Διασκεδαστικά Μαθηματικά

▪ Γεωμετρία: Άσκηση 219

2012-03-10T23:13:00.002+02:00

Δίνεται τετράγωνο ABCD πλευράς 2, και X σημείο εξωτερικό του τετραγώνου, τέτοιο ώστε AX = XB =√2. Να βρεθεί το μήκος της μεγαλύτερης διαγωνίου του πενταγώνου AXBCD?

ΜIT - Harvard Tournament 2012

▪ Θεώρημα Βήττα

2012-03-10T22:56:00.003+02:00

Τον Οκτώβριο του 2004 κυκλοφόρησε το 4ο τεύχος του περιοδικού «Απολλώνιος», που εκδίδει το Παράρτημα Ημαθίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. Στις προτεινόμενες ασκήσεις της σελίδας 211 αναφερόταν:

Β129. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν Ε είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του, να αποδειχθεί ότι οι ευθείες Euler των τριγώνων ΕΑΒ, ΕΒΓ, ΕΓΔ και ΕΔΑ διέρχονται από το ίδιο σημείο.

ΣΧΟΛΙΟ:
Διερευνώντας το αν η παραπάνω πρόταση είναι νέα, ο αρχιτέκτονας Κώστας Βήττας από την Αθήνα μας πληροφόρησε ότι ο ίδιος ανακάλυψε την πρόταση πριν ένα χρόνο και μας έστειλε την απόδειξή της. Τον ευχαριστούμε πολύ.

Ιωσηφίδης Νίκος, Μαθηματικός, Βέροια.

Η απόδειξη του κ. Βήττα μαζί με την επιστολή του προς το περιοδικό μας, δημοσιεύθηκαν στο 5ο τεύχος του «Απολλώνιου», που κυκλοφόρησε τον Οκτώβριο του 2007.

Το θεώρημα προτάθηκε από τον κ. Κ. Βήττα στο forum “mathlinks.ro”, έχει αναγνωριστεί επίσημα ως γεωμετρικό θεώρημα και λέγεται «Θεώρημα Βήττα».

Με το θεώρημα αυτό ασχολείται ο καθηγητής Nguyen Minh Ha (Hanoi University of Education, Hanoi, Vietnam) στην εργασία του «A proof of Vittas’ Theorem and its converse», που δημοσιεύθηκε στο νέο ηλεκτρονικό περιοδικό Journal of Classical Geometry (vol1, 2012, pp. 32-39).

Το γεγονός αυτό δεν πέρασε απαρατήρητο από την επιστημονική μας κοινότητα. Στον ιστότοπο mathematica.gr έχει γραφεί πλήθος σχετικών σχολίων. Είναι άξιο επισήμανσης ότι ο κ. Κώστας Βήττας στις 15 Ιανουαρίου 2012 μεταξύ άλλων αναφέρει ότι:

«Τα εύσημα της ανακάλυψης του θεωρήματος αυτού, ανήκουν εξίσου στον δυνατό γεωμέτρη και αγαπητό μου φίλο Νίκο Ιωσηφίδη, που ζει και δημιουργεί στη Βέροια, γιατί για μένα τουλάχιστον, είναι απολύτως ξεκάθαρο ότι το ανακάλυψε ανεξάρτητα και δεν έχει καμιά σημασία το ότι ανακαλύφθηκε απ' αυτόν σε ύστερο χρόνο….».

Το Παράρτημα Ημαθίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας:

- συγχαίρει θερμά τόσο τον κ. Κώστα Βήττα, όσο και τον κ. Νίκο Ιωσηφίδη για το επιστημονικό τους έργο

- θεωρεί ελάχιστη υποχρέωσή του να δημοσιοποιήσει τα παραπάνω στην τοπική κοινωνία

- αισθάνεται περήφανο γιατί το περιοδικό «Απολλώνιος», που εκδίδει (σε ένα περίπου μήνα θα κυκλοφορήσει το επόμενο τεύχος του), απέδειξε για άλλη μια φορά την υψηλή του στάθμη.

Πηγή: emeimathias

▪Προσομοίωση Πανελλαδικών Εξετάσεων 2012

2012-03-10T21:36:00.002+02:00

Α΄ Λυκείου

Άλγεβρα	εκφ. (Συμεωνίδου Νόπη) εκφ. (Παπανικολόπουλος Γιάννης) εκφ. (Καδήρογλου Τάσος)
Γεωμετρία	εκφ. (Συμεωνίδου Νόπη)
	εκφ. (Παπανικολόπουλος Γιάννης)
	εκφ. (Καδήρογλου Τάσος)

Β΄Λυκείου

Γενική Παιδεία


Άλγεβρα	εκφ. (Συμεωνίδου Νόπη) εκφ. (Παπανικολόπουλος Γιάννης) εκφ. (Καδήρογλου Τάσος)

Θετική Κατεύθυνση

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

εκφ. (Συμεωνίδου Νόπη)

εκφ. (Παπανικολόπουλος Γιάννης)

εκφ. (Καδήρογου Τάσος)

Γ΄Λυκείου

Γενική Παιδεία

Μαθηματικά και στοιχεία στατιστικής

εκφ. (Συμεωνίδου Νόπη)

Θετική Κατεύθυνση -

Τεχνολογική Κατεύθυνση


Μαθηματικά	εκφ. (Συμεωνίδου Νόπη) εκφ. (Παπανικολόπουλος Γιάννης)

Γ΄ Γυμνασίου
Μαθηματικά	εκφ. (Καδήρογλου Τάσος)

Β΄ Γυμνασίου
Μαθηματικά	εκφ. (Καδήρογλου Τάσος)

Α΄ Γυμνασίου
Μαθηματικά	εκφ. (Καδήρογλου Τάσος)

Πηγή: methodiko

▪ Δύο δεκάλιτρα

2012-03-10T20:47:00.003+02:00

Έχουμε τρεις κανάτες, οι δύο είναι γεμάτες με 13 και 7 λίτρα νερό αντίστοιχα και η τρίτη χωρητικότητας 19 λίτρων είναι άδεια.

Θέλουμε, με διάφορες μεταγγίσεις νερού, να αποκτήσουμε δύο κανάτες με 10 λίτρα νερό, χωρίς να χρησιμοποιήσουμε κάποιο πρόσθετο μέσο. Πως θα το καταφέρουμε;
Κάντε κλικ εδώ, για να δείτε τη λύση που μου έστειλε ο φίλοςCarlo de Grandi (papaveri).

▪Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής: Ερωτήσεις κατανόησης - Μεθοδολογία ασκήσεων

2012-03-10T20:42:00.003+02:00

Του Γεωργίου Διακουμάκου - 8ο Γενικό Λύκειο Πειραιά

Κάντε κλικ εδώ, για να δείτε τις απαντήσεις των ερωτήσεων.

▪Μαθηματική Επιθεώρηση - Τεύχος 24

2012-03-10T20:29:00.000+02:00

Μαθηματική Επιθεώρηση
Τεύχος 24
Οκτώβριος-Νοέμβριος-Δεκέμβριος 1981
Περιεχόμενα
1. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
2. ΙΣΧΥΡΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ
3. ΑΡΧΗ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ
4. Η ΜΕΤΑΡΡΥΘΜΙΣΗ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΠΟΛΩΝΙΑ
5. ΤΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ
Κάντε κλικ εδώ, για να κατεβάσετε το περιοδικό.
Πηγή: ke-ntro

▪ Πολύεδρα και κωνικές τομές

2012-03-10T20:23:00.000+02:00

▪ Οι άνθρωποι εγκατέλειψαν το Θεό - Αλεξάντρ Ισάγεβιτς Σολζενίτσιν

2012-03-10T20:07:00.002+02:00

Όταν πρωτοπήγα στο σχολείο στην πόλη Ροστόβ, στον ποταμό Ντόν – θυμάμαι ότι στο δρόμο μου περνούσα ένα αστραφτερό σήμα της Ένωσης των Αθεϊστών Αγωνιστών – οι συμμαθητές μου με κορόιδευαν, με την παρότρυνση των μελών της Komsomol, επειδή συνόδευα τη μητέρα μου στην τελευταία εκκλησία που απέμενε στην πόλη, και μου άρπαξαν το σταυρό που φορούσα στο λαιμό μου.
Αργότερα θυμάμαι την εξήγηση που έδιναν μερικοί γέροι για τις μεγάλες συμφορές που είχαν πέσει στη Ρωσία: «Οι άνθρωποι εγκατέλειψαν το Θεό γι’ αυτό συνέβησαν όλα αυτά» .
Από τότε πέρασα 50 ολόκληρα χρόνια μελετώντας την ιστορία της Ρωσικής Επανάστασης. Έχω διαβάσει εκατοντάδες βιβλία, έχω συγκεντρώσει εκατοντάδες προσωπικές μαρτυρίες κι έχω συνεισφέρει με οκτώ δικά μου βιβλία στην προσπάθεια να ξεκαθαριστούν τα χαλάσματα που άφησε πίσω της η μεγάλη αυτή εξέγερση.

Αλλά αν μου ζητούσε κάποιος να διατυπώσω όσο πιο επιγραμματικά γίνεται τη βασική αιτία της καταστροφικής αυτής Επανάστασης, που εξολόθρευσε 60 περίπου εκατομμύρια συμπατριωτών μου, δεν θα έβρισκα φράση πιο ταιριαστή από εκείνη: «Οι άνθρωποι εγκατέλειψαν το Θεό γι’ αυτό συνέβησαν όλα αυτά».
Ο ξεπεσμός της ανθρώπινης συνείδησης, που στερήθηκε τη θεία της διάσταση, είναι ένας από τους πιο αποφασιστικότερους παράγοντες όλων των μεγάλων εγκλημάτων αυτού του αιώνα.Όλες οι προσπάθειες να βρούμε διέξοδο από τις σημερινές συμφορές της ανθρωπότητας θα είναι μάταιες, όσο δεν αποπροσανατολίζουμε τη Συνείδησή μας, με Μετάνοια, προς το Δημιουργό του Κόσμου.Το νόημα της ζωής δε συνίσταται στην επιδίωξη της υλικής επιτυχίας αλλά στην αναζήτηση της πνευματικής καταδίωξης και ανάπτυξης.Ολόκληρη η ύπαρξή μας πάνω στη Γη δεν είναι παρά μία παροδική, μεταβατική φάση προς κάτι υψηλότερο. Ένα σκαλί της σκάλας. Μόνοι τους οι υλικοί νόμοι δεν μπορούν να εξηγήσουν τη Ζωή, ούτε να της δώσουν νόημα και κατεύθυνση.
Απέναντι στις φρούδες ελπίδες των δύο περασμένων αιώνων δεν έχουμε να αντιτάξουμε παρά μόνο τούτο: μία αποφασισμένη Αναζήτηση για να αγγίξουμε και πάλι το ζεστό χέρι του Θεού, το οποίο τόσο απερίσκεπτα απαρνηθήκαμε. Μόνον έτσι μπορούμε να ανοίξουμε τα μάτια μας και να αντικρίσουμε τα λάθη αυτού του δυστυχισμένου 20ού αιώνα και να οδηγήσουμε τα χέρια μας σωστά ώστε να τα διορθώσουμε.
Ο κόσμος μας παρασύρεται σ’ έναν ανεμοστρόβιλο. Αλλά μόνον στις ώρες τέτοιων δοκιμασιών εκδηλώνονται και τα υψηλότερα χαρίσματα του Ανθρωπίνου Πνεύματος.

Αλεξάντρ Ισάγεβιτς Σολζενίτσιν

Πηγή: anastasiosk.blogspot.com

▪ Romania District Olympiad 2012

2012-03-10T19:10:00.000+02:00

1. Let three positive distinct real numbers. Evaluate:

2. Let a 9 elements ring. Prove that the following assertions are equivalent:

(a) For any there are two numbers and such that

(b) is a field.

3. Let a elements group. Find all the functions such that:

(a) if and only if is 's identity;

(b) for any divisor of , where stands for the greatest common divisor of the positive integers and .

4. Let a differentiable function such that and . Prove that:

▪ Χοτ ντογκ

2012-03-10T19:01:00.002+02:00

Aν ένα αγόρι και μισό μπορεί να φάει ένα χοτ ντογκ και μισό σε ένα λεπτό και μισό, πόσα χοτ ντογκ μπορούν να φάνε έξι αγόρια σε έξι λεπτά;

▪ 25 - 35 - 45

2012-03-10T18:06:00.001+02:00

Να βρεθεί ο μικρότερος αριθμός για τον οποίο ισχύουν:
▪ όταν διαιρεθεί με το 35 αφήνει υπόλοιπο 25,
▪ όταν διαιρεθεί με το 45 αφήνει υπόλοιπο 35 και
▪ όταν διαιρεθεί με το 55 αφήνει υπόλοιπο 45.

▪ Ποιος λείπει;

2012-03-10T17:37:00.000+02:00

Nα βρεθεί ο αριθμός που λείπει.

2 . 3 . 4 . 15 . 12

3 . 4 . 5 . 28 . 20

4 . 5 . 6 . 45 . 30

5 . 6 . 7 . 66 . 42

6 . 7 . 8 . ?? . 56

▪ 7 - 3 = 10124

2012-03-10T16:55:00.001+02:00

Αν

7 - 3 = 10124

6 + 3 = 3279

5 – 2 = 763

11 + 2 = 92613

τότε

15 - 3 = ?

▪ Άδειες φιάλες

2012-03-10T16:47:00.001+02:00

Έχουμε δύο φιάλες των 10 λίτρων, που είναι γεμάτες με κρασί και δύο φιάλες των 5 και 4 λίτρων άδειες.

Θέλουμε να βάλουμε στα δύο άδεια μπουκάλια από 3 λίτρα κρασί στο καθένα, χωρίς να χρησιμοποιήσουμε κάποιο πρόσθετο μέσο. Πως θα το καταφέρουμε;
Κάντε κλικ εδώ, για να δείτε τη λύση που μου έστειλε ο φίλος Carlo de Grandi (papaveri).

▪ Παίζοντας με τους αριθμούς - 4

2012-03-10T15:21:00.000+02:00

37³ + 13³	=	37 + 13
37³ + 24³	=	37 + 24

3⁴ + 25⁴ + 38⁴	=	3 + 25 + 38
7⁴ + 20⁴+ 39⁴	=	7 + 20 + 39

▪ Παίζοντας με τους αριθμούς - 3

2012-03-10T15:16:00.000+02:00

49 999	=	4 999	=	499	=	49	=	4	=	1
99 998	=	9 998	=	998	=	98	=	8	=	2

3 544	=	344
7 531	=	731

143 185	=	1 435
17 018 560	=	170 560

▪ Αριθμοί

2012-03-10T15:09:00.001+02:00

Τριγωνικοί αριθμοί.

Τετραγωνικοί αριθμοί.

Πενταγωνικοί αριθμοί.

Εξαγωνικοί αριθμοί.

Επταγωνικοί αριθμοί.

Οκταγωνικοί αριθμοί.

▪ Διαγώνισμα σε κύκλο και παραβολή

2012-03-10T14:48:00.003+02:00

Πηγή: KARKAR

▪ 8 - Διαγράμματα Venn

2012-03-10T14:48:00.002+02:00

Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα Venn δείχνει καλύτερα τη σχέση μεταξύ των ελεφάντων, των σαρκοφάγων ζώων και των τίγρεων;

Α. Β. Γ. Δ.

▪ 7 - Διαγράμματα Venn

2012-03-10T14:48:00.001+02:00

Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα Venn δείχνει καλύτερα τη σχέση μεταξύ των επίπλων, των καρεκλών και των τραπεζιών;

A. B. C. D.

▪ Τούνελ

2012-03-10T14:48:00.000+02:00

Ένα τρένο κινείται με σταθερή ταχύτητα. Ο χρόνος, που μεσολαβεί από τη στιγμή που θα εισέλθει σε μια σήραγγα μήκους 180 m μέχρι τη στιγμή που και το τελευταίο του βαγόνι θα εξέλθει απ´ αυτή, είναι 12 sec.

Σε μια δεύτερη σήραγγα μήκους 930 m ο αντίστοιχος χρόνος που μεσολαβεί είναι 42 sec. Να βρείτε την ταχύτητα και το μήκος του τρένου.

Από το βιβλίο των Μαθηματικών της Γ Γυμνασίου.

▪ Παίζοντας με τους αριθμούς - 2

2012-03-10T14:47:00.001+02:00

142 857 x 1 = 142857

x 5 = 714285

x 4 = 571428

x 6 = 857142

x 2 = 285714

x 3 = 428571

▪ Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Αρχιμήδης" 2012

2012-03-10T14:41:00.001+02:00

Τα θέματα και οι λύσεις της Ελληνικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας "Αρχιμήδης", των μικρών (κάτω των 15 1/2) και των μεγάλων (πάνω από 15 1/2).

▪ Σαν σήμερα

2012-03-10T14:38:00.000+02:00

Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 10 Μαρτίου
1622 : Rahn
1748 : Playfair
1864 : Osgood
1869 : Kagan
1872 : Stephansen
1885 : Zalts
1912 : Smithies
1922 : Gluskin

Μαθηματικοί που πέθαναν στις 10 Μαρτίου

1825 : Mollweide
1921 : Upton
1948 : Slutsky
1981 : Lopatynsky

▪Μαθηματική Επιθεώρηση - Τεύχος 21

2012-03-09T21:26:00.000+02:00

Μαθηματική Επιθεώρηση
Τεύχος 21
Ιανουάριος - Φεβρουάριος - Μάρτιος 1981

Λοιπά άρθρα

Περιεχόμενα

Αριστείδης Πάλλας

Το άρθρο αναφέρεται στη ζωή και το έργο του Έλληνα Μαθηματικού Αριστείδη Πάλλα.

"Μοντέρνα Μαθηματικά". Ένα εκπαιδευτικό και φιλοσοφικό λάθος;

Το άρθρο αυτό του Rene Thom αμφισβητεί τις βασικές αρχές των "μοντέρνων"μαθηματικών τα οποία κατα την αποψή του πριμοδοτούν την Άλγεβρα σε βάρος της Γεωμετρίας. Στο άρθρο του ο Thom συγκεντρώνει ιδιαίτερα τα πυρά της κριτικής του στη σχολή των Bourbaki της οποίας η επιρροή υπήρξε εξαιρετικά μεγάλη.

Πρέπει να διδάσκουμε "Μοντέρνα Μαθηματικά";

Το άρθρο αυτό αντιμετωπίζει τα τρία ερωτήματα που θέτει ο Rene Thom. 1) Αυστηρότητα και Αξιωματικοποίηση. 2) Τη διδασκαλία των μαθηματικών στα Πανεπιστήμια. 3) Τη διδασκαλία των μαθηματικών στο σχολείο.

Αλλαγή της Μαθηματικής εκπαίδευσης μετά το 1950. Ιδέες και Πραγματοποίηση. Γαλλία. "Οι μεταρρυθμίσεις της διδασκαλίας των μαθηματικών στη Γαλλία".

Το άρθρο ασχολείται με τη μεταρρύθμιση των μαθηματικών στη Γαλλία μετά το 1950 που είχε δυο θεμελιακά αντικείμενα: α) Να ελαττώσει την αναντιστοιχία που είχε δημιουργηθεί μεταξύ των σύγχρονων μαθηματικών και της παραδοσιακής διδασκαλίας των μαθηματικών σ'όλα τα επίπεδα. β) Να δώσει στην πλειονότητα των μαθητών τα μαθηματικά σαν γνωστικό εργαλείο το οποίο θα τους επιτρέψει να κατανοήσουν σε βάθος τη διαρκή αυξανόμενη εισδοχή των μαθηματικών μέσα σε χώρους όλο ένα πιο ποικίλους.

Η εις άτοπον απαγωγή.

Το άρθρο αυτό διαπραγματεύεται τη μέθοδο της "εις άτοπον απαγωγής"με παραδείγματα από την καθημερινή ζωή, καθώς και με καθαρά μαθηματικά παραδείγματα, κυρίως από τη Γεωμετρία.

Ιστορική Αναδρομή στους Μιγαδικούς Αριθμούς.

Στο άρθρο αυτό γίνεται προσπάθεια να σκιαγραφηθεί το ιστορικό της επινόησης των μιγαδικών αριθμών μέχρι την αυστηρή θεμελίωση τους από τον Hamilton, καθώς επίσης να ερμηνευτεί η ανάγκη που οδήγησε τον άνθρωπο να τους επινοήσει.

Μια άλυσος του Markov για εκπαιδευτικό Προγραμματισμό.

Στο άρθρο αυτό γίνεται ανάλυση του μοντέλου μιας Μαρκοβιανής Αλύσου καθώς και εφαρμογές αυτής στο εκπαιδευτικό σύστημα.

Πηγή: hms.gr

▪ Οκτάγωνα στο οκτάγωνο

2012-03-09T21:25:00.002+02:00

Οκτώ οκτάγωνα στο οκτάγωνο.

