tag:blogger.com,1999:blog-7136655045781905113.post8078296092330266318..comments2024-03-25T19:01:19.600+03:00Comments on Διασκεδαστικά Μαθηματικά : Γωνιακά προβλήματα Σωκράτης Δ. Ρωμανίδηςhttp://www.blogger.com/profile/05364191669604847034noreply@blogger.comBlogger1125tag:blogger.com,1999:blog-7136655045781905113.post-59799244932152102722015-02-11T00:24:14.803+02:002015-02-11T00:24:14.803+02:00Εχω βαλει την λυση ως εικονα http://s23.postimg.o...Εχω βαλει την λυση ως εικονα http://s23.postimg.org/s6alu9jmz/gonies.jpg<br /><br />Χαριν ευκολιας ονομαζω τις αγνωστες γωνιες <br />MAB=a<br />MBA=b<br />MCD=c<br />MDC=d<br /><br />Ευκολα βλεπει κανεις απ' τα τριγωνα AMD & BMC οτι<br />DMA=180-40-70=70<br />CMB=180-50-20=110<br />-----------------------------------------------------<br />Για ολο το παραλληλογραμμο ABCD ισχυει<br /><br />A+B+C+D=360<br />a+b+c+d=360-40-20-50-70<br />a+b+c+d=180 (1η παρατηρηση)<br />-----------------------------------------------------<br />Για τις παραπληρωματικες γωνιες D&C και Α&Β του παραλ/μου ισχυει:<br /><br />70+d=180-50-c<br />d+c=60 και λογω αυτου στο τριγωνο DMC η γωνια DMC=120<br /><br />a+40=180-b-20<br />a+b=120 (2η παρατηρηση) και λογω αυτου στο τριγωνο ΑΜΒ η γωνια ΑΜΒ=60<br />-----------------------------------------------------<br />Για τις ισες γωνιες Α&C του παραλ/μου ισχυει: <br />40+a=50+c <br />a-c=10 <br />προσθετοντας την γωνια b κατα μελη εχω <br /><br />a-c+b=10+b <br />120-c=10+b (λογω της 2ης παρατηρησης)<br />c+b=110 (3η παρατηρηση)<br />-----------------------------------------------------<br />Τωρα προεκτεινω την DM προς το Μ και τεμνει την ΒC στο L<br />ενω τεμνει και την προεκταση της AB στο Κ.<br /><br />Ισχυει τωρα οτι για τις γωνιες<br />DMA+AMB+BML=180<br />70+60+BML=180<br />BML=50<br /><br />Αρα τωρα στο τριγωνο MBL εχω<br />ΜLB=180-20-50<br />MLB=110 και επομενως BLK=70<br />-----------------------------------------------------<br />Bλεπω οτι BKL=d (εντος εναλλαξ γωνιες) , στο τριγωνο LBK ισχυει<br /><br />70+BKL=LBK<br />70+BKL=180-20-b<br />70+d=160-b<br />d+b=90 (4η παρατηρηση)<br /><br />Λογω τις 1ης+4ης παρατηρησης ισχυει οτι επισης a+c=90 (5η παρατηρηση)<br />-----------------------------------------------------<br />Λυνοντας το συστημα των (2,3,4,5) παρατηρησεων βρισκω οτι<br />a=MAB=50, b=MBA=70, c=MCD=40, d=MDC=20<br />Eleochori Kavalahttps://www.blogger.com/profile/02342270488809592835noreply@blogger.com