tag:blogger.com,1999:blog-7136655045781905113.post2600518959443097797..comments2024-03-25T19:01:19.600+03:00Comments on Διασκεδαστικά Μαθηματικά : Δύο τρέναΣωκράτης Δ. Ρωμανίδηςhttp://www.blogger.com/profile/05364191669604847034noreply@blogger.comBlogger2125tag:blogger.com,1999:blog-7136655045781905113.post-41899663991799860882022-03-24T22:40:46.532+03:002022-03-24T22:40:46.532+03:00Ας προσθέσω κι' εγώ τη λύση αναλυτικά.
Έστω t ...Ας προσθέσω κι' εγώ τη λύση αναλυτικά.<br />Έστω t ο χρόνος σε ώρες έως ότου η συνολική απόσταση (St) που διανύουν τα δύο τρένα να είναι ίση με την απόσταση μεταξύ των δύο τρένων. <br />Δεδομένου ότι κάθε τρένο ταξιδεύει με μέση ταχύτητα υμ=100 km/h, η απόσταση που διανύει κάθε τρένο σε t ώρες είναι S=100t km. <br />Η συνολική απόσταση που διανύουν τα δύο τρένα είναι:<br />St=(2 × 100t) = 200t km. <br />Όρα εδώ, https://imgur.com/a/lmfjPiO , το διάγραμμα που δείχνει τις θέσεις των δύο τρένων μετά από t ώρες. <br />Το τρένο με κατεύθυνση προς τα νότια ξεκινά από το σημείο B και κινείται προς το σημείο Γ. <br />Το τρένο με κατεύθυνση προς την ανατολή ξεκινά από το σημείο Α και κινείται προς το σημείο Δ. <br />Εφ’ όσον BΓ=ΑΔ=100t και BΑ =1000Km, η απόσταση ΓΔ ισούται με: <br />ΓΔ = 1.000−100t. <br />Ζητούμενο:<br />Σε ποια χρονική στιγμή η συνολική απόσταση που διανύουν τα δύο τρένα θα είναι ίση με την απόσταση μεταξύ των δύο τρένων, δηλαδή,<br />ΓΔ=ΒΓ+ΑΔ=100t+100t.<br />Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΓΑΔ έχουμε:<br />ΓΔ^2=ΓΑ^2+ΑΔ^2 == γ^2=α^2+β^2 <br />(200t)^2=(1.000-100t)^2+(100t)^2<br />40.000t^2=1.000.000-2*1.000*100t+10.000t^2+10.000t^2<br />40.000t^2=1.000.000-200.000t+10.000t^2+10.000t^2<br />40.000t^2-10.000t^2-10.000t^2+200.000t-1.000.000=0<br />40.000t^-20.000t^2+200.000t-1.000.000=0<br />20.000t^2+200.000t-1.000.000=0<br />Διαιρούμε την εξίσωση δια 20.οοο κι’ έχουμε:<br />t^2+10t-50 (1)<br />Εφαρμόζοντας τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ,<br />x = (-β±sqrt[(^β)-4αγ])/2*α , έχουμε:<br />t= (-10±sqrt[(10)^2-4*10*(-50)])2*1<br />t=(-10±sqrt[100+200])/2<br />t=(-10±sqrt[300])/2<br />t=(-10±sqrt[100*3])/2<br />t=(-10±sqrt[10^2*3])/2<br />t=(-10±10sqrt[3])/2<br />Διαιρούμε δια 2, κι’ έχουμε:<br />t= -5±5sqrt[3]/2<br />t= -5+5*1,732<br />t= -5+ 8,66<br />t=3:66h (≈3:40h)<br />Εφόσον t>0, το -5-5sqrt[3] είναι μη αποδεκτό.<br />Ως εκ τούτου αποδεκτό είναι μόνο το t=3:66h. <br />Η απόσταση μεταξύ των δύο τρένων θα είναι ίση με τη συνολική απόσταση που έχουν διανύσει σε (−5 +5sqrt[3]) ώρες, η οποία είναι περίπου 3 ώρες και 40 λεπτά αφότου φύγουν από την αρχική τους θέση. Η ώρα θα είναι περίπου 3:40 μ.μ<br />PAPAVERI48https://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7136655045781905113.post-61750573562670308892022-03-24T14:48:32.556+03:002022-03-24T14:48:32.556+03:00Την χρονική στιγμή αυτή t θα ισχύει:
Sqrt((100t)^2...Την χρονική στιγμή αυτή t θα ισχύει:<br />Sqrt((100t)^2 +(1000- 100t)^2)=100t+100t<br />Λύνουμε την εξίσωση ως προς t και έχουμε: <br />t= 5 (sqrt(3)-1).Μαρίνος Ματιάτοςhttps://www.blogger.com/profile/09282341326146026014noreply@blogger.com