▪ Εμβαδά χρωματισμένων επιφανειών

2012-03-09T21:16:00.000+02:00

Να βρεθούν συναρτήσει του a και του r τα εμβαδά των παρακάτω χρωματισμένων επιφανειών:

▪Αποτελέσματα Seemous 2012

2012-03-09T20:29:00.002+02:00

Τα αποτελέσματα της εθνικής μας ομάδας, που συμμετείχε στον Μαθηματικό διαγωνισμό Seemous 2012 (Βουλγαρία):

Εσκενάζης Αλέξανδρος (28/40) (Δευτεροετής φοιτητής του Αθήνας) χρυσό

Μπογιόκας Δημήτριος (26/40) (Δευτεροετής φοιτητής του Μαθηματικού Αθήνας) χρυσό

Τσουβαλάς Κωνσταντίνος (19/40) (Πρωτοετής φοιτητής του Μαθηματικού Αθήνας) αργυρό

Ζέμας Κωνσταντίνος (16.5/40) (Δευτεροετής φοιτητής του Μαθηματικού Αθήνας) αργυρό

Παπάς Γεώργιος (14/40) (Δευτεροετής φοιτητής του Μαθηματικού Αθήνας) αργυρό

Κωνσταντινίδης Στέλιος (13/40) (Πρωτοετής φοιτητής ΣΥΜΜΥ) αργυρό

Τσαρέας Αθανάσιος (12/40) (Πρωτοετής φοιτητής του Μαθηματικου Αθήνας) αργυρό

Αγγελής Εμμανουήλ (8/40) (Πρωτοετής φοιτητής του Τμήματος Πληροφορικής) χάλκινο

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά!

▪Μαθηματικός διαγωνισμός Seemous 2012

2012-03-09T20:19:00.002+02:00

ΘΕΜΑΤΑ

Πρόβλημα 1ο

Έστω ο πίνακας όπου το είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το . Να βρεθεί το μέγιστο για το οποίο ισχύει ότι .

Πρόβλημα 2ο

Θεωρούμε τα ορθογώνια τρίγωνα όπως στην εικόνα.

Είναι δυνατόν το σύνολο να μην είναι φραγμένο αλλά η σειρά

να συγκλίνει; (Όπου είναι το μέτρο της γωνίας .)

Πρόβλημα 3ο

(α) Να αποδειχθεί ότι αν ο είναι άρτιος θετικός ακέραιος και ο είναι πραγματικός συμμετρικός πίνακας με τότε .

(β) Ισχύει ο ισχυρισμός του ερωτήματος (α) και για τους περιττούς φυσικούς ;

Πρόβλημα 4ο

(α) Να υπολογιστεί το

(β) Έστω ακέραιος . Να υπολογιστεί το

Πηγή: mathematica

▪ Άθροισμα επί διαφορά

2012-03-09T19:42:00.001+02:00

(a - b)(c + d) = ac + ad - bc - bd

▪ Γινόμενο δύο διαφορών

2012-03-09T19:37:00.000+02:00

(a - b)(c - d) = ac + bd - ad - bc

▪ Γινόμενο δύο αθροισμάτων

2012-03-09T19:28:00.002+02:00

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

▪ Αριθμός επί διαφορά

2012-03-09T19:25:00.002+02:00

(a - b)c = ac - bc

▪Επιμεριστική ιδιότητα

2012-03-09T19:21:00.003+02:00

Ισχύει:

a(b + c) = ab + ac

Απόδειξη

▪Αντιμεταθετική ιδιότητα γινομένου

2012-03-09T19:13:00.005+02:00

Στον πολλαπλασιασμό ισχύει:

ab = ba

Απόδειξη

▪Ζωγραφίστε το

2012-03-09T17:00:00.005+02:00

Ξεχάσατε πως γράφετε κάποιο μαθηματικό σύμβολο στην LaTeX? Μην ψάχνετε στις μηχανές αναζήτησης και χάνετε χρόνο. Ζωγραφίστε το σύμβολο με το ποντίκι σας και θα εμφανιστεί η εντολή σας. Κάντε κλικ εδώ.

▪Μαθηματική Επιθεώρηση - Τεύχος 20

2012-03-09T15:36:00.002+02:00

Μαθηματική Επιθεώρηση
Τεύχος 20
Οκτώβριος-Νοέμβριος-Δεκέμβριος 1980
Ελληνική Μαθηματική Εταιρία
Περιεχόμενα
1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ GALOIS
2. ΘΕΩΡΙΑ ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ

3. ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ

Κάντε κλικ εδώ, για να κατεβάσετε το περιοδικό.
Πηγή: ke-ntro

▪ Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων (IV)

2012-03-09T15:36:00.000+02:00

Του Κωνσταντίνου Δόρτσιου, τ. Σχ. Συμβούλου Μαθηματικών

Ο Αριστοτέλης και τα Μαθηματικά

Οι αναφορές στα παράδοξα του Ζήνωνα

Η σκέψη του Τολστόι

▪ (α + β)^2 = α^2 + 2αβ + β^2

2012-03-09T15:34:00.000+02:00

Γεωμετρική ερμηνεία της ταυτότητας:

▪Υπολογισμός της απόστασης ενός πλοίου από τη στεριά

2012-03-09T15:19:00.001+02:00

Αν ένα πλοίο βρίσκεται στη θέση Α στη θάλασσα, εμείς στεκόμαστε στη θέση Β στη στεριά και θέλουμε να υπολογίσουμε την απόσταση ΑΒ, τότε:

▪ Ξεκινάμε από το σημείο Β και περπατώντας πάνω στην παραλία κάθετα στην ΑΒ διανύουμε μιαν απόσταση ΒΓ. Στο σημείο Γ βάζουμε ένα σημάδι, π.χ. στερεώνουμε ένα ραβδί και συνεχίζοντας πάνω στην ίδια ευθεία διανύουμε την απόσταση ΓΔ = ΒΓ.

▪ Στο σημείο Δ αφού βάλουμε ένα σημάδι, π.χ. μια πέτρα, κάνουμε στροφή και περπατώντας κάθετα στη ΒΔ σταματάμε όταν βρεθούμε σ´ ένα σημείο Ε, από το οποίο τα σημεία Α και Γ φαίνονται να είναι πάνω στην ίδια ευθεία.

Η ζητούμενη απόσταση ΑΒ είναι ίση με την απόσταση ΔΕ την οποία μπορούμε να μετρήσουμε, αφού είναι πάνω στη στεριά.

Τη μέθοδο αυτή, λέγεται, ότι εφάρμοσε πριν από 2.500 χρόνια περίπου ο Θαλής ο Μιλήσιος.
Από το βιβλίο των Μαθηματικών της Γ Γυμνασίου.

▪ Το Παράδοξο του Ζήνωνα με τον Αχιλλέα και τη χελώνα

2012-03-09T15:01:00.001+02:00

▪ Το sudoku της ημέρας

2012-03-09T14:22:00.001+02:00

Εύκολο.

Η Λύση

▪ Γεωμετρία: Άσκηση 219

2012-03-09T14:02:00.001+02:00

Θεωρούμε τρίγωνο ABC με BC = 3. Αν D σημείο της πλευράς BC τέτοιο ώστε BD = 2, να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

$AB^2 + 2AC^2 - 3AD^2$.

▪ Σαν σήμερα

2012-03-09T13:54:00.002+02:00

Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 9 Μαρτίου
1818 : Joachimsthal
1840 : Henrici
1852 : Le Paige
1900 : Aiken
1948 : Lovasz

Μαθηματικοί που πέθαναν στις 9 Μαρτίου

1833 : Jacques Francais
1854 : Haldane
1866 : Bour
1917 : Baxter
1931 : Sleszynski
1942 : Krawtchouk
1942 : Robert Hardie
1993 : Zorn
1994 : Dubreil

▪Μαθηματική Επιθεώρηση - Τεύχος 19

2012-03-08T22:17:00.002+02:00

Μαθηματική Επιθεώρηση
Τεύχος 19
Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέμβριος 1980

Λοιπά άρθρα

Περιεχόμενα

Εισαγωγή στη συναρτησιακή ανάλυση

Η συναρτησιακή ανάλυση, είναι εκείνος ο κλάδος τον μαθηματικών στον οποίο θεωρούμε ότι τα στοιχεία μιας δοσμένης κλάσης συναρτήσεων είναι σημεία ενός κατάλληλου χώρου άπειρης διάστασης.

Γραφήματα κανονικής αποστάσεως με πίνακα περιγραφής Β και άρτιο βαθμό κορυφής

Εισαγωγή στη θεωρία γραφημάτων.

Μαθηματική θεμελίωση της μη τοπικής θεωρίας του συνεχούς

Αλληλεπιδράσεις μεταξύ εφαπτόμενων αντικειμένων και αλληλεπιδράσεις αποστάσεως μεταξυ αντικειμένων τα οποί αποχωρίζονται στο φυσικό χώρο.

Πηγή: hms.gr

▪ πππππ

2012-03-08T22:11:00.002+02:00

▪ Γράμματα - γρίφος (10)

2012-03-08T21:54:00.000+02:00

Ποιο είναι το γράμμα που λείπει;

▪ Γράμματα - γρίφος (9)

2012-03-08T21:52:00.002+02:00

Ποιο είναι το γράμμα που λείπει;

▪Μαθηματική Επιθεώρηση - Τεύχος 18

2012-03-08T21:50:00.002+02:00

Μαθηματική Επιθεώρηση
Τεύχος 18
Έτος 1980

Λοιπά άρθρα

Περιεχόμενα

Οι δυο διαφορετικοί τρόποι έκφρασης του θεωρήματος BUDAN-FOURIER και οι συνέπειές τους

Παρουσίαση αριθμητικών μεθόδων επίλυσης εξισώσεων-εύρεση πραγματικών ριζών.

Οι αριθμοί του STIRLING.

Μελέτη συναρτήσεων με πεδίο ορισμού ένα αριθμήσιμο σύνολο μέσω της θεωρίας των πεπερασμένων διαφορών.

Δύναμη σημείου προς κύκλο και σφαίρα.

Παρουσίαση της δύναμης σημείου προς κύκλο, όπως προτάθηκε από τον Steiner και πώς πρέπει νσ διδάσκονται στο Λύκειο.

Δύο μεγάλα ερωτηματικά.

Προσπάθεια να δωθεί απάντηση στο πώς σταδιοδρομείται ο σχηματισμός των ανθρώπινων ιδεών και πώς στη συνέχεια μορφοποιούν την ανρώπινη λογική. Ο προβληματισμός μπροστά στη Μαθηματική δημιουργία.

