δύο (2) , τότε ως σημείο Σ₂ ορίζουμε το μέσο του  ευθυγράμμου τμήματος Σ₁Α . 

 • φέρουμε τρία (3) ή τέσσερα (4) , τότε ως σημείο Σ₂ορίζουμε το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος Σ₁Β . 

 • φέρουμε πέντε (5) ή έξι (6) , τότε ως σημείο Σ₂ ορίζουμε το μέσο του  ευθυγράμμου τμήματος Σ₁Γ . 

Συνεχίζουμε έτσι τη διαδικασία και έτσι ορίζουμε διαδοχικά τα σημεία

Σ ,Σ₁ ,Σ₂ ,Σ₃ ,Σ₄ ,…,Σ_n , …..

Στη κατασκευή του τριγώνου Sierpinski είχαμε την απόλυτη τάξη εδώ λόγω του ζαριού το απόλυτο τυχαίο .

Τι μπορεί να περιμένει κανείς για τη θέση αυτών των σημείων ;

Για να δούμε .

Μετά από 30 ρίψεις του ζαριού σημειώθηκαν τα εξής σημεία Σ₁ ,Σ₂, …, Σ₃₀ :                       

Δεν παρατηρούμε κάτι ιδιαίτερο , όσον αφορά το πώς είναι κατανεμημένα τα σημεία στο χαρτί .

Μετά από 100 ρίψεις του ζαριού σημειώθηκαν τα εξής σημεία Σ₁ ,Σ₂, …, Σ₁₀₀ : 

Μετά από 400 ρίψεις του ζαριού αρχίζει να διαφαίνεται μια κανονικότητα των σημείων Σ₁,…,Σ₃₀,…,Σ₁₀₀,…,Σ₄₀₀ :

Και μετά από 30000 ρίψεις του ζαριού καταγράφεται από τα σημεία Σ₁,…,Σ₃₀,…,Σ₁₀₀,…,Σ₄₀₀,…,Σ₃₀₀₀₀ απόλυτα καθαρά , όχι ένα τυχαίο σύνολο  σημείων όπως θα περίμενε κανείς , αλλά το fractal του Sierpinski ! 

Από το χάος στην τάξη !!

▪ Πού βρέθηκε η τρύπα?

Στο Σχήμα 1, τα χρωματισμένα μέρη του ορθογωνίου τριγώνου

Σχήμα 1

μετακινούνται και σχηματίζεται το ορθογώνιο τρίγωνο του Σχήματος 2.

Σχήμα 2

Πώς εξηγείτε το γεγονός ότι μένει κενό ένα τετραγωνάκι ;
Δείτε εδώ τη λύση του γρίφου.

Το παράδοξο του Rassel

Ο Bertrand Russell γεννήθηκε στις 18 Μαΐου 1872 στο Trelleck/Monmouth της Ουαλίας. Οι γονείς του, John και Kate Amberley, ήταν γνωστοί προοδευτικοί φιλελεύθεροι της βικτωριανής εποχής. 

(18 May 1872 – 2 February 1970) 

Ο παππούς του, Λόρδος John Russell, ήταν εκείνος που επισκέφτηκε το 1814 κατ' εντολή της βρετανικής κυβερνήσεως τον Ναπολέοντα στην εξορία και έγινε αργότερα υπουργός των εξωτερικών και δύο φορές πρωθυπουργός της βασίλισσας Βικτωρίας. 

▪ Ο πατέρας της επιστήμης των υπολογιστών

Έλυσε το περίφημο πρόβλημα της μαθηματικής λογικής που είχε διατυπώσει ο Hilbert  το 1928  (Entscheidungsproblem) για το κατά πόσο υπάρχει μια διαδικασία βάσει της οποίας αποφασίζεται η αποδειξιμότητα μιας τυχαίας μαθηματικής πρότασης. 

Alan Turing (1912 – 1954)        

Επινόησε μια μηχανική διαδικασία τη «μηχανή Turing» η οποία συνέβαλε αργότερα στην κατασκευή των πρώτων ηλεκτρονικών υπολογιστών.

Κατά τη διάρκεια του 2ου Παγκοσμίου Πολέμου ήταν σημαντικός συμμετέχων στις προσπάθειες στο πάρκο Bletchley να σπάσουν τους γερμανικούς κωδικούς. Η εργασία του Turing κρατήθηκε μυστική μέχρι τη δεκαετία του '70, ακόμη και οι στενοί φίλοι του δεν την ήξεραν. Συνέβαλε με διάφορες μαθηματικές ιδέες για το σπάσιμο της μηχανής Enigma και Lorenz SZ 40/42. Σε δύο αγροκτήματα στο ναυπηγείο στο πάρκο Bletchley, ο Turing εργάστηκε από το 1939 εως το 1940 όταν και μετακινήθηκε προς την Ομάδα 8. 
Ο Turing εφηύρε επίσης την τεχνική Banburismus για να βοηθήσει στο σπάσιμο της Γερμανική κρυπτογραφικής συσκευής Enigma.

Στο τελευταίο μέρος του πολέμου, ο Turing ανέλαβε (με το μηχανικό Donald Bayley) το σχέδιο μιας φορητής μηχανής με κωδικό Delilah για να επιτρέψει τις ασφαλείς μεταδόσεις φωνής. 

