Τετάρτη 25 Ιανουαρίου 2023

Γωνία $DMU$.

Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο με $AB < AC$ και $ACB = 60◦$. Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία $B$ και $C$ που εφάπτεται στο $AB$ έχει κέντρο το $O$ και τέμνει την πλευρά $AC$ σε δύο διαφορετικά σημεία $C$ και $D$. 
Το ύψος $AU$ τέμνει τις ευθείες $BC$ και $BO$ στα $U$ και $V$, αντίστοιχα, και έστω $M$ το μέσο του $CV$. Να υπολογιστεί η γωνία $DMU$.
Αναρτήθηκε από στις 25.1.23

1 σχόλιο:

  1. michalis zartoulas25 Ιανουαρίου 2023 στις 8:07 μ.μ.

    Το τρίγωνο ΑΒV είναι ορθογώνιο στο Β και το ΒU είναι το ύψος του προς την υποτείνουσα, οπότε :
    γ. BVA=γ. ABC (1)
    Επιπλέον, από το θεώρημα γωνίας χορδής-εφαπτομένης είναι γ. BOC=2 γ. ABC και επιπλέον το O είναι το περίκεντρο του τριγώνου BDC , άρα:
    γ. ΒDC=180-γ.BOC/2=180-γ. ABC (2)
    Από (1) και (2) προκύπτει ότι γ. BVA=γ. BDA και άρα το τετράπλευρο ABVD είναι εγγράψιμο με άμεση συνέπεια γ. VDA=γ. VDC=90 μοίρες και συνεπώς είναι οι γωνίες VDC και VUC είναι ορθές με άμεση συνέπεια το τετράπλευρο CDUV να είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου VC. Εφόσον το M είναι το μέσο του VC, έπεται ότι το M είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του εγγράψιμου τετραπλεύρου CDUV . Επομένως, από τη σχέση εγγεγραμμένης-αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας , προκύπτει η γωνία DMU είναι διπλάσια της γωνίας DCU, η οποία είναι 60 μοίρες. Άρα, η γωνία που ζητάμε είναι 120 μοίρες.
    Καληνύχτα παιδιά!

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)