Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2023

Παράλληλοι άξονες

Σε ένα ρολόι οι τρεις δείκτες - ο δευτεροδείκτης, ο λεπτοδείκτης και ο ωροδείκτης - βρίσκονται στον ίδιο άξονα. 
Πόσες φορές σε ένα 24ωρο ο άξονας του δευτεροδείκτη θα είναι παράλληλος με κάποιον από τους άξονες των δύο άλλων δεικτών;

3 σχόλια:

  1. Κάθε λεπτό θα είναι παράλληλος με κάποιον από τους άλλους 2 δείκτες 2 φορές, εκτός από τις στιγμές που οι άλλοι θα σχηματίζουν γωνία 0. Αυτές είναι 11 σε 1 12ωρο. Στο 1ο λεπτό δε θα συμβεί, από το 2ο μέχρι και το 60ο θα συμβεί 2 φορές, άρα 118. Τη 2η ώρα θα συμβεί μία το 1ο λεπτό, και από 2 όλα τα άλλα εκτός από τη σύμπτωση που θα είναι μία. Άρα πάλι 118. Το ίδιο και τις άλλες ώρες εκτός από την 11-12 που θα συμβεί μία λιγότερο. Άρα σύνολο 1415, και άλλες τόσες το 2ο 12ωρο 2830.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Έχω κάνει μια κάπως διαφορετική προσέγγιση:

    Σε 1 ώρα, ο λεπτοδείκτης κάνει 1 κύκλο, ενώ ο δευτεροδείκτης 60, δηλαδή έχουν διαφορά 60-1=59 κύκλους, ήτοι 59 φορές οι δύο δείκτες συμπίπτουν και άλλες 59 ο ένας είναι στην προέκταση του άλλου. Συνεπώς, ο λεπτοδείκτης και ο δευτεροδείκτης βρίσκονται στον ίδιο άξονα 59+59=118 φορές την ώρα, δηλαδή 24*118=2832 φορές το 24-ωρο.
    Σε 1 δωδεκάωρο, ο ωροδείκτης κάνει 1 κύκλο, ενώ ο δευτεροδείκτης 12*60=720, άρα έχουν διαφορά 720-1=719 κύκλους, ήτοι 719 φορές οι δύο δείκτες συμπίπτουν και άλλες 719 ο ένας είναι στην προέκταση του άλλου. Συνεπώς, ο ωροδείκτης και ο δευτεροδείκτης βρίσκονται στον ίδιο άξονα 719+719=1438 φορές το 12-ωρο, δηλαδή 2*1438=2876 φορές το 24-ωρο.
    Στις πιο πάνω περιπτώσεις διπλομετρούνται οι ταυτόχρονες συμπτώσεις στον ίδιο άξονα λεπτοδείκτη - δευτεροδείκτη και ωροδείκτη - δευτεροδείκτη, που συμβαίνουν 4 φορές το 24-ωρο (κάθε 6:00 και 12:00)
    Συνολικά, το ζητούμενο συμβαίνει: 2832+2876-4 = 5704 φορές το 24-ωρο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή