Δευτέρα 23 Ιανουαρίου 2023

$\int_1^2f(x)dx=?$

Έστω συνεχής συνάρτηση $f$ τέτοια ώστε $f(2x) = 3f(x)$, για κάθε $x$.
Αν 
$\int_0^1f(x)dx = 1$, 
τότε να βρεθεί το ολοκλήρωμα
$\int_1^2f(x)dx$.
Harvard-MIT Math Tournament, 2002 

1 σχόλιο:

  1. Ισχύει:
    $\int_{0}^{2}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx +\int_{1}^{2}f(x)dx$ (1)
    Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα : $\int_{0}^{2}f(x)dx$
    Θέτουμε x=2u και υπολογίζουμε τα νέα όρια ολοκλήρωσης:
    Για x=0 στην εξίσωση x=2u έχουμε u=0
    Για x=2 στην εξίσωση x=2u έχουμε u=1
    Επίσης dx=2du, τα αντικαθιστούμε στο ολοκλήρωμα και έχουμε: $\int_{0}^{2}f(x)dx=\int_{0}^{1}2f(2u)du=\int_{0}^{1}3*2f(u)du
    =6\int_{0}^{1}f(u)du=6*1=6$
    H σχέση (1) τότε γίνεται:
    $6=\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{1}^{2}f(x)dx\Rightarrow
    \int_{1}^{2}f(x)dx=6-1=5$

    ΑπάντησηΔιαγραφή