Η επίδραση της OLGA TAUSSKY-TODD στη θεωρία πινάκων.

Η συμβολή της Olga Taussky στην αλγεβρική θεωρία πινάκων, στην αναλυτική θεωρία πινάκων και στην αριθμοθεωρητική θεωρία πινάκων.

Πηγή: hms.gr

▪ Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων (III)

2012-03-08T21:50:00.000+02:00

Του Κωνσταντίνου Δόρτσιου, τ. Σχ. Συμβούλου Μαθηματικών

Ο Αριστοτέλης και τα Μαθηματικά

Οι αναφορές στα παράδοξα του Ζήνωνα

Η σκέψη του Τολστόι

▪Μαθηματική Επιθεώρηση - Τεύχος 17

2012-03-08T21:42:00.002+02:00

Μαθηματική Επιθεώρηση
Τεύχος 17
Ιανουάριος-Φεβρουάριος-Μάρτιος 1980

Λοιπά άρθρα

Περιεχόμενα

Ομοπαράλληλη Αναλυτική Γεωμετρία

Εφαρμογές των Μαρκοβιανών Αλυσίδων

Στο άρθρο αυτό δίνεται μια σύντομη επεξήγηση των βασικών εννοιών της Μαρκοβιανής Αλυσίδας και στη συνέχεια δίνονται τρία παραδείγματα: Ένα παράδειγμα εφαρμογής ανάγωγης Μαρκοβιανής Αλυσίδας για την ερμηνεία των εννοιών της εργοδικότητας και απορροφητικότητας, ένα παράδειγμα από την δημογραφία. Τέλος ένα μοντέλο από τη συμπεριφορά του καταναλωτή, ένα παράδειγμα μη ομογενούς Μαρκοβιανής Αλυσίδας.

Εισαγωγή στη θεωρία των Κατανομών (DISTRIBUTIONS) (Μαθηματικός ορισμός, ιδιότητες και φυσικές αντιστοιχίες.

Μαθηματικά Μοντέλα Διεθνών Ανταγωνισμών στους εξοπλισμούς.

Το άρθρο αυτό περιγράφει διάφορα μαθηματικά μοντέλα σε σχέση με τον ανταγωνισμό των εξοπλισμών διαφόρων κρατών που οδήγησαν σε παγκόσμιους πολέμους.

Θεωρία Δειγματοληψίας Ανασκόπηση και σύγχρονες Κατευθύνσεις.

Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να κάνει μια σύντομη και ενοποιημένη ανασκόπηση των ιδεών, αρχών, μεθοδων και εξελίξεων της θεωρίας της Δειγματοληψίας, να παρουσιάσει τα επι μέρους προβλήματα με τα οποία ασχολείται ο κλάδος και να δώσει τις σύγχρονες ερευνητικές του κατευθύνσεις.

Οι θεμελιακές μαθηματικές έννοιες των δυο ένα. Στη ροή της διαλεκτικής πορείας της ανθρώπινης Σκέψης.

Η εργασία αυτή αναφέρεται στις δυο βασικές μαθηματικές έννοιες του 1 και του i, καθώς και στη ροή της διαλεκτικής πορείας της ανθρώπινης σκέψης.

Ανισότητες

Το κείμενο αυτό βλέπει τις ανισότητες από πολλές πλευρές και προς το τέλος περιέχει γενικούς κανόνες για την αντιμετώπιση προβλημάτων ανισοτήτων.

Πηγή: hms.gr

▪ Γράμματα - γρίφος (7)

2012-03-08T21:42:00.000+02:00

Ποιο είναι το γράμμα που λείπει;

▪ Γράμματα - γρίφος (6)

2012-03-08T21:39:00.000+02:00

Ποιο είναι το γράμμα που λείπει;

▪ Γράμματα - γρίφος (5)

2012-03-08T21:37:00.000+02:00

Ποιο είναι το γράμμα που λείπει;

▪ Αποδείξεις χωρίς λόγια

2012-03-08T21:15:00.000+02:00

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα (Leonardo da Vinci, 1452-1519).

a² + b² = c²

▪ Αποδείξεις χωρίς λόγια

2012-03-08T21:09:00.001+02:00

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα (Hermann Baravalle 1945).

...
c² = a² + b²

▪ Παίζοντας με τους αριθμούς - 1

2012-03-08T20:57:00.000+02:00

180³ = 6³+7³+8³+...+67³+68³+69³
540³ = 34³+35³+ ... +158³
2856³ = 213³+214³+ ... +555³
5544³ = 406³+407³+ ... +917³
16834³ = 1134³+1135³+ ... +2133³
3990³ = 290³+293³+ ... +935³
29880³ = 2108³+2111³+ ... +4292³
408³ = 149³+256³+363³
440³ = 230³+243³+265³+269³+282³
1155³ = 435³+506³+577³+648³+719³+790³
2128³ = 553³+710³+867³+1024³+1181³+1338³+1475³
168³ = 28³+41³+54³+67³+80³+93³+106³+119³
64085³ = 935³+5868³+10801³+15734³+20667³+25600³+30533³+35466³+40399³+45332³
495³ = 15³+52³+89³+126³+163³+200³+237³+274³+311³+248³

▪ Γεωμετρία: Άσκηση 218

2012-03-08T20:36:00.000+02:00

Δίνεται τρίγωνο ABC με AB = 20, AC = 21 και BC = 29. Επί της πλευράς BC παίρνουμε τα σημεία D και E τέτοια ώστε BD = 8 και EC = 9. Να βρεθεί η γωνία ∠DAE.

Irish Mathematical Olympiad 2001

▪ Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων (II)

2012-03-08T20:30:00.001+02:00

Του Κωνσταντίνου Δόρτσιου, τ. Σχ. Συμβούλου Μαθηματικών

Ο Αριστοτέλης και τα Μαθηματικά

Οι αναφορές στα παράδοξα του Ζήνωνα

Η σκέψη του Τολστόι

▪Μαθηματική Επιθεώρηση - Τεύχος 16

2012-03-08T20:30:00.000+02:00

Μαθηματική Επιθεώρηση
Τεύχος 16
Οκτώβριος-Νοέμβριος-Δεκέμβριος 1979
Περιεχόμενα
1. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΙΑΣ ΚΛΑΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
2. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΙ
3. ΑΠΟ ΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΣΤΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ
Κάντε κλικ εδώ, για να κατεβάσετε το περιοδικό.
Πηγή: ke-ntro

▪ Το παράδοξο του Newcomb

2012-03-08T20:28:00.001+02:00

Ο William Newcomb ήταν ένας φυσικός με ακαδημαϊκή έδρα στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια. Το παράδοξο που φέρει το όνομα του έκανε γνωστό, ο φιλόσοφος του πανεπιστήμιου του Χάρβαρντ Robert Nozick, το1969.

Φανταστείτε ότι λαμβάνετε μέρος σε ένα παιχνίδι και αντίπαλος σας στο παιχνίδι είναι ένα πανίσχυρο πνεύμα το οποίο μπορεί να προλέγει το μέλλον (με μεγάλο ποσοστό επιτυχίας). Το πνεύμα έχει την εξαιρετική ικανότητα να προλέγει τις πράξεις των ανθρώπων. Σας παρουσιάζει λοιπόν δυο κουτιά ένα διαφανές (το Α) και ένα αδιαφανές (το Β). Το Α περιέχει 10000 ευρώ.
Το περιεχόμενο του αδιαφανούς κουτιού Β προσδιορίζεται ως εξής: Το πνεύμα σε κάποιο σημείο πριν την έναρξη του παιχνιδιού προβλέπει την επιλογή σας ή να επιλέξετε είτε μόνο το κουτί Β ή και τα δύο κουτιά. Αν προέβλεψε ότι θα πάρετε το αδιαφανές κουτί Β έβαλε μέσα 1000000 ευρώ ενώ αν προέβλεψε ότι θα πάρετε και τα δυο κουτιά τότε άφησε το αδιαφανές κουτί άδειο .Δηλαδή το κουτί Β μπορεί να περιέχει είτε 0 ευρώ είτε 1,000,000 ευρώ. Από την στιγμή που αρχίσει το παιχνίδι το πνεύμα δεν έχει καμία δυνατότητα να αλλάξει το περιεχόμενο του κουτιού Β. Εσείς γνωρίζετε από πριν τους κανόνες του παιχνιδιού και πρέπει να επιλέξετε την βέλτιστη στρατηγική.

Να εξετάσουμε λοιπόν όλες τις δυνατές εκβάσεις του παιχνιδιού:

Πρόβλεψη πνεύματος για την επιλογή σας		Πραγματική επιλογή σας	Κέρδος
	Α και Β	Α και Β	10000
	Α και Β	Μόνο Β	0
	Μόνο Β	Α και Β	1010000
	Μόνο Β	Μόνο Β	1000000

Ποια επιλογή μεγιστοποιεί το κέρδος σας; Το πρόβλημα ανάγεται σε παράδοξο, διότι δύο εξίσου ισχυρές διαισθητικά και λογικά στρατηγικές δίνουν αντικρουόμενες απαντήσεις στo παραπάνω ερώτημα .

Οι περισσότεροι φιλόσοφοι συμφωνούν ότι η διαισθητικά λογική και αυθόρμητη απόφαση θα ήταν η επιλογή και των δύο κουτιών. Είναι σωστή;

Ας αναλύσουμε τις δύο στρατηγικές:

Σύμφωνα με την πρώτη στρατηγική ανεξάρτητα από την όποια πρόβλεψη του πνεύματος το να επιλέξετε και τα δύο κουτιά αποδίδει περισσότερο. Διότι αν η πρόβλεψη είναι να πάρετε και τα δύο κουτιά τότε η επιλογή σας ,αφορά μεταξύ του αν θα λάβετε είτε 10000 ευρώ (επιλέγοντας το Α και το Β) είτε τίποτα (επιλέγοντας μόνο το Β). Συνεπώς είναι προφανές πως το να επιλεχτούν και τα δύο κουτιά είναι προτιμότερο . Αλλά ακόμα και αν η πρόβλεψη του πνεύματος είναι να επιλέξετε μόνο το Β, τότε επιλέγοντας και τα δύο παρέχει 1,010,000 ευρώ, ενώ επιλέγοντας μόνο το Β παρέχει μόνο 1,000,000 ευρώ. Συνεπώς σε κάθε περίπτωση η λύση (διαισθητικά και λογικά) της επιλογής και των δύο κουτιών είναι η ορθή.

Η δεύτερη στρατηγική προτείνει την επιλογή μόνο του κουτιού Β. Σύμφωνα με αυτήν μπορούμε να αγνοήσουμε τις πιθανότητες της μηδενικής ανταμοιβής και του 1,010,000 ευρώ, καθώς και οι δύο προϋποθέτουν πως το πνεύμα προέβλεψε λάθος και το πρόβλημα ορίζει πως το πνεύμα δεν λαθεύει σχεδόν ποτέ. Συνεπώς η επιλογή έγκειται στο είτε να λάβετε 10000 ευρώ (και τα δύο κουτιά) ή του να λάβετε 1,000,000 ευρώ (μόνο το κουτί Β), και συνεπώς το να επιλέξετε μόνο του το κουτί Β είναι καλύτερη απόφαση.

Ωραία, θα πείτε ,ποιο είναι το αντίκρισμα στον πραγματικό κόσμο; Εν έτη 1989 ένας οικονομολόγος ο John Broome χρησιμοποίησε το παραπάνω παράδοξο για να εξηγήσει την κυκλοφορία χρήματος σε σχέση με τον πληθωρισμό . Εξηγούμαι.

Οι οικονομολόγοι πιστεύουν ότι ο τρόπος για την μείωση της ανεργίας είναι η αύξηση της κυκλοφορίας του χρήματος. Όταν όμως οι άνθρωποι προσδοκούν μια τέτοια αύξηση, αρχίζουν να ενεργούν με τρόπους που αντιτίθενται στα πλεονεκτήματα μιας τέτοιας κατάστασης, και αυτό που επακολουθεί είναι ο πληθωρισμός .Συνεπώς, οι πιθανές καταστάσεις με τις εξίσου πιθανές εκβάσεις τους είναι οι εξής:

Αύξηση κυκλοφορίας του χρήματος:

-Αν προβλεφτεί αύξηση, επακολουθεί πληθωρισμός (τρίτη καλύτερη έκβαση)

-Αν προβλεφτεί σταθερότητα , η ανεργία πέφτει (καλύτερη έκβαση)

Σταθερότητα της κυκλοφορίας του χρήματος:

-Αν προβλεφτεί αύξηση, επακολουθεί ύφεση (χειρότερη έκβαση).

-Αν προβλεφτεί σταθερότητα , δεν επακολουθεί καμιά άλλη αλλαγή. (δεύτερη καλύτερη έκβαση.)

Προφανώς , οι οικονομολόγοι συμφωνούν μεταξύ τους ότι οι κυβερνήσεις πρέπει να αυξάνουν την κυκλοφορία του χρήματος ,με το σκεπτικό ότι οι προσδοκίες των πολιτών έχουν ήδη διαμορφωθεί( όπως ακριβώς έχει προκαθοριστεί το αν υπάρχουν χρήματα στο αδιαφανές κουτί ).Όταν οι άνθρωποι περιμένουν την αύξηση, τότε αυτή προκαλεί πληθωρισμό, ο οποίος είναι προτιμότερος από μια οικονομική ύφεση, όταν περιμένουν σταθερότητα, η αύξηση της κυκλοφορίας του χρήματος προκαλεί περισσότερη ανεργία, η οποία είναι προτιμότερη από την μη αλλαγή. Με άλλα λόγια, η πλειοψηφία των απόψεων στο χώρο της οικονομίας κλίνει υπέρ του αναλόγου της επιλογής των δυο κουτιών. Οι οικονομολόγοι που ισχυρίζονται ότι υπάρχουν δυο επιλογές που πρέπει να μελετηθούν, χαρακτηρίζονται ως οι αντίστοιχοι εκείνων που επιλέγουν το ένα κουτί στο παραπάνω παράδειγμα.

Οι δυο επιλογές είναι οι εξής:

-Σταθερότητα της κυκλοφορίας του χρήματος: τότε οι πολίτες θα πιστέψουν ότι η κυκλοφορία θα παραμείνει σταθερή και έτσι δεν θα υπάρξει καμιά αλλαγή.

-Αύξηση της κυκλοφορίας του χρήματος : τότε οι πολίτες θα προβλέψουν την αύξηση και θα επακολουθήσει πληθωρισμός.

Δεδομένου ότι η έλλειψη οποιασδήποτε αλλαγής θεωρείται προτιμότερη από τον πληθωρισμό, οι συγκεκριμένοι οικονομολόγοι τάσσονται υπέρ της σταθερότητας της κυκλοφορίας του χρήματος. Απέτυχαν όμως να λάβουν υπ όψιν τους το γεγονός ότι οι προσδοκίες έχουν ήδη διαμορφωθεί και δεν μπορούν πια να καθοριστούν μέσω της προτίμησης μας μιας εκ των δυο παραπάνω επιλογών.

Δείτε ένα σχετικό βίντεο:

Πηγή: mathhmagic.blogspot.com

▪ Γιατί;

2012-03-08T19:48:00.002+02:00

Γιατί ο καθρέφτης αντιστρέφει τα πράγματα και δείχνει τη δεξιά πλευρά αριστερά και το αντίστροφο, και όχι τα πάνω κάτω και αντίστροφα;

▪ Το παράδοξο των διδύμων

2012-03-08T19:48:00.000+02:00

Θεωρούμε δύο 20άχρονους δίδυμους το Σταμάτη και το Γρηγόρη. Ο Γρηγόρης μπαίνει σ’ ένα διαστημόπλοιο το έτος 2008 και ταξιδεύει σ’ ένα μακρινό αστέρι που απέχει απ’ τη Γη 30 έτη φωτός με ταχύτητα πολύ κοντά σ’ εκείνη του φωτός. Αφού φτάσει στον προορισμό του επιστρέφει αμέσως στη Γη με την ίδια ακριβώς ταχύτητα. Όταν φτάνει στη Γη εκπλήσσεται με τις αλλαγές που βλέπει γύρω του. Οι πόλεις γύρω του έχουν αλλάξει, ο τρόπος ζωής των ανθρώπων έχει αλλάξει κι αυτός καθώς νέες τεχνολογίες έχουν μπει στη ζωή του, αλλά και άλλα πολλά. Η μεγαλύτερη έκπληξη όμως τον περιμένει όταν πηγαίνει στο σπίτι του δίδυμου αδερφού του Σταμάτη. Αντί να δει ένα παλικάρι 31 ετών (που είναι η ηλικία του) βλέπει ένα παππούλη με δύο εγγόνια στην ηλικία που είχε όταν ξεκίνησε το ταξίδι του!!!
Ο Σταμάτης βλέποντας το δίδυμο αδερφό του τον αναγνωρίζει φυσικά αμέσως και ανοίγει την αγκαλιά του να τον υποδεχτεί:

“Καλωσόρισες Γρηγόρη ! Πως ήταν το ταξίδι;” λέει ο Σταμάτης. “Ένα ταξίδι στο διάστημα είναι μια εκπληκτική εμπειρία. Βλέπεις υπέροχους κόσμους που δε τους φαντάζεσαι καν… αλλά μια στιγμή ο Σταμάτης που είναι; “ΕΓΩ ΕΙΜΑΙ, τόσο πολύ άλλαξα;!” απαντά ο Σταμάτης. “Τι ‘κακό’ σε βρήκε και φαίνεσαι σαν να ‘σαι 80άρης;” ρωτά ο Γρηγόρης. “Μα ΕΙΜΑΙ 80 ετών, βρισκόμαστε στο έτος 2068…”

Ο Γρηγόρης λιποθυμά και ο Σταμάτης τον αρχίζει “στα χαστούκια” για να τον συνεφέρει!

Ας το δούμε όμως απ’ τη σκοπιά της επιστήμης:

Είναι φυσικό ν’ αναρωτηθούμε “ποιος από τους δίδυμους αδερφούς ταξίδεψε με ταχύτητα πλησίον εκείνης του φωτός” διότι αυτός θα είναι που δε θα γέρασε. Στο σύστημα αναφοράς του Σταμάτη αυτός έμεινε στη Γη ενώ ο Γρηγόρης έφυγε για το ταξίδι. Απ’ την άλλη πλευρά κάποιος άλλος από αλλού μπορεί να πει ότι ο Σταμάτης μαζί με τη Γη ταξίδεψε με την προαναφερθείσα ταχύτητα και κατόπιν επέστρεψαν. Ακριβώς αυτό είναι το παράδοξο.

▪Μαθηματική Επιθεώρηση - Τεύχος 15

2012-03-08T18:48:00.001+02:00

Μαθηματική Επιθεώρηση
Τεύχος 15
Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέμβριος 1979
Περιεχόμενα
1. ΟΙ ΟΜΑΔΕΣ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ NON-STANDARD ΑΝΑΛΥΣΗ
3. ΙΣΟΚΑΤΑΝΟΜΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΟΣΗ
4. ΜΙΑ ΔΙΠΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
5. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΙΣΟΤΙΜΙΑ modv ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
6. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ι : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΕΠΙΠΕΔΗ ΑΝΑΛΥΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Κάντε κλικ εδώ, για να κατεβάσετε το περιοδικό.
Πηγή: ke-ntro

▪ Γεωμετρία Α΄ Λυκείου

2012-03-08T18:48:00.000+02:00

Του Κωνσταντίνου Ταμπάκου - Γενικό Λύκειο Μουζακίου

	2010-11 Διαγώνισμα Α τετραμήνου
	2010-11 Διαγώνισμα Β τετραμήνου
	2010-11 Διαγώνισμα Α τετραμήνου - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
	2010-11 Διαγώνισμα 2ο Α τετραμήνου
17.01.2011: Το δεύτερο διαγώνισμα στη Γεωμετρία (ομάδα Α)
	2010-11 Διαγώνισμα 2ο Α τετραμήνου
17.01.2011: Το δεύτερο διαγώνισμα στη Γεωμετρία (ομάδα Β)
	2010-11 Διαγώνισμα Α τετραμήνου
20.12.2010: Το διαγώνισμα στη Γεωμετρία (ομάδα Β)
	2010-11 Διαγώνισμα Β τετραμήνου
23.02.2011: Διαγώνισμα στη Γεωμετρία (παρ/μμο, ορθογώνιο, ρόμβος, τετράγωνο) (ομάδα 2)
	2010-11 Διαγώνισμα Α τετραμήνου - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
23.02.2011: Διαγώνισμα στη Γεωμετρία (παρ/μμο, ορθογώνιο, ρόμβος, τετράγωνο) (ομάδα 2)

▪ Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων

2012-03-08T18:46:00.001+02:00

Του Κωνσταντίνου Δόρτσιου, τ. Σχ. Συμβούλου Μαθηματικών

Ο Αριστοτέλης και τα Μαθηματικά

Οι αναφορές στα παράδοξα του Ζήνωνα

Η σκέψη του Τολστόι

▪ 6 - Διαγράμματα Venn

2012-03-08T18:26:00.001+02:00

Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα Venn δείχνει καλύτερα τη σχέση μεταξύ των αγοριών, των κοριτσιών και των φοιτητών;

Α. Β. Γ. Δ.