Από το 1945 ως το 1947, εργάστηκε στο εθνικό φυσικό εργαστήριο, πάνω στο σχέδιο της αυτόματης μηχανή υπολογισμού. Παρουσίασε μια εργασία στις 19 Φεβρουαρίου του 1946, η όποια ήταν το πρώτο πλήρες σχέδιο ενός υπολογιστή. Αν και πέτυχε το σχεδιασμό της αυτόματης μηχανής υπολογισμού, υπήρξαν καθυστερήσεις στην έναρξη του προγράμματος και απογοητεύτηκε. 

Το 1952 διώχθηκε ως ομοφυλόφιλος και πέρασε υποχρεωτική 12μηνη ορμονοθεραπεία. Συνέχισε την πρωτοποριακή του έρευνα μετά το τέλος της «θεραπείας», αν και στερημένος των παροχών που του είχαν παρασχεθεί μετά τον πόλεμο σε αναγνώριση της προσφοράς του. Βρέθηκε νεκρός, δηλητηριασμένος από κυάνιο, στις 7 Ιουνίου του 1954. Η επίσημη εκδοχή είναι η αυτοκτονία. 

▪ Ακολουθία RATS

Ποιος είναι ο όρος που λείπει στην παρακάτω ακολουθία:

1, 2, 4, 8, 16, 77, 145, 668, 1345 , ? , 13444, 55778, 133345, 666677, 1333444, 5567777, 12333445, 66666677, 133333444, 556667777, 1233334444, 5566667777, 12333334444, 55666667777, 123333334444, 556666667777, 1233333334444, 5566666667777, 12333333334444, 55666666667777, 123333333334444, .....

Το Παράδοξο του Κουρέα

Σε ένα χωριό ισχύουν οι παρακάτω δύο κανόνες :

1) Υπάρχει μόνο ένας κουρέας.

2) Ο κάθε κάτοικος είτε ξυρίζεται μόνος του είτε τον ξυρίζει ο κουρέας .

Το ερώτημα που προκύπτει είναι ποιος ξυρίζει τον κουρέα;

- Αν ξυρίζεται μόνος του τότε δεν τον ξυρίζει ο κουρέας, πράγμα άτοπο, γιατί ο ίδιος είναι κουρέας.

- Αν τον ξυρίζει κάποιος άλλος τότε αυτός ο άλλος πρέπει να είναι κουρέας, πράγμα άτοπο γιατί υπάρχει μόνο ένας κουρέας.

Οπτική Απάτη - 3

Οπτική απάτη του Zöllner . Οι μαύρες ευθείες είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Johann Karl Friedrich Zöllner, γερμανός αστροφυσικός

Οπτική Απάτη - 2

Οι κόκκινες ευθείες στην παρακάτω εικόνα είναι παράλληλες !

Ewald Hering (1834 - 1918)

Οπτική Απάτη - 1

Οι δύο κόκκινοι κύκλοι στην παρακάτω εικόνα φαίνεται να έχουν διαφορετικές ακτίνες . Και όμως οι ακτίνες τους είναι ίσες !

Τρίγωνο Kanizsa

Το τρίγωνο σχεδιάστηκε το 1995 από τον Ιταλό ψυχολόγο και καλλιτέχνη Gaetano Kanizsa (1913-1993).

Είναι μια οπτική ψευδαίσθηση της ύπαρξης ενός τριγώνου χωρίς αυτό να έχει κατασκευαστεί. Ένα λευκό τρίγωνο φαίνεται να καλύπτει ένα άλλο τρίγωνο και 3 μαύρους κύκλους.

▪ Τα τρίγωνα του Ήρωνα

Τα τρίγωνα των οποίων τα μήκη των πλευρών τους είναι ακέραιοι αριθμοί και το εμβαδόν του είναι επίσης ακέραιος αριθμός, λέγονται τρίγωνα του Ήρωνα.

Παραδείγματος χάριν, αν ενώσουμε τα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές τους ακέραιους αριθμούς (a,b,c) και (a,d,e) κατά μήκος της κοινής τους πλευράς όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα 

τότε σχηματίζεται ένα  τρίγωνο με πλευρές τους ακέραιους αριθμούς (b + d, c,e) και εμβαδόν επίσης ακέραιο αριθμό , δηλαδή ένα τρίγωνο του Ήρωνα .

Παραδείγματα τριγώνων του Ήρωνα 

Εμβαδόν	Περίμετρος	Μήκος b+d	Μήκος e	Μήκος c
6	12	5	4	3
12	16	6	5	5
12	18	8	5	5
24	32	15	13	4
30	30	13	12	5
36	36	17	10	9
36	54	26	25	3
42	42	20	15	7
60	36	13	13	10
60	40	17	15	8
60	50	24	13	13
60	60	29	25	6
66	44	20	13	11
72	64	30	29	5
84	42	15	14	13
84	48	21	17	10
84	56	25	24	7
84	72	35	29	8
90	54	25	17	12
90	108	53	51	4
114	76	37	20	19
120	50	17	17	16
120	64	30	17	17
120	80	39	25	16
126	54	21	20	13
126	84	41	28	15
126	108	52	51	5
132	66	30	25	11
156	78	37	26	15
156	104	51	40	13
168	64	25	25	14

Τα τρίγωνα του Ήρωνα έχουν επιπλέον τις ιδιότητες :   
α) η ημιπερίμετρος τους είναι ακέραιος αριθμός

β) το εμβαδόν τους είναι πάντα πολλαπλάσιο του 6.