Δευτέρα 16 Ιανουαρίου 2023

Ακριβώς x4

Βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο του οποίου το τελευταίο ψηφίο είναι "$6$" έτσι, ώστε η μετακίνηση του "$6$" στην αρχή του αριθμού να αυξάνει την τιμή του κατά $4$ φορές μεγαλύτερο. 
Για παράδειγμα, ο αριθμός $1236$ θα μετατραπεί σε $6123$, που είναι περισσότερο από τέσσερις φορές μεγαλύτερο, ενώ το $3126$ γίνεται $6312$, το οποίο είναι λιγότερο από τέσσερις φορές μεγαλύτερο.
Πρέπει να βρείτε έναν αριθμό που μετατρέπεται σε ένα αριθμό που να είναι ακριβώς τέσσερις φορές μεγαλύτερο.

4 σχόλια:

  1. Αν α(ν-1)α(ν-2)...α(1)6 ο αρχικός τότε 6α(ν-1)α(ν-2)...α(1) ο τελικός και είναι
    4(10^ν-1*α(ν-1)+...+10*α(1)+6)=6*10^ν-1+α(ν-1)*10^ν-2+...+α(1)<=>4*10^ν-1*α(ν-1)+...+40*α(1)+24=6*10^ν-1+α(ν-1)*10^ν-2+...+α(1)<=>39*10^ν-2*α(ν-1)+...+39α(1)=599...976 με ν-3 9άρια. Το 1ο μέλος πολλαπλάσιο 39 και ο min του 2ου μέλους πολλαπλάσιο 39 είναι ο 599976=13*15384 και ο ζητούμενος είναι ο 153846.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Υπάρχει και η μέθοδος του σχολικού πολλαπλασιασμού😉. Πολλαπλασιάζουμε με το 4 έναν αριθμό που έχει τελευταίο ψηφίο το 6, χτίζοντας τον αριθμό ψηφίο - ψηφίο και σταματώντας αμέσως πριν εμφανιστεί πάλι 6 χωρίς κρατούμενο:

    4*6=24: 4 το ψηφίο και 2 το κρατούμενο,
    4*4+2=18: 8 το ψηφίο και 1 το κρατούμενο,
    4*8+1=33: 3 το ψηφίο και 3 το κρατούμενο,
    4*3+3=15: 5 το ψηφίο και 1 το κρατούμενο,
    4*5+1=21: 1 το ψηφίο και 2 το κρατούμενο,
    4*1+3=6, στοπ.

    Ο αριθμός χωρίς το 6 είναι ο 15384 και βάζοντας στο τέλος και το 6 γίνεται 153846, με 153846*4=615384

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Έστω n=a*6, που είναι της μορφής n=(10*α+6) (1), του οποίου το τελευταίο ψηφίο είναι ο αριθμός 6. Εάν τον αριθμό 6 το μετακινήσουμε, αριστερά, στην αρχή του δοθέντος αριθμού ο αριθμός αυξάνεται κατά 4 φορές και γίνεται m=(6*10), που είναι της μορφής m=6*10^ν+α) (2)
    Το ν εκφράζει το πόσες φορές εμφανίζεται το μηδέν, αφού το ψηφίο 6 μετακινείται από το τέλος στην αρχή του δοθέντος αριθμού μπορεί να γραφτεί 6.000...00
    Βάσι των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
    4*(10*α+6)=6*10^ν+α (3)
    4*(10*α+6)=6*10^ν+α
    40α+24=6*10^ν+α
    40α-α=6*10^ν-24
    39α=6*10^ν-24
    α=(6*10^ν-24)/39
    Διαιρούμε το κλάσμα με το 3 κι' έχουμε:
    α=(2*10^ν-8)/13 (4)
    Διερεύνηση:
    Με δοκιμές βλέπουμε ότι η μονή τιμή του ν που δίνει ακέραιο αριθμό α είναι ν=5 (5)
    Αντικαθιστούμε τη (5) στη (4) κι' έχουμε:
    α=((2*10^ν)-8)/13 ====> α=((2*10^5)-8)/13 ====>
    α=((2*100.000)-8)/13 ====> α=(200.000-8)/13===>
    α=199.992/13 =====> α=15.384 (6)
    Αντικαθιστούμε την (6) στην (1) κι' έχουμε:
    n=(10*α+6) ====> n=((10*15.384)+6) ===>
    n=153.840+6 ====> n=153.846
    Επαλήθευση:
    4*(10*α+6)=6*10^ν+15.384
    4*((10*15.384)+6)=((6*10^5)+15.384
    4*(153.840+6)=(6*100.000)+15.384)
    4*153.846=600.000+15.384
    4*153.846=615.384 ο.ε.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή