tag:blogger.com,1999:blog-7136655045781905113.post5700770002858594929..comments2024-03-25T19:01:19.600+03:00Comments on Διασκεδαστικά Μαθηματικά : Μικρότερη περίμετροςΣωκράτης Δ. Ρωμανίδηςhttp://www.blogger.com/profile/05364191669604847034noreply@blogger.comBlogger5125tag:blogger.com,1999:blog-7136655045781905113.post-15314169920579579632016-02-29T16:41:15.253+02:002016-02-29T16:41:15.253+02:00Είμαι σίγουρος γιαυτό Θανάση, γνωριζόμαστε πια αρκ...Είμαι σίγουρος γιαυτό Θανάση, γνωριζόμαστε πια αρκετά. Για τους άλλους - αναγνώστες - το έγραψα! ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥhttps://www.blogger.com/profile/11393628882498083224noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7136655045781905113.post-47322426896565925042016-02-29T15:46:00.082+02:002016-02-29T15:46:00.082+02:00Δεν είχα καμια αμφιβολία περί αυτού Ευθύμη!Δεν είχα καμια αμφιβολία περί αυτού Ευθύμη!papadimhttps://www.blogger.com/profile/15678911054501824229noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7136655045781905113.post-64967329215920589302016-02-29T13:59:50.724+02:002016-02-29T13:59:50.724+02:00Γεια σου Θανάση
Σίγουρα έκανα τον έλεγχο στα γρήγο...Γεια σου Θανάση<br />Σίγουρα έκανα τον έλεγχο στα γρήγορα και προς τα κάτω και σχεδόν νοερά ($44^2=1936$, οπότε 2016-1936=80, άρα ...) και καθώς το $45^2=2025$ μου είναι γνωστό από μνήμης, οπότε $2025-2016=9=3^2$ και τελειώσαμε.ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥhttps://www.blogger.com/profile/11393628882498083224noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7136655045781905113.post-27003735453191338672016-02-29T12:23:09.521+02:002016-02-29T12:23:09.521+02:00Η πολύ σωστή λύση του Ευθύμη (γεια σου Ευθύμη!) πρ...Η πολύ σωστή λύση του Ευθύμη (γεια σου Ευθύμη!) προϋποθέτει νομίζω ότι η πλευρά μήκους √2016 δεν είναι δυνατό να είναι η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου με ακέραια τα μήκη των δύο κάθετων πλευρών, κάτι που όμως δεν μπορούμε να αποκλείσουμε εκ των προτέρων χωρίς έλεγχο ή απόδειξη.<br />Ο αριθμός 2016 είναι αρκετά μικρός και ο √2016=44,899.. ακόμα μικρότερος, ώστε να διαπιστωθεί γρήγορα ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι α,β μικρότεροι του 45, τέτοιοι ώστε α^2+β^2=2016.<br />Το ότι δεν είναι δυνατό να εκφραστεί πάντως ο 2016 ως άθροισμα τετραγώνων δύο θετικών ακεραίων προκύπτει και ως συνέπεια της ταυτότητας Brahmagupta-Fibonacci, σε συνδυασμό με το θεώρημα Fermat για τα αθροίσματα δύο τετραγώνων ή αλλιώς θεώρημα των Χριστουγέννων! (βλ. https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat's_theorem_on_sums_of_two_squares#cite_note-2), ότι δηλαδή για να μπορεί να εκφραστεί ένας ακέραιος ν ως άθροισμα δύο τετραγώνων, ικανή και αναγκαία συνθήκη είναι όλοι οι πρώτοι παράγοντες του ν με ισοτιμία 3 mod4 να εμφανίζονται με ζυγό εκθέτη στην αναλυτική παράσταση του ν ως γινομένου πρώτων.<br />Έχουμε όμως 2016=2^5*3^2*7 με τον 7≡3 mod4 να εμφανίζεται με μονό εκθέτη, επομένως ο 2016 δεν μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τετραγώνων δύο θετικών ακεραίων.<br />(Αν όμως είχαμε, αντί του 2016, τον 2^5*3^2*7^2=14112, όπου και ο 7, εκτός του 3≡3 mod4, εμφανίζεται με ζυγό εκθέτη, τότε ο 14112 θα μπορούσε να εφραστεί ως άθροισμα δύο τετραγώνων (84^2+84^2=14112), οπότε και η πλευρά μήκους √14112 θα μπορούσε να είναι η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με ακέραια τα μήκη των καθέτων πλευρών.)papadimhttps://www.blogger.com/profile/15678911054501824229noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7136655045781905113.post-25065970442565861602016-02-27T20:08:28.875+02:002016-02-27T20:08:28.875+02:00Είναι $c=\sqrt{2016}\Rightarrow c^2=2016$.
Η αμέσ...Είναι $c=\sqrt{2016}\Rightarrow c^2=2016$. <br />Η αμέσως μεγαλύτερη τιμή που είναι τέλειο τετράγωνο - για να προκύψει $a$ ακέραιος αριθμός και να γίνει έλεγχος του $b$ κ.ο.κ με το επόμενο μεγαλύτερο τέλειο τετράγωνο – είναι ο $2025\Rightarrow a=45 (;)$.<br />$b^2= 2025-2016=9\Rightarrow b=3$ άρα $a=45$, μας κάνει και δεν χρειάζεται περαιτέρω έλεγχος.<br /><br />Οπότε η ελάχιστη περίμετρος είναι $\boxed{48+\sqrt{2016}}$ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥhttps://www.blogger.com/profile/11393628882498083224noreply@blogger.com