Σε ένα τρίγωνο $ABC$, έστω $H$ το ορθόκεντρό του. Έστω $P$ το συμμετρικό του $Α$ ως προς την πλευρά $BC$.
Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $ABP$ τέμνει την ευθεία $BH$ στο $Q$, και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $ACP$ τέμνει την ευθεία $CH$ στο $R$.
Να αποδείξετε ότι το $H$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου $PQR$.
CRMO 2013
Είναι ΒΑ=ΒΡ και CA=CP, άρα η BC είναι μεσοκάθετος της ΑΡ. Τα σημεία A,B,P,Q είναι ομοκυκλικά με άμεση συνέπεια γ.QAP=γ.QBP=γ. CBH+γ.CBP=90-C+B (1). Επιπλέον, είναι απλό ότι γ. PAC=90-C (2). Από (1) και (2) είναι γ. QAC=B (3). Ακόμα, τα σημεία A,C,P,R είναι ομοκυκλικά με άμεση συνέπεια γ. PAR=γ. PCR=γ. BCH+γ.ΒCP=90-B+C (4). Επιπλέον, είναι γ. PAB=90-B (5). Άρα, από (4) και (5) είναι γ. RAB=C (6). Από (3) και (6) είναι :
ΑπάντησηΔιαγραφήγ. QAC+γ. RAB+A=B+C+A=180 κι επομένως τα σημεία R,A,Q είναι συνευθειακά. Το τετράπλευρο ABPQ είναι εγγράψιμο με BA=BP και άρα η QH διχοτομεί τη γωνία AQP, και αφού R,A,C συνευθειακά, έπεται ότι η QH διχοτομεί τη γωνία RQP. (7). Επίσης, το τετράπλευρο ACPR είναι εγγράψιμο με CA=CP και άρα η RH διχοτομεί τη γωνία ARP, και αφού R,A,C συνευθειακά, έπεται ότι η RH διχοτομεί τη γωνία QRP. (8). Οπότε, από (7) και (8) έπεται ότι το H είναι το σημείο τομής δύο διχοτόμων του τριγώνου PRQ, άρα είναι το έκκεντρο του τριγώνου PRQ.
Ελπίζω να ευχαριστηθήκατε τη λύση. Καληνύχτα.
Καληνύχτα και πέσε για ύπνο γρήγορα, Μιχάλη, ποτέ δεν ξέρεις τι θα σου ξημερώσει. Να δούμε τι θα πει και ο kfd, μη σου πω κι ο Κάρλο 😉
Διαγραφή