Αν
$\int_0^1f(x)dx = 1$,
τότε να βρεθεί το ολοκλήρωμα
$\int_1^2f(x)dx$.
Harvard-MIT Math Tournament, 2002
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Ισχύει:
ΑπάντησηΔιαγραφή$\int_{0}^{2}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx +\int_{1}^{2}f(x)dx$ (1)
Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα : $\int_{0}^{2}f(x)dx$
Θέτουμε x=2u και υπολογίζουμε τα νέα όρια ολοκλήρωσης:
Για x=0 στην εξίσωση x=2u έχουμε u=0
Για x=2 στην εξίσωση x=2u έχουμε u=1
Επίσης dx=2du, τα αντικαθιστούμε στο ολοκλήρωμα και έχουμε: $\int_{0}^{2}f(x)dx=\int_{0}^{1}2f(2u)du=\int_{0}^{1}3*2f(u)du
=6\int_{0}^{1}f(u)du=6*1=6$
H σχέση (1) τότε γίνεται:
$6=\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{1}^{2}f(x)dx\Rightarrow
\int_{1}^{2}f(x)dx=6-1=5$