▪ 5 - Διαγράμματα Venn

2012-03-08T18:26:00.000+02:00

Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα Venn δείχνει καλύτερα τη σχέση μεταξύ του νοσοκομείο, της νοσοκόμας και του ασθενή;

Α. Β. Γ. Δ.

▪ Μείον 4 τ.μ.

2012-03-08T17:58:00.000+02:00

Το δεύτερο ισοσκελές τρίγωνο σχηματίστηκε με αναδιάταξη των μερών του πρώτου ισοσκελούς τριγώνου. Λείπουν όμως 4 τετραγωνικές μονάδες. Πως το εξηγείτε?

▪Μαθηματική Επιθεώρηση - Τεύχος 14

2012-03-08T17:57:00.002+02:00

Μαθηματική Επιθεώρηση
Τεύχος 14
Απρίλιος-Μάιος-Ιούνιος 1979
Ελληνική Μαθηματική Εταιρία
Περιεχόμενα

1. ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ GIRAULT ΓΙΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3. ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΜΙΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ; ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

4. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΥΜΠΑΓΙΑΣ ΣΤΟΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΓΑΜΟΥ

5. ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΥΠΑΡΞΕΩΣ ΓΙΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

6. Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ GALOIS

7. Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΦΥΣΙΚΗ

8. ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΟΜΑΡ ΚΑΓΙΑΜ

9. ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΑΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΝΝΟΙΑ

Κάντε κλικ εδώ, για να κατεβάσετε το περιοδικό.

Πηγή: ke-ntro

▪ Το αναθεωρημένο βιβλίο Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου

2012-03-08T17:57:00.001+02:00

Του μαθηματικού Αντώνη Κυρακόπουλου

▪ Κυκλική αλυτεία

2012-03-08T17:57:00.000+02:00

Σε κύκλο είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο , του οποίου οι πλευρές τέμνονται στο , ενώ οι στο . Αν , είναι η προβολή του στην , δείξτε ότι: . Άλυτη...

Πηγή: KARKAR

▪ Μείον 2 τ.μ.

2012-03-08T17:56:00.001+02:00

Το δεύτερο ισοσκελές τρίγωνο σχηματίστηκε με αναδιάταξη των μερών του πρώτου ισοσκελούς τριγώνου. Λείπουν όμως 2 τετραγωνικές μονάδες. Πως το εξηγείτε?

Ομοίως.

▪ Γ΄ Λυκείου: Μαθηματικά κατεύθυνσης

2012-03-08T15:38:00.002+02:00

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Κεφάλαιο 1ο

Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (1-8) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (9-16) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (17-24) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (25-32) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (33-40) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (41-48) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (49-56) - Θέμα Α
Ερωτήσεις - Ασκήσεις - Θέμα Α
Ασκήσεις - Θέμα Β
Ασκήσεις - Θέμα Γ
Ασκήσεις - Θέμα Δ

Κεφάλαιο 2ο

Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (1-9) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (10-18) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (19-27) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (28-36) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (37-45) - Θέμα Α
Ερωτήσεις - Ασκήσεις - Θέμα Α
Ασκήσεις - Θέμα Β
Ασκήσεις - Θέμα Γ
Ασκήσεις - Θέμα Δ

Κεφάλαιο 3ο

Κεφάλαιο 4ο

Ασκήσεις - Θέμα Δ΄

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ

1ο Διαγώνισμα - Θέματα (Κεφάλαιο 1, 2)
1ο Διαγώνισμα - Ενδεικτικές απαντήσεις (Κεφάλαιο 1, 2)
2ο Διαγώνισμα - Θέματα (Κεφάλαιο 1, 2, 3)
2ο Διαγώνισμα - Ενδεικτικές απαντήσεις (Κεφάλαιο 1, 2, 3)
3ο Διαγώνισμα - Θέματα (Κεφάλαιο 1, 2, 3)
Πηγή: study4exams

▪Μπάρμπεκιου

2012-03-08T13:55:00.002+02:00

Σε ένα μίνι-μπάρμπεκιου μπορούν να ψηθούν δύο χάμπουργκερ τη φορά και χρειάζονται πέντε λεπτά για να ψηθεί η κάθε πλευρά τους. Ποιος είναι ο ελάχιστος χρόνος που απαιτείται για να ψηθούν και από τις δύο πλευρές τρία χάμπουργκερ;

▪ Το sudoku της ημέρας

2012-03-08T13:55:00.000+02:00

Μέτριας δυσκολίας.

Η Λύση

▪ Σαν σήμερα

2012-03-08T13:51:00.000+02:00

Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 8 Μαρτίου
1788 : William Hamilton
1851 : Chrystal
1865 : Vessiot
1920 : Batchelor

Μαθηματικοί που πέθαναν στις 8 Μαρτίου

1688 : Fabri
1941 : Drach
1974 : Hazlett
1985 : Goodstein
1988 : McVittie

▪ Gallery Mathematica

2012-03-07T23:00:00.002+02:00

▪ Γιατί πιστεύω στο Θεό!

2012-03-07T22:45:00.001+02:00

Μιά δήλωση τοῦ Francis Collins, Δ/ντοῦ Προγράμματος Ἀνθρωπίνου Γονιδιώματος, στὸ CNN

Γράφει ὁ Βασ. Πετρουλέας, Δρ. Φυσικός, Ε.ΚΕ.Φ.Ε. «Δημόκριτος»

Εἶµαι ἐπιστήµονας καὶ πιστός, καὶ δὲν βρίσκω καµία σύγκρουση µεταξὺ αὐτῶν τῶν δύο. Ὡς διευθυντὴς τοῦ Προγράµµατος Ἀνθρώπινου Γονιδιώµατος, ἔχω ἡγηθεῖ συνεργασίας ἐπιστηµόνων γιὰ νὰ διαβάσουµε τὰ 3,1 δισεκατοµµύρια γράµµατα τοῦ ἀνθρωπίνου γονιδιώµατος, τοῦ βιβλίου ἐντολῶν τοῦ DNA µας.

Ὡς Χριστιανὸς βλέπω τὸ DNA, κέντρο πληροφοριῶν ὅλων τῶν ζώντων ὀργανισµῶν, σὰν τὴν γλῶσσα τοῦ Θεοῦ, καὶ τὴν κοµψότητα καὶ τὴν πολυπλοκότητα τῶν ἴδιων τῶν σωµάτων μας καὶ τῆς ὑπόλοιπης φύσης, ὡς ἀντανάκλαση τοῦ σχεδίου τοῦ Θεοῦ.

Ὡς µεταπτυχιακὸς φοιτητὴς στὴν φυσικοχηµεία τὴν δεκαετία τοῦ 1970, ἤµουν ἄθεος, µἢ βρίσκοντας λόγο να ὑποθέσω τὴν ὕπαρξη ὁποιασδήποτε ἀλήθειας ἔξω ἀπὸ τὰ Μαθηµατικά, τὴν Φυσικὴ καὶ τὴν Χηµεία. Στὴν συνέχεια, ὅµως, πῆγα στὴν Ἰατρικὴ Σχολὴ καὶ ἐκεῖ ἀντιµετώπισα θέµατα ζωῆς καὶ θανάτου στὸ προσκέφαλο τῶν ἀσθενῶν µου. Κάποτε, µία ἀσθενής µου µὲ ρώτησε: «Ἐσεῖς σὲ τί πιστεύετε, γιατρέ;». Αὐτὸ μὲ προβληµάτισε καὶ ἄρχισα νὰ ψάχνω γιὰ ἀπαντήσεις.

Ἀναγκάστηκα νὰ παραδεχτῶ ὅτι ἡ ἐπιστήµη, ποὺ ἀγαποῦσα τόσο πολύ, ἦταν ἀνίκανη νὰ ἀπαντήσει σὲ ἐρωτήµατα ὅπως «Ποιό εἶναι τὸ νόηµα τῆς ζωῆς;» «Γιατί εἶµαι ἐδῶ;» «Γιατί τὰ µαθηµατικὰ λειτουργοῦν, ἔτσι κι ἀλλιῶς;» «Ἂν τὸ Σύµπαν ἔχει ἀρχή, ποιός τὸ δηµιούργησε;» «Γιατί οἱ φυσικὲς σταθερὲς στὸ Σύµπαν εἶναι τόσο λεπτὰ ρυθµισµένες, ὥστε νὰ ἐπιτρέπουν τὴν δυνατότητα τῶν σύνθετων µορφῶν ζωῆς;» «Γιατί οἱ ἄνθρωποι ἔχουν τὴν αἴσθηση τῆς ἠθικῆς;» «Τί συµβαίνει ὅταν πεθαίνουµε;». Εἶχα ὑποθέσει ὅτι ἡ πίστη βασίζεται µόνο σὲ συναισθηµατικὰ καὶ παράλογα ἐπιχειρήµατα, καὶ ἔµεινα ἔκπληκτος ὅταν ἀνακάλυψα, ὅτι µπορεῖ κάποιος νὰ ἀναπτύξει πολὺ ἰσχυρὰ ἐπιχειρήµατα γιὰ τὴν πιθανότητα ὑπάρξεως τοῦ Θεοῦ πάνω σὲ ἕνα ἀποκλειστικὰ λογικὸ ὑπόβαθρο. Ἡ ἀρχικὴ ἀθεϊστική µου βεβαιότητα, πὼς «ξέρω ὅτι δὲν ὑπάρχει θεός», ἀναδύθηκε τότε ὡς ἡ πιὸ ἀβάσιµη ἐκδοχή. Καθὼς εὔστοχα ἔχει παρατηρήσει ὁ Ἄγγλος συγγραφέας G.K Chesterton, «ὁἀθεϊσµὸς εἶναι τὸ πιὸ τολµηρὸ δόγµα, γιατί εἶναι ἡ ὑποστήριξη µιᾶς καθολικῆς ἄρνησης».

Ἀλλὰ ἡ λογικὴ ἀπὸ µόνη της δὲν µπορεῖ νὰ ἀποδείξει τὴν ὕπαρξη τοῦ Θεοῦ. Ἡ Πίστη εἶναι λογικὴ σὺν ἀποκάλυψη, καὶ αὐτὴ ἡ ἀποκάλυψη ἀπαιτεῖ σκέψη τόσο μὲ τὸ πνεῦµα ὅσο καὶ μὲ τὸ µυαλό. Πρέπει νὰ ἀκούσει κανεὶς τὴν µουσική, δὲν φτάνει νὰ διαβάσει µόνο τὶς νότες στὸ πεντάγραµµο. Τελικά,ἕνα ἅλµα πίστεως εἶναι ἀπαραίτητο.

Γιὰ µένα, αὐτὸ τὸ ἄλµα ἦρθε στὸ 27 ἔτος τῆς ἡλικίας µου, ὅταν ἡ ἀναζήτηση γιὰ νὰ µάθω περισσότερα γιὰ τὸν Θεὸ μὲ ὁδήγησε στὸν Ἰησοῦ Χριστό. Ἐδῶ παρουσιαζόταν ἕνα πρόσωπο μὲ ἰσχυρότατες ἱστορικὲς µαρτυρίες γιὰ τὴν ζωή του, τὸ ὁποῖο ἔκανε ἐκπληκτικὲς δηλώσεις σχετικὰ μὲ τὴν ἀγάπη πρὸς τὸν πλησίον, οἱ δὲ ἰσχυρισµοί Του, ὅτι ἦταν γιὸς τοῦ Θεοῦ, ἀπαιτοῦσαν νὰ πάρω µία ἀπόφαση, γιὰ τὸ ἂν ἦταν πλανεµένος ἢ ἦταν ὄντως ὁ γιὸς τοῦ Θεοῦ. Μετὰ ἀπὸ ἀντίσταση σχεδὸν δυὸ χρόνων, ἔγινα ἀκόλουθος τοῦ Ἰησοῦ.

Ὁρισµένοι μὲ ρώτησαν: Δὲν ἔχει ἐκραγεῖ τὸ µυαλό σου; Μπορεῖς νὰ ἀναζητεῖς τὸ πῶς λειτουργεῖ ἡ ζωή, χρησιµοποιώντας τὰ ἐργαλεῖα τῆς γενετικῆς καὶ τῆς µοριακῆς βιολογίας, καὶ συγχρόνως νὰ λατρεύεις ἕνα δηµιουργὸ Θεό; Δὲν εἶναι ἡ ἐξέλιξη καὶ ἡ πίστη στὸν Θεὸ ἀσυµβίβαστες; Μπορεῖ ἕνας ἐπιστήµονας νὰ πιστεύει σὲ θαύµατα ὅπως ἡ ἀνάσταση;

Στὴν πραγµατικότητα, δὲν βρίσκω καµία σύγκρουση σ᾽ αὐτά, καὶ τὸ ἴδιο συµβαίνει μὲ τὸ 40% τῶν ἐνεργῶν ἐπιστηµόνων ποὺ δηλώνουν ὅτι εἶναι πιστοί. … Ἀλλὰ γιατί δὲν θὰ µποροῦσε ἡἐξέλιξη νὰ εἶναι τὸ σχέδιο τοῦ Θεοῦ γιὰ τὴν δηµιουργία; Εἶναιἀλήθεια, ὅτι αὐτὸ εἶναι ἀσυµβίβαστο μὲ µία κατὰ γράµµαἑρµηνεια τῆς Γενέσεως, ἀλλὰ ἀκόµη καὶ ὁ Ἱερὸς Αὐγουστῖνος δὲν ἦταν σίγουρος γιὰ τὴν ἀκριβῆ ἑρµηνεία τῆς καταπληκτικῆς αὐτῆς ἱστορίας τῆς δηµιουργίας. Τὸ νὰ προσκολληθεῖ κανεὶς σὲ κατὰ γράµµα ἑρµηνεῖες … δὲν εἶναι σοφὸ οὔτε ἀναγκαῖο.

Ἐντυπωσιακὴ ἡ ὁµολογία τοῦ Collins. Ἀκόµη καὶ µέσα ἀπ᾽ τὰ ἐπιστηµονικὰ ὀχυρὰ τῆς ἀθεΐας, ἀναδεικνύει ἡ ἀγαθότητα τοῦ Θεοῦ ἐπιστήµονες, οἱ ὁποῖοι διακηρύττουν περίτρανα τὴν πίστη τους!

Θὰ ἦταν ἴσως χρήσιµο νὰ γίνουν δυὸ σχόλια.

Α. Ὁ Collins, ὅπως φαίνεται καὶ στὸ βιβλίο του «Ἡ γλῶσσα τοῦ Θεοῦ … »[1] ἀποδέχεται πλήρως τὴν θεωρία τῆς ἐξελίξεως[2] . Ἀκριβῶς λόγῳ τῆς τοποθετήσεώς του αὐτῆς, ἡ ὁµολογία τοῦ κορυφαίου γενετιστοῦ ἐκθέτει ἀνεπανόρθωτα ὅσους χρησιµοποιοῦν τὴν θεωρία τῆς ἐξελίξεως σὰν ἐπιχείρηµα ἐναντίον τῆς πίστεως.

Β. Τ ὸ βιβλίο τῆς Γενέσεως περιγράφει γεγονότα, τὰ ὁποῖα, σύµφωνα μὲ τὶς σύγχρονες κοσµολογικὲς ἀντιλήψεις, συνέβησαν σὲ διάστηµα 14 δισεκατοµµυρίων ἐτῶν. Τὸ ἱερὸ κείµενο ἀφιερώνει λίγες µόνο σελίδες γιὰ τὰ γεγονότα αὐτὰ καὶ ἡ ἀφήγηση ἀπευθύνεται σὲ ἀνθρώπους κάθε ἐποχῆς, µορφώσεως καὶ ἡλικίας. Καὶ ἐνῶ τὸ βιβλίο εἶναι θεόπνευστο καὶ ἡ κάθε του λέξη ἔχει σηµασία, δὲν ἀποτελεῖ ἐπιστηµονικὸ ἐγχειρίδιο, παρ᾽ ὅτι περιέχει ἐντυπωσιακὲς ἐπιστηµονικὲς ἀλήθειες [3] Ἡ ἄπειρη Σοφία τοῦ Θεοῦ δὲν µᾶς ἔδωσεἕτοιµες ἐπιστηµονικὲς ἀπαντήσεις, µᾶς ἔδωσε ὅµως τὴνἱκανότητα καὶ τὶς ἀφορµὲς γιὰ ἐπιστηµονικὴ διερεύνηση: « … πολλὰ ἀπεσιώπησεν, τὸν ἡµέτερον νοῦν γυµνάζουσα πρὸς ἐντρέχειαν (εὐστροφία), ἐξ ὀλίγων ἀφορµὴν παρεχοµένη ἐπιλογίζεσθαι (ἀπὸ λίγες ἀφορµὲς νὰ συµπεράνουµε τὰ ὑπόλοιπα) … », γράφει ὁ Μ. Βασίλειος, (ΕΠΕ 4, 72/4). Τὸ µέλλον, θὰ δείξει τί ὁδὸ ἀκολούθησε ἡ Πανσοφία τοῦ Θεοῦ γιὰ τὴν δηµιουργία τῆς ζωῆς καὶ τοῦἀνθρώπου. Ἕνα εἶναι σίγουρο. Ὁ Θεὸς δὲν ἀπειλεῖται ἀπ᾽ τὶς ἐπιστηµονικὲς ἀνακαλύψεις! «οὐ γὰρ ἐλαττοῦται ἡ ἐπὶ τοῖς µεγίστοις ἔκπληξις ἐπειδὰν ὁ τρόπος καθ᾽ ὃν γίνεταί τι τῶν παραδόξων ἐξευρεθῇ» (δὲν µειώνεται ὁ θαυµασµός µας γιὰ τὰ µεγαλεῖα τῆς δηµιουργίας, ὅταν ἀνακαλυφθεῖ ὁ τρόπος μὲ τὸν ὁποῖο ἔγιναν), λέγει ὁ Μ. Βασίλειος, (Εἰς τὴνἙξαήµερον, ὁµιλία Α´, 10).

Αὐτὸ ποὺ δοκιµάζεται, εἶναι οἱ ἁπλουστευµένες καὶἀνθρωποµορφικὲς ἀντιλήψεις µας περὶ τῶν ἐνεργειῶν τοῦ Θεοῦ. Κάθε νέα ἀνακάλυψη ἀποτελεῖ καὶ ἀποκάλυψη µιᾶς νέας πτυχῆς τῆς ἀπρόσιτης Σοφίας τοῦ Δηµιουργοῦ καὶ αὐτὸ θὰ πρέπει νὰ µᾶς ὁδηγεῖ σὲ θαυµασµὸ καὶ δοξολογία [4]

«… Ἔχω βρεῖ ὅτι ὑπάρχει µία θαυµάσια ἁρµονία στὶς συµπληρωµατικὲς ἀλήθειες τῆς ἐπιστήµης καὶ τῆς πίστεως. Ὁ Θεὸς τῆς Βίβλου εἶναι ἐπίσης ὁ Θεὸς τοῦ γονιδιώµατος. Ὁ Θεὸς µπορεῖ νὰ βρεθεῖ στὸν καθεδρικὸ ναὸ ἢ στὸ ἐργαστήριο.Ἐρευνώντας τὰ µεγαλειώδη καὶ θαυµάσια δηµιουργήµατα τοῦ Θεοῦ, ἡ ἐπιστήµη µπορεῖ νὰ γίνει ἕνα µέσο λατρείας», καταλήγει ὁ Collins.

[1] Ἡ συνέντευξη δόθηκε τὸν Ἀπρίλιο τοῦ 2007. Χάρις στὸν Collins τὰ ἀποτελέσµατα τῆς µνηµειώδους ἔρευνας στὸ ἀνθρώπινο γονιδίωµα διατέθηκαν ἐλεύθερα στὴν διεθνῆ κοινότητα. Ὁ Collins (60 ἐτῶν σήµερα καὶ πολυβραβευµένος) εἶναι διευθυντὴς τοῦἘθνικου Ἰνστιτούτου Ὑγείας (ΝΙΗ) τῶν Η.Π.Α . Στὸ βιβλίο του «Ἡ γλῶσσα τοῦ Θεοῦ-Ἕνας ἐπιστήµονας δίνει µαρτυρία γιὰ τὴν πίστη» (Ἑλληνικὴ ἔκδοση Παπαζήση) κάνειἐκτενέστατη ὁµολογία πίστεως.

2 Ο ἱ τοποθετήσεις τῶν πιστῶν ἐπιστηµόνων στὸ θέµα αὐτὸ ποικίλλουν. Μερικοὶὑποστηρίζουν κατὰ γράµµα ἑρµηνεία τῆς Γενέσεως (δηµιουργιστές), ἄλλοι δέχονται περιορισµένη ἰσχὺ τῆς ἐξελίξεως καὶ ἐπέµβαση τοῦ Θεοῦ σὲ διάφορα στάδια τῆς ζωῆς (εὐφυὴς σχεδιασµὸς) καὶ ἄλλοι, ὅπως ὁ Collins, πιστεύουν, ὅτι ὁ Θεὸς προίκισε ἐξ (ἀρχῆς τὴν Δηµιουργία μὲ ὅλες τὶς δυνάµεις γιὰ τὴν γένεση καὶ ἐξέλιξη τῆς ζωῆς.Ὑπάρχουν φυσικὰ καὶ ἐνδιάµεσες ἀπόψεις. Στὸ βαθµὸ ποὺ οἱ τοποθετήσεις αὐτὲς εἶναι ἐπιστηµονικὲς ὑποθέσεις ἐργασίας, εἶναι θεµιτὲς καὶ σεβαστές.

3 Ὁ Arno Α. Penzias (βραβεῖο Νόµπελ 1978) εἶχε δηλώσει στοὺς New York Times: «Τὰ καλύτερα στοιχεῖα ποὺ ἔχουµε [γιὰ τὴν µεγάλη ἔκρηξη] εἶναι ἀκριβῶς ἴδια μὲ αὐτὰ ποὺ θὰ εἶχα προβλέψει, ἐὰν δὲν εἶχα τίποτε ἄλλο στὴν διάθεσή µου παρὰ µόνο τὰ βιβλία τοῦ Μωυσῆ, τοὺς Ψαλµούς, τὴν Βίβλο στὸ σύνολό της».

4 « Ὅταν π.χ …. νόµιζα ὅτι ὁ ἥλιος γυρίζει γύρω ἀπὸ τὴν γῆ, πίστευα ὅτι ἔτσι εἶχε τάξει ὁ Δηµιουργὸς … Τώρα ποὺ ἔµαθα τὸ σωστό, χάρηκα περισσότερο καὶ Τὸν δοξάζω γιὰ τὴν καινούργια καὶ πιὸ σωστὴ γνώση µου. Τὸ ἐπιστηµονικὸ λάθος µου δὲν μὲ ἐµπόδιζε νὰ πιστεύω στὸν Δηµιουργό. Ἡ διόρθωσή του δὲν μὲ ἐξωθεῖ νὰ Τὸνἀρνηθῶ. Ἀντίθετα, ψηλαφῶ τώρα πιὸ πολὺ καὶ πιὸ καλὰ τὰ ἴχνη Του πάνω στὴν Δηµιουργία … », Ἱεροµονάχου Λουκᾶ Γρηγοριάτου, «Πνευµατικὲς προϋποθέσεις γιὰ τὴν προσέγγιση τῆς θεωρίας τῆς ἐξελίξεως», 26 Ἰουλίου 2009. Τὸ κείµενο µπορεῖ νὰ ἀναζητηθεῖ στὸ http://www. tideon.org/.

«Η Δράσις», Μάρτιος 2011

▪ 2ab = (a + c - b)(b + c - a)

2012-03-07T21:44:00.001+02:00

Απόδειξη
Χωρίς λόγια.

▪ Γ Λυκείου: Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής

2012-03-07T21:35:00.002+02:00

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Κεφάλαιο 1ο

Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (1-12) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (13-27) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (28-39) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (40-56) - Θέμα Α
Ερωτήσεις - Ασκήσεις - Θέμα Α
Ασκήσεις - Θέμα Β
Ασκήσεις - Θέμα Γ
Ασκήσεις - Θέμα Δ

Κεφάλαιο 2ο

Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (1-8) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (9-18) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (19-29) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (30-47) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (48-65) - Θέμα Α
Ερωτήσεις - Ασκήσεις - Θέμα Α
Ασκήσεις - Θέμα Β
Ασκήσεις - Θέμα Γ
Ασκήσεις - Θέμα Δ

Κεφάλαιο 3ο

Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (1-5) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (6-11) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (12-16) - Θέμα Α
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (17-28) - Θέμα Α
Ερωτήσεις - Ασκήσεις - Θέμα Α
Ασκήσεις - Θέμα Β
Ασκήσεις - Θέμα Γ
Ασκήσεις - Θέμα Δ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ

1ο Διαγώνισμα - Θέματα (Κεφάλαιο 1)
1ο Διαγώνισμα - Ενδεικτικές απαντήσεις (Κεφάλαιο 1)
2ο Διαγώνισμα - Θέματα (Κεφάλαιο 2)
2ο Διαγώνισμα - Ενδεικτικές απαντήσεις (Κεφάλαιο 2)

Πηγή: study4exams

▪ Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

2012-03-07T20:55:00.004+02:00

Του Κωνσταντίνου Ταμπάκου - Γενικό Λύκειο Μουζακίου

	2010 - 2011 Β ΛΥΚ ΑΛΓ Εκθετική.pdf
	2010 - 2011 Β ΛΥΚ ΑΛΓ Λογαριθμική.pdf
	2010-2011 Ασκήσεις στα πολυώνυμα (επιλογή).pdf
	2010-2011 διαγ Α ΤΕΤΡ .pdf
	2010-2011 Διαγώνισμα στα πολυώνυμα .pdf
	2010-2011 Διαγώνισμα στα πολυώνυμα λύσεις.pdf
	2010-2011 Πολυώνυμα: ασκήσεις από ΚΕΕ.pdf
	2010-2011_103_Ασκήσεις_στα_πολυώνυμα.pdf

▪ 1/Φ = Φ - 1

2012-03-07T20:23:00.000+02:00

Απόδειξη

▪ Fractals: Πυθαγόρειο δέντρο

2012-03-07T19:03:00.000+02:00

▪ Μαγικά Τετράγωνα και Μαγικά Άστρα

2012-03-07T18:16:00.002+02:00

Εκδόθηκε το βιβλίο, του φίλου του eisatopon, και δεινού λύτη γρίφων Carlo de Grandi (papaveri) με τίτλο "Ιστορική Αναφορά για τα Μαγικά Τετράγωνα και τα Μαγικά Άστρα".

Περιέχει την ιστορική αναδρομή από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, το "στήσιμο" των Μαγικών Τετραγώνων και Άστρων κ.α. Για περισσότερα εδώ.

▪Ανασχηματισμός - 2

2012-03-07T16:03:00.001+02:00

Πως από τρία τετράγωνα μπορούμε να σχηματίσουμε ένα άλλο τετράγωνο.

▪Ανασχηματισμός - 1

2012-03-07T16:00:00.001+02:00

Πως από δύο τετράγωνα μπορούμε να σχηματίσουμε ένα άλλο τετράγωνο.

▪ Όλα καλά;

2012-03-07T15:41:00.000+02:00

Πρόκειται για μια κανονική θέση στο σκάκι;

▪ Τουρνουά τένις

2012-03-07T15:32:00.001+02:00

256 παίκτες συμμετέχουν σε ένα τουρνουά τένις νοκ-άουτ. Πόσοι αγώνες πρέπει να παιχτούν για να αναδειχθεί ο νικητής;

▪ ΑΑ΄ - ΒΒ΄ - CC΄

2012-03-07T15:24:00.000+02:00

Να σχεδιάστε μια γραμμή (όχι απαραίτητα ευθεία) από το Α στο Α ', από το Β στο Β', και το Γ στο Γ ' κατά τέτοιο τρόπο ώστε οι γραμμές να μην διασταυρώνονται μεταξύ τους.

Μη βγείτε από το ορθογώνιο πλαίσιο, ούτε να περάσετε "μέσα" από τα μαύρα κουτιά τετράγωνα.

▪ 23 = 24!

2012-03-07T14:16:00.000+02:00

Πρόβλημα
Να υπολογισθεί το εμβαδόν του τραπεζίου του παρακάτω σχήματος.

Λύση

1ος τρόπος

(ABCD) - (AED) = (1)

2ος τρόπος

(ABC) + (BDC) - (BEC) = (2)

Από (1) και (2) έχουμε: 23 = 24!
Που βρίσκεται το λάθος?

▪Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής: 100 ερωτήσεις θεωρίας

2012-03-07T14:15:00.005+02:00

Του Γιάννη Τσόπελα

▪ 4 - Διαγράμματα Venn

2012-03-07T14:15:00.004+02:00

Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα Venn δείχνει καλύτερα τη σχέση μεταξύ Σελήνης, Ήλιου και της Γης;

Α. Β. Γ. Δ.

▪ 3 - Διαγράμματα Venn

2012-03-07T14:15:00.003+02:00

Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα Venn δείχνει καλύτερα τη σχέση μεταξύ του εργοστασίου, των προϊόντων και των μηχανημάτων;

Α. Β. Γ. Δ.

▪ Μείον 1 τ.μ.

2012-03-07T14:15:00.002+02:00

Το δεύτερο ορθογώνιο τρίγωνο σχηματίστηκε με αναδιάταξη των μερών του πρώτου ορθογωνίου τριγώνου. Λείπει όμως 1 τετραγωνική μονάδα. Πως το εξηγείτε?

▪ Αξία φελλού

2012-03-07T14:15:00.001+02:00

Ένα μπουκάλι και ένας φελλός μαζί κοστίζουν 1,10 ευρώ. Το μπουκάλι κοστίζει 1 ευρώ περισσότερο από τον φελλό. Πόσο κοστίζει ο φελλός;

▪ Άθροισμα 65

2012-03-07T14:14:00.000+02:00

Να τοποθετηθούν οι αριθμοί στα κενά τετραγωνάκια, έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών οριζοντίως, καθέτως και διαγωνίως να ισούται με 65.

Η Λύση

▪ Σαν σήμερα

2012-03-07T13:32:00.000+02:00

Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 7 Μαρτίου
1792 : Herschel
1824 : Codazzi
1870 : Lindelöf
1886 : Geoffrey Taylor
1889 : Hyman Levy
1893 : Mullikin
1895 : Suss
1899 : Mineur
1905 : John Whittaker
1922 : Ladyzhenskaya

Μαθηματικοί που πέθαναν στις 7 Μαρτίου

1889 : Genocchi
1922 : Thue
1943 : Patrick Hardie
1964 : Wilks
1966 : Faber
2008 : Gale